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Dr. Milton Chávez Muñoz

Docente UNJBG

APLICACIONES DIVERSAS DE LAS EDO – SEGUNDO AÑO

1. LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON.- Suponga que una varilla de acero al rojo vivo se sumerge en un baño de agua fría.

Si f(t) es la temperatura de la varilla en el tiempo t, y suponga

el capital invertido f(t). Halle y escriba una EDO que describa esta situación.

Solución. Datos:

Capital invertido: f(t).

Tasa neta de inversión: f´(t). Razón de cambio de f(t).

que la temperatura del agua se mantiene constante en 10ºC. Por

Ideas claves:

cambio de temperatura f(t) es proporcional a la diferencia entre

Descripción del enunciado:

describa esta ley física.

Donde si k  0 (k positiva), el capital aumenta.

- Temperatura de la varilla de acero: f(t).

Separando variables:

la ley de enfriamiento de Newton: “se tiene que la razón de

las dos temperaturas 10°C y f(t). Halle y escriba una EDO que Solución. Datos:

- Razón de cambio de la temperatura de la varilla: f´(t). Razón de cambio de f´(t).

Ideas claves:

Proporcionalidad: k.

Descripción del enunciado: Donde:

f¨(t) = k[10 – f(t) ] ó y´ = k[10 – f(t)]

si k  0 (k positiva), calienta. k  0 (k negativa), enfría.

Resolviendo la EDO: y´ = k[10 – f(t)] es de variables separables. Separando variables:

dy  k (10  y ) dt

Integrando:



1 dy  k dt 10  y

1  10  y dy 

 k dt

 –Ln(10 – y) = kt + Ln(C)  Ln[(y – 10)/C] = kt

Poniendo como e: (y – 10) = C ekt,  y = 10 + C e kt . Nota: según el contexto del problema y las condiciones del mismo se determinan los valores de las constantes k y C.

Si la temperatura es inicialmente de 200°C y en 20 minutos la temperatura es ya de 150, a los 50 minutos que temperatura habrá alcanzado, luego a los 70 minutos.

- Cuando el t=0 min, la temperatura será la inicial de: 200=10+Ce0(k), de donde C=190.

- Cuando el t=20 min, la temperatura será de: 150 =10+190e

k(20)

, de donde k= – 0,015269.

- Piden para t=50 min, la temperatura será de: y = 10+190e

– (0,015269)(50)

= 98,55ºC.

- Piden para t=70 min, la temperatura será de: y = 10+190e– (0,015269)(70) = 75,24ºC.

- Piden para t=120 min, la temperatura será de: y = 10+190e– (0,015269)(120) = 40,4ºC.

2. CAPITAL INVERTIDO.- Sea f(t) el monto de capital invertido por una empresa de negocios al tiempo t. La razón de cambio del

capital f´(t) se llama “Tasa neta de inversión”. Suponga que la gerencia de la empresa decide que el nivel óptimo de inversión debe ser C dólares y que la tasa neta de inversión debe ser

proporcional a la diferencia entre el capital óptimo invertido C y

Proporcionalidad: k

f¨(t) = k[C – f(t) ]

ó

y´ = k[C – y]

Resolviendo la EDO: y´ = k[C – y] es de variables separables.

dy  k (C  y ) dt



1 dy  k dt Cy

Integrando: –Ln(C – y) = kt + Ln(L)  Ln[(y – C)/ L] = kt. Potenciando con e: (y – C) = L ekt,  y = C + Le kt . C es el capital invertido. L es el capital inicial.

Cuando el tiempo es t=0 años, el monto del capital inicial será de C0 dólares: L = C0 – C. Entonces y = C + (C 0 – C)e kt .

Nota: según el contexto del problema y las condiciones del

mismo se determinan los valores de las constantes k, C y C 0. Por ejemplo: Supongamos que C=1000; C0=800, que y=900 para t=2; entonces y =1000 –200e kt .

