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ECUACIONES CONSTITUTIVAS PARA FLUIDOS Y LAS ECUACIONES DE NAVIER-STOKES Introducción. Las ecuaciones para el fluido viscoso se conocen desde hace mas de 100 años. En su forma completa, dichas ecuaciones son muy difíciles de resolver, aún con las modernas computadoras. En efecto, para números de Reynolds altos (flujos turbulentos) las ecuaciones son imposibles de resolver con las técnicas matemáticas conocidas, debido a la dificultas de las condiciones de frontera. Las ecuaciones del flujo de los fluidos son bien conocidas. Se considera por varios autores serios que las básicas son tres (aunque puede haber cuatro o mas suplementarias) y se conocen como las leyes de conservación para sistemas físicos: a) Conservación de la masa (continuidad) b) Conservación de la cantidad de movimiento o momento (2ª ley de Newton) c) Conservación de la energía (1ª ley de la termodinámica) Es en la segunda donde, mediante la consideración de que el fluido se comporta como un fluido Newtoniano, se obtiene la ecuación de Navier-Stokes. En este trabajo se desarrollan las primeras dos ecuaciones de conservación, enseguida se habla acerca de las ecuaciones constitutivas, se obtiene la ecuación de Navier-Stokes y por último se presentan algunos ejemplos donde tiene solución exacta esta última.

Conservación de la masa. Haremos uso (sin el desarrollo correspondiente) de la expresión que nos permite convertir la variación de una propiedad cualquiera α en coordenadas Lagrangianas a coordenadas Eulerianas (también llamado Teorema de Transporte de Reynolds TTR):  ∂ α ∂ D + (α u k ) dV .............(1) α dV = ∫∫∫  ∫∫∫ Dt   ∂ t ∂ xk Una cierta masa de fluido de volumen V, puede cambiar su forma y/o tamaño pero su masa no, por el principio de conservación de la masa. Esto se expresa matemáticamente de la siguiente manera: D ρdV =0 .............(2) Dt ∫∫∫ Entonces, aplicando el TTR (ecuación 1) se obtiene:

∂ ρ

∫∫∫  ∂ t

+

 ∂ ( ρ u k ) dV = 0 ∂ xk 

Ecuación que se cumple solo si: ∂ρ ∂ + (ρ uk ) = 0 .............(3) ∂ t ∂ xk a la cual se le llama ecuación de conservación de la masa en su forma tensorial, o bien, ecuación de continuidad porque expresa que la velocidad es una función contínua.

Conservación del momento. Se trata de la aplicación de la segunda ley de Newton al movimiento de un elemento de fluido. Esto es, dada una masa de fluido en el marco de referencia lagrangiano, el cambio de cantidad de movimiento es igual a la suma de todas las fuerzas externas actuando en la masa. Las fuerzas externas que actúan se pueden dividir en fuerzas de cuerpo (como la gravitacional o la electromagnética) y fuerzas de superficie (como las fuerzas debido a la presión o las debidas a los esfuerzos viscosos). Sea f un vector que representa la resultante de las fuerzas de cuerpo por unidad de masa. La fuerza de cuerpo neta actuando en la masa de volumen V es: ∫∫∫ρfdV . Sea también P un vector que representa la resultante de las fuerzas de superficie por unidad de área, la fuerza neta externa actuando en la superficie S del volumen V es: ∫∫PdS. Y sea ρu el momento por unidad de masa, para el volumen V se tiene: ∫∫∫ρudV. Aplicando la segunda ley de Newton desde un marco de referencia Lagrangiano: D ρudV = ∫∫ Pds + ∫∫∫ ρfdV Dt ∫∫∫ Necesitamos analizar los esfuerzos que actúan en el elemento de volumen diferencial. Son en general nueve uno normal y dos cortantes en cada plano (son tres planos ortogonales):

Figura 1. Representación de las nueve componentes de esfuerzo actuando en un punto de un fluido.

