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• Grismar Marin

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Cinematica del cuerpo rigido:

Definiciones basicas:

Un cuerpo rígido se puede definir como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian. Un cuerpo rígido es una idealización, que se emplea para efectos de estudios de cinemática, ya que esta rama de la mecánica, únicamente estudia los objetos y no las fuerzas exteriores que actúan sobre de ellos.

Rotacion pura: Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un sólido extenso de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante del eje de rotación.

Traslación pura: En física, la traslación es un movimiento en el cual se modifica la posición de un objeto, en contraposición a una rotación.

Posición angular: La posicion angular se puede definir como la ubicacion de la particula o cuerpo en cuestion con respecto al punto origen o eje de rotacion de un sistema circular.

Velocidad angular: La velocidad angular es la rapidez con la que varía el ángulo en el tiempo y se mide en radianes / segundos. (2 π [radianes] = 360°)

Por lo tanto si el ángulo es de 360 grados (una vuelta) y se realiza por ejemplo en un segundo, la velocidad angular es: 2 π [rad / s].

Si se dan dos vueltas en 1 segundo la velocidad angular es 4 π [rad / s].

Si se da media vuelta en 2 segundos es 1/2 π [rad / s].

La velocidad angular se calcula como la variación del ángulo sobre la variación del tiempo.

Aceleración angular: Se define la aceleración angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo. Se denota por la letra griega alfa α. Al igual que la velocidad angular, la aceleración angular tiene carácter vectorial.

Se expresa en radianes por segundo al cuadrado, o s-2, ya que el radián es adimensional.

La aceleración angular, al igual que la aceleración lineal, tiene dos componentes: la tangencial y la normal

La velocidad de un punto dentro de un cuerpo rigido, en funcion de la velocidad angular esta dada por:

V=Ωr , donde Ω es la velocidad angular y r la distancia radial del eje de rotacion al punto del cuerpo.

Vectorialmente, la relacion se da por medio de la ecuación:

V=ΩXr , expresandolo en el producto vectorial usual.

Al comprender estos conceptos, se puede comprender el siguiente paso que es la cinetica del cuerpo rigido, que ya involucra fuerzas que generan movimiento angular y plano general.

Movimiento relativo.

Supongamos el siguinte esquema. Un marco de referencia fijo y otro movil en un cuerpo a.

Cada particula A, B tiene un vector de posición definido como Ra y Rb, por la ley del paralelogramo

Rb=Ra+(Ra/b), este ultimo termino, R(a/b) representa la velocidad relativa de b respecto de a, es como si a estuviera quieto y b se moviera respecto a el. Cuerpo Rígido Sistema dinámico que no presenta deformaciones entre sus partes ante la acción de fuerzas. Matemáticamente, se define como cuerpo rígido aquel en que la distancia entre dos puntos cualesquiera del cuerpo permanece invariante. En estricto rigor, todos los cuerpos presentan algún grado de deformación. Sin embargo, la suposición de rigidez total es aceptable cuando las deformaciones son de magnitud despreciable frente a los desplazamientos de cuerpo rígido y no afectan la respuesta del cuerpo ante las acciones externas. Cuerpo Rígido en Movimiento Plano Caso en que cada partícula del cuerpo se mueve en forma paralela a un plano fijo. Nótese que este caso incluye tanto el caso de cuerpos planos propiamente tales, tales como láminas, discos, etc., moviéndose en su propio plano, como el caso de cuerpos espaciales que se mueven en la forma antes descrita. Configuración Supóngase un cuerpo rígido en movimiento plano. Dos rectas AB y CD fijas al cuerpo, forman ángulos q1 y q2 respectivamente con una referencia fija. Pero q1 = q2 + b?donde b? es constante. Esto quiere decir que si se conoce la posición angular de cualquier recta fija al cuerpo, se conoce la posición angular del cuerpo. Además, Dq1 = Dq2, por lo tanto, la velocidad angular W y la aceleración angular a son las mismas para cualquier recta fija al cuerpo. Para especificar la configuración de un cuerpo rígido en movimiento plano es conveniente utilizar un sistema de referencia S’ fijo al cuerpo con origen en O’. La configuración del cuerpo rígido queda completamente determinada mediante las coordenadas x(O’) e y(O’) y el ángulo q que forma x’ con x.

Centro Instantáneo de Rotación Supóngase que existe un punto fijo al cuerpo rígido, tal que su velocidad es nula en un instante dado. En la Ec. 5.1 desaparece entonces el primer término del lado derecho, es decir, el movimiento del cuerpo rígido es una rotación pura en torno al punto, que es conocido como Centro Instantáneo de Rotación CIR. Nótese que el CIR puede estar fuera del cuerpo, en cuyo caso debe entenderse como solidario a una extensión imaginaria de éste. La velocidad de un punto B cualquiera del cuerpo se puede expresar como: donde rB/CIR es el vector posición del punto B con respecto al CIR. En la figura siguiente se muestra un cuerpo rígido, el CIR y dos puntos cualesquiera A y B. Las velocidades de ambos puntos, dadas por la Ec. 5.3, son perpendiculares a los respectivos vectores posición con respecto al CIR: Geométricamente, el CIR se encuentra en la intersección de las rectas normales a las velocidades. Nótese que en general, la posición del CIR cambia a cada instante. La curva definida por la trayectoria del CIR en el espacio se denomina Base, o Polar Fija, o Riel. La curva definida por el CIR vista desde el

cuerpo se denomina Ruleta, o Polar Móvil, o Rodante. Nótese además que la condición de velocidad nula para el CIR no tiene implicancias sobre la aceleración, pudiendo tener cualquier valor.

