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• Cristhian Raul Rodriguez Sucapuca

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1.-La cantidad de N (t ) de supermercados del país que están usando sistemas de revisión computarizados se describe por el problema con valores iniciales.

dN  N (1  0.0005 N ), dt N (0)  1 a) Use el concepto de esquema de fase para predecir cuantos supermercados se espera que adopten el nuevo procedimiento en un periodo prolongado. b) Resuelva el problema con valores iniciales y después grafique para comprobar y trazar la curva solución del inciso a). ¿Cuantas compañías se espera que adopten la nueva tecnología cuando t=10? RESOLUCION: Según el modelo(ECUACION LOGISTICA):

dP  P(a  bP) dt P(0)  P0

Según los datos del problema:

dN  N (1  0.0005 N ), dt N (0)  1 a 1 b  0.0005

N (t ) : Cantidad de supermercados del país que están usando sistemas de revisión computarizados. Separando variables e integrando:

dN

 N (1  0.0005 N )   dt (1  0.0005 N  0.0005 N )dN   dt N (1  0.0005 N ) (1  0.0005 N )dN 0.0005 NdN  N (1  0.0005N )   N (1  0.0005N )   dt dN dN  N  0.0005 (1  0.0005 N )   dt



Cambiado de variable:

u  1  0.0005 N du  0.0005dN du  dN 0.0005 0.0005 du ln( N )   dt 0.0005  u  Seguimos integrando:

ln( N )  ln(u )  t  c ln( N )  ln(1  0.0005 N )  t  c N ln( ) t c 1  0.0005 N N  e(t  c ) 1  0.0005 N N  c1et 1  0.0005 N c1 N (t )   t e  0.0005c1 La pregunta a) nos pide ver la cantidad de supermercados en un tiempo prolongado:

N (t ) 

c1 e  0.0005c1

N ( ) 

t

e



c1  0.0005c1

c1 c1 1    2000 0  0.0005c1 0.0005c1 0.0005

b) Hallando c1 :

N (0)  1 1

c1 c1  e  0.0005c1 1  0.0005c1 0

1  0.0005c1  c1 1  0.9995c1 c1 

1 0.9995

Reemplazando:

1 et c1et 0.9995 N (t )   1  0.0005c1et 1  (0.0005)( 1 )et 0.9995 

et (2000)et  0.9995  (0.0005)et 0.9995  (0.0005)et  (2000)

2000et N (t )  1999  et GRAFICANDO 2500

2000

1500

1000

500

0 1

3

5

7

9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39

Hallando el inciso b) t  10

N (10) 

2000e10  1833.59  1834 1999  e10

2.-La cantidad N (t ) de personas en una comunidad bajo la influencia de determinado anuncio está gobernada por la ecuación logística. Inicialmente N (0)  500 y se observa que N (1)  1000 .Determine N (t ) si se predice que habrá un límite de 50000 personas en la comunidad que verán el anuncio. RESOLVIENDO: Según el modelo (ECUACION LOGISTICA):

dP  P(a  bP) dt P(0)  P0

Según los datos del problema:

dN  N (a  bN ), dt N (0)  500 N (1)  1000 N (t )  ? N ()  50000

N (t ) : La cantidad de personas en una comunidad bajo la influencia de determinado anuncio. Separando variables e integrando:

dN

 N (a  bN )   dt 1 (a  bN  bN )dN   dt a N (a  bN ) 1 (a  bN )dN bNdN (  )  dt a N (a  bN ) N (a  bN )  1 dN dN (  b )  dt a N (a  bN )  Cambiado de variable:

u  a  bN du  bN du  dN b 1 b du (ln( N )   )   dt a b u Seguimos integrando:

1 N (ln( ))  t  c a a  bN N (ln( ))  at  ac a  bN N  e( at  ac ) a  bN N  c1e at a  bN ac N (t )   at 1 e  bc1 La pregunta a) nos pide hallar la función: N (t ) 

ac1 e  bc1  at

N ( ) 

ac1 e  bc1

50000 

ac1 ac  1 0  bc1 bc1

50000 

a b



Hallando N (t ) :

N (0)  500 ac ac1 500  0 1  e  bc1 1  bc1 500  (500)bc1  ac1 500  (a  (500)b)c1 500 a  500b N (1)  1000 ac 1000   a 1 e  bc1 c1 

1000e  a  (1000)bc1  ac1 1000e  a  (a  (1000)b)c1 c1 

1000e  a a  1000b

donde : a b a  50000b 500 500 c1   a  500b 49500b 1000e  a 1000e  a e  a c1    a  1000b 49000b 49b 500 e a  49500b 49b 24500b  49500be  a

50000 

0.4949  e  a a  0.7033 b  0.000014 Ahora hallemos c1 y así poder encontrar la ecuación requerida.

N (t )  N (t ) 

e e

0.7033c1  0.000014c1

0.7033t

(0.7033)(c1 )  0.000014(c1 )

0.7033(0)

500  0.007c1  (0.7033)(c1 ) c1  718.08 Entonces : 505 50000  e  0.01 99e 0.7033t  1 50000 N (t )  99e 0.7033t  1

N (t ) 

0.7033t

3.-Un modelo para la población P (t ) en un suburbio de una gran ciudad está descrito por el problema con valores iniciales.

dP  P(101  107 P) dt P(0)  5000 Donde t se expresa en meses. ¿Cuál es el valor límite de la población? ¿Cuánto tardara la población en alcanzar la mitad de ese valor límite? RESOLVIENDO: Según el modelo (ECUACION LOGISTICA):

dP  P(a  bP) dt P(0)  P0

Según los datos del problema:

dP  P(101  107 P), dt P(0)  5000 a  101 b  107

P (t ) :Cantidad población en el suburbio de una gran ciudad. Separando variables e integrando:

 P(10

dP  dt  107 P ) 

1

1 (101  107 P  107 P)dP   dt 101  P (101  107 P ) 1 (101  107 P)dP 10 7 PdP (  )  dt 101  P (101  107 P )  P (101  107 P )  1 dP dP (  107  )  dt 1  1 10 P (10  107 P )  Cambiado de variable:

u  101  107 P du  107 P du  dP 107 1 107 du (ln( P )  )   dt 101 107  u

Seguimos integrando: 1 P (ln( 1 ))  t  c 1 10 10  107 P P (ln( 1 ))  101 t  101 c 10  107 P 1 1 P  e(10 t 10 c ) 1 7 10  10 P 1 P  c1e10 t 1 7 10  10 P 101 c P (t )  101 t 1 7 e  10 c1

La pregunta a) nos pide ver el valor límite de la población:

P(t ) 

101 c1 1

e10 t  107 c1

P ( ) 

101 c1 e   107 c1

101 c1 101 c1 101    1000000 0  107 c1 107 c1 107 b) Hallando c1 : P(0)  5000 5000 

101 c1 101 c1  e0  107 c1 1  107 c1

5000  (5000)107 c1  101 c1 5000  (101  (5000)107 )c1 c1 

5000  50251 0.0995

Reemplazando:

P(t ) 

101 c1 e

101 t

7

 10 c1

101 (50251)

 e

101 t

7

 (10 )(50251)

NOS PIDE: t  ? si P  500000

5025.1

 e

101 t

 0.00505

500000 

5025.125 0.005025  e 10

2512.5628  500000e 10 500000e 10 e

101 t

1

t

1

1

t

t

 5025.15

 2512.5872

 0.005025174

1

10 t  ln 0.00505174 t  52.88  52.9

4.a) En la tabla 3.1 se presentan los datos del censo delos Estados Unidos entre 1790 y 1950.Construya un modelo de población logístico usando los datos de 1790,1850y 1910. AÑO 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950

POBLACION (EN MILLONES) 3.929 5.308 7.240 9.638 12.866 17.069 23.192 31.433 38.558 50.156 62.948 75.996 91.972 105.711 122.775 131.669 150.697

b) Construya una tabla en la que se compare la población real del censo con la población predicha por el modelo del inciso a).Calcule el error y error porcentual para cada par de datos.

RESOLUCION: Según el modelo (ECUACION LOGISTICA):

Según los datos del problema:

dP  P(a  bP) dt P(0)  P0

dP  P(a  bP), dt P(0)  3.929 P(60)  23.192 P(120)  91.972

P (t ) : Cantidad de población de Estados Unidos respecto al tiempo Separando variables e integrando:

dP

 P(a  bP)   dt 1 (a  bP  bP)dP   dt a  P(a  bP) 1 (a  bP)dP bPdP (  )  dt a P(a  bP) P(a  bP)  1 dP dP (  b )  dt a P (a  bP)  Cambiado de variable:

u  a  bP du  bP du  dP b 1 b du (ln( P)   )   dt a b u

Seguimos integrando:

1 P (ln( ))  t  c a a  bP P (ln( ))  at  ac a  bP P  e( at  ac ) a  bP P  c1e at a  bP ac N (t )   at 1 e  bc1

La pregunta a) nos pide hallar el modelo de población logística

P(t ) 

ac1 e  bc1  at

ac P(0)  0 1 e  bc1 ac1 3.929  1  bc1 3.929  3.929bc1  ac1 3.929 c1  a  3.929b

P (60) 

ac1 e  bc1

23.192 

60 a

ac1 e  bc1 60 a

23.192e 60 a  23.192bc1  ac1 c1 

23.192e 60 a a  23.192b

23.192e60 a 91.972e120 a 3.929 c1    a  23.192b a  91.972b a  3.929b Donde :

P(120)  91.972 

e e

ac1  bc1

120 a

ac1  bc1

120 a

91.972e120 a  91.972bc1  ac1 c1 

91.972e 120 a a  91.972b

23.192e 60 a 91.972e 120 a 3.929   a  23.192b a  91.972b a  3.929b a  0.0313 b  0.000158 c1  128.31 c1 

% Reemplazando :

P(t )  P(t ) 

ac1 e  bc1  at

e

4.016 (4.016)49.21 197.274  0.0313t   0.02 (e  0.02)49.21 49.21e0.0313t  1

0.0313t

b) Construcción de tabla: AÑO 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950

POBLACION (EN MILLONES) 3.929 5.308 7.240 9.638 12.866 17.069 23.192 31.433 38.558 50.156 62.948 75.996 91.972 105.711 122.775 131.669 150.697

PREDICCION DE POBLACION 3.929 5.334 7.222 9.746 13.090 17.475 23.143 30.341 39.272 50.044 62.600 76.666 91.739 107.143 122.140 136.068 148.445

ERROR

%

0.000 -0.026 0.018 -0.108 -0.224 -0.406 0.049 1.092 -0.714 0.112 0.348 -0.670 0.233 -1.432 0.635 -4399 2.252

ERROR 0.00 -0.49 0.24 -1.12 -1.74 -2.38 0.21 3.47 -1.85 0.22 0.55 -0.88 0.25 -1.35 0.52 -3.34 1.49

5.a) Si se pesca un numero constante h de peces de una pesquería por unidad de tiempo, entonces un modelo para la población P (t ) de una pesquería al tiempo t dado por:

dP  P(a  bP)  h dt

P(0)  P0

Donde P0 , a, b, h son contantes positivas .Supongo que a =5, b =1 y h =4.Puesto que la ecuación diferencial es autónoma, utilice el concepto de esquema de fase para dibujar curvas solución correspondientes a cada caso P0 > 4, 1< P0