900=1000 – 200 e2k, de sonde k= – 0,3465, finalmente la función particular para estos datos será:

y = 1000 – 200e –0,3465t .

Para t=5 se tiene: y(5)=964,63 dólares.

Para t=10 se tiene: y(10)=993,74 dólares. 3. PRECIO Y VENTAS. Un modelo que describe las relaciones entre el precio y las ventas semanales de cierto producto puede tener la siguiente forma:

dy 1 y   , donde “y” es    dp 2  p  3 

el volumen de ventas y “p” es el precio por unidad. Es decir, “en

cualquier tiempo la razón de descenso de las ventas con

respecto al precio es directamente proporcional al nivel de

ventas e inversamente proporcional al precio de venta más una constante”. Resuelva esta ecuación diferencial. Solución. La ecuación separables.

Separando variables: Integrando:

2

2

dy 1 y      dp 2  p  3 

es de variables

1 1 dy   dp . y p3

1 1 dy    dp y p3

 2 Ln(y) = –Ln(p+3) + Ln(C)  Ln(y2) = Ln[C/(p+3)].

_____________________________________________________________________________________________ Análisis Matemático Recopilación: Segundo año. 1

Dr. Milton Chávez Muñoz Potenciando con e: y 2 =

Docente UNJBG Ejercicio. Para una población con ritmo de crecimiento a=0,71

C . p3

Es decir el conocimiento de las variaciones de las ventas

respecto al precio ha permitido conocer el volumen de ventas respecto al precio por unidad. Si y=1, cuando p=1, se tiene:

4 y = p3 2

Particularmente: ventas será: y

2

Si el precio es de p=3 soles el volumen de

4 = 33

2 / 3  0,81 .

ó y=

ó

y=

1 / 2  0,707 .

4.

4 0,5  3

ó

y=

8 / 7  1,069 .

La

ecuación

de

dy   ayLn( y / b) , dt

crecimiento

de

sustancia líquida A se calienta en un matraz, se

descompone en una sustancia B a una razón (medida en unidades de A por hora) que, en todo tiempo t, es proporcional

Gompertz

es

Solución. La ecuación dada es de variables separables:

1 dy  a dt yLn( y / b)

1

 yLn( y / b) dy    a dt

Razón de cambio: A´=kA2; Proporcionalidad: k.

Descripción: “A se transforma en B a una razón que, en todo

de las soluciones de esta ecuación diferencial.

Integrando:

5. Cierta

Ideas clave:

crecimiento de ciertas poblaciones. Encuentre la forma general

variables:

y(t)=0,75b.

- Sustancia A se convierte en sustancia B.

positivas. Esta ecuación se utiliza en biología para describir el

Separando

mismos datos encontrar el tiempo en que y(t)=0,50b y luego

Solución. Datos:

donde a y b son constantes

dy  ay Ln( y / b) . dt

encontrar la población al cabo de dos y de cuatro años. Para los

Construya y resuelva una ecuación diferencial que f(t) satisfaga.

Si el precio es de p=0,5 soles el volumen de ventas será:

y2 =

máximo, con yo=0,25b, aplicar el modelo de Gompertz para

al cuadrado de la cantidad de sustancia presente al tiempo t.

Si el precio es de p=5 soles el volumen de ventas será:

4 y2 = 53

por año, que se supone crecerá hasta b=50 millones como

tiempo, es proporcional al cuadrado de la cantidad de sustancia presente

en

el

A 2 dA  k dt

A

Integrando:

2

dA 

k

dt .

 A 1  kt  C

La solución es:

ó

A(t ) 

Para

resolver:

1 kt  C

.

6. PENDIENTE DE UNA CURVA. Hallar la ecuación de la curva .

que pasa por el punto (1; 3) y tiene una pendiente de y/x 2, hacer un diagrama.

Solución. Datos: Ideas clave:

 Ln[Ln (y/b)] = – at +Ln(C).

dA  kA 2 . dt

tiempo”

Pendiente de la curva: m =

y x2

Pasa por el punto (1; 3).

