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APLICACIONES DE LAS EDOs PROBLEMAS GEOMÉTRICOS. Sea la curva C descrita por la ecuación F(x;y)=0. Sea Po(xo; yo) un punto de la curva C. Entonces: La pendiente de la recta tangente es dada por:

dy m  ( xo )  y ' o dx

y=f(x) y0

La ecuación de la recta tangente es dada por: LT: y – yo = m (x – xo ). La ecuación de la recta normal es dada por: LN: y – yo = (–1/m)(x – xo)

y=f(x) y0

normal y la ordenada, el segmento que ambos interceptan sobre el eje de las x, es una constante igual a “a”. Solución. LT

P(x0;y0)



A

C x0

 B LN

LT

Resolviendo, apoyándonos en el gráfico adjunto. En el triángulo CBP se tiene:

P(x0;y0)

PC y y   Tan(  )  BC a a Cot (  )  Tan( ) ,

Tan(  )  A

 Sub-tangente

Además:

 B C x0 Sub-normal LN

También se conoce que:

EJEMPLO 1. Hallar la ecuación de las curvas, tales que la parte de cada tangente, comprendida entre el eje de las x y el punto de tangencia está dividida en dos partes iguales por el eje de las y. Solución. y=f(x) y0

LT



C x0

el

triángulo

 B

CAP,

se

tiene:

PC y y   Tan( )  , AC 2 x 2x dy Por otro lado sabemos que: Tan( )  , dx Tan( ) 

Entonces, comparando se tiene la EDO de variables separables:

Entonces comparando se tiene la EDO de variables separables:

dy a  . dx y

La solución de esta EDO es la familia de parábolas con eje focal y vértice sobre el eje X : y2 = 2ax + K .

Sea otra familia de curvas planas por la ecuación: g(x;y;K) = 0 --------------(2) de modo que el interceptarse con la familia (1) sus restas tangentes sean ortogonales.

LN En

dy , dx

TRAYECTORIAS ORTOGONALES. Sea una familia de curvas planas dadas por la ecuación: f(x;y;C) = 0 --------------(1)

P(x0;y0)

A

Tan( ) 

dy y  . dx 2 x

La solución de esta EDO es la familia de parábolas con vértice en el origen y eje focal el eje X: y2=Kx. EJEMPLO 2. Hallar una ecuación de una curva tal que, si en un punto cualquiera de ella, se trazan la

A las ecuaciones (1) y (2) se les llama trayectorias ortogonales. Las trayectorias ortogonales se usan en problemas que se presentan en los campos tales como: a) Electrostático: f representa las curvas equipotenciales. g representa las curvas o líneas de fuerza. b) Hidrodinámico: f representa las curvas de potencial de velocidad. g representa las líneas de corriente de flujo. O también: f representa la líneas isotermas. g representa las líneas de flujo de calor.

Si se conoce la familia de curvas (1), hallamos la familia de curvas ortogonales (2) del modo siguiente: (1°) Se encuentra la EDO de la familia de curvas dada (1) que será: y’ = F(x;y) ó f’(x) =F(x;y) . (2°) La EDO de la familia de curvas ortogonales es dada por: y’ = –1/F(x;y) ó g’(x) =– 1/F(x;y) . (3°) Resolvemos esta EDO y se obtiene la familia de curvas ortogonales pedida. EJEMPLO 1. Encontrar las trayectorias ortogonales a todas la parábolas con vértice en el origen y focos sobre el eje Y. Solución. La ecuación de la familia de parábolas es dada por: x2 =4py. Hallando la EDO para esta familia de curvas se tiene:

dy 2 y  . dx x

Entonces la EDO de curvas ortogonales será:

dy  x  , dx 2 y Resolviendo esta EDO de variables separables se tiene: 2y2 + x2 =K , que es una familia de elipses con centro en el origen y eje focal sobre el eje de las x. CAMBIO DE TEMPERATURA

(i) T  Tm  Ce

Kt

(ii) T  Tm  Ce

, si la temperatura aumenta.

 Kt

, si la temperatura disminuye.

