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EDP CON LAPLACE SEMINARIO DE MÉTODOS MATEMÁTICOS III

INTRODUCCIÓN En este trabajo se habla sobre la aplicación de la transformada de Laplace en una ecuación diferencial parcial, explicando cómo se puede resolver teniendo valores en la frontera con respecto a la variable t (tiempo). Después de la explicación se muestra un ejercicio de ejemplo aplicando lo aprendido sobre este tema.

MARCO TEÓRICO Aplicaciones de la transformada de Laplace  Introducción

[1]

La transformada de Laplace de una función f(t),

t≥0

, como:

Siempre que la integral impropia converja. Esta integral transforma una función f(t) en otra función F del parámetro de transformación s; es decir, L {f(t)} = F(s). La principal aplicación de la transformada de Laplace en el capítulo 4 fue la solución de ciertos tipos de problemas de valor inicial que involucraban ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes. Recuerde que en tales ecuaciones' la transformada ele Laplace reduce la ecuación diferencial ordinaria a una ecuación algebraica. En esta sección vamos a aplicar Ja transformada de Laplace a ecuaciones diferenciales parciales lineales. Veremos que esta transformada reduce una ecuación diferencial parcial a una ecuación diferencial ordinaria.

 Transformada de derivadas parciales Los problemas de valores en la frontera que se estudian en esta sección involucran las ecuaciones de calor y las de onda en una dimensión, o ligeras

variaciones de estas ecuaciones. Estas ecuaciones diferenciales parciales involucran una función desconocida de dos variables independientes u(x, t), donde la variable t representa el tiempo

t ≥ 0 . Definimos la transformada

de Laplace de u(x, t) respecto a t usando la expresión:

Donde x recibe el tratamiento de un parámetro. La transformada de la derivada parcial

∂u ∂t

es

Esto es

De manera similar, Como estamos realizando una transformación respecto a t, suponemos que es legítimo intercambiar la integración y la diferenciación en la transformada 2

de

∂u ∂ x2

Esto es

En vista de (1) y (2) podemos observar que la transformada de Laplace resulta adecuada en problemas con condiciones iniciales, es decir, problemas asociados con la ecuación de calor o la ecuación de onda.

DESARROLLO ∂2 u ∂u −RC −RGu=0, 2 ∂t ∂x u ( 0,t )=0, lim

x⟶ ∞

∂u =0 t> 0 ∂x

u ( x , 0 )=u0 x >0

Aplicando la transformada a las derivadas parciales, queda: 2

2

∂u d U = 2 2 ∂x dx ∂u =s L { u ( x , t ) }−u ( x , 0 )=sU ( x , s )−u0 ∂t Entonces la ecuación quedaría así: d2 U −RC [ sU ( x , s )−u 0 ]−RCU =0 d x2 Aplicando transformada de Laplace a las condiciones de frontera: u ( 0,t )=0⇒ L { u ( 0, t ) }=L { 0 } U ( 0, s )=0

lim

x ⟶∞

∂u =0⇒ L ∂x

{

lim ∂ u

x⟶∞

∂x

}

= L {0 }

lim U x ( x , s )=0

x ⟶∞

Ahora convertimos la ecuación a una EDO U -RCsU-RC {u} rsub {0} -RGU=0 U -U[RCs+RG]=RC {u} rsub {0}

Resolviendo la EDO:

La derivada de U es:

Aplicando las condiciones de frontera: U ( 0, s )=0 ⇒ U =k 1cosh ( x √−GR−sCR ) +k 2 sinh ( x √−GR−sCR )

k 1=

uC G+sC '

lim U x ( x , s ) ⇒U =k 1 √−GR−sCRsinh ( x √−GR−sCR ) +k 2 √−GR−sCR cosh ( x √−GR−sCR )

x ⟶∞

U '=

u0 C √ −GR−sCR sinh ( x √−GR−sCR ) +k 2 √ −GR−sCR cosh ( x √ −GR−sCR ) G+ sC

−GR−sCR x √¿ −u 0 C k 2= tanh ⁡¿ G+sC −GR −sCR x √¿ tanh ⁡¿ k 2=

−u 0 C G+sC

k 2=−k 1

Ahora regresando al resultado que nos dio la EDO y utilizando identidades trigonométricas para sinh y cosh: m=√ −GR −sCR U=k 1

[

] [

]

u C e mx + e−mx emx −e−mx +k 2 − 0 2 2 G+ sC

Factorizando: U=emx

[

u C k 1+ k 2 k 1−k 2 + e−mx − 0 2 2 G+ sC

] [

]

Aplicando el infinito cuando x es positiva para que se cancele, quedaría:

U=−k 1 e mx −

U=

u0 C G+ sC

−u 0 C mx u0 C e − G+ sC G+ sC

Aplicando la transformada inversa con teorema de traslación:

U=L−1

{

}

−u 0 C mx uC e −L−1 { 0 } G+sC G+ sC

Esto hace una función error U=−uo C L

{G+1sC e

1 −1 U=( −u o C ) L C

−1

U=−uo L

{

x √−RG−RCs

x 1 e G s+ C

{ } e

x

(√−RC √ s + GC ) s+

G C

√

}−u C L{G+1sC }

−RC

o

}

(GC +s ) −u C

−1

−uo L

0

( C1 ) L

−1

{ } 1 G s+ C

{ } 1

C+

G C

Aplicando el principio de superposición que es: −1

L

{ f ( s−a ) }=e at L−1 { F ( s ) }

Entonces: U=−u0 L−1

U=−u0 e A

e √ RC x

erf

{ }|

−G t C

e √ CR x G ¿ s ⟶ s+ G C s+ C

L−1 {e√ RC x }

se le aplicará la función error:

( x2 √ RCt )

Entonces finalmente quedaría:

u ( x , t )=u0 e

−G t C

erf

( 2x √ RCt ) CONCLUSIÓN

Como podemos ver, la transformada de Laplace puede ser utilizada no sólo para resolver una Ecuación diferencial ordinaria, si no que también para las ecuaciones diferenciales parciales, así como la ecuación de calor, la ecuación de onda, etc. El trabajo se me hizo un poco complicado de solucionar ya que no habíamos visto suficientes ejemplos de la EDP con Laplace, entonces se tuvo que hacer investigaciones aparte para poder solucionarla.

BIBLIOGRAFÍA [1] Ecuaciones diferenciales-Zill