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FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

EFECTO DOPPLER RELATIVISTA Fonrouge, Sergio; González, Agustina; Reynoso, Amelia.

EFECTO DOPPLER RELATIVISTA González, Agustina; Reynoso, Amelia; Fonrouge, Sergio. El presente trabajo busca caracterizar el efecto Doppler para ondas electromagnéticas en el marco de la teoría relativista. Para ello, se brinda una introducción a los principios teóricos fundamentales de la relatividad especial, las bases experimentales del efecto Doppler relativista y las aplicaciones prácticas que este tiene en astronomía y medicina. Del análisis se advierte la importancia práctica e histórica del efecto Doppler en el marco de la física moderna.

INTRODUCCIÓN El efecto Doppler relativista es una importante consecuencia de la cinemática relativista en ondas electromagnéticas. Para el análisis detallado debemos adentrarnos en el mundo de la relatividad especial, la cual ha traído grandes cambios en la comprensión de la naturaleza.

TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL POSTULADOS DE EINSTEIN Se presentan los dos postulados que constituyen la teoría especial de la relatividad. Ambos describen lo que ve un observador que se encuentra en un marco de referencia inercial. A partir de los postulados analizamos el concepto de simultaneidad y de esta manera podemos detallar las transformaciones de Lorentz, indispensables para estudiar el efecto Doppler relativista. Estos dos fundamentos establecen lo siguiente:  

Las leyes de la física son las mismas en todos los marcos de referencia inerciales. La velocidad de luz es constante en el vacío en todos los marcos de referencia inerciales y es independiente del movimiento de la fuente.

Debe destacarse que el segundo postulado implica la imposibilidad de que un observador inercial viaje a la velocidad de la luz. 2

Se formulan en términos simbólicos ecuaciones que representan las transformaciones galileanas de coordenadas, las cuales no cumplen con el segundo postulado de Einstein. LA TRANSFORMACIÓN GALILEANA DE COORDENADAS Sean S y S’ dos marcos de referencia inerciales, donde S es el marco para un observador en la Tierra y S’ para otro observador en una nave espacial en movimiento. Se establecen los ejes de las x de ambos marcos a lo largo de la misma recta. Si el origen O’ del marco S’ se desplaza con velocidad constante μ respecto del origen O del marco S debido al movimiento de la nave, luego de un tiempo t, la separación de los orígenes es de μt.

Ilustración 1: Representación de dos sistemas de coordenadas cartesianos que se desplazan entre sí a una velocidad constante μ. (Young & Freedman, pág. 1271)

Podemos describir la posición para la partícula en P en base a las coordenadas terrestres (x,y,z) en S o en base a las coordenadas de la nave espacial en (x',y',z') en S'. En base a las nociones newtonianas de espacio y tiempo, se llega a las transformaciones galileanas. x=x ' + μt

(1)

y= y '

z=z ' Para hallar la transformación galileana de velocidades unidimensionales derivamos la ecuación (1) con respecto al tiempo. dx dx ' = +μ dt dt

(2) 3

dx dt

Donde velocidad forma

es la velocidad

v x'

v x =v x ' + μ

vx

medida en S y

dx ' dt

es la

medida en S', de manera que la ecuación (2) tiene la .

Como el postulado de Einstein nos dice que

c=c ' , llegamos a la

conclusión de que las transformaciones galileanas son incorrectas a pesar de la deducción. Sólo son válidas en el límite cuando μ tiende a cero. Para hallar una solución correcta, debemos hacer modificaciones a los conceptos cinemáticos a partir del análisis del concepto de simultaneidad. En principio ambos observadores no pueden tener la misma escala de tiempo, entonces definimos la velocidad v ' en el marco S' como

v'=

dx ' dt ´

PRINCIPIOS DE RELATIVIDAD Relatividad de la simultaneidad Un suceso es un acontecimiento con una posición y un tiempo definidos. El problema de la medición de intervalos es que en general dos sucesos que son simultáneos en un marco de referencia inercial no lo son en otro segundo marco que se desplaza con respecto al primero, aún cuando ambos marcos sean inerciales. El principio de relatividad nos dice que ningún marco inercial de referencia es más correcto que otro por lo que la simultaneidad no es un proceso absoluto. Relatividad de los intervalos de tiempo Para deducir una relación entre los dos intervalos de tiempo en diferentes sistemas de coordenadas, consideramos dos marcos de referencias S y S'. S' se desplaza a lo largo del eje común x-x' con rapidez constante μ (μ