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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Recopilación de Ejercicios APLICACIONES DIVERSAS DE LAS EDO – SEGUNDO AÑO Usando

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Recopilación de Ejercicios

APLICACIONES DIVERSAS DE LAS EDO – SEGUNDO AÑO

Usando la condición y=0 para t=0 se tiene C2=0. De donde la función recorrido será:

1. ECUACIÓN DE UNA CURVA. Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (1; 3) y tiene una pendiente de y/x 2, hacer un diagrama. Solución. Datos:

Pendiente de la curva: m =

y x2

m

Descripción:

dy y  2 dx x

.

3. DESCOMPOSICIÓN DE SUSTANCIAS. Cierta sustancia líquida A se calienta en un matraz, se descompone en una sustancia B a una razón (medida en unidades de A por hora) que, en todo tiempo t, es proporcional al cuadrado de la cantidad de sustancia presente al tiempo t. Construya y resuelva una ecuación diferencial que A(t) satisfaga. Solución. Datos: Sustancia A se convierte en sustancia B. Ideas clave: Razón de cambio: A´=-kA2; Proporcionalidad: k0.

habrán

M  108(5 / 3)10 / 2 =1 389 moscas aproximadamente.

Del enunciado, la EDO será:

dP  kP . dt

Separando variables e integrando:

5. CRECIMIENTO POBLACIONAL En cualquier momento dado la cantidad de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional a las bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400 individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000 especímenes. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias? Puede calcularse para otros tiempos posteriores. Solución. Sean X: cantidad de bacterias en el tiempo t. t: tiempo en horas X0: cantidad inicial de bacterias.

1 dP  dt P



1

 P dP   k dt

 Ln(P) = kt + Ln(C) areglando la expresión: P(t) = Cekt.

cultivo. k: constante de proporcionalidad positiva, k>0.

Usando las condiciones iniciales para hallar C y k respectivamente: P(0) = P0: P(0) = Cek(0)  P0 = Cek(0)  C = P0. P(5) = 2P0: P(5) = P0 e5k  2P0 = P0 e5k  2 = 5k e  k = (1/5)Ln(2)  k = 0,13863. Finalmente la función queda: P = P0 e0,13863t. Calculando lo que se pide: - La población se triplica: 3P0 = P0 e0,13863t  3 = e0,13863t  t=7,9 años. - La población se cuadruplica: 4P0 = P0 e0,13863t  4 = e0,13863t  t=10 años.

dX  kX . dt

Respuesta: la población se triplica aproximadamente a los 7,9 años y se cuadruplica a los 10 años.

dX dt

: Rapidez de aumento del nº de bacterias en el

Según la descripción, la EDO será: Separando variables e integrando:

1 dX  dt X



1

7. CURVA APRENDIZAJE. En la teoría del aprendizaje, se supone que “la rapidez con que se memoriza algún tema es proporcional a cantidad que queda por memorizar”. Suponga que M representa la cantidad total de un tema que se debe memorizar y que A(t) es la cantidad

 X dX   k dt 

Ln(X) = kt + Ln(C) arreglando la expresión: X(t) = Cekt.

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Dr. Dionicio Milton Chávez Muñoz

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memorizada en un tiempo t cualquiera. Deduzca una ecuación diferencial para determinar la cantidad A(t). Solución. Sean: A(t): cantidad del tema memorizado en el instante t. M: cantidad total del tema que se debe memorizar. M – A(t): cantidad del tema que falta memorizar.

