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UNIVERSIDAD NACIONAL “DANIEL ALCIDES CARRIÓN” FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA METALÚRGICA

FENOMENOS DE TRANSPORTE ===================================================

TEMA: ECUACION DE CONTINUIDAD

DOCENTE: ING. ESTRELLA MUCHA, Walter INTEGRANTES: 1. CAUCHOS MORAN, Fernando 2. LOPEZ VIDAL,Jhosvell 3. PALIZA FRANCO, Melissa 4. TORIBIO MALPARTIDA,Joselyn

GRUPO: 10 SEMESTRE: V

Cerro de Pasco 2019 FFENOMENOS DE TRANSPORTE

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PRESENTACIÓN Todo trabajo de investigación tiene por objetivo esencial llevarnos a conocer una realidad, por lo tanto mi meta es el lograr demostrar la importancia que tiene estas ecuaciones en el estudio de la dinámica de fluidos; siendo así este arduo trabajo una gran satisfacción, al poder entregarle a usted, un análisis sobre este tema. En este trabajo he recopilado gran cantidad de conocimientos, haciendo de este mismo a más de un plan, una ayuda para aquellos que se centren en el estudio de esta valiosa e intrigante rama, como lo es la Física. Esta monografía es una gran herramienta que nos ayuda a fomentar en nuestras vidas el instinto de la investigación, la misma que nos llevará camino a la excelencia.

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INDICE 1.

INTRODUCCION............................................................................................................................... 4

2.

OBJETIVOS ........................................................................................................................................ 5 2.1 OBJETIVO GENERAL ...................................................................................................................... 5 2.2 OBJETIVO ESPECIFICO .................................................................................................................. 5

3.

MARCO TEORICO ........................................................................................................................... 6 3.1

ECUACION DE CONTINUIDAD ............................................................................................. 6

3.1.1

ECUACION DE CONTINUIDAD EN UN PUNTO ............................................................ 7

3.1.2

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD EN EL TUBO DE CORRIENTE ...............................10

3.2 CAUDAL DE MASA CONSTANTE EN EL TIEMPO CONSTANTE .....................................10 3.3. PARA CAUDAL DE MASA VARIABLE EN EL TIEMPO Y EL RECORRIDO. ................13 4.

ECUACION DE BERNAULLI ........................................................................................................14

5.

ECUACION DE BERNOULLI PARA TUBOS HORIZONTALES .................................................16 5.2 ECUACIÓN DE BERNOULLI REDUCIDA ...................................................................................18

6.

CONCLUCION .................................................................................................................................20

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1. INTRODUCCION La ecuación de continuidad, también denominado ecuación de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes: 1. Cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido. 2. Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea. 3. Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee. La siguiente ecuación conocida como "Ecuación de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos términos. V2 δ 2

+ P + δgz = constante

El Teorema de Bernoulli es un caso particular de la Ley de los grandes números, que precisa la aproximación frecuencia de un suceso a la probabilidad de que este ocurra a medida que se va repitiendo el experimento. También estudiaremos las ecuaciones de continuidad, las que se obtienen del Principio de la Conservación de la Masa aplicada al escurrimiento de fluidos, a través de un “volumen de control”. En efecto, considerando un volumen arbitrario, fijo en el espacio e inmerso en un medio continuo en movimiento que lo ocupa en cada punto y en todo instante es evidente que; el balance entre la masa entrante y saliente a través de la superficie del mismo y en un instante dado, más la variación de la masa en su interior y con la variable tiempo.

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2. OBJETIVOS

2.1 OBJETIVO GENERAL  Investigar los conceptos acerca de la ecuación de la continuidad y la importancia en estudio de la hidrodinámica.  Investigar el concepto de la ecuación de Bernoulli y su aplicación en los fluidos.

2.2 OBJETIVO ESPECIFICO  Especificar la obtención de la ecuación final de la continuidad, mediante las sumatoria (U), en los diferentes procesos de continuidad.  Obtener la ecuación final de Bernoulli, por pasos

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3. MARCO TEORICO 3.1

ECUACION DE CONTINUIDAD

Estudiaremos las ecuaciones de continuidad, las que se obtienen del Principio de la Conservación de la Masa aplicada al escurrimiento de fluidos, a través de un “volumen de control”. En efecto, considerando un volumen arbitrario, fijo en el espacio e inmerso en un medio continuo en movimiento que lo ocupa en cada punto y en todo instante (tal como se esquematiza en la Figura 1) es evidente que; el balance entre la masa entrante y saliente a través de la superficie del mismo y en un instante dado, más la variación de la masa en su interior y con la variable tiempo tendiendo a cero, da inexorablemente una masa resultante nula, puesto que ésta no puede crearse ni desaparecer.

