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• Cristian Camilo Rodriguez Escamilla

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Ecuaciones recurrentes Jose Manuel Chauta [email protected] Politécnico Grancolombiano

19 de marzo de 2020

Jose Chauta

Ecuaciones recurrentes

Sucesión

Una sucesión es una lista infinita de números, indexada con subíndice:

Jose Chauta

Ecuaciones recurrentes

Sucesión

Una sucesión es una lista infinita de números, indexada con subíndice: xn = 2n + 1

Jose Chauta

Ecuaciones recurrentes

Sucesión

Una sucesión es una lista infinita de números, indexada con subíndice: xn = 2n + 1 {1, 4, 7, 10 . . . }

Jose Chauta

Ecuaciones recurrentes

Sucesión

Una sucesión es una lista infinita de números, indexada con subíndice: xn = 2n + 1 {1, 4, 7, 10 . . . } yn =

n n2 +1

Jose Chauta

Ecuaciones recurrentes

Sucesión

Una sucesión es una lista infinita de números, indexada con subíndice: xn = 2n + 1 {1, 4, 7, 10 . . . } yn =

n n2 +1

zn = zn−1 + 2 para n ≥ 1 y z0 = 3.

Jose Chauta

Ecuaciones recurrentes

Sucesión

Una sucesión es una lista infinita de números, indexada con subíndice: xn = 2n + 1 {1, 4, 7, 10 . . . } yn =

n n2 +1

zn = zn−1 + 2 para n ≥ 1 y z0 = 3. Fn = Fn−2 + Fn−1 para n ≥ 3 y F1 = F2 = 1

Jose Chauta

Ecuaciones recurrentes

Sucesión

Una sucesión es una lista infinita de números, indexada con subíndice: xn = 2n + 1 {1, 4, 7, 10 . . . } yn =

n n2 +1

zn = zn−1 + 2 para n ≥ 1 y z0 = 3. Fn = Fn−2 + Fn−1 para n ≥ 3 y F1 = F2 = 1 Una sucesión también se puede interpretar como una función x:N→R , escribiendo x(j) = xj .

Jose Chauta

Ecuaciones recurrentes

Sumas con Sigma

Las sumas de términos consecutivos de una sucesión, por ejemplo 2 + 4 + 6 + 8 · · · + 42 1 + 4 + 9 + 16 + 25 . . . 400 1 2

+

1 22

+

1 23

+ . . . 2112

Se pueden escribir de manera corta en notación Sigma, de la siguiente manera: S=

b X

xj

j=a

Jose Chauta

Ecuaciones recurrentes

Ejemplos

2 + 4 + 6 + 8 · · · + 42 =

Jose Chauta

Ecuaciones recurrentes

Ejemplos

2 + 4 + 6 + 8 · · · + 42 = 21 X

2j

j=1

Jose Chauta

Ecuaciones recurrentes

Ejemplos

2 + 4 + 6 + 8 · · · + 42 = 21 X

2j

j=1

1 + 4 + 9 + 16 + 25 . . . 400 =

Jose Chauta

Ecuaciones recurrentes

Ejemplos

2 + 4 + 6 + 8 · · · + 42 = 21 X

2j

j=1

1 + 4 + 9 + 16 + 25 . . . 400 = 20 X

j2

j=1

Jose Chauta

Ecuaciones recurrentes

Ejemplos

2 + 4 + 6 + 8 · · · + 42 = 21 X

2j

j=1

1 + 4 + 9 + 16 + 25 . . . 400 = 20 X

j2

j=1 1 2

+

1 22

+

1 23

+ . . . 2112 =

Jose Chauta

Ecuaciones recurrentes

Ejemplos

2 + 4 + 6 + 8 · · · + 42 = 21 X

2j

j=1

1 + 4 + 9 + 16 + 25 . . . 400 = 20 X

j2

j=1 1 2

+

1 22

+

1 23

+ . . . 2112 =Ejercicio.

Jose Chauta

Ecuaciones recurrentes

Propiedades de la notación Sigma. 1

El nombre del contador no modifica la suma: b X j=a

Jose Chauta

xj =

b X

xk

k=a

Ecuaciones recurrentes

Propiedades de la notación Sigma. 1

El nombre del contador no modifica la suma: b X

xj =

j=a

2

b X

xk

k=a

El contador puede iniciar en otro valor con un Cambio de variable b X

xj =

j=a

Jose Chauta

b+B X

xj−B

j=a+B

Ecuaciones recurrentes

Propiedades de la notación Sigma. 1

El nombre del contador no modifica la suma: b X

xj =

j=a

2

b X

xk

k=a

El contador puede iniciar en otro valor con un Cambio de variable b X

b+B X

xj =

j=a

xj−B

j=a+B

Ejemplo 18 X

xj =

j=5

Jose Chauta

14 X

xj+4

j=1

Ecuaciones recurrentes

Propiedades de la notación Sigma. 4 Multiplicación por constante n X

Axj = A

j=1

Jose Chauta

n X

xj

j=1

Ecuaciones recurrentes

Propiedades de la notación Sigma. 4 Multiplicación por constante n X

Axj = A

j=1

n X

xj

j=1

5 Propiedad asociativa de la suma: n X

(xj + yj ) =

j=1

Jose Chauta

n X j=1

xj +

n X

yj

j=1

Ecuaciones recurrentes

Propiedades de la notación Sigma. 4 Multiplicación por constante n X

Axj = A

j=1

n X

xj

j=1

5 Propiedad asociativa de la suma: n X

(xj + yj ) =

j=1

n X

xj +

j=1

n X

yj

j=1

6 NO se puede separar un producto n X

(xj yj ) 6=

j=1

Jose Chauta

n X j=1

xj ∗

n X

yj

j=1

Ecuaciones recurrentes

Sumas básicas

Figura: Fuente: Sedgewick and Flajolet Jose Chauta

Ecuaciones recurrentes

Ejercicios Determine las siguientes sumas, usando propiedades y sumas básicas o vistas en clase 1

25 X

j

j=4 2

18 X j j=1

2

3

20 X 2j j=3

Jose Chauta

5

Ecuaciones recurrentes

Ecuaciones Recurrentes

Jose Chauta

Ecuaciones recurrentes

Solución de ecuaciones lineales de primer orden

Jose Chauta

Ecuaciones recurrentes

solución general

Jose Chauta

Ecuaciones recurrentes

demostración

Jose Chauta

Ecuaciones recurrentes