- Piden para t=70 min, la temperatura será de: y = 10+190e– (0,015269)(70) = 75,24°C. - Piden para t=120 min, la temperatura será de: y = 10+190e– (0,015269)(120) = 40,4°C. 9. CAMBIO DE TEMPERATURA. Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es de 70ºF y se lleva al exterior, donde la temperatura es de 10°F. Pasado medio minuto el termómetro indica 50°F. ¿Cuál es la lectura cuando t=1 minuto? ¿Cuánto tiempo se necesita para que el termómetro llegue a 15ºF? Solución. La ley de enfriamiento de Newton establece que en un cuerpo que se enfría, la rapidez con que la temperatura del cuerpo T cambia en el tiempo t es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante Tm del medio ambiente que lo rodea. Es decir, si k es una constante de proporcionalidad.

dA : Rapidez con que se memoriza. dt k: constante de proporcionalidad positiva, k>0. La ecuación diferencial queda:

dA  k(A  M ) . dt

8. LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON.- Suponga que una varilla de acero al rojo vivo se sumerge en un baño de agua fría. Si f(t) es la temperatura de la varilla en el tiempo t, y suponga que la temperatura del agua se mantiene constante en 10ºC. Por la ley de enfriamiento de Newton: “se tiene que la razón de cambio de temperatura f(t) es proporcional a la diferencia entre las dos temperaturas 10°C y f(t). Halle y escriba una EDO que describa esta ley física. Solución. Datos: - Temperatura de la varilla de acero: y=f(t). - Razón de cambio de la temperatura de la varilla: y´=f´(t).

De la Ley se tiene:

Pero nos dan que Separando

Razón de cambio de y´=f´(t). Proporcionalidad: k. Descripción del enunciado: f¨(t) = k[f(t) – 10 ] ó y´ = k[f(t) – 10] Donde: si k  0 (k positiva), calienta. k  0 (k negativa), enfría. Resolviendo la EDO: y´ = k[y – 10)] es de variables separables. Separando variables:

Integrando:



Tm  10 , es decir: variables

1  T  10dT   k  dt kt =Ce .

Ideas claves:

dy  k ( y  10) dt

dT  k (T  Tm ) dt

Entonces:

dT  k (T  10) dt e

integrando:

 Ln(T–10) = kt + C1  T – 10

T(t) = 10 + C e

kt

………… (1) 0

Como en t=0, T=70, al sustituir en (1): 70= 10+C e , se llega a tener que C=60. kt

Seguidamente: T(t) = 10 + 70 e ………… (2) La otra condición: T(0,5)=50, conduce a: 50 = 10 + 60

e 0 , 5t

1 dy  k dt y 10

 Ln(0,67) = 0,5k  k=1 – 0,81094

e 0,81094t

Finalmente: T(t) = 10 + 60 Piden hallar para t=1 minuto:

1

 y  10 dy   k dt

………… (3)

e 0,81094

T(1) = 10 + 60 = 36,67°F. Y piden ahora hallar t para T=15ºF:

 Ln(y – 10) = kt + Ln(C)  Ln[(y – 10)/C] = kt Poniendo como e: (y – 10) = C ekt,  y = 10 + C ekt.

15 = 10 + 60 minutos.

Nota: según el contexto del problema y las condiciones del mismo se determinan los valores de las constantes k y C. Si la temperatura es inicialmente de 200°C y en 20 minutos la temperatura es ya de 150, a los 50 minutos que temperatura habrá alcanzado, luego a los 70 minutos.

e 0,81094t , de donde al despejar t=3,6

Respuesta: Al cabo de un minuto la temperatura del termómetro será de 36,67°F; el termómetro llegará a 15°F en 3,06 minutos. 10. INTENSIDAD DE LUZ. Cuando un rayo vertical de luz pasa a través de una sustancia transparente, el grado que su intensidad I disminuye es proporcional a I(t), en donde t representa el espesor del medio, expresado en pies. En agua de mar límpida, la intensidad a tres pies bajo la superficie es el 25% de la intensidad inicial I0 del rayo incidente, ¿cuál es la intensidad del rayo a 16 pies bajo la superficie? Solución.

- Cuando el tiempo t=0 min, la temperatura será la inicial de: 200=10+Ce0(k), de donde C=190. - Cuando el tiempo t=20 min, la temperatura será de: 150 =10+190ek(20), de donde k= – 0,015269. - Piden para t=50 min, la temperatura será de: y = 10+190e– (0,015269)(50) = 98,55°C.

