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Problemas – Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de primer orden P. 1. Sin pérdida de generalidad podemos asumir que c(h, k ) = c(0,0) . Sea LN: y = bx Además: entonces:

dy , y como LN es perpendicular a LT, dx 1 dx mLn = − =− mLt dy mLt =

dx y Es decir que: b = − dy , como y=bx entonces b = de donde: x

y dx =− , x dy

entonces:

ydx + xdx = 0 , ecuación diferencial en

variables separables, que integrando resulta: x 2 + y 2 = R

P. 2. Una persona deposita $20000 en una cuenta de ahorro que paga 5 por ciento de interés anual, compuesto en forma continua. Encuentre: a) la cantidad en la cuenta luego de tres años, y b) el tiempo requerido para que l acuenta duplique su valor, asumiendo que no hay retiros ni depósitos adicionales. Solución: Aquí, N(t) indica el balance en la cuenta en cualquier tiempo t. Inicialmente N(0)=20000. El balance de la cuenta crece por medio de los pagos de intereses, que son proporcionales a la cantidad de dinero en la cuenta. La constante de proporcionalidad es la tasa de interés.

⇒ k=0.05 ⇒

dN − 0.05 N = 0 ecuación lineal como separable dt

0.05t ⇒ N (t ) = cε

⇒

En t = 0 , N (0) = 20000

⇒

Al sustituir en N (t ) = cε 0.05t

⇒

Resulta: 20000 = cε 0.05( 0) = c

⇒

Con

⇒

Así, a) Sustituyendo t=3 en N (t ) = cε 0.05t , encontramos que el balance luego de tres años es:

valor c, N (t ) = cε 0.05t , se convierte en N (t ) = 20000ε 0.05t , ecuación que representa el balance en dólares de la cuenta en un determinada tiempo t. este

0.05 ( 3) = 20000(1.161834) = $23236.68 ⇒ N (3) = 20000ε

⇒

Para b), buscamos el tiempo t en el que el balance sea N (t ) = $40000

⇒

Sustituyendo estos valores resolviendo para t, tenemos: 40000

=20000

en

N (t ) = 20000ε 0.05t

y

ε0.05 t

2 =ε0.05 t

⇒ ln 2 =0.05 t

1 t = ln 2 0.05 t =13 .86 −−−años

P. 3. Una persona deposita $5000 en una cuenta que acumula interés compuesto de manera continua. Asumiendo que no hay extracciones ni depósitos adicionales. ¿cuánto habrá

en la cuenta después de siete años si la tasa de interés es del 8.5% constante durante los primeros cuatro años y del 9.25 por ciento constante los tres años siguientes? Solución: N(t) representa el balance de la cuenta en un tiempo t. ⇒ N(0)=5000 ⇒ Para los cuatro primeros años, k=0.085 ⇒

⇒

dN − 0.085 N = 0 dt

Cuya solución es: N ( t ) = cε 0.085(t ) ,− − −( 0 ≤ t ≤ 4) ⇒ En t=0, N(0)=5000, ⇒

⇒

5000 = cε 0.085( 0 ) = c

N (t ) = 5000ε 0.085t ,− − −( 0 ≤ t ≤ 4)

⇒ Sustituyendo t=4 , encontramos que el balance luego de cuatro años es: ⇒

N (t ) = 5000ε 0.085( 4 ) N (t ) = 5000(1.404948) N (t ) = $7024.74

⇒ Esta cantidad también representa el balance para el comienzo del período de los últimos tres años. ⇒ En los últimos tres años, la tasa de interés es de 9.25 por ciento, entonces: ⇒

dN − 0.0925 N = 0,− − −( 4 ≤ t ≤ 7 ) dt N (t ) = cε 0.0925t ,− − − − −( 4 ≤ t ≤ 7 )

⇒

Para t=4, N(4)=$7024.74

7024.74 = cε 0.0925( 4 ) = c (1.447735) c = 4852.23 Así : ⇒

Entonces: N (t ) = 4852.23ε 0.0925t ,− − −( 4 ≤ t ≤ 7 ) Sustituyendo − −t = 7 Encontramos − −el − −balance − −después − − de − −7 − −años N (7) = 4852.23ε 0.0925( t ) = 4852.23(1.910758) = $9271.44