Se pueden representar todos los esfuerzos mediante notación tensorial con el símbolo σij conocido como tensor de esfuerzos (de rango 2), donde tanto i como j varían de 1 a 3. Entonces, la fuerza P se puede representar por medio del tensor de esfuerzos y de un vector normal a la superficie con la expresión tensorial: Pj = σij ni. Con esto, la ecuación del momento anterior se puede representar en notación tensorial de la siguiente manera: D ρ u j dV = ∫∫ σ ij ni ds + ∫∫∫ ρf j dV Dt ∫∫∫ Al lado izquierdo de esta ecuación le podemos aplicar el TTR y al primer término del lado derecho le podemos aplicar el teorema de Gauss', que convierte una integral de superficie a una de volumen: ∂ σ ij  ∂ ∂ ρ ( ) ( ρ ) = u + u u dV j j k   ∫∫∫  ∂t ∫∫∫ ∂ xi dV + ∫∫∫ ρ f j dV ∂x k  De esta ecuación podemos factorizar el lado derecho e igualar los integrandos (que es la solución de la ecuación): ∂ σ ij ∂ ∂ (ρ u j ) + ( ρ u j uk ) = + ρf j ∂t ∂ xk ∂ xi Desarrollando los productos: ∂ uj ∂ u j ∂ σ ij ∂ρ ∂ρ uk ρ + uj + uj + ρ uk = +ρ fj ∂t ∂t ∂ xk ∂ xk ∂ xi

El segundo y tercer término del lado izquierdo representan la ecuación de continuidad multiplicada por uj y es igual a cero, por lo que, finalmente: ρ

∂ uj ∂t

+ ρ uk

∂ uj ∂xk

=

∂ σ ij ∂ xi

+ρ fj

Analizando esta última ecuación, el lado izquierdo representa la razón de cambio del momento de una unidad de volumen de fluido; el primer término es la aceleración temporal y el segundo es la aceleración convectiva (término no lineal). El lado derecho de la ecuación representa las fuerzas que causan la aceleración; el primer término es el gradiente de los esfuerzos cortantes en la superficie y el segundo es la fuerza de cuerpo (como la gravitacional) que actúa en la masa de fluido.

Tensor Rapidez de deformación. Pueden obtenerse las relaciones diferenciales para la deformación de un elemento de fluido analizando la siguiente figura:

Figura 2. Distorsión de un elemento de fluido en movimiento.

Definimos la velocidad angular ωz alrededor del eje z como el valor medio del giro, en la unidad de tiempo, de las líneas BC y BA del cuerpo:

ωz =

dΩ z 1  dα dβ  =  −  2  dt dt dt 

de donde:

 −1 ∂∂ vx dxdt  ∂ v dα = = lim  tan dt dt →0 dx + ∂∂ ux dxdt  ∂ x  −1 ∂∂ uy dydt  ∂ u dβ = = lim  tan dt dt →0 dy + ∂∂ vy dydt  ∂ y Entonces: dΩ z 1  ∂ v ∂ u   =  − 2  ∂x ∂y  dt Análogamente:

dΩ x 1  ∂ w ∂ v  dΩ y 1  ∂ u ∂ w   ; =  − =  − 2  ∂ y ∂ z  dt 2  ∂ z ∂ x  dt Usando la notación tensorial, definimos esta velocidad angular como el tensor velocidad de rotación:  ∂uj  & = 1  ∂ ui −  Ω ij 2  ∂x j ∂xi  Ahora, consideremos los esfuerzos cortantes. De la figura 2, la deformación por cortante es el promedio de la disminución del ángulo entre las líneas BC y BA; esto es: ½(dα+dβ). La velocidad de deformación por cortante es:

dε z 1  dα dβ  1  ∂ v ∂ u  =  + =  +  2  dt dt dt  2  ∂x ∂y  Análogamente:

