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• Roberto Ramírez Hernández

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UNIDAD 4 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN TAREA 4.2 1) Al fijar un contrapeso de 24 libras al extremo de un resorte, lo estira 4 pulgadas. Deduzca la ecuación del movimiento cuando el contrapeso se suelta y parte del reposo desde un punto que esta 3 pulgadas arriba de la posición de equilibrio. (Respuesta:

x(t )   14 cos 96t )

2) Un contrapeso de 20 libras estira 6 pulgadas a un resorte. En ese sistema, el contrapeso se suelta, partiendo de el reposo, a 6 pulgadas debajo de la posición de equilibrio. a)

Calcule la posición del contrapeso cuando

t

b) ¿Cuál es la velocidad del contrapeso cuando



12

 seg . (Respuesta: x( 12 )   14 )

t

3 seg. ? ¿Hacia donde se dirige el contrapeso en ese 16

instante? (Respuesta: 4 pies/seg hacia abajo) c)

¿Cuándo pasa el contrapeso por la posición de equilibrio? (Respuesta:

t  ( 2 n161) seg n  0,1,2,3,... )

3) Un contrapeso de 8 libras, fijo a un resorte, tiene movimiento armónico simple. Deduzca la ecuación del movimiento si la constante del resorte es 1 lb/pie y el contrapeso parte de 6 pulgadas abajo del punto de equilibrio, con una velocidad inicial de 3/2 pies/seg hacia abajo. Exprese la solución en la forma alternativa. (Respuesta:

x(t )  12 cos 2t  34 sen2t 

13 4

sen(2t  0.5880)).

4) Una masa de 1 kg esta unida a un resorte cuya constante es 16 N/m y todo el sistema se sumerge a un liquido que imparte una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 10 veces la velocidad instantánea. Formule la ecuación del movimiento, si: a) El contrapeso se suelta, partiendo del reposo a 1 m debajo de la posición de equilibrio. (Respuesta:

x(t )  43 e2t  13 e8t ) b) El contrapeso se suelta a 1 m debajo de la posición de equilibrio con una velocidad inicial de 12 m/s hacia arriba. (Respuesta:

x(t )   23 e2t  53 e8t )

5) Una fuerza de 2 libras estira 1 pie un resorte. A ese resorte se le une un contrapeso de 3.2 libras y el sistema se sumerge en un medio que imparte una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 0.4 la velocidad instantánea. a) Deduzca la ecuación del movimiento si el contrapeso parte del reposo 1 pie arriba de la posición de equilibrio. (Respuesta:

x(t )  e2t ( cos 4t  12 sen4t ) )

b) Exprese la ecuación del movimiento en la forma alternativa. (Respuesta: c)

x(t ) 

5 2

e2t sen(4t  4.249)).

Calcule el primer momento en que el contrapeso pasa por la posición de equilibrio dirigiéndose hacia arriba. (Respuesta: t  1.294seg ).

6) Determine la carga del capacitor en un circuito en serie LRC cuando

t  0.01seg , L  0.05h , R  2 ,

C  0.01 f , E (t )  0 V , q(0)  5C e i(0)  0 A . Encuentre el primer momento en el que la carga del capacitor es cero. (Respuesta: 4.568 C; 0.0509seg ). 7)

Determine la carga en el capacitor y la corriente en el circuito en serie LRC. Calcule la carga máxima en el L  53 h , R  10 , C  301 f , E (t )  300 V , q(0)  0C e i(0)  0 A . (Respuesta: capacitor.

q(t )  10  10e3t (cos 3t  sen3t ), i(t )  60e3t sen3t; 10.432C ) )

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