Figura 1

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El principio enunciado se resume simbólica y escuetamente como:

(m s - m e) + Δmi = 0 En la expresión anterior m simboliza la masa y los subíndices indican, "saliente, "entrante" e “interior”. Obviamente, el símbolo implica la "variación" de la masa en el tiempo, y es la diferencia entre masa final y masa inicial en el tiempo elemental considerado. Al escribir la expresión, despejando el paréntesis que implica el balance de masa a través de la superficie lateral, la interpretación del principio de la masa puede interpretarse en forma más directa, puesto que el balance entre masa entrante y saliente por la superficie de control, es compensado por la variación de la masa en el interior del volumen de control. En símbolos:

(ms – me) = - Δmi Las ecuaciones a obtener dependen de la forma del Volumen de control adoptada. Si ésta es el cubo elemental de lados diferenciales, se obtiene la ecuación diferencial de continuidad en un punto, en cambio si el volumen de control elegido es el Tubo de corriente, la que se obtiene es la Ecuación Diferencial de Continuidad en el mismo, de suma utilidad para la consideración de los Escurrimientos Unidimensionales.

3.1.1 ECUACION DE CONTINUIDAD EN UN PUNTO Es la que se obtiene, al considerar como volumen de control al elemento diferencial de lados dx, dy y dz.

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Figura 2

Consecuentemente para obtener la ecuación buscada, se considera el cubo de lados diferenciales dx, dy, dz, es decir el punto material 2) fijo en el espacio cartesiano. Para las tres coordenadas z; y; x; desarrollaremos el paréntesis que implica el "balance total de masa en un instante dado".

La masa entrante según el eje x resulta de multiplicar el "caudal de masa" según x por dt, en efecto:

dqm = ρ dq = ρ u dx dy dt = m ex La masa saliente resulta:

m ex = m ex + (m ex) dx

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Es decir:

Ρ u dx dv dt + (ρ u dx dv dt) dx El balance o diferencia entre masa saliente y masa entrante resulta:

m ex – m ex = dx/dv (ρ u dz dx dt) dv Extrapolando el mismo procedimiento a los ejes y, z, se tiene:

m sy – m ey =dx/dv (ρ u dz dx dt) dv m sz – m ez = dx/dv(ρ w dx dv dt) dz Sumando ahora e igualando a 0, con el propósito de obtener la ecuación de resultante del principio de la conversión de más aplicada al volumen elemental de lados dx, dy, dz, y eliminando además los diferenciales comunes, se tiene:

(ρu) +

𝜕 (ρv) 𝜕𝑦

+

𝜕 (ρω) 𝜕𝑧

+

𝜕 𝜕𝑡

=0

La que escrita en notación vectorial resulta:

div (ρV) +

𝜕𝜌 𝜕𝑡

=0

Si se considera ρ=cte. En el espacio y el tiempo, la anterior se reduce a:

div V =

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𝜕𝑢 𝜕𝑥

+

𝜕𝑣 𝜕𝑦

+

𝜕𝑤 𝜕𝑧

=0

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Que es la ecuación de continuidad para la masa especifica considerada como constante, es decir que su cumplimiento de por sí, una “condición de incompresibilidad”. 3.1.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD EN EL TUBO DE CORRIENTE Es la que se obtiene, cuando el volumen de control es el “Tubo de Corriente” (ver Figura 3) es decir cuando el escurrimiento es Unidimensional, caso que cubre el vasto campo de aplicación de las Conducciones a Presión y a Superficie Libre (Canales). 3.2 CAUDAL DE MASA CONSTANTE EN EL TIEMPO CONSTANTE A continuación se realizará la deducción, en forma similar a la anterior, y destacando que por ser el tubo de corriente impermeable (por definición no puede admitir velocidades normales) el balance de masas entrante y saliente solo tendrá lugar entre las secciones de inicio y final, caracterizadas, por los subíndices 1 y 2 respectivamente.

Figura 3

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A éste tipo de escurrimiento, cuando la variación de la masa es nula en el tiempo y variable en el recorrido, se lo denomina “semipermanente”. Con estas consideraciones se obtendrá la Ecuación de Continuidad, en la forma de mayor uso en las aplicaciones que constituyen los objetivos fundamentales de nuestra asignatura. El desarrollo consiste en elaborar la expresión que sintetiza la interpretación del Principio de Conservación de la Masa, aplicado ahora al volumen de control “Tubo de corriente” y teniendo en cuenta la variación del mismo en el tiempo, como consecuencia de la variación de masa en el recorrido.

