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ECUACIONES CONSTITUVAS – ( LEYES TENSIÓN DEFORMACIÓN ) OBJETIVO : Estudiar las leyes tensión deformación del material, con el fin de arribar a planteos de problemas de elasticidad lineal, en los cuales el número de incógnitas sea igual al número de ecuaciones. Podemos decir que una ecuación constitutiva es, una ecuación que tiene explícito un efecto en función a un número, n, de causas dadas. La ecuación constitutiva más conocida es la ley de Hooke, que para el caso unidimensional sabemos que es :

σ =E ε *

La ley de Hooke interpreta el comportamiento de un material elástico y lineal :

1

Distintos tipos de materiales :

2

Vamos a trabajar con materiales elásticos y lineales. Homogeneidad e isotropía : Un material es homogéneo cuando en todos sus puntos tiene las mismas propiedades físicas o mecánicas. Y un material es isótropo en un punto dado cuando sus propiedades físicas o mecánicas son las mismas para cualquier dirección que pasa por el punto. LEY GENERALIZADA DE HOOKE PARA MATERIALES ELÁTICOS LINEALES ANISÓTROPOS : Vamos a trabajar con deformaciones explícitas :

εx = εx(σx , σy , σz , τxy ,τxz ,τyz ) εy = εy (σx , σy , σz , τxy , τxz , τyz ) εz = εz (σx , σy , σz , τxy , τxz , τyz ) γxy = γxy (σx , σy , σz , τxy ,τxz ,τyz ) γxz = γxz (σx , σy , σz , τxy , τxz , τyz ) γyz = γyz (σx , σy , σz , τxy , τxz , τyz ) εx = a11σx + a12σy + a13σz + a14τxy + a15τxz + a16τyz

εy = a σx + a σy + a σz + a τxy + a τxz + a τyz εz = a σx + a σy + a σz + a τxy + a τxz + a τyz γxy = a σx + a σy + a σz + a τxy + a τxz + a τyz γxz = a σx + a σy + a σz + a τxy + a τxz + a τyz γyz = a σx + a σy + a σz + a τxy + a τxz + a τyz 21

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41

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aij , constantes elásticas que caracterizan al material.

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εx σx εy σy εz σz =a γxy τxy γxz τxz γyz τyz ij *

(1)

La ( 1 ) es la ley generalizada de Hooke. Si el material es isótropo y estamos en el estado unidimensional la única constante elástica distinta de cero es a11. DETERMINACIÓN DE LAS RELACIONES ENTRE LAS CONSTANTES ELÁSTICAS DE UN MATERIAL : Materiales elásticos lineales anisótropos : Si el material es elástico y lineal se cumple que tiene 21 constantes elásticas diferentes.

aij = aji por lo tanto la matriz

Para justificar esto nos basamos en un ejemplo. Tomamos una barra simplemente apoyada sometida a la acción de las carga Pi, y Pj:

Como estamos bajo la hipótesis de material elástico y lineal, podemos expresar la estructura como la sumatoria de otras dos, porque al ser el material elástico y lineal, vale el principio de superposición de efectos.

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Ahora, aplicamos el teorema de los trabajos virtuales, dos veces, despreciando las el trabajo interno del esfuerzo de corte y el esfuerzo axil : 1º, suponiendo que el estado E1 es el sistema equilibrado, y el E2, el sistema deformado.

Pi * δi ( Pj ) = ∫ M ( Pi ) * l

M ( Pj ) dx EJ

(2)

Como resultado, obtendremos el trabajo realizado por la fuerza desplazamiento (

δi ( Pj ) )

δi , debido a la causa Pj

Pi ,

( provocado por la causa )

en el

Pj

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2º, suponiendo que el estado E2 es el sistema equilibrado, y el E1, el sistema deformado. Como resultado, obtendremos el trabajo realizado por la fuerza desplazamiento (

δj ( P i ) )

δj ,

Pj ,

en el

debido a la causa ( provocado por la causa )

Pj * δj ( Pi ) = ∫ M ( Pj ) *

Pi

M ( Pi ) dx EJ

(3) l Si observamos los segundos miembros de la ( 2 ) y la ( 3 ), vemos que son iguales. Por lo tanto, los primeros, también deben serlo; es decir :

