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• Marco Antonio Vela Rodriguez

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas

ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS CURSO CODIGO DOCENTE

: : :

ECUACIONES DIFERENCIALES CB-142

CICLO :

2019-I

CARLOS ARÁMBULO – RICARDO CHUNG

FECHA :

09.04.19

TERCERAS PRÁCTICAS CALIFICADAS CICLO 2018- II 1. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: a)

D

b)

y  y  sec2 ( x)

3

 7 D2  16D  12  y  e2 x  senx  24

(4.0 pts)

(4.0 pts)

2. Determine la dependencia ó independencia lineal del siguiente conjunto de funciones.

y1  eax , y2  ebx y

y3  ebx , a  b  c

(3.0 pts)

3. En el circuito serie RLC la fuerza electromotriz es u(t) = 170e2t sen3t voltios, con R = 2 ohmios, L = 1 hernio y C = 0,2 faradios. Determine la carga Q(t) y la intensidad de corriente i(t), si Q(0) = 0, i(0) = 0.

(5.0 pts)

4. Resuelva la ecuación diferencial:

(cos x  senx) y  (2senx) y  (senx  cos x) y  e x (cos x  senx)2 , si y1  senx es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada.

(4.0 pts)

5. Una partícula arranca de reposo en tiempo 𝑡 = 0 y se desplaza 𝑥 = 5 a la derecha del origen Y se mueve a lo largo del eje X de acuerdo a la ley:

d 2 x dx   1.25 x  0 dt 2 dt Determine el valor t de modo que el factor de amortiguamiento disminuya en 50 %

(4.0 pts)

Nota: Para la sección W puede resolver el problema 5 en lugar del problema 4 CICLO 2018- I 1.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por cualquiera de los métodos desarrollados en clase: a) ( D3  2D2  9D  18) y  sen3x  2cosh(3x)  4e3x 3

2

x

b) ( D  2D  D) y  3e  2cos 2 x  2 2.- Determine si las funciones y1  e x  e2 x , y 2  5e2 x  4e x ,

(4.0 pts) (4.0 pts) y 3  e2 x  2e x , son soluciones de la ecuación

diferencial y  6 y  11y  6 y  0 . ¿Son estas funciones linealmente independientes? ¿Es posible obtener la solución general de las soluciones dadas? Explique (4.0 pts)

3.- En un circuito serie RLC, sabiendo que R = 80 , L = 1 H, la fuerza electromotriz viene dada por E(t) = 120 eintensidad cumple las condiciones i(0) = 0, i (0)   201 . Halle

C = 4 x 10-3 F y 40t sen30t V, y si la la corriente en el

circuito y la carga Q(t) en el condensador, en cualquier (4.0 pts)

instante

t

4.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial : x 4 y   2 x 3 y   y  16 e 3 / x , siendo : y1  e1/ x una solución de la ecuación homogénea asociada

(4.0 pts)

CICLO 2017- II 1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a.

yiv  y  20 e x  4  16 cos x

(4.0 pts)

b.

 D3  3D2  2D  y  6x  60exsenx 10

(4.5 pts)

c.

y  4 y  8tg 2 2 x

(4.0 pts)

2. Suponga que y1  e

x

y

y2  e x

son soluciones de una ecuación diferencial lineal

homogénea. Justifique por qué y3  cosh x ecuación

y

y4  senhx también son soluciones de la (3.0 pts)

3. Use la transformación z  senx para resolver la ecuación diferencial siguiente:

y  (tan x) y  (cos2 x) y  0

(4.5 pts)

CICLO 2017-I

1.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: 3 2 x

a) y  5 y  6 y  12  8 x e

 10 6 cos



b) ( D  9D  24D  16) y  12senx  32 6

4

2

c) ( D  2 D  5) y  e 2

x

sec2 x

6x



(4.0 pts) (4.0 pts) (4.0 pts)