(m s – m e) + Δm i = 0 El proceso es análogo al anterior, pero simplificado dado que ahora el espacio está expresado en una sola coordenada l, puesto que como es lo habitual y obligado en conducciones unidimensionales, el sistema de referencia adoptado es la terna intrínseca. La velocidad U es la definida como “Velocidad media en la sección, según se analizó oportunamente en Cinemática. Considerado el elemento diferencial dl del tubo de corriente, se tiene que la masa entrante resulta de multiplicar el Caudal de masa entrante por el tiempo diferencial dt, en efecto:

me = ρ Q dt = ρ U Ω dt La masa saliente, resulta de sumar a la anterior, su variación en el espacio dl, es decir:

𝜕 𝜕𝑙

Ms = ρ UΩ dt + (ρ UΩ dt) dl Por lo que el balance entre masa saliente y masa entrante, resulta

𝜕

ms - me = (ρ UΩ dt) dl 𝜕𝑙

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Para completar la ecuación, se debe considerar ahora la variación en el tiempo, de la masa contenida dentro del volumen de control. La masa inicial es:

mi = ρ Ω dl La masa final, luego de un instante dt, es:

𝜕 (ρ 𝜕𝑡

mf = ρ Ω dl +

Ω dl) dt

La diferencia entre masa final y masa inicial resulta, en consecuencia.

Δmi =

𝜕 𝜕𝑡

(ρ Ωdl) dt

Para obtener la expresión final, solo resta concretar la suma entre el balance de masa entrante y saliente y la variación de masa en el interior del volumen de control (tubo de corriente en este caso) lo que resulta:

𝜕 𝜕𝑙

(ρ UΩ dt) dl +

𝜕 𝜕𝑡

(ρ Ωdl) dt = 0

Dividiendo por los diferenciales comunes, finalmente se obtiene:

𝜕 𝜕𝑙

(ρ UΩ) dl +

𝜕 𝜕𝑡

(ρ Ω) = 0

La anterior constituye la ecuación diferencial de continuidad, para escurrimiento unidimensional (en tubo de corriente) en la que el caudal de la masa entrante no varía con el tiempo. Su aplicación es trascendente en la problemática de escurrimientos permanentes (transitorios) tanto en conducciones a presión como a superficie libre.

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La ecuación diferencial de continuidad, para ρ = cte en el espacio y el tiempo, se reduce a.

𝜕 𝜕𝑙

(UΩ) dl +

𝜕 𝜕𝑡

(Ω) = 0

Para el régimen permanente y desde que el primer paréntesis es el caudal que atraviesa la sección, al anterior se reduce a.

𝜕Q 𝜕𝑙

=

𝜕 𝜕𝑡

(U Ω) = 0

En consecuencia:

Q = U Ω = cte Al anterior es expresión de la ecuación de continuidad para escurrimiento permanente, unidimensional (en tubo de corriente) de un fluido incompresible. Constituye la ecuación de vital importancia en el diseño y cálculo de conducciones a presion, a superficie libre (canales) y en general para la hidráulica unidimensional del régimen permanente. 3.3. PARA CAUDAL DE MASA VARIABLE EN EL TIEMPO Y EL RECORRIDO. La ecuación es la siguiente.

𝜕 𝜕𝑙

(ρ UΩ) +

1 𝜕 U 𝜕𝑡

(ρ UΩ) +

𝜕 𝜕𝑡

(ρ Ω) = 0

En este caso, conocido también como de permanencia total, la ecuación cuenta con u sumado, y tal como puede obtenerse, la deducción para ese caso lleva a la ecuación general.

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4. ECUACION DE BERNAULLI

La Ecuación de Bernoulli constituye una de las leyes más importantes en el estudio de la dinámica de los fluidos, se basa esencialmente en la conservación de la energía mecánica. Consideremos un tubo de corriente estrecho, como el de la figura, por el que circula un fluido ideal en régimen estacionario.

Fuente: Física Vectorial 2 de Vallejo Zambrano

En la física la ecuación de Bernoulli es la fórmula más importante de toda esta parte de hidrodinámica. Es la que más se usa y es la que trae más problemas. La fórmula completa para el caso general es: 1

Pe + δ ѵ2e + δ g he 2

1

=

Ps + δ ѵ2s + δ g hs 2

Esta fórmula es la ecuación de la conservación de la energía para el líquido que van dentro del tubo. Al plantear esta ecuación, lo que uno plantea es la conservación de la energía. Bernoulli no se puede plantear si el líquido tiene viscosidad. La viscosidad es el rozamiento de los líquidos. Si hay rozamiento, la energía no se conserva.