dε x 1  ∂ w ∂ v  dε y 1  ∂ u ∂ w   ; =  + =  + dt 2  ∂ y ∂ z  dt 2  ∂ z ∂ x  Usando la notación tensorial, definimos esta velocidad de deformación como el tensor velocidad de deformación: ∂u j  1  ∂u  ε&ij =  i + 2  ∂ x j ∂ xi  Estos dos tensores constituyen la parte simétrica y antisimétrica de lo que llamamos: Tensor velocidad de deformación, que es la rapidez con que se deforma totalmente el volumen de fluido: ∂u j  1  ∂ u i ∂ u j  ∂ u i 1  ∂u +  = e&ij =  i − + 2  ∂ x j ∂ xi  2  ∂ x j ∂ xi  ∂ x j Este tensor es de suma importancia en fluidos y representa la rotación del elemento de fluido alrededor de un eje mas la deformación por cortante del mismo elemento de fluido.

Ecuaciones constitutivas. En esta parte se presentan las relaciones que existen entre los esfuerzos aplicados a una masa de fluido y las deformaciones que sufre. Por su comportamiento esfuerzo cortante vs deformación, los fluidos se pueden clasificar en: 1) Newtonianos: Son aquellos en los que el esfuerzo cortante aplicado es directamente proporcional a la deformación Para el caso general de flujo en tres dimensiones: ∂w ∂u ∂v τ xx = 2µ ;τ yy = 2µ ;τ zz = 2µ ∂x ∂y ∂z ∂ w ∂u  ∂v ∂ w ∂u ∂v  ;τ xz = τ zx = µ  ;τ yz = τ zy = µ  + + + τ xy = τ yx = µ  y x z y x z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂       Usando la notación tensorial, estas ecuaciones se pueden escribir de la siguiente manera:

σ ij = − pδ ij + λδ ij donde:

 ∂u ∂u j ∂u k + µ i +  ∂x ∂x k  j ∂x i

   

p: presión termodinámica λ: constante con unidades de viscosidad dinámica µ: viscosidad dinámica. δij: delta de Kronecker

2) No-Newtonianos: entre los que se encuentran:

a) Dilatantes: al aumentar la rapidez de corte, aumenta la viscosidad. Ejemplo: la arena, el lodo, almidón con alcohol y agua. En general, son líquidos con partículas.

b) Pseudoplásticos: para velocidades de corte pequeñas, hay gran viscosidad. La viscosidad va disminuyendo conforme aumenta el corte. Ejemplo: ciertos plásticos al fundirse, la sangre, el semen.

c) Viscoplásticos: se requiere cierto esfuerzo de cedencia para poder lograr el flujo. Como ejemplo más común tenemos la pasta dental. Cada material tiene una ecuación constitutiva de la forma: F(τ,e) = 0. Para los fluidos Newtonianos ya se presentó. Para los No-Newtonianos existen varios modelos empíricos tales como: 1.- Fluido de Ley de Potencias: ecuación empírica para movimiento de corte simple estacionario. τ = kγ& n o bien: n −1 τ = k γ& γ& donde k γ&

n −1

es la viscosidad y dependiendo del valor de n se tiene que:

- Si n = 1 se trata de un fluido Newtoniano. - Si n1 la expresión describe el comportamiento dilatante.

2.- Modelo generalizado de Binhamm viscoplástico: se representa por: n −1 τ − τ c = k γ& γ&;τ c : esfuerzodecedencia 3.- Fluidos Viscoelásticos: son soluciones poliméricas (agua + polímero). Si el polímero se encontrara hecho madeja (un relajo), al producirse un flujo cortante pasaría por las siguientes etapas: reposo, flujo cortante (en el cual, además de deformarse el polímero, se desplaza) y regresa a su estado contraido.

Figura 3. Fluido viscoelástico.