2.- Un circuito serie consta de una inductancia de 0.05 henrios, una resistencia de 20 ohmios, un condensador de 4

capacidad igual a 10 faradios, alimentado por f.e.m. U (t )  100cos(200t ) voltios. Halle la carga en el condensador y la intensidad de carga eléctrica, que circula en el circuito, si se tiene las siguientes condiciones iniciales q(0)  0 , i (0)  0 (4.0 pts)

3.- Resuelva la ecuación diferencial: (cos x  senx) y  (2senx) y  (senx  cos x) y  e x (cos x  senx)2 , si y1  senx es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada. (4.0 pts)

CICLO 2016-2 a)

 D2  4D  3 y  6  12e xsen2x

(4.0 pts)

 y   y   y   y  e 4 x

(4.0 pts)

b) y

iv

c) y  3 y  2 y  4 x 2 1 2.- Resolver la siguiente ecuación diferencial: 𝑦 ′′ + 𝑥 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥, siendo y1 =

senx x

una solución de la ecuación homogénea.

(4.0 pts) (4.0 pts)

3.- Hallar la corriente que circula en un circuito serie RLC, sabiendo que R = 120 , L = 10 H, C = 10-3 F si la fuerza electromotriz viene dada por E(t) = 17sen2t V, y si la intensidad cumple las condiciones i(0) = 0, i (0)   201 . Hallar asimismo la corriente en estado estacionario. NOTA: LQ(t )  RQ(t ) 

1 Q(t )  E (t ) C

(4.0 pts)

CICLO 2016-I

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a)

d3y d2y dy 6  12 - 8 y  240 x3e2 x , y "(0)  -2 y '(0)  2 y (0)  2 3 2 dx dx dx

(4.0 pts)

b) 𝑦 (8) − 81𝑦 (4) = 𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 (4.0 pts) 2.- En un circuito serie RLC de corriente alterna está formado por los siguientes elementos: una resistencia de 4 Ω, un capacitor de 4 10−3 F, un inductor de 25x10−3 H y una fuente de voltaje 𝑉 = 110 𝑐𝑜𝑠 60𝑡 voltios. Determinar la carga y la corriente en todo tiempo, si inicialmente la carga sobre el capacitor es cero y no fluye corriente por el circuito. (4.0 pts) 3.- La posición (x(t)) y la aceleración (a(t) = x′′(t), en función del tiempo, de una masa puntual moviéndose unidimensionalmente, vienen relacionadas por la ecuación diferencial x(t )  a(t )  tg t  0 (unidades MKS)

Determinar la ecuación del movimiento (posición en función del tiempo) de la partícula si la misma parte del origen con una velocidad de 3 m/s. (4.0 pts) 4.- Sea f y g funciones cualesquiera derivables en un intervalo I y supongamos que g nunca se anula en I. Demostrar que si w[f(x), g(x)] ≡ 0 (wroskiano) en I, entonces f y g son linealmente dependientes. CICLO 2015-II

1. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por cualquiera de los Método desarrollados en clase: a) 1 y  2 y  2 y  xe x cos( Lnx) (4.0 pts) b) y  y  sec2 ( x) (3.5 pts) iv 4x c) y  y  y  y  y  e  4 sen x (4.0 pts) 2.- En un circuito RLC, con R = 5 ohms, C = 300 microfaradios (300 x 10-6 faradios ) y L = 0,1 henrios se conecta a una fuente electromotriz

u(t)  110 2sen(120 t ) , hallar Q en función del tiempo y además la caída de voltaje después de 10 segundos en R y L, si q(0)  q(0)  0 (4.5 pts) 3.-  x  1 y  xy  y = (𝑥 − 1)2 . 𝑒 𝑥 , si y1  x es una solución de la solución homogénea asociada. (4.0 pts) 2

CICLO 2015-I 2

1.- a) Demostrar que el siguiente conjunto de funciones {Lnx, x Lnx , x Lnx} es linealmente independiente 2.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a) b)

y  5 y  6 y  e2 x (sec2 x)(1  2tan x) b)

