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Hidráulica I Tarea 1: Geometría de Sección Circular

A= área hidráulica P= perímetro mojado RH= radio hidráulico Y= tirante h= altura libre del segmento circular

El perímetro mojado de la sección circular es: 𝑃 = 𝜋𝐷 ∗

𝜃 𝐷∗𝜃 = 2𝜋 2

El área del circulo en función del Angulo es: 𝐴 = 𝜋 ∗ 𝑅2 ∗

𝜃 𝑅2 ∗ 𝜃 = 2𝜋 2

Si se disecciona el ángulo θ, y por tanto la porción triangular, se obtienen dos triángulos con área total: 𝑅𝑠𝑒𝑛

𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 ∗ 𝑅𝑐𝑜𝑠 = 𝑅 2 𝑠𝑒𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 2 2 2

Dado que el área del segmento es el área del sector menos el área de la porción triangular, se obtienen 𝜃 𝜃 𝜃 𝐴 = 𝑅 2 ( − 𝑠𝑒𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠 ) 2 2 2 Como: 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 ∗ 𝑅𝑐𝑜𝑠

𝜃 = 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 2

Entonces el área resulta: 𝜃 1 𝑅2 𝐴 = 𝑅 2 ( − 𝑠𝑒𝑛𝜃 ) = (𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃) 2 2 2

Hidráulica I 𝑇 2

𝑠𝑒𝑛 (𝜋 −

𝜃 ) 2

=

𝑇 2 𝐷 2

Donde T/D resulta como se muestra a continuacion 𝐷 2 𝜋−

𝜃 2

𝑇 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛 (𝜋 − ) 𝐷 2 Calculando RH:

𝑅2 𝐴 ( 2 (𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃)) (2𝑅 2 (𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃)) 𝑅𝐻 = = = 𝑅∗𝜃 𝑃 𝑅∗𝜃 4 Si d= -y + R, entonces cos(𝜃) =

−𝑦+𝑅 ) 𝑅 𝑦

𝜃 = 2 𝑐𝑜𝑠 −1 (1 − 𝑅) Sustituyendo θ a en la ecuación del área resulta: 𝐴=

𝑅2 𝑦 𝑦 [(2 𝑐𝑜𝑠 −1 (1 − )) − 𝑠𝑒𝑛 (2 𝑐𝑜𝑠 −1 (1 − ))] 2 𝑅 𝑅

𝐴 1 𝑦 𝑦 = [(2 𝑐𝑜𝑠 −1 (1 − )) − 𝑠𝑒𝑛 (2 𝑐𝑜𝑠 −1 (1 − ))] 2 𝐷 8 𝑅 𝑅 Sustituyendo θ a en la ecuación del perímetro resulta: 𝑦 −1 𝑃 (2 𝑐𝑜𝑠 (1 − 𝑅 )) = 𝐷 2 Sustituyendo θ a en la ecuación del Ancho de Superficie Libre resulta: 𝑦 (2 𝑐𝑜𝑠 −1 (1 − 𝑅 )) 𝑇 = 𝑠𝑒𝑛 (𝜋 − ) 𝐷 2 Sustituyendo θ a en la ecuación del Radio Hidráulico: 𝑦 𝑦 (2𝑅 2 [(2 𝑐𝑜𝑠 −1 (1 − 𝑅 )) − 𝑠𝑒𝑛 (2 𝑐𝑜𝑠 −1 (1 − 𝑅 ))]) 𝑅𝐻 = 𝑦 𝑅 ∗ (2 𝑐𝑜𝑠 −1 (1 − 𝑅 )) 𝑦 𝑦 −1 −1 𝑅𝐻 ([(2 𝑐𝑜𝑠 (1 − 𝑅 )) − 𝑠𝑒𝑛 (2 𝑐𝑜𝑠 (1 − 𝑅 ))]) = 𝑦 𝐷2 2𝑅 ∗ (2 𝑐𝑜𝑠 −1 (1 − 𝑅 )) Factor de Sección (Z):

Hidráulica I Z=ARH2/3 2/3 𝑦 𝑦 (2𝑅2 [(2 𝑐𝑜𝑠 −1 (1 − )) − 𝑠𝑒𝑛 (2 𝑐𝑜𝑠 −1 (1 − ))]) 𝐴 ∗ 𝑅𝐻 2/3 1 𝑦 𝑦 𝑅 𝑅 = [(2 𝑐𝑜𝑠 −1 (1 − )) − 𝑠𝑒𝑛 (2 𝑐𝑜𝑠 −1 (1 − ))] ∗ [ ] 𝑦 8 𝑅 𝑅 𝐷8/3 𝑅 ∗ (2 𝑐𝑜𝑠 −1 (1 − )) 𝑅

Tirante Hidráulico: 𝑅2 𝑦 𝑦 [(2 𝑐𝑜𝑠 −1 (1 − )) − 𝑠𝑒𝑛 (2 𝑐𝑜𝑠 −1 (1 − ))] 2 𝑅 𝑅 𝑦 (2 𝑐𝑜𝑠 −1 (1 − )) 𝑅 2𝑅𝑠𝑒𝑛 (𝜋 − ) 2 ( )

𝐴 𝑌= = 𝑇

A continuación, se presenta la tabla que muestra los valores de las ecuaciones planteadas en función del tirante en una circunferencia de diámetro unitario. y/D 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

A/D2 0.0000 0.0147 0.0409 0.0739 0.1118 0.1535 0.1982 0.2450 0.2934 0.3428 0.3927 0.4426 0.4920 0.5404 0.5872 0.6319 0.6736 0.7115 0.7445 0.7707 0.7854

RH/D2 0.1302 0.2541 0.3715 0.4824 0.5865 0.6838 0.7740 0.8569 0.9323 1.0000 1.0595 1.1106 1.1526 1.1849 1.2067 1.2168 1.2131 1.1921 1.1458 1.0000

T/D 0.0000 0.4359 0.6000 0.7141 0.8000 0.8660 0.9165 0.9539 0.9798 0.9950 1.0000 0.9950 0.9798 0.9539 0.9165 0.8660 0.8000 0.7141 0.6000 0.4359 0.0000

ARH2/3/D8/3 0.0038 0.0164 0.0382 0.0688 0.1076 0.1538 0.2065 0.2647 0.3271 0.3927 0.4600 0.5277 0.5941 0.6576 0.7162 0.7677 0.8093 0.8371 0.8439 0.7854

Y 0.0000 0.0337 0.0681 0.1034 0.1398 0.1773 0.2162 0.2568 0.2994 0.3445 0.3927 0.4448 0.5022 0.5665 0.6407 0.7296 0.8420 0.9963 1.2409 1.7681

Hidráulica I

Área Hidraulica 1.00 0.90 0.80 0.70

y/D

0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 0.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000

A/D^2

Radio Hidraulico 1.00 0.90 0.80 0.70

Y/D

0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 0.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

RH/D2

1.0000

1.2000

1.4000

Hidráulica I

Factor de Seccion (z) 1.00 0.90 0.80 0.70

Y/D

0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

ARH

0.5000

0.6000

0.7000

0.8000

0.9000

2/3/D8/3

Ancho de Superficie Libre (T) 1.00 0.90 0.80 0.70

Y/D

0.60

0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 0.0000

0.2000

0.4000

0.6000

T/D

0.8000

1.0000

1.2000

Hidráulica I

Tirante Hidraulico (Y) 1.00 0.90 0.80 0.70

y/D

0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 0.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

A/T

1.2000

1.4000

1.6000

1.8000

2.0000