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• Amador Suárez Dueñas

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EDO

An´alisis IV

EDO EXACTA La ecuaci´on diferencial ordinaria M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 ∂ ∂ es exacta si M (x, y) = N (x, y), esta ecuaci´on se puede expresar en la forma d(f (x, y)) = 0, cuya soluci´on ∂y ∂x es:  Z Z  Z ∂ M (x, y) dx + N (x, y) − M (x, y) dx dy = C ∂y o de manera alternativa:

Z

x

Z

y

N (x0 , y) dy = C

M (x, y) dx + y0

x0

Factor integrante Es un factor u(x, y) que hace exacta la ecuaci´on M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 que no es exacta. Existen varios tipos de factor integrante, entre ellos: Cuando es del tipo u(x, y) = u(x): R My −Nx dx N u(x) = e Cuando es del tipo u(x, y) = u(y): u(y) = e

R

Nx −My M

dy

Cuando es del tipo u(x, y) = xm y n : My − Nx = m Cuando es del tipo u(x, y) = e

R

P (x) dx

e

R

Q(y) dy

M N −n x y

:

My − Nx = N P (x) − M Q(y) Cuando es del tipo u(x, y) = f (x) g(y): My − Nx = N

f 0 (x) g 0 (y) −M f (x) g(y)

Con lo cual u(x, y) M (x, y) dx + u(x, y) N (x, y) dy = 0 es exacta. El caso m´as general es cuando u = u(x, y) = u(z) donde z depende de x y y; las derivadas parciales de u son: ∂u ∂u ∂z ∂z = = u0 (z) ∂x ∂z ∂x ∂x ∂u ∂u ∂z ∂z = = u0 (z) ∂y ∂z ∂y ∂y

El factor integrante es de la forma: u0 (z) = u(z)

Ingenier´ıa Civil

∂N ∂M − ∂x ∂y ∂z ∂z M −N ∂y ∂x 1

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Supongamos que el segundo miembro depende1 de z, entonces u0 (z) = ψ(z) u(z) Z
ln u(z) = ψ(z) dz R

u(z) = e

1

ψ(z) dz

u(z) debe quedar solo en funci´ on de z. En la mayor´ıa de casos u es un producto de x y y.

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EDO LINEAL DE PRIMER ORDEN Es una ecuaci´on de la forma: a1 (x) y 0 + a0 y = g(x)

a1 (x) 6= 0

Una ecuaci´on equivalente es: dy a0 (x) g(x) + y= dx a1 (x) a1 (x) Haciendo P (x) =

a0 (x) g(x) y Q(x) = la ecuaci´on queda: a1 (x) a1 (x)

dy + P (x) y = Q(x) dx Que es la forma estandar de la EDO lineal de primer orden, esta ecuaci´on lo expresamos en la forma

(1)

[P (x) y − Q(x)] dx + dy = 0 que no es una EDO exacta. El factor integrante es: R

u(x) = e

P (x) dx

y tras multiplicar por el factor integrante obtenemos R R dy + e P (x) dx P (x) y = e P (x) dx Q(x) dx R d  R P (x) dx  y = e P (x) dx Q(x) e dx que es una EDO exacta cuya soluci´on es: Z R  R − P (x) dx P (x) dx y=e e Q(x) dx + C

e

R

P (x) dx

que es la soluci´on de (1).

EDO DE BERNOULLI Es aquella que tiene la forma dy + P (x) y = Q(x) y n dx

n∈Z

que es equivalente a la ecuaci´on y −n

dy + y 1−n P (x) = Q(x) dx

(2)

el cambio de variable es y 1−n = v de donde

dv dy = (1 − n) y −n dx dx

y reemplazando en la ecuaci´on (2) queda 1 dv + P (x) v = Q(x) (1 − n) dx de donde resulta

dv + (1 − n) P (x) v = (1 − n) Q(x) dx

que es una EDO lineal en v. Ingenier´ıa Civil

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