(4.0 pts)

y  2 y  y  2 y  5e2 x  12cos2 x  10e x senx

(5.0 pts)

3.-Use la transformación z  senx para resolver la ecuación diferencial siguiente:

y  (tan x) y  (cos2 x) y  0

(4.0 pts)

4.- Hallar la corriente que circula en un circuito serie RLC, sabiendo que R = 120, L = 10 H, C = 10-3 F si la fuerza electromotriz viene dada por U(t) = 17sen2t V, y si la intensidad cumple las condiciones i(0) = 0, i (0)   201 . Hallar asimismo la corriente en estado estacionario.

(4.0 pts)

CICLO 2014-II 1.- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: a) ( D  D  D  1) y  2( x  2e 3

2

x

)

(4.0 pts)

b) y  2 y  y  e arctan x x

2.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial,

( x  1) y  xy  y  ( x  1)2 e x , siendo y1  x , una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada. 4.- Sean las funciones dadas, y1  tan

1

(4.0 pts)

 4x  2 ; 3x  1 , x , y2  tan 1(3x) y y3  tan 1  2  1  3x 

¿Son linealmente independiente?.

(3.0 pts)

CICLO 2014-I

1.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a)

d 10 y  y  x9 10 dx

(4.0 pts)

b) y  2 y  9 y  18 y  x 2  e2 x  sen(3x)

(4.0 pts)

2.- Resolver la ecuación: ( x  1) y  (2 x2  3) y  (2  4 x  4 x 2 ) y  0 si tiene una solución particular de la forma y1( x)  ek x

(4.0 pts)

3.- En un circuito serie LRC, se tiene una inductancia de 0,05 henrios, una resistencia de 20 ohmios, un condensador de capacidad igual a 100 microfaradios y una fuerza electromotriz E (t )  100cos(200t ) (voltios). Halle la carga Q(t ) , en el condensador y la intensidad de corriente i (t ) , si inicialmente el condensador estaba descargado y la corriente era cero. (4.0 pts) 4.- Encuentre la solución general de la ecuación

y  y  e2 x y  e2 x (tan(e x )  sen(e x )) Sug.: Hacer el cambio: x  Lnz

(4.0 pts)

NOTA: 1  f (microfaradios) = 106 f CICLO 2013-III 1.- Resolver utilizando el método de variación de parámetros





a) D 2  6 D  9 y 

e3 x x2

b) ( D2  1) y  (1  e x )2

2.- a) Sea F ( D) y  Q una ecuación diferencial con coeficientes constantes Si Q es de la forma eax . Mostrar y  b) Resolver 3.- i) Resolver;

D

3

1 ax 1 ax e  e F ( D) F (a)

 

 2 D 2  5D  6 y  e2 x  3

 y '6  64  0

ii) Resolver



; F ( a)  0

2

 D  1  D 2

7

2

 5D  6

  D  1 3

2

2

y0

4.- Resolver: i) Una masa m se proyecta verticalmente hacia arriba desde 0 con una velocidad V 0 . Halle la altura máxima alcanzada suponiendo que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad. 

ii) Resolver: y '' xy  y  0 Sabiendo que una solución l.i. es y 1 x CICLO 2013-II 1.- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: 2 iv a) d y dy b) y   2 y  y  5e x  x 4



dx 2 3

2

dx

 2 y  Sen3x

c) D  2 D2  9 D  18



y  cos  3x   4e2 x  7

. 2.- Si en la ecuación diferencial:

a0  x  y  a1  x  y  cos  x  y  0

Una solución particular es y1  x  , sabemos que otra solución particular linealmente independiente a1  x   dx a 0  x e con y1  x  es y2  x   u  x  y1  x  . Demuestre que u  x    dx y12x  3.- En un circuito RLC se sabe que L=1 henrio, R=3 ohmios y C = 0,5 faradios y es alimentado por una fuerza electromotriz de E  t   200e2t sen2t . Si inicialmente el condensador esta descargado. Halle la carga en el condensador Q  t  y la intensidad i  t  en cualquier instante.