Puede suceder que los polímeros se encuentren enredados unos con otros formando pequeñas redes. Para modelar estos fluidos tenemos: A) El modelo de Maxwell: la ecuación constitutiva es:

τ +λ

∂τ = µγ&; λ : constante de relajamiento ∂t

B) Modelo de Voight: Imagine una esponja elástica a la que se introduce un fluido viscoso. Si se trata de deformar la esponja, la viscosidad se opondrá al movimiento debido a su viscosidad. El modelo es: ∂τ ∂γ& τ + λ1 = µ (γ& + λ 2 ) ∂t ∂t λ1 : tiempo de relajamiento

λ 2 : tiempo de retardo

La ecuación de Navier-Stokes. Ahora se encuentra todo preparado para desarrollar esta ecuación establecida por C.L.M.H Navier (1785-1836) y Sir George G. Stokes (1819-1903). Para nuestro propósito, retomaremos la ecuación de la conservación del momento en su forma tensorial: ∂ uj ∂ u j ∂ σi j ρ + ρ uk = +ρ fj ∂t ∂ xk ∂ xi Y la ecuación constitutiva para un fluido Newtoniano:

σ ij = − pδ ij + λδ ij

 ∂u ∂u j ∂u k + µ i +  ∂x ∂x k  j ∂x i

   

Debemos sustituir ésta última en la primera, solo que al hacerlo deberemos resolver la derivada ∂σij / ∂xi de la siguiente manera:

 ∂u ∂u j ∂σ ij ∂u ∂  = − pδ ij + λδ ij k + µ  i + ∂xi ∂xi  ∂x k  ∂x j ∂x i

∂σ ij ∂p ∂ =− + ∂x i ∂x j ∂x j

 ∂u k  λ  ∂x k

   

 ∂   ∂u i ∂u j  + +  µ  ∂ x i     ∂x j ∂x i

   

donde en los primeros dos términos, se ha reemplazado el subíndice i por el j, ya que cuando i = j esos términos son diferentes de cero. Sustituyendo este resultado en la ecuación de conservación de momento: ∂u j ∂u j ∂p ∂  ∂u k  ∂   ∂u i ∂u j  + λ + + ρu k =− + ρ µ  + ρf j ∂x k ∂x j ∂x j  ∂x k  ∂xi   ∂x j ∂xi  ∂t Esta es la famosa ecuación de Navier-Stokes y representa la conservación del momento para fluidos Newtonianos; de ella se pueden obtener tres ecuaciones escalares que corresponden a los tres valores posibles del índice libre j.

Aplicaciones de la ecuación de Navier-Stokes. Partiremos de la ecuación general e iremos haciendo algunas simplificaciones a manera de establecer los modelos aplicables a situaciones reales. 1.- Ecuación de Navier-Stokes para un flujo incompresible y viscosidad dinámica constánte: ∂u j ∂u j ∂2 u j ∂p ρ + ρ uk =− +µ + ρf j ∂t ∂xk ∂x j ∂xi ∂x j 2.- Adicionalmente, considerando un fluido ideal (viscosidad cero), se obtiene la ecuación de Euler: ∂u j ∂u j ∂p ρ + ρ uk =− + ρf j ∂t ∂xk ∂x j 3.- Integrando la ecuación anterior a lo largo de una línea de corriente, se obtiene la ecuación de Bernoulli:

∫

dp

ρ

+ 12 u ⋅ u − g = C

4.- Flujo de Couette plano: Es un flujo estacionario unidireccional con gradiente de presión cero en la dirección del flujo, incompresible y viscoso entre dos placas horizontales de longitud infinita, una fija y la otra moviendose con velocidad Uo. Sea X1 la dirección del flujo. El campo de velocidades para el flujo de Couette es de la forma: U 1 = U ( x2 ) ; U 2 = 0 ; U 3 = 0 De la ecuación de Navier-Stokes a plicada en la dirección de X1, considerando las condiciones de frontera U(0)=0 y U(d)=Uo se obtiene: U x U ( x2 ) = o 2 d X2 Uo

d

X1 U=0 Figura 4. Flujo de Couette plano.

