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Examen final-FB301V 1.- Al diseñar un circuito digital para poder abrir una cerradura controlada por un electroimán (relé). “La cerradura está bloqueada por el émbolo del electroimán, cuando no pase corriente por su bobina (posición de reposo). Cuando se introduzca mediante tres interruptores de entrada la combinación de 1 y/o 0 lógicos adecuada, el electroimán se activará y se retirará el émbolo, lo que permitirá el desplazamiento del cerrojo" Combinación que permite la apertura de la cerradura: Salida = 0 lógico, cuando al menos una de las entradas B y C esté a 1 lógico. Cerradura bloqueada: Salida =1 lógico, cuando la entrada A (variable más significativa) esté a 1 lógico, independientemente del estado de B y C. El número de términos máximos de la función es: a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) NA 2.- Cuales de las siguientes expresiones son verdaderas

a1) x y' + y z' + x' z = x' y + y' z + x z' a2) a + ( b  c)  (a  b)  (a  c)

a3) AB + BC + A´C = AB + A´C a4) (x + y +z´).(x + y´+ z). (x´+ y + z). (x + y +z) = (x + y). (y + z). (x + z) a) a1, a2 y a3 b) a2, a3 y a4 c) a1, a2 y a4 d) a1, a3 y a4 e) a2 y a4

3.- En el proceso de diseñar un circuito lógico que tenga cuatro entradas y dos salidas que sume en módulo 3, la tabla para la suma en módulo 3 se muestra en la figura. Por ejemplo (2 + 2) módulo3 = 1, en consecuencia, se anota un 1 en la fila 3, columna 3 de la tabla, y (1 + 1) módulo3 = 2, se anota un 2 en la fila 2, columna2 de la tabla, y así sucesivamente. Los datos de entrada se codifican en binario natural, en donde un dato de entrada está dado por A B (A es la variable más significativa) y el otro por C D (D es la variable menos significativa), la salida se codifica también como número binario P Q. Luego, el número de términos mínimos de las funciones P y Q son:

AB 0

1

2

3

CD 0

0

1

2

0

1

1

2

0

1

2

2

0

1

2

3

0

1

2

0

a) 6 y 6 b) 5 y 5 c) 4 y 4 d) 5 y 6 e) NA 4.- Dado el siguiente código: 𝑒(0000) = 0000000 𝑒(0100) = 0001111 𝑒(0001) = 1010101 𝑒(0101) = 1011010 𝑒(0010) = 0110011 𝑒(0110) = 0111100 𝑒(0011) = 1100110 𝑒(0111) = 1101001 El número de errores que detecta es:

𝑒(1000) = 1111111 𝑒(1001) = 0101010 𝑒(1010) = 1001100 𝑒(1011) = 0011001

𝑒(1100) = 1110000 𝑒(1101) = 0100101 𝑒(1110) = 1000011 𝑒(1111) = 0010110

a) 3 o menos errores b) 4 o menos errores c) 2 o menos errores d) 5 o menos errores e) NA 5.- Usando el algoritmo de Kruskal determine, cuantos árboles recubridores mínimos diferentes con su determinado peso, se puede obtener del siguiente grafo.

a) Dos árboles con peso 64 b) Tres árboles con pesos 64 c) Dos árboles con peso 64 y 65 d) Tres árboles con pesos 63, 64 y 65

e) NA. 6.- Determine la veracidad ó falsedad de los siguientes enunciados. i) Si (𝐺,∗) es un grupo y sean 𝑎, 𝑏 elementos de 𝐺 entonces las ecuaciones 𝑎𝑥 = 𝑏 y 𝑦𝑎 = 𝑏 tienen solución única en G ii) Si 𝑓 es un homomorfismo de un semigrupo conmutativo (𝑆;∗), sobre un semigrupo (𝑇;∗´ ), entonces (𝑇;∗´ ) es asociativo. iii) Si Z2n el conjunto de todos los enteros pares, entonces los semigrupos (𝑍; +) y (𝑍2𝑛 ; +) son homeomorfos. iv) Si (𝐺,∗) es un grupo entonces cada elemento 𝑎 ∈ 𝐺 tiene un único elemento inverso en 𝐺. a) VFVV b) VVFV c) FVVF d) VFFV e) NA 7.- Si la función de codificación 𝑒(3,6) define la siguiente codificación {000000, 001100, 010011, 011111, 100101, 101001, 110110, 111010} Enunciar las condiciones para que la función de codificación dada sea un grupo de código a) Que 𝐵 6 sea grupo y 𝑒(𝐵3 ) sea un subgrupo de 𝐵 6 b) Que 𝐵 3 sea grupo y 𝑒(𝐵 6 ) sea un subgrupo de 𝐵 3 c) Que 𝐵 3 sea subgrupo y 𝑒(𝐵 6 ) sea un grupo de 𝐵 3 d) Que 𝐵 6 sea subgrupo y 𝑒(𝐵 3 ) sea un grupo de 𝐵 6 e) NA

8.- Sean G1 y G2 dos grupos con elemento identidad e1 y e2. Si existe un homomorfismo f:G1→G2, se define el conjunto K={x ∈ G1: f(x)=e2}, indique ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? a.- K es subgrupo de G1. b.- Dado x∈K entonces y=g x g-1 ∈ G1, para todo g∈G1. c.- Si f es inyectiva entonces K={e1}. d.- La ecuación f(x)=y, tiene soluciones de la forma xk, k∈K. e.- NA 9.- Dada las siguientes funciones de R*=R-{0} en R*, en el conjunto G={ f1(x)=x, f2(x)=-x, f3(x)=1/x, f4(x)=-1/x} con la operación de composición de funciones ◦, mencione que afirmación no es verdadera: a.- (G, ◦) es un grupo con elemento identidad f1.

b.- (G, ◦) es un grupo Abeliano. c.- (G, ◦) es un grupo con 3 subgrupos propios. d.- (G, ◦) es un grupo con 5 subgrupos. e.- NA 10.- La siguiente tabla define una máquina de estado finito, halle que característica no le corresponde:

a.- La máquina detecta cadenas de entrada con tres unos consecutivos. b.- Si la cadena de entrada es 0110011101111, la salida es 0000000100010. c.- Si la cadena de salida es 00100011, la entrada es 11101111. d.- La máquina puede detectar cadenas de entrada con tres y cuatro unos consecutivos. e.- NA