Usando la condición inicial T=To, cuando t=0, se tiene: (i)

T  Tm  (To  Tm )e Kt , si la temperatura

aumenta. (ii) T  Tm  (To  Tm )e

 Kt

, si la temperatura

disminuye. EJEMPLO 1. Un termómetro que marca 75°F se lleva a un ambiente donde la temperatura es de 20°F. Cuatro minutos después el termómetro marca 30°F. Encontrar: a) La lectura del termómetro 7 minutos después de haber sido llevado al nuevo ambiente. b) El tiempo que le toma al termómetro caer desde 75°F hasta medio grado sobre la temperatura del nuevo ambiente. Solución. Se conoce: - La temperatura inicial del termómetro: To=75°F. Cuando t=0 - La temperatura del nuevo ambiente: Tm =20°F. - La temperatura del termómetro 4’ después: T=30°F, cuando t=4’ (2da. condición). Como la temperatura disminuye la solución es dada por: T  Tm  (To  Tm )e

 Kt

.  Kt

Reemplazando datos: T  20  55e . Usamos la 2da. condición para determinar la  K ( 4)

LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON: “La rapidez de cambio de temperatura de un cuerpo en cualquier tiempo t, es proporcional a la diferencia de las temperaturas del cuerpo y del medio circundante en ese tiempo”

30  20  55e constante K: , de donde K=(1/4)Ln(55/10). Es decir la solución de la EDO para este caso,

LA EDO Y SU SOLUCIÓN PARA ESTE CASO. Sea T la temperatura del cuerpo en el tiempo t, Tm la temperatura del medio circundante y To la temperatura inicial del cuerpo (cuando el tiempo t=0). La EDO que rige la ley de enfriamiento de Newton, según los datos; es dada por:

Respondiendo a lo que se pide: (a) T=22,78°F. (b) t=11.06’. Rptas: (a) La lectura del termómetro 7 minutos después de haber sido llevado al nuevo ambiente será de 22,78°F. (b) El termómetro tardará 11,06 minutos para llegar hasta 20,5 grados de temperatura.

dT  K (T  Tm ) , si la temperatura aumenta. dt dT   K (T  Tm ) , si la temperatura (ii) dt (i)

disminuye. K es la constante de proporcionalidad. Estas dos EDOs son lineales cuya solución es dada por:

T  20  55e(1 / 4) Ln (10 / 55)t (1 / 4 ) Ln (10 / 55) t ó T (t )  20  55e

finalmente es dada por:

EJEMPLO 2. Un termómetro marca 18°F, se lleva a un cuarto donde la temperatura es de 70°F. Un minuto después el termómetro marca 31°F. Determinar la temperatura medida como una función del tiempo t y en particular encontrar la temperatura que marca el termómetro cinco minutos después de haber sido llevado al cuarto.

Solución. Ejercicio similar al anterior teniendo en cuenta que la temperatura en este caso aumenta. DESCOMPOSICIÓN. CRECIMIENTO Y REACCIONES QUÍMICAS LEY DE DESCOMPOSICIÓN: La rapidez de descomposición de una sustancia radiactiva en un tiempo particular t es proporcional a la cantidad de sustancia presente en ese tiempo. LEY DE CRECIMIENTO: La rapidez de crecimiento del número de bacterias en una solución es proporcional al número de bacterias presente en un determinado instante t. LA EDO Y SU SOLUCIÓN PARA ESTOS CASOS. Si S representa la masa (o el número de bacterias) en el tiempo t, entonces la ley de descomposición ( o crecimiento) es dada por: (i) (ii)

dS   KS , para crecimiento. dx dS   KS , para descomposición. dx

S  Ce Kt , para crecimiento.  Kt (ii) S  Ce , para descomposición.

, para crecimiento.

