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UNIVERSIDAD DE NARIÑO FACULTAD DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL EJEMPLO HIPOTESIS Un fabricante de dulces compra costales de azúcar a cierto ingenio. Según los vendedores, los costales tienen un peso medio de 50.1 kg, con una varianza de (σ2 = 0.5). El comprador sospecha que el peso medio es menor. Para confirmar su sospecha decide contrastar las hipótesis:

*σ2 = Varianza poblacional Desarrollo:

H0: m = 50.1 HA: m < 50.1

con un nivel de significancia de 5% (α= 0.05). Para ello, selecciona de manera aleatoria tres bultos de cada uno de los siguientes cinco pedidos. Pesa los 15 bultos y obtiene que = 49.4 y S2 = 1.2. De esta manera, el estadístico de prueba calculado, está dado por. *S2 = Varianza muestral

De las tablas de la distribución T de Student con n – 1 = 14 grados de libertad, para α= 0.05, se lee el valor crítico t0.05, 14 = 1.76. Como t0 = –2.47 < –1.76 = –t0.05, 14, se rechaza la hipótesis.

Es decir, se rechaza la afirmación del vendedor de que los bultos tienen un peso medio de 50.1, y además la evidencia señala que dicho peso es menor que el declarado. PRUEBA PARA LA VARIANZA En el ejemplo sobre el peso de costales, a simple vista se puede notar que la varianza σ2 = 0.5, declarada por el vendedor, es bastante diferente que la varianza muestral S2 = 1.2, lo cual lleva sospechar que su afirmación sobre la varianza del proceso es falsa. El hecho de que los dos números

UNIVERSIDAD DE NARIÑO FACULTAD DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL EJEMPLO HIPOTESIS sean distintos no significa que sean estadísticamente diferentes, de aquí la necesidad de contrastar o probar las hipótesis: H0 : σ2 = 0.5 HA : σ2 > 0.5 y de esta manera comprobar si esa diferencia es estadísticamente significativa. Esta hipótesis es un caso particular de la siguiente: H0 : σ2 = σ20 HA : σ2> σ20 donde σ20 es un valor conocido (0.5 en el ejemplo). Para probar esta hipótesis y bajo el supuesto de distribución normal, se utiliza el siguiente estadístico de prueba

donde n es el tamaño de la muestra. Si H0 es verdadera sigue una distribución ji-cuadrada con n – 1 grados de libertad. Por ello, se rechaza H0 si > > donde es un punto crítico que se obtiene de la tabla de distribución ji-cuadrada. Si aplicamos lo anterior al caso de la varianza del peso de los costales, obtenemos que

el cual, bajo el supuesto de normalidad, sigue una distribución ji-cuadrada con 14 grados de libertad cuando H0 es verdadera. En la tabla de distribución ji-cuadrada se lee que , con α= 0.05 y 14 grados de libertad es igual a 23.68. Como = 33.6 > 23.68 = c 2ª se rechaza H0 y se acepta la hipótesis unilateral HA. Es decir, la varianza reportada por el vendedor para el peso de los costales es falsa y, en realidad, la variabilidad del peso de los costales es mayor. Tanto el estadístico t0 de la hipótesis sobre la media, como el estadístico de la hipótesis sobre la varianza, cayeron en las respectivas regiones de rechazo, lo cual se representa en la figura anrexa. Si la hipótesis alternativa para la varianza es bilateral, entonces se rechaza H0