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Ecuaciones Diferenciales

Actividad 5 Solución de Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden con Coeficientes Constantes Ecuaciones No Homogéneas

Autor Oscar Eduardo Fajardo Moreno

Tutor: Luis Chaparro

Corporación Universitaria Iberoamericana

Facultad De Ingeniería Programa, Ingeniería Industrial 2020

Ecuaciones diferenciales de segundo orden Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma

Si  se llama Ecuación homogénea, como por ejemplo

Si  se llama Ecuación no homogénea, como, por ejemplo

ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y término F(x) variable es de la forma La solución general es una combinación lineal de dos tipos de soluciones, una solución complementaria  y una solución particular 

La solución complementaria  satisface la ecuación homogénea Esta ecuación se la puede resolver empleando los procesos antes mencionados para la ecuación homogénea de coeficientes constantes La solución particular  satisface la ecuación no homogénea Esta ecuación se la puede determinar empleando el llamado método de los coeficientes indeterminados. En estas condiciones, de acuerdo a la forma de  siguientes casos 1) Si 

la solución particular  tiene los

entonces,

Ejemplos: Si 

entonces,

Si 

entonces,

2) Si 

entonces,

Ejemplos: Si 

Si 

Si 

entonces,

entonces,

entonces,

3) Si 

, entonces

Ejemplos: Si 

Si 

, entonces,

, entonces,

Si 

Si  Ejemplos ilustrativos Ejemplo 1

, entonces,

entonces,

Hallar la solución general de  Solución: La solución general es de la forma  a) Resolviendo  La solución complementaria debe satisfacer la ecuación homogénea, es decir,

La ecuación auxiliar es  Resolviendo la ecuación auxiliar

Remplazando en 

b) Resolviendo  Como 

entonces 

La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea, es decir,

Calculando la primera y segunda derivada para 

Remplazando en  Eliminando paréntesis Agrupando

Como los dos polinomios son iguales, sus coeficientes deben ser iguales, entonces

Resolviendo el sistema. Despejando de la primera ecuación 

Remplazando el valor de A en la segunda ecuación 

Remplazando valores en la tercera ecuación 

Por lo tanto al remplazar en 

se tiene

Finalmente, la solución general es

Ejemplo 2 Hallar la solución general de Solución: La solución general es de la forma  a) Resolviendo  La solución complementaria debe satisfacer la ecuación homogénea, es decir,

La ecuación auxiliar es  Resolviendo la ecuación auxiliar

Luego las soluciones particulares son

Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes, la solución general es

b) Resolviendo  Como 

entonces 

La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea, es decir,

Calculando la primera y segunda derivada para 

Remplazando en 

Igualando los coeficientes se tiene

Resolviendo el sistema

Remplazando los valores encontrados en

Finalmente, la solución general es

Referencias

Mesa, F., Martínez, A. & González, J. (2012). Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de primer orden en Ecuaciones diferenciales ordinarias: Una introducción. Bogotá: Ecoe Ediciones. pp(19-58) Alonso, A., Álvarez, J. & Calzada, J. (2010). Ecuaciones diferenciales ordinarias: ejercicios y problemas resueltos. Madrid: Delta Publicaciones Universitarias. pp (5-82)

Conclusiones: Hay que seguir practicando aun me cuesta bastante la resolución de los ejercicios. Las ecuaciones diferenciales nos permiten un estudio más detallado de la naturaleza y sus fenómenos. Para comprender más y ser exactos en la aseveración de leyes como las de newton por ejemplo MRU, velocidades de propagación y de onda entre mucho muchos casos debemos afianzar nuestros conocimientos en Ecuaciones Diferenciales.