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 Ln[(y – C)/ L] = kt.

t: es el espesor del medio en pies. k: constante de proporcionalidad positiva.

Potenciando con e:

(y – C) = L e kt,  y(t) = C + Lekt. La descripción “la intensidad del rayo de luz disminuye con una rapidez proporcional a la intensidad presente”, da la EDO:

C es el capital invertido, L es el capital inicial.

dI   kI . dt

Separando variables e integrando:

1  I dI   k dt

1 dI   kdt I

 Ln(I) = –kt + Ln(C) 

Cuando el tiempo es t=0 años, el monto del capital inicial será de C0 dólares: L = C0 – C. Entonces y(t) = C + (C0 – C)ekt.



Nota: según el contexto del problema y las condiciones del mismo se determinan los valores de las constantes k, C y C0. Por ejemplo: Supongamos que C=800; C0=1000, que y=900 para t=2; entonces en y =800 +200ekt . 900=800 + 200 e2k, de sonde k= 0,3465,

I = Ce –kt.

Usando las condiciones iniciales para hallar C y k respectivamente: i) La intensidad inicial es I0: I (0) = I0  I (0) = Cek(0)  I0 = Cek(0)  C = I0. ii) La intensidad a una profundidad de 3 pies es del 25% de la inicial I 0, I(3) = 0,25 I0:

0,25 I0 = I0 e –kt,  0,25 = e –kt 

k

 1,38629 3

Finalmente la función particular para estos datos será:

y = 800 + 200e0,3465t. Para t=5 se tiene: y(5)=1930,95 dólares. Para t=10 se tiene: y(10)=7195,29 dólares.

 k=

0,4621 La ecuación finalmente queda: I(t) = I0 e –0,4621t.

12. PRECIO Y VENTAS. Un modelo que describe las relaciones entre el precio y las ventas semanales de cierto producto puede tener la siguiente forma:

Piden calcular la intensidad a una profundidad de 15 pies bajo la superficie del agua: I(15) = I0 e –0,4621(15) = I0 e –6,9 =0,001 I0 = 0,1 % I0.

dy 1 y   , donde “y” es el volumen de ventas    dp 2  p  3  y “p” es el precio por unidad. Es decir, “en cualquier tiempo la razón de descenso de las ventas con respecto al precio es directamente proporcional al nivel de ventas e inversamente proporcional al precio de venta más una constante”. Resuelva esta ecuación diferencial. Solución.

Respuesta: A una profundidad de 15 pies habrá una intensidad de luz del 0,1 % de la intensidad original, es decir de la intensidad de la superficie. 11. CAPITAL INVERTIDO.- Sea y=f(t) el monto de capital invertido por una empresa de negocios al tiempo t. La razón de cambio del capital y´=f´(t) se llama “Tasa neta de inversión”. Suponga que la gerencia de la empresa decide que el nivel óptimo de inversión debe ser C dólares y que la tasa neta de inversión debe ser proporcional a la diferencia entre el capital óptimo invertido C y el capital invertido y=f(t). Halle y escriba una EDO que describa esta situación. Solución. Datos: Capital invertido: y=f(t). Tasa neta de inversión: y´=f´(t). Ideas claves: Razón de cambio de y=f(t). Proporcionalidad: k Descripción del enunciado: f´(t) = k[f(t) – C] ó y´ = k[y – c] Donde si k  0 (k positiva), el capital aumenta.

La

ecuación

dy 1 y      dp 2  p  3 

es de

variables

separables.