CICLO 2013-I 1.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a) y  4 y  4 y  6 senx  8cos 2 x  12e x

b) ( D2  2D  1) y  e x Lnx

c) ( x2  1) y  2 xy  2 y  ( x 2  1)2

d) ( D3  4D) y  6 e x  3e2 x  12 x

2.- Un circuito serie RLC se conecta en serie con una fuerza electromotriz de u (t )  200e8t sen6t voltios. Si L = 2 henrios, R = 32 ohmios y C = 0.005 faradios y en t = 0 tanto la carga del condensador como la corriente del circuito valen cero. Encontrar la carga y la corriente en cualquier tiempo t  0 . CICLO 2012-III b) Resolver  D2  25D  34   D 4  4  y  0

1.- a) Resolver  D3  7 D2  16D  12  y  e2 x  senx

6

2.- Demostrar que la ecuación diferencial x3 y  xy  12 y  0 Tiene tres soluciones l.i. 3.- a)  D3  D2  D  1 y  e x  e x  senx

D

4.- Resolver

2

5.- Dado el modelo

b)  D2  1 y  x 2

 5D  6  y  e2 x  sec2 x  1  2 tan x 

d2x dx  k1  k2 x 2 dt dt

k12  4k2

,

Resolver.

CICLO 2012-II 1. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: b) y  y  y  y  4e3x  2 x2  6

a) y(8)  256 y  0 d3y

c)

dx

3



d2y dx

2



dy  y  e x  e- x  Sen2 x dx



3/2 d) y  y  (sec2 x)



2.-Resolver la ecuación diferencial 1  x2 y  2 xy  2 y 





1  x2 , si se sabe que y1  x es una solución x

de la ecuación diferencial homogénea asociada 1  x2 y  2 xy  2 y  0 CICLO 2012-I 1.- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: a)

d3y dx3



d2y dx 2



dy  y  e x  e x x  sen2 x dx

b)

d2y dx 2

2

dy  2 y  Sen3x  20e x dx

c) y m  y  2  x6 2.- Determine la dependencia ó independencia lineal del siguiente conjunto de funciones.

y1  eax , y2  ebx y

y3  ebx , a  b  c

3.- Dado el circuito serie LRC mostrado: a) Hallar el EDO de Segundo Orden que modela la corriente I (Amperios) en función del tiempo t (segundos). t b) Resuelva la EDO hallada cuando L=1 henrios, R=2 ohmios, C=2 faradios y   t   240e sen3t

c) Hallar Q (culombios) cuando t=5segundos CICLO 2011-II 1.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a)

y  4 y  16e2 x  36 x2  8

b)

y  9 y  85e x cos x  12sen3x

c) y  2 y  y 

ex 1  x2

d)

1  x  y  2xy  0 2

2.- Encuentre la solución general de x y  x y  4 x y  1 , dado que ecuación homogénea asociada. 4

CICLO 2011-I

D

1.- Demostrar que

4

3

2



 D3  3D2  5D  2 y  0

y1  x 2 es una solución de la

tiene únicamente dos soluciones

independientes de la forma y  e . x 3 a)  D3  D2  D  1 y  e x b) y  2 y  y  12e / x c)

linealmente

ax

D

3



 D2  D  1 y  e x  senx  10

3.- Un circuito serie consta de una f.e.m. dada por u(t )  200 sen 4t voltios, una inductancia L = 30 henrios, una resistencia de R = 50 ohmios y un condensador de C = 0.025 faradios. Halle la carga Q en el condensador y la intensidad de corriente en cualquier instante t.