.

- Pendiente de una recta tangente a una curva.

 Ln[Ln (y/b)] = – at +Ln(C)  Ln[Ln (y/b)] =Ce –a t

dy y  2 dx x

- Descripción:

Potenciando con e: Ln(y/b) = Ce – a t).

.

3

Resolviendo:

2.5

La

1 1 dy  2 dx y x

2

1.5

1

Integrando:

0.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ecuación

1

es

1

 y dy   x

Ln( y )  

2

de

variables

separables:

dx

1 C. x

_____________________________________________________________________________________________ Análisis Matemático Recopilación: Segundo año. 2



Dr. Milton Chávez Muñoz La solución general es:

Docente UNJBG

Ln( y )  

1 C. x

La solución general es:

Usando la condición de que la curva pase por punto (1;3) se halla el valor de la constante C.

1 Ln (3)    C 1

Potenciando: y = 3e

Su gráfica es la siguiente, cuando y aumenta.

5000

3000

La solución particular será: (x–1)/x

1  Ln(3)  1 . x

2000 1000

. La gráfica se adjunta.

2

7. CONSERVACIÓN DE ALIMENTOS.- En el proceso de conservación de alimentos, el azúcar de caña experimenta una variación convirtiéndose en una mezcla de dos azúcares más sencillos: glucosa y fructosa. En solución diluida, la tasa de

inversión es proporcional a la concentración y(t) de azúcar no alterado. Si la concentración es de 1/50 en t=0 horas y de 1/200

después de tres horas, obtener la concentración de azúcar no alterado después de 6 y de 12 horas.

4

6

8

10

12

14

Usando las condiciones hallaremos el valor de las constantes desconocidas de la solución general:

Si y=1/50 , t=0  1/50 = C e0,  k=1/50.

Si y=1/200, t=3  1/200 = (1/50) e3k,  ¼ = e3k, 

k 

0.02

Ln( 4) 3

,

k  Ln( 4 1 / 3 )

La solución particular será, pues y disminuye:

y

0.015

1 t / 3 1 Ln ( 41 / 3 ) , y  e 4 50 50

Calculamos lo que se pide:

0.01

i) Si t=6: y=(1/50)4–2 = 1/800 = 0,00125.

ii) t=12: y=(1/50)4–4 = 1/12800 = 0,000078125.

0.005

2

4

6

8

10

12

14

- Azúcar de caña se transforma en dos azúcares más sencillos: glucosa y fructosa.

- La concentración es de 1/50 en t=0 horas y de 1/200 después de tres horas.

Ideas clave: Variación del azúcar. Proporcionalidad: k, k0.

Descripción: En solución diluida, la tasa de inversión es

proporcional a la concentración y(t) de azúcar no alterado:

dy  ky . dt

Resolviendo:

La

1 dy  k dt y

Integrando:

1

Observamos que la concentración a medida que el tiempo pasa es cada vez menor.

Solución. Datos:

.

Ln( y )  k t  Ln (C ) .

4000

 C = Ln(3)+1.

Ln( y )  

y = C e . kt

ecuación

es

 y dy   k dt

de



variables

separables:

Ln( y )  k t  C1

8. CRECIMIENTO POBLACIONAL. La tasa de crecimiento de una población de moscas de la fruta en un instante dado es proporcional a tamaño de la población en dicho momento. Si hay 180 moscas después del segundo día del experimento y 300 después del cuarto día; ¿Cuántos moscas habían originalmente? Solución. Datos:

- Hay 180 moscas después del 2do. día. - Hay 300 mocas después del 4to. día. Ideas clave:

Tasa de crecimiento.

Proporcionalidad: k0.

Descripción: La tasa de crecimiento de una población de moscas de la fruta en un instante dado es proporcional a tamaño de la población en dicho momento:

dM  kM dt

.

