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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ.

DINÁMICA.

UNIDAD 5

INVESTIGACIÓN

PROF. MARIO CETINA ALUMNO. GARCIA RODRIGUEZ ARTURO ANTONIO

ECUACIONES DE CUERPO RÍGIDO (ROTACIÓN Y TRANSLACIÓN)

Cuerpo rígido. Un cuerpo rígido es un sistema de partículas de tal forma que la distancia entre ellas es constante en el tiempo. En caso contrario se dice que el cuerpo es deformable. Densidad de masa. El caso en el que el número de partículas es tan grande y las distancias entre ellas son tan pequeñas que la apariencia macroscópica del cuerpo rígido es el de una distribución continua de masa se le llama sólido rígido, de tal forma que la masa dm de cualquier elemento de volumen dV del cuerpo está dada por:

DINÁMICA DEL MOVIMIENTO DEL CUERPO RÍGIDO.

Dinámica del movimiento de traslación. El movimiento de traslación queda determinado por la ecuación:

ó

Dónde: ; cuerpo de masa M.

y

son la aceleración y la velocidad del c.m. del

Si el cuerpo rígido está aislado, es decir,

; entonces se debe cumplir:

ó ó

ii) Dinámica del movimiento de rotación. Sólo se considerara el llamado movimiento plano del cuerpo rígido ó movimiento del cuerpo rígido en una dirección fija, el cual se obtiene para cuerpos girando en torno de un eje rotación de dirección fija en el espacio, con simetría tal que el momento angular del cuerpo coincida con la dirección del eje de rotación y que las torcas que actúan sobre el cuerpo tengan una resultante a lo largo del eje de rotación, de tal forma que los cambios del momento angular sólo afectan a su magnitud o sentido, pero no a su dirección. En este caso todas las partículas del cuerpo rígido efectúan movimientos circulares en torno de un eje común y de dirección fija; por esta razón, se incluye a continuación un resumen de la dinámica del movimiento circular. a) Para una partícula m efectuando un movimiento circular de radio r alrededor de un punto “O”, a la cantidad: , Se le llama el momento de inercia de m respecto de O. b) Momento angular y torca:

, . c) Conservación del momento angular. Si

entonces: ,

y como I = cte, entonces

.

d) Trabajo.

. e) Energía cinética. , y como:

, entonces:

. De tal forma que para el cuerpo rígido se tiene en este caso: , en la dirección del eje de rotación. En dicha ecuación se tiene:

, Que es el llamado momento de inercia del cuerpo de masa M y volumen V y R es la distancia del elemento de masa dm al eje de rotación.

Si la densidad de masa del cuerpo es p, entonces dm = pdV; por lo tanto:

. Para un cuerpo rígido girando respecto de un eje fijo se tiene que I = cte y por lo tanto:

;

Esto es que:

.

Si , entonces , por lo que . Por otro lado, la energía cinética de un cuerpo rígido con respecto a un eje fijo con velocidad angular w es:

.

CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO DEL CUERPO RÍGIDO. En un cuerpo rígido se observan tres tipos de movimiento: Movimiento de traslación. Es el movimiento en que todas las partículas del cuerpo describen trayectorias iguales. El movimiento de traslación de un cuerpo rígido queda descrito por el movimiento de cualquiera de sus partículas, generalmente este punto es su c.m. Movimiento de rotación. Es el movimiento de un cuerpo rígido en el cual todas sus partículas describen trayectorias circulares respecto de un eje común, con la misma velocidad angular. El movimiento de rotación, respecto de un eje fijo en el espacio, de un cuerpo rígido queda descrito por el movimiento circular de cualquiera de sus partículas. Movimiento combinado. Es el movimiento del cuerpo rígido obtenido de la combinación simultánea de los movimientos de traslación y de rotación. La descripción de este movimiento se establece en tres etapas: a) Se describe el movimiento de traslación por medio del movimiento del c.m. b) Se describe el movimiento de rotación del cuerpo respecto del c.m. c) Con ayuda de las ecuaciones de transformación de los parámetros cinemáticos y dinámicos entre un SRI y el c.m. se logra la descripción del movimiento del cuerpo rígido respecto del SRI.