P. 4. Un cuerpo a una temperatura desconocida se coloca en un cuarto que se mantiene a una temperatura constante de 30º F. Si después de 10 minutos la temperatura del cuerpo es 0º F y después de 20 minutos es de 15º F, encuentre la temperatura inicial desconocida. Solución: dT = −k (T − Tm ), dt Recodemos que o : dT + kT = kTm dt dT + kT = 30k ⇒ dt T = cε −kt + 30 ⇒

⇒

Para t=10, sabemos que T=0, entonces: 0 = cε −10 k + 30 cε −10 k = −30

⇒ En t=20, se dijo que T=15, por lo tanto: ⇒

15 = cε −20 k + 30 cε −20 k = −15

⇒ Resolviendo para k y c, encontramos que: k=

⇒ y

1 ln 2 = 0.069 10

c = −30ε 10 k = −30( 2 ) = −60 ⇒

Sustituyendo estos valores en T = cε −kt + 30 , tenemos que la temperatura del cuerpo en cualquier momento t es:

⇒ T = −60ε 0.069t + 30 ⇒ Dado que se requiere T en el tiempo inicial t=0, T0 = −60ε ( −0.069 )( 0 ) + 30 ⇒ T0 = −60 + 30 = −30º F .

P. 5. Un cuerpo que tiene cinco unidades técnicas de masa se deja caer desde una altura de 100 pies con velocidad cero. Asumiendo que no hay resistencia del aire, encuentre a) una expresión para la velocidad del cuerpo en un determinado tiempo t, b) una expresión para la posición del cuerpo en cualquier tiempo t y c) el tiempo requerido para llegar al suelo. Solución:

a)

dv =g Dado que no hay resistencia del aire, aplicamos: dt

v = gt + c cuando − −t = 0,− − v = 0 (inicialmente − −el − −cuerpo − −tiene − −velocidad − −0) ⇒ 0 = g (0) + c c=0 v = gt.

⇒

asumiendo que g = 32 pies / seg 2

⇒ v = 32t b)

Recuerde que la velocidad es la razón de cambio en el tiempo del desplazamiento, designado aquí por x. Por lo que: v=

dx dt

⇒ dx = 32t

dt x = 16t 2 + c1 0 = (16)( 0 ) + c1 c1 = 0 2

⇒

Pero en t=0, x=0. Entonces:

⇒

Así x = 16t 2

c)

Requerimos t=

t

(100) /(16) = 2.5seg.

cuando

x=100,

por

lo

tanto:

P. 6. Un circuito RL tiene una fem de 5 voltios, una resistencia de 50 ohmios, una inductancia de 1 henrio, y ninguna corriente inicial. Encuentre la corriente en el circuito en cualquier tiempo t. Solución: Recordemos que: por lo tanto:

dI R E + I = , aquí, E = 5,− − R = 50 − − y − − L = 1 , dt L L

dI + 50 I = 5 , ecuación lineal cuya solución es: dt

1

−50 t ⇒ I = cε + 10

0 = cε −50 ( 0 ) +

1 10

⇒

En t=0, I=0, de este modo:

⇒

La corriente en cualquier tiempo t es entonces:

c=−

1 10

1

1

−50 t ⇒ I = − 10 ε + 10

⇒

La cantidad − 10ε −50t en la ecuación anterior se llama corriente transitoria, pues esta cantidad va hasta cero (se extingue) conforme t→∞. La cantidad

1 se llama 10

corriente de estado estacionario. Conforme t→∞, la corriente I se aproxima al valor de la corriente de estado estacionario.

P. 7. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia de curvas de x 2 + y 2 = cx Solución: Aquí, F ( x, y, c) = x 2 + y 2 − cx ⇒ v Derivando implícitamente respecto a x, obtenemos:

la ecuación

dada

con

ecuación

x 2 + y 2 − cx = 0

dy

⇒ 2 x + 2 y dx = c ⇒ Eliminando encontramos:

c

entre

esta

y

dy x 2 + y 2 = dx x 2 2 dy y − x = dx 2 xy Aquí :

2x + 2 y

⇒

y 2 − x2 2 xy así − −que : dy 2 xy = 2 dx x − y 2 f ( x, y ) =

⇒ Esta ecuación es homogénea y su solución da las trayectorias ortogonales como: x 2 + y 2 = ky