Resolviendo: La ecuación es de variables separables:

1 dM  k dt M

_____________________________________________________________________________________________ Análisis Matemático Recopilación: Segundo año. 3

Dr. Milton Chávez Muñoz Integrando: 

Docente UNJBG

1

 M dM   k dt

10. Una medicina se inyecta en el torrente sanguíneo de un paciente a un flujo constante de r g/s. Al mismo tiempo, esa

Ln( M )  k t  C1 .

La solución general es:

Ln ( M )  k t  Ln (C )  M = C e

medicina desaparece con una razón proporcional a la cantidad kt

x(t) presente en cualquier momento t. Formule una ecuación

.

Usando las condiciones hallaremos el valor de las constantes desconocidas de la solución general: Si M=180, t=2  180 = C e2k, 

e 2k 

Si M=300, t=4  300 = C e4k

180 C

- - - - (a)

1 Ln(5 / 3) 2

Respuesta: La cantidad original de moscas es de 180; se obtiene cuando el tiempo t=0.

Se puede calcular la cantidad de moscas para cualquier tiempo t que se pida, por ejemplo:

- Al finalizar el día sétimo t=7, habrán el

: Rapidez con la que varía la cantidad de medicina en el

torrente sanguíneo del paciente.

k: constante de proporcionalidad negativa, k0. Suponiendo

décimo

M  108(5 / 3) día

t=10,

7/2

habrán

M  108(5 / 3)10 / 2 =1 389 moscas aproximadamente.

PLANTEO DE OTROS PROBLEMAS:

será:

cantidad

de

medicina

disminuye

11. Suponga que un tanque grande de mezclado contiene 300 galones de agua en un inicio, en los que se disolvieron 50 libras

de sal. Al tanque entra agua pura con flujo de 3 galones por minuto y, con el tanque bien agitado, sale el mismo flujo. Deduzca una ecuación diferencial que exprese la cantidad A(t) de sal que hay en el tanque cuando el tiempo es t. Aw

Altura h

la población, P(t) cuando se permite una inmigración de tasa

Solución. Sea:

dP  kP , determine una ecuación diferencial que describa dt

constante r.

Solución. Sea:

P(t): población del país en el tiempo t (t en años). : Rapidez de cambio de la población.

k: constante de proporcionalidad positiva, k0.

r: población que inmigra al país al año en forma constante.

Bajo la hipótesis de que la razón de cambio de la población en

cualquier instante t es proporcional a la cantidad de población presente en ese instante, la ecuación diferencial asociada a este fenómeno es:

la

dx  kx  r . dt

9. Con base en la hipótesis del modelo de la ecuación

dP dt

que

de tiempo t, la ecuación diferencial que describe la situación

t/2 M  08e ( t / 2 ) Ln ( 5 / 3) = M  108(5 / 3) .

finalizar

cantidad constante de medicina que ingresa al torrente

proporcionalmente a la cantidad presente en cualquier instante

La solución particular será:

Al

tiempo t.

dx dt

Por otro lado, hallemos el valor de k: 180 = 108 e2k,  5/3 = e2k,

-

x(t): cantidad de medicina, en g/s, en el torrente sanguíneo en el sanguíneo del paciente.

- - - - (b)

 C = 108 moscas.

= 646 aproximadamente.

Solución. Sea: r:

Remplazando (a) en (b): 300 = C(e2k)2 = C(180/C)2

 k=

diferencial que describa la cantidad x(t).

dP  kP  r . dt

o pie s

10 Pies

Agujero circular A0

A(t): cantidad de sal en el tanque en el tiempo t (t en segundos).

dA dt

: Rapidez de cambio de la cantidad de sal en el tanque.

R1: rapidez con que entra la sal al tanque.

R2: rapidez con que la sal es desalojada del tanque. De modo que: Se tiene que:

dA  R1  R2 dt

(entra agua pura).

R1 = 0, no está ingresando sal al tanque

 A  libras / galón  =  300 

R2 = (3 galones/minuto) 

_____________________________________________________________________________________________ Análisis Matemático Recopilación: Segundo año. 4

Dr. Milton Chávez Muñoz

Docente UNJBG A(t): cantidad del tema memorizado en el instante t.