Pi * δi ( Pj ) = Pj * δj ( Pi ) A esta igualdad se la conoce como ley de Beti, o ley de los trabajos recíprocos. Y cuando las P son positivas y unitarias, queda :

eij = eji Y se lee: el efecto en i, debido a una causa positiva y unitaria en j, es igual, al efecto en j, debido a una causa positiva y unitaria en i, y se la conoce con el

6

nombre de Ley de Maxwell. Si aplicamos esta ley a la matriz de constantes elásticas, se obtiene :

aij = aji , que es lo que queríamos demostrar.

Materiales elásticos lineales, isótropos y homogéneos ( cumplen con la ley de Hooke ) : Las tensiones normales no producen distorsiones, ni la tensiones tangenciales producen deformaciones específicas. Para entender esta propiedad de los materiales elásticos lineales, isótropos y homogéneos, estudiaremos un punto genérico de una estructura. Lo aislamos del continuo idealizando su forma ( cubo sin dimensiones ) y suponemos un

σ ≠0

y estado de solicitación tal, que sólo .En la figura representamos al cubo y a algunas de las infinitas direcciones que pasan por él.

Al ser isótropo el material, poseerá las mismas propiedades mecánicas en todas las direcciones que pasen por ese punto. Por lo tanto :

7

r r pi −1iz = pi −1de r r pi iz = pi de r r pi +1iz = pi +1de Como debe cumplirse

∑ Fx = 0 , también deberán serlo los desplazamientos

horizontales, por lo que, en ese punto, el sólido sólo se alongará en dirección Y, y se contraerá en dirección X, pero no experimentará distorsiones. Esto puede verse fácilmente, si reemplazamos al continuo por un modelo discreto de bielas. Modelo m1

Todas las barras poseen igual EA, y a la fuerzas en los nudos superiores de 10 t.

σy

se la ha reemplazado por dos

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Si deseamos ver lo que ocurre en un material anisótropo, modificamos la rigidez de las bielas 6, 7, comprobando que, para estos materiales las tensiones normales sí producen distorsiones, y por la ley de Beti, las tensiones tangenciales producirán deformaciones específicas.

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Por lo dicho anteriormente, la matriz de constantes elásticas, para materiales elásticos lineales, isótropos y homogéneos, queda :

a11

a12

a13

0

0

0

a21 a31 0 0 0

a22 a32 0 0 0

a23 a33 0 0 0

0 0 a44 a54 a64

0 0 a11 a11 a65

0 0 a11 a11 a66

Matriz de constantes elásticas a la cual podemos particionar en 4 submatrices de 3x3.

a11 a12 a11 0 = a 21 a 22 0 a 22 De las no nulas, la submatriz

a11

, contiene las constantes elásticas que

relacionan las deformaciones específicas ( ε x , ε y , ε z ) con las tensiones normales ( σ x , σ y , σ z ), y la las

distorsiones

a 22 , las constantes elásticas que relacionan

( γ xy , γ xz , γ

yz )

con

las

tensiones

tangenciales

( τ xy ,τ xz ,τ yz ).

Determinación de los valores de las constantes de la matriz

a11 :

10

Recordando que :

μ=−

ε transversal ε longitudinal

coeficiente de Poisson, es fácil

determinar los valores de elementos de esta matriz. Suponemos que sólo

σi ≠ 0 ,

y analizamos el valor de

ε x ; tendremos :

ε xσ = x

σx E

σy

ε x = −μ * ε y = −μ ε xσ = − μ * ε z = − μ z

σy E

σz E

Como vale el principio de superposición de efectos, la deformación específica total según x, la obtenemos sumando :

σy

ε x = ε xσ + ε x + ε xσ x

εx =

σx E

−μ

σy E

−μ

z

σz E

11

De esta última expresión deducimos que :

a11 =

μ 1 , a12 = a13 = E E

Finalmente :

[

]

[

]

[

]

1 ε x = σ x − μ (σ y + σ z ) E Por analogía :