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El significado de cada término de la ecuación es: Pent = Presión a la entrada. Va en Pascales = Newton /m2 Psal = Presión en la salida. Va en Pascales = Newton /m2 Delta: (δ) Es la densidad del líquido. Va en Kg/m3 Ѵent = Velocidad del líquido en la entrada. Va en m/s Ѵsal = Velocidad del líquido en la salida. Va en m/s g = Aceleración de la gravedad (= + 10 m/s2) Hent = Altura del líquido en la entrada. Va en m. Hsal = Altura del líquido en la salida. Va en m. Esta ecuación se puede usar siempre, que el líquido no tenga viscosidad. Sirve si el tubo es vertical, horizontal o si está inclinado. Una situación complicada que puede aparecer es tubo inclinado. Sería este caso:

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5. ECUACION DE BERNOULLI PARA TUBOS HORIZONTALES

Si el tubo está horizontal la ecuación se reduce un poco. Desaparecen los términos de la ecuación que tenían h. Esto pasa porque al ser el tubo horizontal, la altura en la entrada es igual a la altura en la salida. Entonces, para tubos horizontales la ecuación queda así: 1

Pe + δ ѵ2e 2

1

= Ps

+ δ ѵ2s 2

Se pueden poner las presiones del mismo lado de la ecuación. En ese caso la fórmula de Bernoulli queda:

Pe – Ps =

1 2

δliq (ѵ2s - ѵ2e )

De las ecuaciones de continuidad y Bernoulli sacamos varias ideas importantes: CONCEPTO 1: Tengamos en cuenta a mayor sección, menor velocidad donde de la ecuación de continuidad se hace una deducción importante: si el valor VxS siempre se tiene que mantener constante, entonces donde el tubo sea más angosto la velocidad será mayor.

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Donde el tubo es más angosto, la velocidad es más grande ( ѵ2 ˃ ѵ1).

Esto pasa porque el caudal que circula es constante. Entonces si el tubo se hace más angosto, para que pueda circular el mismo caudal, la velocidad de líquido tiene que aumentar. Exactamente lo contrario pasa si el caño se hace más ancho. La velocidad del líquido tiene que disminuir para que pueda seguir pasando el mismo caudal. CONCEPTO 2: A mayor velocidad, menor presión algo importante que se puede deducir de la ecuación de Bernoulli es que en el lugar donde la velocidad del líquido que circula sea mayor, la presión será menor. Aclaración importante: esto pasa solo si el tubo es horizontal. Es decir que si la velocidad a la salida aumenta, la presión en la salida va a disminuir. CONCEPTO 3: A mayor sección, mayor presión por un lado, a menor sección, mayor velocidad (Continuidad). Por otro lado a mayor velocidad, menor presión (Bernoulli en tubos horizontales). Uniendo estas 2 ideas en una sola, se puede decir que a menor sección, menor presión. O lo que es lo mismo, a mayor sección, mayor presión. FFENOMENOS DE TRANSPORTE

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Uniendo los tres conceptos fundamentales de la hidrodinámica tenemos las siguientes ecuaciones

 Mayor sección, menor velocidad = ѵ1 ˂ ѵ2 ˂ ѵ3  Mayor velocidad, menor presión = P1 ˂ P2 ˂ P3  Mayor seccion, mayor presion = S1 ˃ S2 ˃ S3 = P1 ˃ P2 ˃ P3

5.2 ECUACIÓN DE BERNOULLI REDUCIDA Para un tubo horizontal se cumplen las ecuaciones de continuidad y de Bernoulli:

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Despejando la velocidad de salida Vs de la ecuación de continuidad Por continuidad ѵe Se = ѵs . Ss

ѵs =

ѵe.Se Ss

Remplazando ѵs en la ec. de Bernoulli

Pe – Ps =

1 2

δliq (ѵ2s -ѵ2e )

Esta ecuación es importante en algunos casos porque ahorra cuentas. Generalmente no te dan como dato las velocidades a la entrada y a la salida del tubo. Casi siempre suelen darte las secciones.

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6. CONCLUCION Concluyo esta monografía con el objetivo de haber llegado a entender lo importante es el estudio de los fluidos en la rama de la ingeniería, y sobre todo en la aplicación de fenómenos de transporte. A la vez también llegamos a comprender de la obtención de las ecuaciones la cual tenemos, el de Bernoulli en lo que es estudio de lo fluido incompresibles, en los diferentes tipos de tuberías, como las de tubos horizontales y tubos reducidos, tuvo con diferencia de sección etc. También la ecuación de continuidad que va junto con la de Bernoulli, pero en caudales de continuidad

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7. BIBLIOGRAFIA



Jerry D. Wilson, Anthony J. Buffa – 2003.”Fisica” pagina 330.



Jacqueline Lelong-Ferrand, Jean Marie Arnaudies, Jean-Marie Arnaudiès 1983 “Ecuaciones diferenciales, integrales múltiples” pagina 141.

 

Raymond A. Serway, Jerry S. Faughn – 2001”fisica” pagina 277 Notas de clase por el IN.ESTRELLA MUCHA, Walter.

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