A libras / min uto . 100 De modo que:

dA A  dt 100

M: cantidad total del tema que se debe memorizar. M – A(t): cantidad del tema que falta memorizar.

libras/minuto.

dA dt

12. Por un agujero circular de área A 0, en el fondo de un tanque, sale agua. Debido a la fricción y a la contracción de la corriente

cerca del agujero, el flujo de agua, por segundo, se reduce a CA 0

2 gh , donde 0  C  1. Deduzca una ecuación diferencial

que exprese la altura h del agua en cualquier momento t. que hay en el tanque cúbico de la figura 1. el radio del agujero es de 2 pulgadas y g=32 pies/s2. Solución. Sea:

De modo que e volumen será: V = 100h.

Derivando ambos lados con respecto a t, se encuentra la relación entre las razones d cambio del volumen y la altura del tanque:

= =



C  (2 pu lg) 2

2 C h 9

De donde:



dh 1 dV  dt 100 dt

= C (r 2 )

.

2  1   C  pie =  8 h   64h     6

cualquier momento. Si la población se duplicó en cinco años, ¿en cuánto tiempo se triplicará y en cuánto se cuadruplicará? Solución. Sean

: Rapidez con la que aumenta la población.

k: constante de proporcionalidad positiva Del enunciado, la EDO será:

Separando variables e integrando:

1 dP  dt P

dh 1  C h dt 450

ó

.

Dado que la altura va disminuyendo se toma signo negativo, es decir la ecuación diferencial final queda como: .

13. En la teoría del aprendizaje, se supone que “la rapidez con

que se memoriza algún tema es proporcional a cantidad que

queda por memorizar”. Suponga que M representa la cantidad total de un tema que se debe memorizar y que A(t) es la

cantidad memorizada en un tiempo t cualquiera. Deduzca una ecuación diferencial para determinar la cantidad A(t).



Usando

las

1

condiciones

respectivamente: -

dP  kP . dt

 P dP   k dt

 Ln(P) = kt + Ln(C)  P = Ce kt .

-

dh 1 2    C h  dt 100  9 

Solución. Sea:

una razón proporcional a la cantidad de personas que tiene en

2(32) h

.

dh C  h dt 450

14. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta en

dP dt

h: altura del agua en el tiempo t.

dV  CA0 2 gh dt

dA  k ( M  A) . dt

t: tiempo en años.

L=10: arista del cubo.

Pero:

La ecuación diferencial queda:

P0: población inicial, en t=0.

Aw: base cuadrada del tanque.

ó

k: constante de proporcionalidad positiva.

P: población de la comunidad en el tiempo t.

V: volumen del tanque.

dV dh  100 dt dt

: Rapidez con que se memoriza.

iniciales

para

hallar

C

y

k

P(0) = P0: P(0) = Cek(0)  P0 = Cek(0)  C = P0.

P(5) = 2P0: P(5) = P0 e5k  2P0 = P0 e5k  2 = e5k 

k = (1/5)Ln(2)  k = 0,13863.

Finalmente la función queda: P = P 0 e 0,13863t . Calculando lo que se pide: - La población se triplica:

 3 = e 0,13863t  t=7,9 años.

3P 0 = P 0 e 0,13863t

- La población se cuadruplica: 4P 0 = P 0 e 0,13863t  4 = e 0,13863t  t=10 años.

Respuesta: la población se triplica aproximadamente a los 7,9 años y se cuadruplica a los 10 años.

15. En cualquier momento dado la cantidad de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional a las bacterias presentes. Al

cabo de tres horas se observa que hay 400 individuos. Pasadas

10 horas, hay 2000 especimenes. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias?

Solución. Sean

X: cantidad de bacterias en el tiempo t. t: tiempo en horas

X0: cantidad inicial de bacterias.