1 1 2 dy   dp . y p3 1 1 2 dy    dp y p3

Separando variables:

Integrando:

 2 Ln(y) = –Ln(p+3) + Ln(C)  Ln(y2) = Ln[C/(p+3)]. Potenciando con e:

y2 

C . p3

Es decir el conocimiento de las variaciones de las ventas respecto al precio ha permitido conocer el volumen de ventas respecto al precio por unidad. Si y=1, cuando p=1, se tiene el valor de C:

Resolviendo la EDO: y´ = k[y – C] es de variables separables. Separando variables:

y2 

dy 1  k ( y  C )  1 dy  k dt  dy  k dt dt y C y C

4 p3

Integrando se llega a tener: Ln(y – C) = kt + Ln(L)  Ln(y – C) – Ln(L)= kt ______________________________________________________________________________________________

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 Ln (y) – Ln(5*107)=–1,3862e –(0,71) t  Ln (y) = Ln(5*107) –1,3862e –(0,71) t

Particularmente: Si el precio es de p=3 soles el volumen

y2 

de ventas será:

4 33

ó

y=

 Ln (y(2)) = Ln(5*107) –1,3862e –(0,71)(2)  Ln (y(2)) =17,3924  y(2)=35 762 127,49

2 / 3  0,81 . Si el precio es de p=5 soles el volumen de ventas será:

4 y  53 2

ó

y=

 Ln (y(4)) = Ln(5*107) –1,3862e –(0,71)(4)  Ln (y(4)) = 17,6465  y(4)=46 108 137.

1 / 2  0,707 .

Si el precio es de p=0,5 soles el volumen de ventas será:

4 y2  0,5  3

ó

y=

Ejercicio. Para los mismos datos encontrar el tiempo en que y0=0,50b y luego y0=0,75b.

8 / 7  1,069 .

14. CONSERVACIÓN DE ALIMENTOS.- En el proceso de conservación de alimentos, el azúcar de caña experimenta una variación convirtiéndose en una mezcla de dos azúcares más sencillos: glucosa y fructosa. En solución diluida, la tasa de inversión es proporcional a la concentración y(t) de azúcar no alterado. Si la concentración es de 1/50 en t=0 horas y de 1/200 después de tres horas, obtener la concentración de azúcar no alterado después de 6 y de 12 horas.

13. ECUACIÓN DE GOMPERTZ. La ecuación de crecimiento poblacional de Gompertz es dada por:

dy   ayLn( y / b) donde dt

a y b son constantes

positivas. Esta ecuación se utiliza en biología para describir el crecimiento de ciertas poblaciones. Encuentre la forma general de las soluciones de esta ecuación diferencial. Solución. La ecuación dada es de variables separables:

0.02

0.015

dy  ay Ln( y / b) . dt Separando

Integrando:

variables:



0.01

1 dy  a dt . yLn( y / b)

0.005

1 dy    a dt yLn( y / b)

2

4

6

8

10

12

14

Solución. Datos: - Azúcar de caña se transforma en dos azúcares más sencillos: glucosa y fructosa.

 Ln[Ln (y/b)] = – at +Ln(C).  Ln[Ln (y/b)] = – at +Ln(C)  Ln[Ln (y/b)] – Ln(C) = – at

- La concentración es de 1/50 en t=0 horas y de 1/200 después de tres horas.

 Ln[Ln (y/b)/C] = – at  [Ln (y/b)]/C=e –a t  Ln (y/b)=Ce –a t

Ideas clave: Variación del azúcar. Proporcionalidad: k, k0. Descripción: En solución diluida, la tasa de inversión es proporcional a la concentración y(t) de azúcar no alterado:

3

2.5

dy  ky . dt

2

1.5

La ecuación es de variables separables:

1

0.5

Integrando: 0.2

0.4

0.6

0.8

1

1

 y dy   k dt  Ln( y)  k t  C .

La solución general es:

Particularmente. Para una población con ritmo de crecimiento a=0,71 por año, que se supone crecerá hasta b=50 millones como máximo, con y0=0,25b, aplicar el modelo de Gompertz para encontrar la población al cabo de dos y de cuatro años.

1 dy  k dt y 1

Ln( y )  k t  Ln(C ) .

