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´ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE INGENIER´ IA CAMPUS GUANAJUATO ´ PRACTICA: ECUACIONES DE CALOR, ONDA Y LAPLACE. CARLOS CAMPOS APANCO

1. Encontrar la temperatura u(x, t) en cualquier instante en una varilla met´alica de una unidad de longitud, aislada en los lados, la que inicialmente tiene una temperatura uniforme de 10◦ C en toda su extensi´ on y cuyos extremos se mantienen a 0◦ C para toda t > 0. 2. Encontrar la temperatura u(x, t) en cualquier instante en una varilla met´alica de longitud unitaria que est´a aislada en los extremos, as´ı como en los lados, y cuya distribuci´on inicial de temperaturas es u(x, 0) = x para 0 < x < 1. 3. Resuelva la ecuaci´ on del calor kuxx = ut donde 0 < x < L y t > 0 sujeta a las condiciones  1, 0 < x < L/2 u(0, t) = u(L, t) = 0, u(x, 0) = 0, L/2 < x < L 4. Resuelva la ecuaci´ on del calor kuxx = ut donde 0 < x < L y t > 0 sujeta a las condidiciones u(x, 0) = x(L − x)

u(0, t) = u(L, t) = 0,

5. Calor. Una varilla de longitud L coincide con el intervalo [0, L] en el eje x. Establezca (sin resolver) un problema con valores en la frontera para la temperatura u(x, t), considerando que los extremos de la varilla est´ an aislados y hay transferencia de calor desde la superficie lateral al medio circundante, que est´a a una temperatura de 50 grados cent´ıgrados. La temperatura inicial es igual a 100 grados en toda la varilla. ◦ 6. Calor. Una barra de 100cm de longitud tiene sus extremos  x = 0 y x = 100 mantenidos a 0 C.  0 si 0 < x < 40 100 si 40 ≤ x < 60 Inicialmente la temperatura f (x) est´a dada por f (x) =  0 si 60 ≤ x < 100 Asumiendo una difusividad de k = 0,20 y una superficie aislada, encuentre la temperatura en cualquier posici´ on de la barra en cualquier tiempo. 7. Una barra de 50 cm de longitud est´a inmersa en vapor. Su temperatura inicial est´a dada por  4x si 0 ≤ x < 25 f (x) = y sus extremos est´an aislados. Plantea un problema de 200 − 4x si 25 ≤ x ≤ 50 valores en la frontera y calcula la temperatura de la barra para cualquier posici´on y para cualquier tiempo. 8. Establezca (sin resolver) un problema con valores en la frontera para el dezplazamiento u(x, t) de una cuerda de longitud 10 desde x = 0. Los extremos est´an anclados al eje x. Inicialmente, la πx cuerda no est´ a dezplazada pero tiene una velocidad inicial de e− 3 . (Es decir la ecuaci´on diferencial involucrada, las condiciones iniciales y de frontera) 1 9. Resuelva la ecuaci´ on de onda donde 0 < x < 1 y t > 0 sujeta a las condiciones u(x, 0) = x(1 − x) 4 ∂u y (x, 0) = 0. ∂t 10. Resuelva la ecuaci´ on de onda donde 0 < x < π y t > 0 sujeta a las condiciones u(x, 0) = 0 y ∂u (x, 0) = sin(x) ∂t Date: 20 de agosto de 2018. 1

11. Resuelva la ecuaci´ on de onda a2 uxx = utt donde 0 < x < L y t > 0 sujeta a las condidiciones 1 ∂u =0 u(0, t) = u(L, t) = 0, u(x, 0) = x(L − x), 4 ∂t t=0

12. Resuelva la ecuaci´ on de onda

a2 uxx

= utt donde 0 < x < L y t > 0 sujeta a las condidiciones ∂u u(0, t) = u(L, t) = 0, u(x, 0) = 0, = sen(x) ∂t t=0

13. Resuelve la ecuaci´ on de onda ∂2u ∂2u = , 0 < x < L, t > 0 ∂x2 ∂t2 sujeta a la siguientes condiciones a2

u(0, t) = 0, u(L, t) = 0 u(x, 0) = f (x) dada en la Figura de la derecha ∂u |t=0 = 0 ∂t

14. Onda. Una cuerda de longitud L coincide con el intervalo [0, L] en el eje x. Establezca el problema con valores en la frontera para el desplazamiento u(x, t), si el extremo izquierdo de la cuerda est´a anclado al eje x, pero el extremo derecho se mueve de una manera transversal de acuerdo con sen (πt). La cuerda se libera a partir del reposo del desplazamiento inicial f (x). Para t > 0 las vibraciones transversales est´ an amortiguadas con una fuerza proporcional a la velocidad instant´anea. 15. Onda. Una cuerda fuertemente estirada con puntos extremos fijos en x = 0 y x = L est´a inicialmente en equilibrio. En t = 0 se pone a vibrar al darle a cada uno de sus puntos extremos una distribuci´ on de velocidad definida por g(x). Establezca el problema de valor de frontera. Muestre que el desplazamiento de cualquier punto de la cuerda para cualquier tiempo t > 0 est´a dado por   ∞  nπx  X nπat u(x, t) = bn sin sin L L n=1

donde Z L  nπx  2 bn = g(x) sin dx nπa 0 L 16. Una cuerda de 50 cm de longitud est´a suspendida en sus extremos fijos. Su dezplazamiento inicial est´a dada por f (x) = 4x y su velocidad de dezplazamiento inicial es g(x) = 200 − 4x. Plantea un problema de valores en la frontera y calcula el dezplazamiento de la cuerda para cualquier posici´ on y para cualquier tiempo. 17. Una placa rectangular de base 15 cm y altura 5 cm, hecha de material homog´eneo se encuentra sujeta a las siguientes condiciones de frontera. a) No hay transmisi´ on de calor en el extremo inferior, mientras que la temperatura en el extremo superior var´ıa seg´ un la funci´ on f (x). b) La temperatura del extremo izquierdo es 0◦ C y el lado derecho se encuentra aislado. Plantee mediante una ecuaci´ on el problema con valores en la frontera que debe satisfacer la funci´ on de distribuci´ on de temperaturas de estado estable u(x, y), correspondiente a esta situaci´ on. Escriba en s´ımbolos las condiciones iniciales y de frontera a las que est´a sujeto. c Carlos Campos Apanco

18. Encuentre la soluci´ on u(x, y) de la ecuaci´on de Laplace en el rect´angulo 0 < x < 1, 0 < y < 1 que tambi´en satisfaga las condiciones en la frontera u(0, y) = 0, u(x, 0) = 0,

u(a, y) = 0, u(x, b) = g(x)

0 0 ∂x2 ∂y u(0, y) = u0 , l´ım u(x, y) = 0, 0 < y < 1 x→∞ ∂u ∂u = 0, = −hu(x, 1), h > 0, x > 0 ∂y y=0 ∂y y=1 25. La temperatura u(x, y, t) que resuelve el problema k(uxx + uyy ) = ut , con 0 < x < 2, 0 < y < 1, t > 0. Sujeta a las condiciones u(0, y, t) = 0, u(2, y, t) = 0, u(x, 0, t) = 0, u(x, 1, t) = 0 y u(x, y, 0) = f (x, y), se encuentra al proponer una soluci´on de variables separables. Encuentre los valores propios, las funciones propias correspondientes e indique la soluci´on sin resolver las integrales que aparezcan en ella. ´ ticas Academia de Matema UPIIG - IPN Email address: [email protected]

c Carlos Campos Apanco