_____________________________________________________________________________________________ Análisis Matemático Recopilación: Segundo año. 5

Dr. Milton Chávez Muñoz

dX dt

Docente UNJBG Al inicio, la cantidad es de un gramo: A(0) = 1: A(0) = Ce k(0)

: Rapidez de aumento del nº de bacterias en el cultivo.

k: constante de proporcionalidad positiva.

dX  kX dt

Según la descripción, la EDO será:

Separando variables e integrando:

1 dX  dt X





las

En 3,3 horas se desintegrará aproximadamente la mitad del PB209: A(3,3) = 0,5:

.

A(3,3) = e3k  0,5 = e3k  k=0,21.

La ecuación finalmente queda: A = e –0,21t .

Piden calcular en que tiempo se desintegra el 90% de PB-209,

1 dX   k dt X

 Ln(X) = kt + Ln(C)  X = Ce kt .

Usando

 1 = Cek(0)  C = 1.

condiciones

respectivamente:

iniciales

para

queda el 10% presente en el tiempo: 0,1 = e– 0,21t

De donde t= 2.30/0,21  t=11 horas aproximadamente. hallar

C

y

k

X(0) = X0: X(0) = Cek(0)  X0 = Cek(0)  C = X0.

-

P(3) = 400: P(3) = X0 e  400 = X0 e

-



400  e 3k X0

3k



k

2000  e10 k X0



transparente, el grado que su intensidad I disminuye es proporcional a I(t), en donde t representa el espesor del medio,

1 Ln(400 / X 0 ) 3

1 k Ln(2000 / X 0 ) 10

Igualando los k anteriores: X0 =

400 (125)1 / 7

16. El PB-209, isótopo radiactivo de plomo, se desintegra con

una razón proporcional a la cantidad presente en cualquier momento y tiene un periodo medio de vida de 3,3 horas. Si al

principio había un gramo de plomo, ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que s desintegre el 90 %? Solución. Sea.

k: constante de proporcionalidad positiva. Del enunciado se tiene la EDO:

Separando variables e integrando:

condiciones

respectivamente:

La descripción “la intensidad del rayo de luz disminuye con una

rapidez proporcional a la intensidad presente”, da la EDO:

dI  kI dt

Separando

(el signo – es

1 dA  dt A

para

variables e integrando:

1 dI   kdt I

1

 I dI    k dt  Ln(I) = –kt + Ln(C)  I = Ce las

condiciones

iniciales

para

hallar

C



–kt

y

.

k

La intensidad inicial es I0: I (0) = I0  I (0) = Cek(0)  La intensidad a una profundidad de 3 pies es del 25%

-



hallar

de la inicial I 0, I(3) = 0,25 I0:

0,25 I0 = I0 e –kt,  0,25 = e –kt 

k

 1,38629 3



k= 0,4621

La ecuación finalmente queda: I(t) = I 0 e –0,4621t .

Piden calcular la intensidad a una profundidad de 15 pies bajo la superficie del agua:

I(15) = I0 e –0,4621(15) = I0 e –6,9 =0,001 I0 = 0,1 % I0.

 Ln(A) = –kt + Ln(C) iniciales

.

I0 = Cek(0)  C = I0.

dA   kA dt

por ser desintegración, disminución de A)

las

t: es el espesor del medio en pies.

-

: Rapidez de desintegración del PB-209.

Usando

superficie?

respectivamente:

t: tiempo en horas.

 A = Ce –kt .

rayo incidente, ¿cuál es la intensidad del rayo a 16 pies bajo la

Usando

A: cantidad de plomo PB-209 presente en el tiempo t.



pies bajo la superficie es el 25% de la intensidad inicial I 0 del

k: constante de proporcionalidad positiva.

 X0 = 201.

de X0 = 201 bacterias.

1 dA    k dt A

expresado en pies. En agua de mar límpida, la intensidad a tres

Solución.

Respuesta: la cantidad inicial de bacterias es aproximadamente

dA dt

en 11 horas.