1 ε y = σ y − μ (σ x + σ z ) E 1 ε z = σ z − μ (σ x + σ y ) E

El signo menos delante de μ, nos dice que los estados triaxiales modifican la rigidez de las estructuras. De la expresiones de

ε y , y, ε z , vemos que :

1 μ , a21 = a23 = E E 1 μ a33 = , a31 = a32 = E E a22 =

Expresiones que verifican la ley de los trabajos recíprocos. Determinación de los valores de las constantes de la matriz

a 22 :

En un material isótropo, las tensiones tangenciales sólo producen distorsiones en los planos correspondientes, es decir :

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τ xy , sólo produce γ xy

τ xz , sólo produce γ xz τ yz , sólo produce γ yz Por lo cual, en la matriz

a 22 , sólo los términos de la diagonal principal serán

distintos de cero, y por la ley de Hooke valdrán todos,

1 G

, G Æ módulo de

elasticidad transversal, y recordando la relación entre G, E, y, μ :

G=

E 2(1 + μ )

Por lo cual, vemos que un material elástico lineal isótropo y homogéneo, sólo posee 2 contantes elásticas ( de 21 pasamos a 2…! ) E, y, μ:

1 E −

μ

μ

E 1 E

− −

μ E

μ

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0

E

E 1 E

0

0

0

2(1 + μ ) E

0

0

0

0

2(1 + μ ) E

0

0

0

0

0

−

E

−

μ

E

−

μ

2(1 + μ ) E

Para demostrar la afirmación de que las tensiones tangenciales sólo producen distorsiones en los planos correspondientes, podemos basarnos en un modelo discreto similar al anterior, pero espacial. Podemos basarnos en el modelo m1 pero ahora debemos verlo como si fuera una de las cuatro caras de una torre en cuyos nudos superiores actúan fuerzas horizontales en una dirección coincidente con la de dos de las barras que definen la sección transversal ( sección cuadrada ) . Si las características mecánicas de todas las barras ( de

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todas las direcciones que pasan por el punto ) son iguales, sólo habrá distorsiones en los planos laterales de la torre donde actúan las fuerzas ( las otras dos secciones transversales no distorsionan ) En cambio, si modificamos las características mecánicas de, por ejemplo, las cruces de san andrés, se producirán distorsiones en las cuatro caras laterales ( caso del material anisótropo ) Ley de Hooke generalizada para materiales elásticos lineales, isótropos y homogéneos, en la forma de tensiones explícitas : Para llegar a esta forma de la ley de Hooke, nos basamos en la ( 1 ).

σx εx σy εy σz εz =a τxy γxy τxz γxz τyz γyz ij *

Invertimos la matriz

aij μ μ μ 1 μ μ μ 1 1

−1

aij =

(1)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0

E 0 1− μ 2 0

0

0 1− μ 0 2

0

0

0

1− μ 2

0

0

0

0

0

1− μ 2

y premultiplicamos a ambos lados de la ( 1 ) obteniendo la ley de Hooke en forma de tensiones explícitas.

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[

]

[

]

[

]

E ε x + μ (ε y + ε z ) 2 1− μ E σy = ε y + μ (ε x + ε z ) 1− μ 2 E σz = ε z + μ (ε x + ε y ) 1− μ 2 E τ xy = γ xy 2(1 + μ ) E τ xz = γ xz 2(1 + μ ) E τ yz = γ yz 2(1 + μ )

σx =

Caso Particular :

τ xy = τ xz = τ yz = 0,

en este caso los planos xy, xz, yz, son planos

principales, y la terna xyz, es terna principal de tensiones. También se observa que por estar considerando un material elástico lineal, isótropo y homogéneo,

γ xy = γ xz = γ yz = 0 ,

por lo que

ε x , ε y , ε z son

deformaciones

principales; por lo tanto la terna xyz también es terna principal de deformaciones. Para el caso de un material anisótropo la terna principal de tensiones no coincide con la terna principal de deformaciones, porque

γ xy , γ xz , γ yz , son distintos de cero aunque τ xy = τ xz = τ yz = 0. Las γ xy , γ xz , γ yz , existen porque las tensiones normales son distintas de

cero.

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