Definición: El c.m. de un cuerpo rígido es el punto cuya posición es:

Donde es la posición del elemento de masa dm del cuerpo cuya masa es M y cuyo volumen es V. Si la densidad de masa del cuerpo es entonces: donde dV es el elemento de volumen del elemento de masa dm, por lo que:

,

Cinemática del movimiento del cuerpo rígido respecto de un eje fijo. Este es un caso de particular importancia práctica, en el que todas las partículas del cuerpo rígido efectúan movimientos circulares en torno de un eje común y fijo; por eso se incluye aquí un resumen de la cinemática del movimiento circular. La dinámica del movimiento circular se describe en la siguiente sección. a) Parámetros cinemáticos del movimiento circular: Posición. En coordenadas polares, tenemos:

O bien, en coordenadas cartesianas, se tiene:

Velocidad angular

Aceleración angular.

b) Relaciones entre los parámetros angulares y lineales. Tenemos, para la posición y velocidad:

En el caso de la aceleración, se tiene:

. Dónde: . Y

.

OBSERVACIONES RESPECTO DEL MOMENTO DE INERCIA. a) Teorema de los ejes paralelos. Sea

el momento de inercia de un cuerpo

rígido con respecto a un eje fijo que pasa por su c.m. y sea el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior a una distancia h, entonces se cumple: , donde M es la masa del cuerpo. b) Teorema de los ejes perpendiculares. Consideremos un cuerpo plano colocado en el plano xy de un SR dado; supongamos que , , son sus momentos de inercia respecto de los ejes x, y, z respectivamente, entonces se cumple: . c) Radio de giro. Sea I el momento de inercia de un cuerpo rígido respecto de un eje dado, se define el radio de giro k del cuerpo respecto de ese eje como:

ó

d) Ejemplos de momentos de inercia.

.

iii) Dinámica del movimiento combinado. Rodamiento puro. En el movimiento combinado se establece el movimiento de traslación para el c.m. y el movimiento de rotación respecto de un eje que pasa por el c.m. y se utilizan las ecuaciones de transformación, para los diferentes parámetros dinámicos, entre un SRI y el SR del c.m.; entre otras: , ,

y . Aparte se usan las siguientes condiciones para el movimiento de rotación sin resbalamiento o rodamiento puro de un cuerpo rodante: , , , Como puede observarse en la siguiente figura.

Para cualquier punto del cuerpo se tiene: .

Traslación

+

Rotación

En particular: , , , Como puede observarse en la siguiente figura.

Ejemplo:

Principio de D`Alembert

El principio de d'Alembert establece que para todas las fuerzas externas a un sistema:

Donde la suma se extiende sobre todas las partículas del sistema, siendo: , cantidad de movimiento de la partícula i-ésima. , fuerza externa sobre la partícula i-ésima. cualquier campo vectorial de desplazamientos virtuales sobre el conjunto de partículas que sea compatible con los enlaces y restricciones de movimiento existentes.

En primer lugar, el principio de acción estacionaria está ligado a la existencia de una función potencial, cuya existencia no requiere en el principio de d'Alembert. En segundo lugar, el principio de acción se presta a interpretaciones filosóficas y teleológicas que no le gustaban a Lagrange. Finalmente debe señalarse que el principio de d'Alembert es peculiarmente útil en la mecánica de sólidos donde puede usarse para plantear las ecuaciones de movimiento y cálculo de reacciones usando un campo de desplazamientos virtuales que sea diferenciable. En ese caso el cálculo mediante el principio de D'Alembert, que también se llama en ese contexto principio de los trabajos virtuales es ventajoso sobre el enfoque más simple de la mecánica newtoniana.

El principio de D'Alembert formalmente puede derivarse de las leyes de Newton cuando las fuerzas que intervienen no dependen de la velocidad. La derivación resulta de hecho trivial si se considera un sistema de partículas tal que sobre la partícula i-ésima actúa una fuerza externa más una fuerza de ligadura entonces la mecánica newtoniana asegura que la variación de momento viene dada por:

Si el sistema está formado por N partículas se tendrán N ecuaciones vectoriales de la forma si se multiplica cada una de estas ecuaciones por un desplazamiento arbitrario compatible con las restricciones de movimiento existentes:

Donde el segundo término se anula, precisamente por escogerse el sistema de desplazamientos arbitrario de modo compatible, donde matemáticamente compatible implica que el segundo término es un producto escalar nulo. Finalmente sumando las N ecuaciones anteriores se sigue exactamente el principio de D'Alembert.

