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• Sebastian Infante

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VIDEO (TERCER CORTE) Nombre: Lizbeth Karina Diaz Herrera

Facultad de ingeniería Ambiental

ECUACIONES DIFERENCIALES PRIMER ORDEN 

Una taza de café caliente que inicialmente se encuentra a 95°C, se enfría y llega a 80°C en 5 minutos mientras permanece servida en un cuarto cuya temperatura esta a 21°C. Determine en qué momento el café estará a la temperatura ideal de 50°C 𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑜) 𝑑𝑡 ∫

𝑑𝑇 = ∫ 𝑘𝑑𝑡 𝑇 − 𝑇𝑜

ln(𝑇 − 𝑇𝑜) = 𝑘𝑡 + 𝐶 𝑇(𝑡) = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 + 𝑇𝑜 Reemplazamos 𝑇(𝑡) = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 + 21 𝑇(0) = 𝐶𝑒 𝑘(𝑜) + 21 = 95 − −𝐶 = 95 − 21 = 74

𝑇(𝑡) = 74𝑘𝑡 + 21 En t=5 min el café estará a 80°C 𝑇(5) = 74𝑒 𝑘(5) + 21 = 80 − 𝑘 =

59 74 = −0.0453 °𝐶 5 𝑚𝑖𝑛

𝑙𝑛

𝑇(𝑡) = 74−0.0453𝑡 + 21 En t= t1 min el café estará a 50°C 𝑇(𝑡1) = 74𝑒 −0.0453𝑡 + 21 = 50 − −𝑡1 =

29 𝑙𝑛 74 −0.0453

= 20.67𝑚𝑖𝑛

ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO ORDEN 

Considere el circuito RLC mostrado en la figura, con R= 110 Ω, L= 1 H, C= 0.001 F y una batería que proporciona Eo= 90 V. Inicialmente no existe corriente en el circuito ni carga en el capacitador. En el tiempo t=0 se cierra el interruptor durante 1s. En el tiempo t=1, se abre y se mantiene así en adelante. Encuentre la corriente resultante en el circuito.

90 + 𝑢(𝑥 − 1)(−90)

𝐿

𝑑𝑖 1 𝑡 + 𝑅𝑖 + ∫ 𝑖(𝑇)𝑑𝑇𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 𝐶 0

𝑡 𝑑𝑖 + 110𝑖 + 1000 ∫ 𝑖(𝑇)𝑑𝑇𝑒(𝑡) = 90[1 − 𝑢(𝑡 − 1)] 𝑑𝑡 0

Transformada: 𝑡

L= {∫ 𝑖(𝑇9𝑑𝑇} = 0

𝑠𝐼(𝑠) + 110𝐼(𝑠) + 1000

𝐼(𝑠) 𝑠

𝐼(𝑠) 90 = (1 − 𝑒 −𝑠 ) 𝑠 𝑠

Despejar I(s): 𝐼(𝑠) =

𝑠2

90(1 − 𝑒 −𝑠 ) + 110𝑠 + 1000

Commented [kd1]: Corriente en función de s.

90 1 1 = − 𝑠 2 + 110 + 1000 𝑠 + 10 𝑠 + 100 𝐼(𝑠) =

1 1 1 1 − − 𝑒 −𝑠 ( − ) 𝑠 + 10 𝑠 + 100 𝑠 + 10 𝑠 + 100

RTA: 𝑖(𝑡) = 𝑒 −10𝑡 − 𝑒 −100𝑡 − 𝑢(𝑡 − 1)[𝑒 −10(𝑡−1) − 𝑒 −100(𝑡−1) ]

Commented [kd2]: Corriente en cualquier instante de tiempo.

L(inductancia)= 1 H(henrios), C(capacitancia)= 0.001 F(faradios)