CICLO 2010-III 1.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a)

y  6 y  9 y  9 x2e3x  18  12sen3x

c)

(1  x) y  x y  y  ( x  1)2 e x

b) y 

4 x y   25  x 2 

2.- Haga x  z y escoja m apropiadamente para resolver la ecuación diferencial m

xy  y  4 x3 y  0 3.- Un circuito serie RLC se conecta en serie con una fuerza electromotriz de u(t) = 220 e- 8 t sen6t voltios Si L = 2 henrios, R = 32 ohmios y C = 0.005 faradios y en t = 0 tanto la carga del condensador como la corriente del circuito valen cero. Encontrar la carga y la corriente en cualquier tiempo t  0 .

CICLO 2010-2 1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a) b)

d3y dx3

-6

d2y dx 2

 12

dy - 8 y  x3e2 x ; y "(0)  -2 y '(0)  2 y(0)  2 dx

y  y  cos( x)

c) ( D  1) y  e  x 6

2

x

24

2. Determine la carga q(t ) en el capacitor de un circuito en serie LRC, cuando L = 0.25 henrios (h), R = 10 ohms (  ), C = 0.001 faradio ( f ), E (t )  sent , q(0)  q0 coulomb (C) e i(O) = 0 amperios (A).



3. Resolver la ecuación diferencial: 1  x

2

 y  xy  y  1  0 , sabiendo que y  x , es una solución de la 1

ecuación diferencial homogénea asociada

CICLO 2010-1 1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a)

D

2



 2 D  2 y  e x csc x

b)

 D  1 y  e 6

x

 x 24

2. Resolver:

xy   x  4  y  4 y  0

2. Determine la carga q(t ) en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 0,25 henrios, R = 10 ohmios, C = 0,001 faradios , E (t )  0 , q(0)  q0

e i(0)  0.

d2y dy  p ( x )  q( x) y  0 se vuelve de coeficientes constantes dx dx 2 dq Si se verifica lo siguiente:  2 p( x)q( x)  kq3/2 ( x) , k  R dx CICLO 2009-2 4. Demostrar que la E.D.O.

1. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

2 3

y  2 px  y p

a)

b)

D

3



2

2

 3D  2 D y  x  4 x  8

c)

y  2 y  y 

ex x2  1

2. Halle la curva para que cada una de sus tangentes forme con los ejes coordenados un triángulo de área constante a2 .

3. Un circuito serie RLC.

L = 1 henrio,

C

R = 6 ohmios,

1 faradios y una fuerza electromotriz de 9

u(t )  u(t )  220e4t t 2 voltios, halle la carga Q(t ) y la intensidad de corriente

i (t ) , en un instante

t

cualquiera.

CICLO 2009-1 1. Resuelva la siguiente ecuación diferencial:





4 3 2 a) D  6 D  12 D  8D y  0





3 2x b) D  4 D y  x  8e

3 2. Demostrar que la ecuación diferencial x y  6 xy  12 y  0 tiene tres soluciones linealmente r Independientes de la forma y  x

3. Demostrar que e

ax

senbx y eax cos bx son funciones linealmente independientes

4. Un inductor de 0.5 henrios es conectado en serie con una resistencia de 5 ohmios, y un condensador de 0,08 faradios. En t = 0 la corriente es 10 amp. y la carga en el condensador es cero. Muestre que la carga se eleva al máximo en 0,2 seg. y determine el valor del máximo.

CICLO 2009-2 1. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:



3

2



2

b) D  3D  2 D y  x  4 x  8

2 3 a) y  2 px  y p

c)

y  2 y  y 

ex x2  1

2. Halle la curva para que cada una de sus tangentes forme con los ejes coordenados un triángulo de área constante a2 .

CICLO 2008-3

y1  1  x , y2  1  x2 , 1. Determine si el conjunto de funciones: Son linealmente dependientes o independientes. Justifique

y3  x  x2

2. Resolver las siguientes ecuaciones: b) y

iv

 5 y  4 y  8  20e x  24senx

a)

y  7 y  6 y  2  x  1 e x

c)

y  4 y  8tg 2 2 x

3. Un circuito serie RLC consta de una f.e.m. dada por u(t) = 110e-2t sen 2t voltios, una inductancias 0.5 heríos, una resistencia de 2 ohmios y un condensador de 0.25 faradios. Halle la carga Q en el condensador y la intensidad de corriente en cualquier instante t.

