• Author / Uploaded
• BETO

Citation preview

LEY DE HOOKE GENERALIZADA Las ecuaciones de transformación de esfuerzo obtenidas hasta el momento no requirieron de las propiedades de los materiales. Ahora nos ocuparemos de obtener las deformaciones unitarias en el material, lo que significa que se deben considerar sus propiedades. Sin embargo, llevaremos a cabo nuestro análisis en materiales que cumplan dos condiciones importantes: El material es uniforme en todo el cuerpo y tiene las mismas propiedades en todas las direcciones (material homogéneo e isotrópico) El material sigue la ley de Hooke (material linealmente elástico). ECUACIONES CONSTITUTIVAS Consideraremos las deformaciones unitarias normales ∈x , ∈y , ∈z en esfuerzo plano. Los efectos de dichas deformaciones que muestran los cambios de dimensiones de un elemento infinitesimalmente pequeño con bordes de longitud a, b, y c. Las 3 deformaciones unitarias ilustradas son positivas (alargamientos). Las deformaciones unitarias pueden expresarse en términos de los esfuerzos individuales; por ejemplo la deformación unitaria ∈x en la dirección x debido σ a los esfuerzos σx es igual a x⁄E , donde E es el módulo de elasticidad. −vσy

⁄E , donde v es la razón de Poisson. Por supuesto, el esfuerzo cortante τxy no produce deformaciones unitarias normales en las direcciones x, y o z. Entonces, la deformación unitaria resultante en la dirección x es: Además, la deformación unitaria ∈x debida al esfuerzo σy es igual a

1

∈𝑥 = 𝐸 (𝜎𝑥 − 𝑣𝜎𝑦 ) ----- (1) Obtenemos las deformaciones unitarias en las direcciones y y z de manera similar: 1

∈𝑦 = 𝐸 (𝜎𝑦 − 𝑣𝜎𝑥 ) ----- (2)

1

∈𝑧 = − 𝐸 (𝜎𝑥 − 𝑣𝜎𝑦 ) ----- (3)

Estas ecuaciones pueden usarse para encontrar las deformaciones unitarias normales (en esfuerzo plano) cuando se conocen los esfuerzos.

El esfuerzo cortante τxy ocasiona una distorsión del elemento tal que cada cara z se convierta en un rombo. La deformación unitaria cortante γxy es la disminución del ángulo entre las caras x y y del elemento y se relaciona con el esfuerzo cortante mediante la ley de Hooke en cortante como sigue: 𝛾𝑥𝑦 =

𝜏𝑥𝑦 𝐺

----- (4)

Donde G es el módulo de elasticidad del cortante. Obsérvese que los esfuerzos normales σx y σy no afectan la deformación unitaria cortante γxy .En consecuencia las ecuaciones anteriores dan deformaciones unitarias (en esfuerzos planos) cuando todos los esfuerzos (σx , σy , γxy ) actúan al mismo tiempo. Las primeras 2 ecuaciones (1 y 2) dan deformaciones unitarias ∈x y ∈y en términos de los esfuerzos. Estas ecuaciones pueden resolverse simultáneamente para los esfuerzos en términos de las deformaciones unitarias: 𝐸

𝜎𝑥 = 1−𝑣2 (𝜖𝑥 + 𝑣𝜖𝑦 )

𝐸

𝜎𝑦 = 1−𝑣2 (𝜖𝑦 + 𝑣𝜖𝑥 )

Además, tenemos la siguiente ecuación para el esfuerzo cortante en términos de la deformación unitaria cortante: 𝜏𝑥𝑦 = 𝐺𝛾𝑥𝑦

Estas ecuaciones son útiles para encontrar los esfuerzos (en esfuerzo plano) cuando se conocen las deformaciones unitarias. Por supuesto, el esfuerzo normal σz en la dirección z es igual a 0. Todas las ecuaciones anteriores se conocen colectivamente como ley de Hooke para esfuerzo plano. Contienen tres constantes de material (E,G y v) pero solo dos son independientes debido a la relación 𝐺=

𝐸 2(1 + 𝑣)

TEORÍAS DE FALLA (CRITERIOS DE FLUENCIA Y FRACTURA) Las teorías de fractura, o más generalmente teorías de falla, tratan de predecir el momento en que un elemento puede fallar. Dicha falla se puede describir como una deformación plástica excesiva o en el peor de los casos fractura del elemento. La suposición básica que

constituyen el marco de referencia para todas las teorías de fractura es que está se dará cuando el valor máximo del parámetro en el estado multiaxial de esfuerzos (esfuerzos principales σ1 y σ2 ) alcance ó supere el valor del mismo parámetro en la prueba de tensión simple. A continuación, se mencionan las más importantes, así como el tipo de material para él que son válidas. 1. 2. 3. 4.