 Kt

, para descomposición.

dX   KX , cuya solución será: X  Ce Kt , dt usando la condición inicial X=Xo , cuando t=0, se

X  X o e  Kt . Reemplazando la segunda

condición X=Xo/2, cuando t=10’ , para hallar el valor de K, se tiene: K=(1/10)Ln(2). Finalmente la EDO queda: X  X o e

Ubicamos los datos del problema en una tabla:

La solución general será: X  Ce , usando la condición inicial X=Xo , cuando t=0, se tiene:

X  X o e Kt . Reemplazando la segunda condición X=3Xo, cuando t=2 horas, para hallar el valor de K, se tiene: K=(1/2)Ln(3). Finalmente la EDO queda: Deseamos hallar t para cuando X=100Xo :

100 X o  X o e (1 / 2 ) Ln ( 3) t , de donde

PROBLEMA 1. Supongamos que una reacción química se desarrolla con la ley de descomposición. Si la mitad de la sustancia ha sido convertida al finalizar 10 segundos; encuéntrese en cuánto tiempo se convierte los 9/10 de la sustancia. Solución. Sea X la cantidad de sustancia. La ley de descomposición para este problema queda como:

tiene:

dX  KX . dt

X  X o e(1 / 2) Ln (3)t .

Usando la condición inicial S=So , cuando t=0, se tiene: (ii) S  S o e

Rpta.: Los 9/10 de la sustancia se convertirán aproximadamente en 33 segundos. PROBLEMA 2. Una población bacteriana B se sabe que tiene una tasa de crecimiento proporcional a B misma. Si entre el medio día y las 2 de la tarde la población se triplica; A qué tiempo si no se efectúa ningún control, B será 100 veces mayor que al mediodía. Solución. Sea X la cantidad de bacterias B. La ley de crecimiento para este problema queda como:

Kt

(i)

Kt

1 X o  X o e  (1 / 10) Ln ( 2 ) t . 10 10 Ln(10 / 9) de donde t   33 segundos. Ln(2)

Cantidad de bacterias: X Xo 3Xo 100Xo Tiempo de control: t 0h 2h ?

Siendo k el factor de proporcionalidad. Las EDOs (i) y (ii) son de variables separables, cuya solución es dada por:

(i) S  S o e

Deseamos hallar t para cuando se ha transformado los 9/10 de la sustancia, queda 1/10 de la sustancia:

 (1 / 10) Ln ( 2 ) t

.

t

2 Ln(100)  8,38 horas. Ln(3)

Rpta.: La población de bacterias B será 100 veces mayor que al mediodía, cuando pasen aproximadamente 8,38 horas. EJERCICIOS (9° PRÁCTICA) 1. Resolver los problemas: a) La parte de la normal comprendida entre el punto P(x;y) de una curva y el eje de las “x” tiene una longitud constante K. Hallar la ecuación de la curva. b) Las normales en todo punto de una curva pasan por un punto fijo. Hallar la ecuación de la curva. c) Encontrar la ecuación de las curvas cuyas subnormales son constantes. 2. Encuentre las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas:

a) x2 = y2 + Ky3 b) ex + e–y = C c) y = C e–x d) Familia de circunferencias de centro en el origen de coordenadas. 3. Resolver los siguientes problemas: a) Un químico desea enfriar una sustancia desde 80°C hasta 60°C. Coloca el recipiente conteniendo la sustancia en una corriente de agua cuya temperatura es de 15 grados. Se observa que después de dos minutos la temperatura ha descendido hasta 70°C. Estimar el tiempo total de enfriamiento requerido. b) Una cierta sustancia radiactiva tiene una vida media de 38 horas, encontrar qué tanto tiempo toma en disiparse el 90 % de la sustancia. c) El azúcar se diluye en el agua con una rapidez proporcional a la cantidad que queda sin diluir. Si 30 libras de azúcar se reduce a 10 libras en 4 horas; ¿En cuánto tiempo se diluirá el 95 % de dicha cantidad de azúcar? d) Determinar el camino S recorrido por un cuerpo durante el tiempo t, si su velocidad es proporcional al trayecto, sabiendo que en 10 segundos el cuerpo recorre 100 m y en 15 segundos recorre 200 m. e) Una bala se introduce en una tabla de 10 cm de espesor con una velocidad de 200 m/s traspasándola con una velocidad de 80 m/s. Suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad; hallar el tiempo del movimiento de la bala por la tabla.