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OPERADORES DIFERENCIALES Un operador es un objeto matemático que convierte una función en otra, por ejemplo, el operador derivada convierte una función en una función diferente llamada la función derivada. Podemos decir el operador derivada D que al actuar sobre una función diferenciable produce la derivada de esta, esto es: 𝐷0 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 , 𝐷1 𝑓 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 , 𝐷2 𝑓 𝑥 = 𝑓′′ 𝑥 , … . 𝐷𝑛 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑛 𝑥

Es posible construir una combinación lineal con los operadores diferenciales: 𝑃 𝐷 = 𝑎𝑛 𝐷 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝐷 𝑛−1 + ⋯ 𝑎2 𝐷 2 + 𝑎1 𝐷 + 𝑎0 , 𝑎𝑛 ≠0 Donde 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , … . 𝑎𝑛 son constantes Definimos:

𝑃 𝐷 𝑦 = (𝑎𝑛 𝐷 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝐷𝑛−1 + ⋯ 𝑎2 𝐷 2 + 𝑎1 𝐷 + 𝑎0 )𝑦 = 𝑎𝑛 𝐷 𝑛 𝑦 + 𝑎𝑛−1 𝐷 𝑛−1 𝑦 + ⋯ 𝑎2 𝐷 2 𝑦 + 𝑎1 𝐷𝑦 + 𝑎0 𝑦 = 𝑎𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑦 𝑛−1 + ⋯ 𝑎2 𝑦′′ + 𝑎1 𝑦′ + 𝑎0 𝑦

Entonces, una EDO: 𝑎𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑦 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑦 ′ +𝑎0 𝑦 = 𝑄(𝑥)

Podria expresarse de manera compacta: 𝑃 𝐷 𝑦 = 𝑄(𝑥) 𝑦 ′′ + 5𝑦 ′ − 14𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥𝑒 𝑥 + 4 ⟹ 𝐷 2 + 5𝐷 − 14 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥𝑒 𝑥 + 4

SOLUCION DE SISTEMAS DE EDO LINEALES POR ELIMINACION Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) simultáneas tienen que ver con dos o más ecuaciones que contienen derivadas de dos o más variables dependientes (las funciones desconocidas) respecto a una sola variable independiente. El método de eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes se basa en el principio algebraico de eliminación de variables.

ELIMINACIÓN SISTEMÁTICA La eliminación de una incógnita en un sistema de EDOs lineales se facilita al rescribir cada ecuación del sistema en notación de operador diferencial. Recordar que una sola ecuación lineal 𝑎𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑦 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑦 ′ +𝑎0 𝑦 = 𝑔 𝑡 ,

donde 𝑎𝑖 ∈ ℝ

Puede escribirse como: (𝑎𝑛 𝐷 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝐷 𝑛−1 + ⋯ 𝑎2 𝐷 2 + 𝑎1 𝐷 + 𝑎0 )𝑦 = 𝑔(𝑡) Ejemplo: Expresar el sistema dado, en términos del operador diferencial. 𝑥 ′′ + 𝑥 ′ + 𝑦 ′′ − 6𝑥 = 3𝑦 + 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑥 ′ + 𝑦 ′ + 3𝑥 − 2𝑦 = 𝑒 −𝑡

𝐷2 + 𝐷 − 6 𝑥 + 𝐷2 − 3 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝐷 + 3 𝑥 + 𝐷 − 2 𝑦 = 𝑒 −𝑡

SOLUCION DE UN SISTEMA: Una solución de un sistema de EDOs es un conjunto de funciones derivables 𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 , 𝑧 = 𝑧 𝑡 , etc que satisfacen cada EDO del sistema en un dominio común.

Reemplazando (2) y (3) en (1), se obtiene:

Finalmente:

Resolver:

 x  y  2 y  0   x  3x  2 y  0

Resolver:

 x  4 x  y  t 2   x  x  y  0

Resolver: Resolución:

𝑥 ′ − 4𝑥 + 𝑦′′ = 𝑡 2 , ′ ′ 𝑥 + 𝑥+𝑦 =0

(1)

𝐷 − 4 𝑥 + 𝐷2 𝑦 = 𝑡 2 Escribimos con notación del operador diferencial 𝐷 + 1 𝑥 + 𝐷𝑦 = 0 Eliminando 𝑥 (𝐷 + 1) 𝐷 − 4 𝑥 + 𝐷 2 𝑦 = 𝑡 2 ⟹ 𝐷 + 1 𝐷2 − 𝐷 − 4 𝐷 𝑦 = 𝐷 + 1 𝑡 2 −(𝐷 − 4) 𝐷 + 1 𝑥 + 𝐷𝑦 = 0 (𝐷 3 + 4𝐷)𝑦 = 𝑡 2 + 2𝑡 EDO no homogénea en 𝑦 Resolviendo: 1 3 1 2 1 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 = 𝑐1 + 𝑐2 𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑐3 𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑡 + 𝑡 − 𝑡, (2) 12 4 8 Eliminando 𝑦 𝐷 − 4 𝑥 + 𝐷2 𝑦 = 𝑡 2 ⟹ (𝐷 2 +4) 𝑥 = −𝑡 2 −𝐷 𝐷 + 1 𝑥 + 𝐷𝑦 = 0 (𝐷 3 + 4𝐷)𝑦 = 𝑡 2 + 2𝑡 EDO no homogénea en 𝑥 1 2 1 𝑥 = 𝑥ℎ + 𝑥𝑝 = 𝑐4 𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑐5 𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 𝑡 + , (3) 4 8 Reemplazando (2) y (3) en la segunda ecuación de (1), expresamos 𝑐4 𝑦 𝑐5 en términos de 𝑐2 𝑦 𝑐3 , obteniendo la respuesta final: 1 1 1 1 𝑥 𝑡 = − 4𝑐2 + 2𝑐3 𝑐𝑜𝑠2𝑡 + (2𝑐2 − 4𝑐3 )𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 𝑡 2 + , 5 5 4 8 1 3 1 2 1 𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2 𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑐3 𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑡 + 𝑡 − 𝑡, 12 4 8

EJERCICIOS: En los problemas dados, resuelva el sistema de EDOs por medio de eliminación con el operador diferencial. 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 − 4𝑦 = 1 = 2𝑥 − 𝑦 = −𝑦 + 𝑡 = 4𝑥 + 7𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 4) 𝑑𝑡 1) 𝑑𝑡 3) 2) 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 +𝑥 =2 =𝑥 =𝑥−𝑡 = 𝑥 − 2𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐷 2 + 5 𝑥 − 2𝑦 = 0 5) −2𝑥 + 𝐷 2 + 2 𝑦 = 0

7)

𝑑²𝑥 = 4𝑦 + 𝑒 𝑡 𝑑𝑡² 𝑑²𝑦 = 4𝑥 − 𝑒 𝑡 𝑑𝑡²

6)

8)

𝐷 + 1 𝑥 + (𝐷 − 1)𝑦 = 2 3𝑥 + 𝐷 + 2 𝑦 = −1 𝑑²𝑥 𝑑𝑦 + = −5𝑥 𝑑𝑡² 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + = −𝑥 + 4𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