 Su gráfica es la siguiente, cuando y aumenta.

y = C ekt.

[Ln (0,25b/b)]=Ce –0,71 (0)  C=Ln(0,25)= –1,3862 Luego:  [Ln (y/5*107)]=–1,3862e –(0,71) t ______________________________________________________________________________________________

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5000

x(t): cantidad de medicina, en g/s, en el torrente sanguíneo en el tiempo t. r: cantidad constante de medicina que ingresa al torrente sanguíneo del paciente.

4000 3000

dx : Rapidez con la que varía la cantidad de medicina en dt

2000

el torrente sanguíneo del paciente. k: constante de proporcionalidad negativa, k0. Suponiendo que la cantidad de medicina disminuye proporcionalmente a la cantidad presente en cualquier instante de tiempo t, la ecuación diferencial que describe la

1000

2

4

6

8

10

12

14

Usando las condiciones hallaremos el valor de las constantes desconocidas de la solución general:

situación será: Si y=1/50 , t=0  1/50 = C e0,  k=1/50. Si y=1/200, t=3  1/200 = (1/50) e3k,  ¼ = e3k, 

k

17. Suponga que un tanque grande de mezclado contiene 300 galones de agua en un inicio, en los que se disolvieron 50 libras de sal. Al tanque entra agua pura con flujo de 3 galones por minuto y, con el tanque bien agitado, sale el mismo flujo. Deduzca una ecuación diferencial que exprese la cantidad A(t) de sal que hay en el tanque cuando el tiempo es t. Solución. Sean: A(t): cantidad de sal en el tanque en el tiempo t (t en segundos).

Ln(4) 1 / 3 ,  k  Ln(4 ) 3

La solución particular será, pues y disminuye:

y

1 t / 3 1 Ln ( 41 / 3 ) e 4 . , y  50 50

Calculamos lo que se pide: i) Si t=6: y=(1/50)4–2 = 1/800 = 0,00125. ii) t=12: y=(1/50)4–4 = 1/12800 = 0,000078125.

dA : Rapidez de cambio de la cantidad de sal en el tanque. dt

Observamos que la concentración a medida que el tiempo pasa es cada vez menor.

R1: rapidez con que entra la sal al tanque. R2: rapidez con que la sal es desalojada del tanque.

PLANTEO DE OTROS PROBLEMAS: De modo que: 15. Con base en la hipótesis del modelo de la ecuación

dP  kP , dt

dA  R1  R2 dt

Se tiene que: R1 = 0, no está ingresando sal al tanque (entra agua pura).

determine una ecuación diferencial que

 A  libras / galón  =  300 

R2 = (3 galones/minuto) 

describa la población, P(t) cuando se permite una inmigración de tasa constante r. Solución. Sean: P(t): población del país en el tiempo t (t en años).

A libras / min uto . 100 dA A De modo que: libras/minuto.  dt 100

dP : Rapidez de cambio de la población. dt k: constante de proporcionalidad positiva, k0. r: población que inmigra al país al año en forma constante. Bajo la hipótesis de que la razón de cambio de la población en cualquier instante t es proporcional a la cantidad de población presente en ese instante, la ecuación diferencial asociada a este fenómeno es:

dx   kx  r . dt

18. Por un agujero circular de área A0, en el fondo de un tanque, sale agua. Debido a la fricción y a la contracción de la corriente cerca del agujero, el flujo de agua, por segundo, se reduce a CA0

dP  kP  r . dt

2 gh , donde 0  C  1. Deduzca

una ecuación diferencial que exprese la altura h del agua en cualquier momento t. que hay en el tanque cúbico de la figura adjunta. El radio del agujero es de 2 pulgadas y g=32 pies/s2. Solución.

16. Una medicina se inyecta en el torrente sanguíneo de un paciente a un flujo constante de r g/s. Al mismo tiempo, esa medicina desaparece con una razón proporcional a la cantidad x(t) presente en cualquier momento t. Formule una ecuación diferencial que describa la cantidad x(t). Solución. Sea:

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 A(t) = Ce –kt.