CICLO 2008-2 1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a)

y  y  sen2 x

2. Demostrar que

b)

d4y dx

4



d3y dx

y1  e x

Justifique por que

3

d2y dx

2

5

dy  2y  0 dx

únicamente tiene dos soluciones linealmente

y  eax

independientes de la forma 3. Suponga que

3

y  3 y  2 y  x2  4 x  8

y

y2  e x son soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea.

y3  cosh x

y

y4  senhx

también son soluciones de la ecuación

4. En el circuito serie RLC se pide determinar la carga Q (t) , en el condensador, y la intensidad de corriente i (t), en cualquier instante de tiempo t, si: L= 0, 5 henrios, R=3 ohmios, C=0,08 faradios, alimentado por 3t una fuerza electromotriz de: u (t )  110e sen4t voltios; sabiendo que en t = 0, Q (0) = 0 y i (0) = 0.

CICLO 2008-1 1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

2 x  18  9sen2 x a) y  4 y  4 y  8xe

3 3x cos3x  e3x b) ( D  9D) y  6 e

2 2 5x 2 x  40sen2 x c) D  4 D  9 y  84e  30 e





3. En el circuito serie R L C si: R = 8 ohmios L = 2 henrios, C 



1 faradios y la tensión de alimentación es: 6

(t) = 220e-3tsen3t. Si inicialmente el condensador está descargado y i (0) = 0, determine: i) Q(t)

ii) i(t)

4. Un punto material de masa m es atraído por dos centros. La fuerza de atracción de cada uno es proporcional a la distancia (el coeficiente de proporcionalidad es igual a k). Hallar la ley del movimiento de dicho punto, sabiendo que la distancia entre los centros es de 2b, que en el momento inicial el punto en cuestión se encontraba en el segmento que une entre si dichos centros, a una distancia c del punto medio del mismo y que su velocidad era igual a cero. (3.5)

CICLO 2007-2 1. Averiguar si las siguientes funciones son linealmente independientes eax , eax sen(ax) , eax cos(ax) para a>0 (3.5) 2. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: (4.0)

a) ( D3  D2  2D) y  e x  2

2 b) ( D  6 D  9) y 

e3 x x

(3.5)

2

c) ( D4  2D3  3D2 ) y  x2  3 e2 x  4sen x

(4.0) 3. En el circuito serie RLC se pide determinar la carga Q (t) , en el condensador, y la intensidad de corriente i (t), en cualquier instante de tiempo t, si: L= 0, 5 henrios, R=3 ohmios, C=0,08 fd, alimentado por una fuerza electromotriz de: u(t )  110e3t sen4t voltios; sabiendo que en t = 0, Q (0) = 0 y i(0) = 0. (5.0)

CICLO 2007-1 1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: x 2 a) y  2 y  4 y  e cos x  x  sen2 x (4.0) (4.0) D3  2 D2  5D y  10  15cos 2 x  4e x sen2 x c)



b)

y  y  tg 2 x



(4.0) 2. Averiguar si las siguientes funciones son linealmente independientes:

cos x, cos( x  1), cos( x  2) (3.0) 3. Un inductor de 0.5 henrios es conectado en serie con una resistencia de 5 ohmios, y un

condensador de 0,08 faradios. En t = 0 la corriente es 10 amp, y la carga en el condensador es cero. Muestre que la carga se eleva al máximo en 0,2 seg y determine el valor del máximo. (5.0)

CICLO 2006-2





4 3 2 1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a) D  6 D  13D  12 D  4 y  0

3.0) b) (3.5) c)