Ejemplos de uso

Considérese una viga simplemente apoyada con un tramo en voladizo y otro tramo simplemente apoyado. Si se conoce explícitamente la fuerza en el voladizo, el principio de los trabajos virtuales permite determinar fácilmente el valor de las reacciones mecánicas. Para ello, basta considerar un movimiento virtual consistente en imaginar un giro alrededor de la rótula B, para ese movimiento virtual el campo de velocidades sería:

Mientras que la suma de potencias virtuales, sería: (*) Donde:

substituyendo estos valores en la expresión (*) se obtiene que:

En prácticamente cualquier sistema mecánica, además de las fuerzas que controlan su evolución, existen cierto número de ligaduras que constriñen su movimiento. Podemos imaginar algunos ejemplos sencillos de sistemas con ligaduras: dos cuerpos unidos por una barra rígida o un hilo inextensible, las cuentas de un ´Abaco ´o las moléculas de un gas confinado en el interior de un recipiente. Tal como veremos, podemos incorporar estas ligaduras en la descripción del sistema, sin necesidad de tener un conocimiento preciso de las fuerzas que las producen. Que un sistema este constreñido por ligaduras indica que hay fuerzas presentes que no conocemos a priori. Para soslayar este desconocimiento, habremos de reformular la Mecánica de modo que estas fuerzas no aparezcan explícitamente.

Consideremos ahora que congelamos el tiempo y efectuamos un desplazamiento diferencial arbitrario de

ambas masas δr1 y δr2. Sumando sobre las dos masas del sistema obtenemos

Ahora pongamos ciertas restricciones sobre el desplazamiento δri . Para empezar, 1 2 Capitulo 15. Principio de D’Alembert podemos exigir que este desplazamiento sea a lo largo del correspondiente plano inclinado. En este caso, como la reacción entre el plano inclinado y la masa es perpendicular a aquella, ˜fi .δri = 0. Por lo tanto, podemos eliminar las reacciones del plano inclinado en la ecuación anterior.

Por otro lado, sabemos que las fuerzas de vinculo f1 y f2 ejercidas por el hilo sobre ambas masas son de igual magnitud, y ambas apuntan hacia arriba ´o hacia abajo de los planos inclinados. Para aprovechar este hecho, pedimos que el desplazamiento de ambas masas también sea de la misma magnitud, y que si uno apunta hacia abajo por el plano inclinado, el otro apunte hacia arriba. En otras palabras, estamos pidiendo que el desplazamiento no estire ni contraiga el hilo que conecta ambas masas. Con esta condición adicional sobre el desplazamiento, tenemos que f1.δr1 = −f2.δr2. Por lo tanto, podemos eliminar también la fuerza ejercida por el hilo en la ecuación anterior, escribiendo finalmente

MOVIMIENTO PLANO DE CUERPOS RIGIDOSMETODO DE LA ENERGIA Principio del Trabajo y la Energía Este principio se utilizara ahora para analizar el movimiento plano de cuerposrígidos. Aquí utilizaremos los parámetros de velocidad y desplazamiento, no esnecesario el cálculo de la aceleración. También debemos observar que estascantidades, trabajo y energía cinética, son cantidades escalares.Recordar, que también debemos suponer que el cuerpo rígido esta formado por N partículas de masa ∆mi T1+U1-2=T2 Donde, T1y T2 valor inicial y final de la Energía Cinética Total de las partículas queforma el cuerpo rígido. U1-2 trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre las diversas partículas delcuerpo rígido. La energía Cinética Total:nT=1/2 ∑∆mi Vi2 i=U1-2 , representa el trabajo que realizan todas las fuerzas que actúan en unc/rígido, tanto interno como externo.Por definición de cuerpo rígido, U i-2 , Interno es cero; pues la distancia es la mismay las fuerzas internas son iguales, la misma dirección, sentido opuesto.U 1-2 , se reduce al trabajo de las fuerzas externas y estas actúan sobre elcuerpo durante el desplazamiento considerado. Trabajo de las Fuerzas que actúan sobre un Cuerpo Rígido El trabajo de una fuerza F durante un desplazamiento de su punto de aplicacióndesde A1 hasta A2 es F=magnitud de la Fuerza α=ángulo que forma con la dirección del movimiento de su punto de aplicación A y S= es la variable de interacción que mide la distancia recorrida por A, a lo largo desu trayectoria.