Ln(A) = –kt + Ln(C) 10 Pies

Aw

Altura h

Usando las condiciones iniciales para hallar C y k respectivamente: Al inicio, la cantidad es de un gramo: A(0) = 1: A(0) = Cek(0)  1 = Cek(0)  C = 1. En 3,3 horas se desintegrará aproximadamente la mitad del PB-209: A(3,3) = 0,5: A(3,3) = e3k  0,5 = e3k  k=0,21. La ecuación finalmente queda: A(t) = e –0,21t.

Agujero circular A0

o pie

Sea:

V: volumen del tanque. Aw: base cuadrada del tanque. L=10: arista del cubo. h: altura del agua en el tiempo t. De modo que e volumen será: V = 100h. Derivando ambos lados con respecto a t, se encuentra la relación entre las razones d cambio del volumen y la altura del tanque:

dh dV 1 dV dh   100 ó dt 100 dt dt dt dV  CA0 2 gh = C(r 2 ) 2(32)h Pero: dt = C  (2 pu lg)  2

64h =

.

2  1   C   pie  8 h     6

2 C h . 9 dh 1 2   De donde:  C h  dt 100  9  dh 1  C h . dt 450

Piden calcular en que tiempo se desintegra el 90% de PB209, queda el 10% presente en el tiempo: 0,1 = e– 0,21t De donde t= 2.30/0,21  t=11 horas aproximadamente. Respuesta: el 90% de PB-209 se desintegrará aproximadamente en 11 horas.

20. En un trozo de madera quemada se determinó que el 85,5% de su C-14 se había desintegrado. Determine la edad aproximada de la madera (la vida media del C.14 es de 5 600 años). Estos son precisamente los datos que usaron los arqueólogos para fechar los murales prehistóricos en una caverna de Lascaux, Francia. Solución. Hipotéticamente el C-14 se desintegra con una rapidez que es proporcional a la cantidad presente en el tiempo t. La ecuación diferencial asociada a este tipo de fenómeno

=

ó es:

Cuya solución es dada por:

Dado que la altura va disminuyendo se toma signo negativo, es decir la ecuación diferencial final queda como:

De donde:

dh C  h. dt 450

1  e 5600k  5 600k = 2  0,693147 k  k=0,00012378 5600 A(t )  A0 e 0, 00012378t Entonces:

Ln(1/2) 

……… (2) ……… (3)

Como ya se desintegrado el 85,5 % del C-14, resta por desintegrarse el 14,5% del C-14 original en el trozo de madera; de donde:

A  14,55% A0  0,145 A0 Al

reemplazar

0,145 A0  A0 e

k: constante de proporcionalidad positiva.

(4)

0 , 00012378

en

……… (4)

(3)

se

 0,145  e

tiene:

0, 00012378

 – 0,0012378= Ln(145)

dA   kA (el signo – es dt

De donde

por ser desintegración, disminución de A) Separando variables e integrando: 

A0  A0 e 5600k , pues la vida media del C-14 2

Entonces:

dA : Rapidez de desintegración del PB-209. dt

1 dA   dt A

A(t )  A0 e kt ,k0 …… (1)

es de 5600 años.

19. El PB-209, isótopo radiactivo de plomo, se desintegra con una razón proporcional a la cantidad presente en cualquier momento y tiene un periodo medio de vida de 3,3 horas. Si al principio había un gramo de plomo, ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90 %? Solución. Sean: A: cantidad de plomo PB-209 presente en el tiempo t. t: tiempo en horas.

Del enunciado se tiene la EDO:

dA  kA . dt

t

 1,93102154 = 15 600 años.  0,00012378

Respuesta: La madera hallada en la caverna de Lascaux tiene una edad aproximada de 15 600 años.

1

 A dA    k dt 

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