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Eliminación de drogas En muchos casos la cantidad A(t) de cierta droga en el torrente sanguíneo, medida por el exceso sobre el nivel natural de la droga, disminuye a una razón proporcional a la cantidad excedente. Es decir: 𝑑𝐴 = −𝜆𝐴, 𝑎𝑠í 𝑞𝑢𝑒 𝐴(𝑡 ) = 𝐴0 𝑒 − 𝜆𝑡 𝑑𝑡 1

El parámetro λ se llama constante de eliminación de la droga y 𝑇 = se llama 𝜆

“tiempo de eliminación”. Ejemplo a) El tiempo de eliminación del alcohol varía de una persona a otra. Si el tiempo 1

“para ponerse sobrio” de una persona es 𝑇 = =2.5 hrs. ¿Cuánto tardará en que el 𝜆

exceso de concentración del alcohol en el torrente sanguíneo se reduzca del 0.10% al 0.02%? Solución - Supongamos que la concentración normal de alcohol en la sangre es cero, por lo que cualquier cantidad es un excedente. En este problema, tenemos: 𝑇=

1 2.5

= 0.4, así que de la ecuación A(t)= 𝐴0 𝑒 − 𝜆𝑡 se produce: 0.02=(0.10)𝑒 −(0.4)𝑡

Entonces: 𝑡=

𝐼𝑛(0.2) 0.4

≈ 4.02ℎ𝑟𝑠.

Ley de Newton del enfriamiento Según la ley empírica de Newton acerca del enfriamiento, la rapidez con que se enfría un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y el medio que lo rodea, que es la temperatura ambiente. Si T(t) representa la temperatura del objeto en el momento t, Tm es la temperatura constante del medio que lo rodea y

𝑑𝑇 𝑑𝑡

es la rapidez con que se enfría el objeto, la ley de Newton del enfriamiento se

traduce en el enunciado matemático: 𝑑𝑇 𝑑𝑡

∝ 𝑇 − 𝑇𝑚 Es decir

𝑑𝑇 𝑑𝑡

= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚)

Donde k es una constante de proporcionalidad. Como supusimos que el objeto se enfría, se debe cumplir que T〉Tm, en consecuencia, lo lógico es que k〈0. Ejemplo Enfriamiento de un pastel Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300°F. Después de 3 minutos, 200°F. ¿En cuánto tiempo se enfriará a la temperatura ambiente de 70°F? Supondremos que Tm es constante. Solución En la ecuación

𝑑𝑇 𝑑𝑡

= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚)vemos que Tm = 70. Por consiguiente, debemos

resolver el problema de valor inicial: 𝑑𝑇 𝑑𝑡

= 𝑘(𝑇 − 70),

T(0) = 300 (4)

Y determinar el valor de k de tal modo que T(3) = 200. La ecuación (4) es lineal y separable, a la vez. Al separar variables: 𝑑𝑇 = 𝑘𝑑𝑡 𝑇 − 70 Cuyo resultado es In│T-70│=kt+C1 y así T = 70 + C2 ekt. Cuando t = 0, T = 300, de modo que 300 = 70 + C2 define a C2 = 230. Entonces T = 70 + 230ekt. Por último, la determinación T(3) =200 conduce a 𝑒 𝑘𝑡 = 1

13

3

23

𝑘 = 𝑙𝑛

= − 0,19018.

Así: 𝑇(𝑡 ) = 70 + 230𝑒 −0.19018𝑡 (5)

13 23

; o sea,

Observamos que la ecuación (5) no tiene una solución finita a T(t) = 70 porque: lim 𝑇(𝑡 ) = 70

𝑡→∞

No obstante, en forma intuitiva esperamos que el pastel se enfríe al transcurrir un intervalo razonablemente largo. La figura muestra que el pastel a la temperatura ambiente pasada una media hora.

Referencias: Ibarra, E., Sanguedolce J., & Nabarro S. (Febrero, 2005). ECUACIONES DIFERENCIALES. Junio 06,2018, de Universidad Nacional De Santiago Del Estero Sitio web: http://fcf.unse.edu.ar/archivos/series-didacticas/SD-11-Ecuacionesdiferenciales-GOMEZ.pdf