Movimiento Plano de Cuerpos Rígidos: Fuerzas y Aceleraciones Movimiento Plano de un cuerpo rígido: Principio de D'Alembert La suma de los momentos de las fuerzas externas calculadas con respecto al centro de masa G, es igual al producto del momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje que pase por G y aceleración angular del cuerpo. El hecho de que dos sistemas equipolente de fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido son también equivalentes, tienen el mismo efecto sobre un cuerpo rígido. En este caso se redujo el principio de transmisibilidad. En consecuencia el principio de transmisibilidad puede eliminarse de la lista de axiomas que se utilizan en el estudio de los cuerpos rígidos y su mecánica. Estos axiomas se reducen a la ley de paralelogramo, para la suma de vectores y a las leyes de movimiento de newton. Solución de problemas que implican el movimiento de un cuerpo rígido Existe una relación entre la aceleración a y la aceleración angular. Se usan las tres ecuaciones algebraicas siguientes para resolver problemas de movimiento plano: Ecuaciones de Movimiento de un Cuerpo Rígido Sistemas de cuerpos rígidos Movimiento Plano restringido o vinculado Cantidad de Movimiento Angular de un cuerpo rígido en movimiento plano Traslación En este caso la sumatoria de las fuerzas externas es igual a m a fijo en G , ya que la aceleración angular es igual a cero. Rotación centroidal Se define como el momento en el que un cuerpo gira alrededor de un eje fijo perpendicular al plano de referencia y pasa por su centro de masa G.

La aceleración se hace cero y la fuerza se reduce: Movimiento Plano General Desde el punto de vista de la cinética el movimiento plano mas general de un cuerpo rígido simétrico, es la suma de la traslación y rotación centroidal. Suponiendo que en un cuerpo rígido actúan varias fuerzas externas, con relación al sistema de referencia Newtoniano oxyz, se expresa: Ahora el movimiento del cuerpo relativo al sistema Centroidal Gx'y'z', se expresa: Se considera una placa rígida con movimiento plano. La cantidad de movimiento angular de la placa al rededor de su centro de masa G puede calcularse considerando los momentos alrededor de G de las cantidades de movimientos de las partículas de las placas en su movimiento con respecto al sistema de referencia Oxy o Gx´y´.Se expresa: Como la partícula pertenece a una placa, v'= wxr, entonces: La sumatoria de (r^2)m representa el momento de inercia: Diferenciando ambos miembros: El movimiento de la placa está completamente definido por la resultante y el momento resultante alrededor de G de las fuerzas externas que actúan sobre ellas. El método anterior también puede ser empleado para resolver problemas de movimiento plano que impliquen varios cuerpos rígidos. Es posible dibujar un diagrama como el siguiente: Es el movimiento donde existen relaciones restringidas entre las componentes de la aceleración a, del centro de masa G y su aceleración angular. Mecanica Vectorial 24. - 24 -I.T.I 1º:I.T.I 1º:MECANICA IMECANICA II.T.I 1º:I.T.I 1º:MECANICA IMECANICA IDepartamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen SailaDepartamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila14.5.3 Centro instantáneo de rotación (CIR)En un movimiento plano cualquiera de un cuerpo rígido, no hay ningún punto que sehalle siempre en reposo. No obstante, en cada instante, es siempre posible hallar unpunto del cuerpo (o de su extensión), llamado CIR, que tenga velocidad nula.El CIR de un cuerpo rígido en movimiento plano cualquiera no es un punto fijo. Laaceleración del CIR no suele ser nula. Por tanto, diferentes puntos del cuerpo rígidoserán CIR en diferentes instantes y la situación del CIR se moverá respecto al tiempo.Para

situar el CIR trazaremos perpendiculares a lasvelocidades conocidas (de al menos dos puntos) y elpunto de corte indicará el CIR (punto C). Eso es debido aque la velocidad de C es nula y que las velocidades de Ay de B se calculan como:CBBCAA//rxkvrxkvωω== 25. - 25 -I.T.I 1º:I.T.I 1º:MECANICA IMECANICA II.T.I 1º:I.T.I 1º:MECANICA IMECANICA IDepartamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen SailaDepartamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen SailaSi las velocidades de los puntos A y de B fuesenparalelas, el CIR debería hallarse en la recta queune dichos puntos. Como el módulo de lavelocidad relativa es ωr, la situación del CIR sehalla por semejanza de triángulos.Una vez localizado el CIR, la velocidad de cualquier otro punto del cuerpo se podráhallar utilizando la ecuación de la velocidad relativa CDCDCD // rxkvvv ω=+=Si las velocidades de lospuntos fuesen iguales enun instante cualquiera, elcuerpo se hallaríainstantáneamente entraslación y ω = 0. (CIRen el infinito).Cuando dos o más cuerpos estén unidos por un pasador, podremos hallar un CIR paracada cuerpo. En general, estos CIR no coincidirán en posición. Como la velocidadabsoluta del punto que une dos cuerpos es la misma para cada uno de ellos, los CIR deuno y otro deberán estar sobre la recta que pase por el punto común de ambos cuerpos.