Principio de Conservación de la Energía La ley de la conservación de la energía Constituye el primer principio de la termodinámica y afirma que la cantidad total de energía en cualquier sistema aislado (sin interacción con ningún otro sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energía puede transformarse en otra forma de energía. En resumen, la ley de la conservación de la energía afirma que la energía no puede crearse ni destruirse, sólo se puede cambiar de una forma a otra, por ejemplo, cuando la energía eléctrica se transforma en energía calorífica en un calefactor.

El principio en mecánica clásica En mecánica lagrangiana la conservación de la energía es una consecuencia del teorema de Noether cuando el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo. El teorema de Noether asegura que cuando setiene un lagrangiano independiente del tiempo, y por tanto, existe un grupo un paramétrico de traslaciones temporales o simetría, puede construirse una magnitud formada a partir del lagrangiano que permanece constante a lo largo de la evolución temporal del sistema, esa magnitudes conocida como ha miltoniano del sistema. Si además, la energía cinética es una función sólo del cuadrado de las velocidades generalizadas (o lloque es equivalente a que los vínculos en el sistema sean esclerónomos, ósea, independientes del tiempo), puede demostrarse que el hamiltonianoen ese caso coincide con la energía mecánica del sistema, que en tal casos conserva.

EJEMPLO: El movimiento de la barra delgada y uniforma AB de 5 Lb. Se guía en A y C mediante collarines de masa insignificante. El sistema se suelta desde el reposo en la posición Ø = 45º. Si la fuerza P es cero, determínela velocidad angular de la barra AB, cuando Ø = 30º L=2’

b=9”/12”=0.70”

AC=b/Steno

AI=AC/SENØ

AI=b/SEN²Ø

VA=(AI)W

VA=[b/(SEN²Ø]W

METODO DEL MOVIMIENTO

IMPULSO

Y

CANTIDAD

DE

Principio Del Impulso y La Cantidad de Movimiento Método alternativo de análisis que se deriva directamente de la segunda ley de Newton: ∑F = mar ∑MG=I∑α Es un criterio de análisis vectorial que no necesariamente necesita conocer la aceleración para su aplicación Conceptos Impulso lineal / angularBásicos Cantidad de movimiento lineal / angular Parámetros Fuerza Relacionados Masa Velocidad Tiempo Este es el método preferencial para el análisis de choques o impactos y para resolver problemas donde el sistema gana o pierde masa. La ecuación básica de este método de análisis se llama “principio del impulso y la cantidad de movimiento” lo cual establece que: el impulso (lineal / angular) en un intervalo de tiempo es igual al cambio en la cantidad de movimiento (lineal / angular). Se obtiene integrando las ecuaciones cinéticas ∑F = mí, ∑MG= I con respecto al tiempo. Principio de Impulso y Cantidad de Movimiento Desde: ∑F = mar Reescrita como F = mí= mdv Entonces: CD = mdv. MOVIMIENTO PLANO RESTRINGIDO La mayoría de las aplicaciones de ingeniería tienen que ver con cuerpos rígidos que se mueven bajo ciertas restricciones. Por ejemplo, las manivelas deben girar alrededor de un eje fijo, las ruedas deben rodar sin patinar y las bielas deben describir ciertos movimientos prescritos. En todos estos casos, existen relaciones precisas entre los componentes de la aceleración "a" del centro de masa "G" del cuerpo considerado y su aceleración angular "a", se dice que el movimiento correspondiente es un movimiento restringido. La solución de un problema que implica un movimiento plano restringido requiere un análisis cinemático preliminar. Considérese, por ejemplo una barra esbelta AB, de longitud "l" y masa "m", cuyos extremos están conectados a bloques de masa insignificante que se deslizan a lo largo de correderas horizontales y verticales sin fricción, como se muestra en la siguiente figura :

Se sabe que la aceleración "a" del centro de masa "G" de la barra se puede determinar en cualquier instante dado a partir de la posición de la barra, de su velocidad angular y de su aceleración angular en dicho instante. Si en un instante dado se conocen los valores de "?", "?" y "a" y se desea determinar el valor correspondiente de la fuerza "P", así como las reacciones en "A" y "B"; primero se determinan los componentes "ex" y "ay" de la aceleración del centro de masas "G". A continuación se aplica el principio de D"Alembert (ver figura siguiente), utilizando las expresiones obtenidas para "ax" y "ay". Entonces se pueden determinar las fuerzas des conocidas "P", "NA" y "NB" escribiendo y resolviendo las ecuaciones apropiadas.