 D3  D2  D  1 y  ex  e x  senx

 D2 1 D2 16 y  30 ex  96 e2x  48sen2x

(3.5)

 ax , ebx , ecx se pide determinar para que valores reales

2. Dado el conjunto de funciones e

,

de a, b y c el conjunto es L.I y para que valores es L.D (3.0)

3. Un circuito consta de una inductancia de 0.05 henrios, una resistencia de 5 ohmios y un condensador de 4 x 10-4 faradios de capacidad si q  i  0 para t = 0, hallar q e i en función del tiempo t cuando hay una f.e.m alterna de 200cos (100t). También hallar las soluciones de régimen permanente, es decir, cuando t toma valores grandes. (4.0) 4. Un punto material de masa m es atraído por dos centros. La fuerza de atracción de cada uno es proporcional a la distancia (el coeficiente de proporcionalidad es igual a k). Hallar la ley del movimiento de dicho punto, sabiendo que la distancia entre los centros es de 2b, que en el momento inicial el punto en cuestión se encontraba en el segmento que une entre si dichos centros, a una distancia c del punto medio del mismo y que su velocidad era igual a cero. (3.0)

CICLO 2006-1

1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a) ( D 3  D 2  9D  9) y  0 (4.0) 2 x 2 b) ( D  1) y  (1  e ) (4.0)

e) y  8 y   20 y   x  e (4.0) iv

2

3x

(3.0)

c) y   4 y   4 y  6 senx  8 cos 2 x

(3.0)

d) ( D 3  3D 2  2D) y  x 2  4 x  8  4e  x  6senx

 16 e 4 x sen 2 x

2. Averiguar si el siguiente conjunto de funciones

Lnx, x Lnx, x 2 Lnx es linealmente dependiente o

independiente. (2.0)

CICLO 2005-2 1. Hallar la curva para la cual el segmento

de la tangente comprendido entre los ejes

coordenados tiene una longitud constante a

(4.0)

2. Los experimentos muestran que las líneas de fuerza eléctrica de dos cargas opuestas de la misma intensidad y que se encuentran en (-1, 0) y (1, 0) son las circunferencias que pasan por (-1, 0) y (1, 0). Demuéstrese que es posible representar estas circunferencias por la ecuación x 2  ( y  c) 2  1  e 2 . Demuestre que las líneas equipotenciales (trayectorias 2 2 ortogonales) son las circunferencias ( x  c *)  y  c * 1 .

3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:





a) D 3  2D 2  D y  2  12 e t (3.5)



(4.0)



b) D 2  6D  13 y  13 e 3t sen 2 t

(3.5)

4. Hallar una expresión de i en función de t para el circuito serie R L C cuando u(t )  20 sen 500t , R = 2 ohmios, L = 0, 2 henrios, C = 20 x 10-6 faradios y si i y Q son ceros cuando t  0 . (5.0)

CICLO 2005-1 1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a) ( D  4D) y  16  6e (5.0) 3

2 x

x  3e x  4e 2 x

y  y  y  y  3 e x sen 2 x b) , y (0)  0, y(0)  1, y(0)  0

  x 2 2

(5.0) c) y

( 6)

 4y

(5)

 6y

( 4)

 8 y   9 y   4 y   4 y 

e 2 x x2

,

x0

(5.0)

2. En el circuito serie RLC donde: L = 0, 2 henrios, R = 2 ohmios, C = 20 x 10-6 faradios y la fuente de alimentación u (t )  20 sen 500t y si i y Q son ceros cuanto t = 0, hallar i (t ) . (5.0)

CICLO 2004-2 1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:





2 x x a) D  4D  3 y  8xe  6  12e sen2 x (4.0)

b) y   y 

1

c) y

(4.0)

cos 2 x cos 2 x

iv

 y   y   y   y  e 4 x

(4.0) 2. Resolver la siguiente ecuación:





x1  xLnx y   1  x 2 Lnx y   x  1y  1  xLnx 2 e x , sabiendo que

y1  Lnx es una

solución de la ecuación diferencial homogénea.