Teoría del esfuerzo normal máximo (materiales frágiles) Teoría del esfuerzo cortante máximo (materiales dúctiles) Teoría de la energía máxima de distorsión (materiales dúctiles) Teoría de Mohr modificada (materiales frágiles) TEOREMAS DE CASTIGLIANO

Carlo Alberto Castigliano (1847-1884), un ingeniero italiano, conocido por sus aportaciones en el estudio de las estructuras estáticamente indeterminadas, publicó alrededor de 1879, dos teoremas relacionados con tales estructuras que en la actualidad se conocen como el Primero y Segundo Teoremas de Castigliano. El Primer Teorema trata de las relaciones entre cargas y desplazamientos con la energía interna de deformación en estructuras elásticas lineales. El segundo teorema, conocido también como método del Trabajo Mínimo, se aplica en el análisis de estructuras indeterminadas, particularmente armaduras, vigas continuas y marcos rígidos. PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO. El teorema se escribe: “La primera derivada parcial de la energía de deformación total de la estructura, con respecto a una de las cargas aplicadas, es igual al desplazamiento en el sentido de la carga”. Para estructuras sometidas a flexión, (vigas y marcos) el teorema se expresa de la siguiente manera: Desplazamientos lineales: L

 

M

x

0

 Mx dx  P EI

Giros o rotaciones: L

 

M 0

x

 Mx dx  M EI

Donde:  = Desplazamiento lineal en el punto de aplicación de la carga P.

 = Giro o rotación del punto donde se aplica un momento M. Mx = Ecuación de momentos a lo largo de la estructura. EI = Rigidez a la flexión. Módulo elástico por momento de inercia de la sección.  = Significa derivada parcial.

PARA ARCOS: 

 

M



0



 

M 0



 M r d  P EI

 M r d  M EI

r = Radio del arco M = Ecuación de momentos a una abertura . Cuando se busca un desplazamiento lineal en un punto de la estructura debe colocarse una carga puntual “P” en ese punto y en la dirección deseada. Cuando se busca un giro o rotación, se coloca un momento de intensidad “M”. Cuando P y M existen en el punto debe sustituirse su valor después de haber derivado e integrado. Si P y M no existen en ese punto, entonces su valor es cero, pero debe sustituirse después de haber derivado e integrado. PARA ARMADURAS: Solo se calculan desplazamientos lineales.

 



n

1

 S L   S  P AE   

Donde: S = Fuerza interna en las barras de la armadura para la carga aplicada y para la carga P. L = Longitud de cada barra de la armadura. AE = Rigidez axial de las barras; área por módulo elástico. P = Carga puntual, real o imaginaria. En algunos casos es conveniente que primero se obtengan las ecuaciones de momento para las cargas reales y después para la carga P, o el momento M y luego se suman por superposición. Lo mismo para las armaduras, primero se obtienen las fuerzas internas para la carga real y luego para la carga P. La aplicación de este teorema requiere que la estructura sea estable y estáticamente determinada.

SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO. Este teorema es de gran utilidad para la solución de estructuras estáticamente indeterminadas. Para su aplicación se hace necesario elegir una estructura que sea estable y estáticamente determinada, esto es, que sea isostática. La estructura isostática, llamada también fundamental o primaria, se obtiene cambiando o retirando soportes de tal modo que la estructura pueda desplazarse libremente. Posteriormente se reinstalan las reacciones en los soportes cambiados o retirados para regresar a la estructura a su posición original. A estas fuerzas de reacción desconocidas se les llama “Redundantes” y son las incógnitas principales del método. Una vez calculadas las redundantes es posible mediante equilibrio estático, conocer el resto de las incógnitas. La viga de la figura 11), es indeterminada en grado 1, (Tiene una redundante) y se desean obtener las posibles estructuras primarias.



P M2

R1

R2 Fig.11

Primer caso. Retirando el soporte izquierdo, queda una viga en voladizo con empotramiento en el extremo derecho lo que la hace estable y estáticamente determinada. El soporte 1) bajará verticalmente la distancia p. P p

Para regresar al punto 1) a su posición original será necesario reinstalar la reacción R1 y retirar la carga aplicada P. Esta fuerza desconocida desplazará el punto 1) la cantidad R, de la misma magnitud que p. A esta fuerza se le llama Redundante. R = R1.

R R1

Segundo caso. Cambiando el empotramiento en 2) por un apoyo simple fijo, queda una viga simplemente apoyada que es estable y estáticamente determinada. Al cambiar el empotramiento por un apoyo simple permitimos que la viga pueda girar un ángulo p.



P

p

Puesto que la viga original está empotrada, no debe girar y será necesarios reinstalar el momento M2 para que el extremo 2) gire un ángulo M de la misma magnitud que p. El momento M2, necesario para que la viga regrese a su posición inicial, es la Redundante. R = M2 . En resumen la redundante o las redundantes serán las fuerzas desconocidas que actúan en los soportes que se retiran o que se cambian. Este teorema se escribe de la siguiente manera: “El trabajo interno realizado en cada elemento o en cada parte de una estructura estáticamente indeterminada, sujeta a un conjunto de cargas externas, es el mínimo posible que se necesita para mantener el equilibrio al resistir la acción de las cargas”. W  0 R

R = Redundante o fuerza de reacción desconocida. Para elementos sujetos a flexión como vigas y marcos se escribe: L

 M x  dx  0 R  AE

 M x  0

Mx = Ecuación de momentos a lo largo del elemento estructural o estructura. R = Redundante. Para armaduras predominan las deformaciones por carga axial y la energía interna de deformación se reduce a:

  S  L   in1 S i  1    0   R  AE  Si = Fuerza interna en cada una de las barras. L = Longitud de cada barra. A = Área de la sección transversal de cada barra. E = Módulo de elasticidad del material de que está echa cada barra. Para estructuras curvas como los arcos, el trabajo se escribe: θ

 Mθ  r dθ  0  R  EI

 Mθ  0

r = Radio R = Redundante.