5.- Flujo de Poiseuille plano: Es un flujo estacionario unidireccional de fluido viscoso e incompresible a lo largo de un canal con dos paredes planas infinitas y estacionarias. Sea X1 la dirección del flujo. El campo de velocidades para el flujo de Poiseuille es de la forma: U 1 = U ( x2 ) ; U 2 = 0 ; U 3 = 0 De la ecuación de Navier-Stokes a plicada en la dirección de X1, considerando las condiciones de frontera U(-b)=0 y U(b)=0 se puede mostrar que el gradiente ∂p / ∂x1 = C y se obtiene: ∂p  1  2  b − x 22  U ( x2 ) = − ∂x1  2 µ 

(

)

X2

b X1 b

U=0 Figura 5. Flujo de Poiseuille plano.

6.- Flujo de Hagen-Poiseuille: Es un flujo estacionario unidireccional axialsimétrico en un cilindro circular. El campo de velocidades es de la forma: U 1 = U ( r ) ; r 2 = x22 + x32 = 0 ; U 2 = 0 ; U 3 = 0 Este campo de velocidades satisface la ecuación de continuidad: ∂u1 ∂u2 ∂u3 + + =0 ∂x1 ∂x2 ∂x3 para cualquier función de U1.

X2

A Hab B

X1

Lab

g Figura 6. Flujo de Hagen-Poiseuille.

Basados en la figura y de la ecuación de Navier-Stokes a plicada en las tres direcciones X1, X2 , X3 :

0=−

 ∂ 2u ∂ 2u  ∂p + ρgsenθ + µ  2 + 2  ∂x1  ∂x 2 ∂x 3 

∂p − ρg cos θ ∂x 2 ∂p 0=− ∂x 3 0=−

Manipulando las ecuaciones anteriores, se llega al campo de velocidades:   1  ∂p β d2 − ρgsenθ  − r 2 ;β =  u = −  4 4 µ  ∂x1   7.- Flujo de Couette: Es un flujo estacionario en dos dimensiones de un fluido incomplesible y viscoso entre dos cilindros infinitos concéntricos, causado por la rotación de ambos con velocidad angular constánte. Para este flujo, el campo de velocidades es de la siguiente forma en coordenadas cilíndricas: U r = 0 ; U φ = U (r ) ; U z = 0

Figura 7. Flujo de Couette

De la ecuación de Navier-Stokes se llega a:  r22 r12 1  2 2 (Ω 2 − Ω1 ) Uφ = 2 r r r Ω − Ω − 2 2 1 1 2  r r2 − r1  

(

)

Conclusiones. No cabe duda que las ecuaciones que gobiernan el movimiento de los fluidos son de suma importancia para su estudio teórico ya que, aunque desde hace más de 100 años que se les conoce, a la fecha no tienen solución exácta. Claro que con el desarrollo de las potentes computadoras se han logrado soluciones aproximadas para algunos casos particulares, pero estamos todavía lejos de resolver el problema. Las diversas aplicaciones que se mostraron en la última parte de este trabajo son importántes por su uso en la práctica. Aunque, a decir verdad, la aplicación que más se usa

es la ecuación de Bernoulli, pero no la que considera flujo no viscoso, sino una modificada que se combina con la ecuación de la energía e involucra términos de pérdidas por fricción debido precisamente a la viscosidad. Esta ecuación, al aplicarse entre dos secciones de un flujo (no a lo largo de una línea de corriente) es: p1 V12 p2 V22 + + z1 + H B − HT − H P = + + z2 γ 2g γ 2g H B : energía suministrada por bombas HT : energía cedida a turbinas H P : pérdida de energía de 1 a 2 Se debe reconocer que, aún cuando no se pueden resolver las ecuaciones diferenciales manejadas en este trabajo, la técnica ha desarrollado bastantes sistemas que se basan en el movimiento de los fluidos, para ello, ha tenido que acudir a la experimentación, que es un método muy valioso con que cuenta la Mecánica de Fluidos.

Bibliografía. * White, Frank M. Viscous Fluid Flow McGraw Hill Second edition * White, Frank M. Mecánica de fluidos McGraw Hill * Currie, I.G. Fundamentals Mechanics of fluids McGraw Hill * Lai-Rubin-Krempl Introduction to Continuum Mechanics Pergamon Press Inc.