(4.0)

3. En un circuito serie RLC, con R = 2 ohmios, L = 1 henrio, C = 0.25 faradios y la fuente de 2t alimentación u(t )  200 e sen3 t voltios, se pide hallar la carga Q(t ) . (4.0)

CICLO 2004-1 1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: x a) y   3 y   2 y   e cos 2 x  sen3x  Lnx (3.5) b) y

( 4)

 2 y   y  e x senx. cosh 2 x

(3.5)

2 c) x y   xy   3 y  

16 Lnx x

(3.5) 2. Resolver la ecuación diferencial:

cos x  senx y  2 senx y  senx  cos x y  e x cos x  senx2

de la ecuación diferencial homogénea asociada.

si y1  senx es una solución (4.5)

3. Un circuito serie RLC se conecta en serie con una fuerza electromotriz de u(t) = 220 e- 8 t sen6t voltios Si L = 2 henrios, R = 32 ohmios y C = 0.005 faradios y en t = 0 tanto la carga del condensador como la corriente del circuito valen cero. Encontrar la carga y la corriente en cualquier tiempo t  0 .

(5.0)

CICLO 2003-2 1.

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a) y + 6 y + 11y + 6y = 0

(3.0)

b) y + 2y + 2y = e-x cosx + xe-x

(3.5) 4y + 4y = 4e-2x cos2x + 4sen2x + 2sen4x

c) y + y = (3x – 1) + senx (3.5)

(3.5)

d) y +

2.En el circuito serie RLC con L = 1 henrio, R = 8 ohmios, c = 0.04 faradios y un generador teniendo una fuerza electromotriz dada por (t) = 120 e-4t cos3t voltios, se pide determinar la carga Q(t) y la corriente i(t) (5.0 ptos) 3.Determine si las siguientes funciones son linealmente independientes y1 = ex

CICLO 2003-1 1.

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

y2 = xex

a) y   6 y   6 y  9 xe ptos) b) ptos)

3 x

 18  9sen 3x

(3.5

y   5 y   6 y  12 x  7 e  x , y0  y 0  0

(3.5

2.

Resolver la ecuación diferencial siguiente:

xx  1 y   2 x  1 y   2 y  x 2 2 x  3 Sabiendo que y1  x 2 es una solución de la ecuación homogénea asociada. (4.0 ptos) 1 3.En el circuito serie R L C si: R = 8 ohmios L = 2 henrios, C  faradios y la tensión de 6 alimentación es: (t) = 220e-3tsen3t si inicialmente el condensador está descargado y i (0) = 0, determine : i) Q(t) ii) i(t) (5.0 ptos) 4.-Un punto material de masa m = 1 se mueve por una recta acercándose a un centro por el cual es repelido con una fuerza igual a k2x (x es la distancia del punto al centro). Para t = 0, x = a,

dx  ka . Hallar la ley del movimiento. dt

(4.0

ptos)

CICLO 2002-2 1.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales : a) ( D 3  4D) y  6 e  x  3e x (3.0 pts) b) y   8 y   25 y   26 y  7e 3x cos 2 x pts) c) x 3 y   2 x 2 y   9 xy   5 y  4 cos  ( Ln x)  6sen  ( Lnx)  , x  0 pts) d) ( D 3  2D 2  5D) y  10  15 cos 2 x pts)

(3.0 (3.0 (3.0

2.- En el circuito serie RLC la fuerza electromotriz es  t   160 e t cos 2t voltios, R = 2 ohmios, L = 1 hernio y C = 0,2 faradios. Determinar la carga Q(t) y la intensidad de corriente i(t). 3.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial :

x 4 y   2 x 3 y   y  16 e 3 / x , siendo : y1  e1/ x

una solución de la ecuación homogénea asociada pts)

(4.0 pts)

(4.0