17. Cuando un rayo vertical de luz pasa a través de una sustancia

3k

P(10) = 2000: P(10) = X0 e10k  2000 = X0 e10k 

-

Respuesta: el 90% de PB-209 se desintegrará aproximadamente

C

y

k

Respuesta: A una profundidad de 15 pies habrá una intensidad de luz del 0,1 % de la intensidad original, es decir de la intensidad de la superficie.

_____________________________________________________________________________________________ Análisis Matemático Recopilación: Segundo año. 6

Dr. Milton Chávez Muñoz

Docente UNJBG

18. En un trozo de madera quemada se determinó que el 85,5%

de su C-14 se había desintegrado. Determine la edad aproximada de la madera (la vida media del C.14 es de 5 600 años). Estos son

precisamente los datos que usaron los arqueólogos para fechar los murales prehistóricos en una caverna de Lascaux, Francia. Solución.

Hipotéticamente el C-14 se desintegra con una rapidez que es proporcional a la cantidad presente en el tiempo t.

La ecuación diferencial asociada a este tipo de fenómeno es:

dA  kA . dt

A(t )  A0 e kt

Cuya solución es dada por: De donde:

A0  A0 e 5600 k , pues la vida media del C-14 es 2

de 5600 años. Entonces:

k

1  e 5600 k 2

 0,693147 5600

Entonces:

,k0 …… (1)



5

600k

=

Ln(1/2)

 k=0,00012378



……… (2)

A(t )  A0 e 0, 00012378t

……… (3)

Como ya se desintegrado el 85,5 % del C-14, resta por

desintegrarse el 14,5% del C-14 original en el trozo de madera; de donde: Al

A  14,55% A0  0,145 A0

reemplazar

(4)

en

0,145 A0  A0 e 0, 00012378 

(3)

……… (4)

se

tiene:

ambiente que lo rodea. Es decir, si k es una constante de proporcionalidad.

De la Ley se tiene: Pero nos dan que Separando

1

dT  k (T  Tm ) dt Tm  10 , es decir: variables

dT  k (T  10) dt e

integrando:

 T  10dT   k  dt  Ln(T–10) = kt + C

= C e kt .

Entonces:

T(t) = 10 + C e kt

Como en t=0, T=70, al sustituir en (1): 70= 10+C a tener que C=60. Seguidamente:

T(t) = 10 + 70 e kt

1

 T – 10

………… (1)

e 0 , se llega ………… (2)

La otra condición: T(0,5)=50, conduce a: 50 = 10 + 60 e 0 , 5t  Ln(0,67) = 0,5k  k=1 – 0,81094

Finalmente: T(t) = 10 + 60 e 0 ,81094 t

………… (3)

Piden hallar para t=1 minuto: T(1) = 10 + 60 e 0 ,81094 = 36,67ºF.

Y piden ahora hallar t pata T=15ºF: 15 = 10 + 60 e 0 ,81094 t , de donde al despejar t=3,.6 minutos.

Respuesta: Al cabo de un minuto la temperatura del termómetro será de 36,67ºF; el termómetro llegará a 15ºF en 3,06 minutos.

0,145  e 0, 00012378  – 0,0012378= Ln(145)

De donde

t

 1,93102154 = 15 600 años.  0,00012378

Respuesta: La madera hallada en la caverna de Lascaux tiene una edad aproximada d 15 600 años.

19. Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura

del aire es de 70ºF y se lleva al exterior, donde la temperatura es de 10ºF. Pasado medio minuto el termómetro indica 50ºF. ¿Cuál

es la lectura cuando t=1 minuto? ¿Cuánto tiempo se necesita para que el termómetro llegue a 15ºF? Solución.

La ley de enfriamiento de Newton establece que en un cuerpo que se enfría, la rapidez con que la temperatura del cuerpo T cambia en el tiempo t es proporcional a la diferencia entre la

temperatura del cuerpo y la temperatura constante T m del medio

_____________________________________________________________________________________________ Análisis Matemático Recopilación: Segundo año. 7