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• JEAN PIERRE MENDOZA HUAMAN

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Diseño y técnicas de muestreo Estadística Aplicada Mg. Adiel Omar FLORES RAMOS

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Propósito semanal • Distingue los métodos de muestreo. • Identifica las distribuciones muestrales.

Contenido • Definiciones básicas. • Muestreo • Distribuciones muestrales

Definiciones básicas

Definiciones básicas • Datos • Unidad de análisis • Estadística • Población • Muestra • Parámetro • Estadístico • Tipos de datos

Población y muestra

8-3

¿Por qué obtener muestras de la población? • Existe una imposibilidad física de verificar todos los elementos de la población. • El costo de estudiar todos los elementos de una población es alto. • Los resultados de la muestra suelen ser adecuados. • Contactar a toda la población es tardado, por la naturaleza destructiva de ciertas pruebas.

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8-3

¿Por qué obtener muestras de la población? • La inferencia estadística es un procedimiento mediante el cual se estiman los parámetros (es decir las características) de la población, a partir de las estadísticas o caracteres de las muestras. • El propósito de extraer una muestra de una población consiste en obtener información acerca de esta última. • Es muy importante que los individuos incluidos en la muestra constituyan una sección representativa de los sujetos que componen la población. “Las muestras deben ser representativas”.

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Población y Muestra

ELEMENTOS BASICOS DE LA POBLACION

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Población objeto

Unidad de muestreo

Conjunto de individuos de los que se quiere obtener una información

Número de elementos de la población, que se van a estudiar. Todo miembro de la población pertenecerá a una y sólo una unidad de muestreo.

Unidad de Análisis

Objeto o Individuo del que hay que obtener la información

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Marco muestral

Muestra

Lista de unidades o Elementos de muestreo.

Conjunto de Unidades o elementos De análisis Sacados del marco

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Sujetos u objetos de estudio • Es necesario definir las unidades de análisis (personas, organizaciones, etc.) • Ejemplo: Alumnos de la Escuela de Postgrado de la UC que ingresaron en el periodo 2010 al 2016.

• Determinar a los sujetos de estudio, depende de precisar con claridad el problema y los objetivos de investigación.

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DECISIONES DE M U E S T R E O No. 1:

¿Debo tomar una muestra ?

Se quiere saber cómo se comporta una cierta característica en un Universo particular Hacer un Censo

Sí

El Universo está bien definido ?

NO Definir El Universo

Sí

Es posible observar todo el Universo ?

NO

Tomar una Muestra No representativa

NO Observar una Muestra

Se quiere inferir la medición al Universo

Las observaciones solo pueden atribuirse a la muestra, NO a los miembros del Universo

?

Sí

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Las observaciones pueden atribuirse a los miembros del Universo

Tomar una Muestra Representativa

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Las observaciones pueden atribuirse a los miembros del Universo 13

Delimitación de la población • Una vez definida la unidad de análisis, se procede a delimitar la población.

• Población Marco, es el conjunto de todos los casos que concuerdan con una serie de especificaciones. • Es necesario delimitar las características esenciales del marco poblacional, (poblaciones de características).

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Definición y tipos de muestra • Es un sub conjunto de elementos que tienen una característica común capaz de ser evaluada y que pertenecen al conjunto llamado población. • Todas las muestra deben ser representativas.

• Tipos de muestra: Probabilísticas y no probabilísticas.

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Grado de error (imprecisión) de la inferencia • Debido a la aleatoriedad, los valores de un mismo estadístico difieren de una muestra a otra. • Esta variabilidad introduce un error en la estimación (error aleatorio). • Este error puede medirse, pues las medias de los estimadores siempre se distribuyen “normalmente” (Teorema del límite central) aunque los mismos estimadores no lo hayan hecho.

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ERROR ALEATORIO Cuando se mide el estadístico en diferentes muestras tomadas aleatoriamente los resultados son variables. Esta variabilidad del estadístico se denomina error aleatorio y es causada por el azar.

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Muestras probabilísticas

Muestras no probabilísticas

• Son aquellas donde todos los elementos de la población tienen la misma posibilidad de ser escogidos.

➢ La elección de los elementos de la población no depende de la probabilidad.

• Se obtiene definiendo las características de la población, el tamaño de la muestra y a través de una selección aleatoria.

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➢ Obedece características planteadas por investigador.

a

el

➢ Están afectadas por decisiones subjetivas y pueden estar sesgadas.

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Muestreo probabilístico

Tipos de muestreo probabilístico • Muestreo aleatorio simple. • Es el procedimiento de seleccionar muestras en el que al seleccionar en forma aleatoria y sin reemplazo a “n” unidades de muestreo de una población que contiene un total de N unidades, se garantiza que cada una de las muestras posibles tiene la misma probabilidad de ser elegida.

Tipo de muestreo probabilístico • Muestreo aleatorio estratificado . • Estratificar significa dividir a la población en varias partes de acuerdo a ciertas características de sus elementos. El objetivo de estratificar la población es buscar homogeneidad entre los estratos, a fin de reducir el error estándar de los estimadores.

Tipo de muestreo probabilístico • Muestreo sistemático. • En el muestreo sistemático, se debe elegir un elemento del marco muestral cada cierto intervalo. Este muestreo supone que se cuenta con una enumeración completa de los elementos de la población. El tamaño del intervalo (K), se calcula como el valor recíproco de la fracción de muestreo.

Tipo de muestreo probabilístico. • Muestreo por conglomerados. • Este muestreo es útil cuando las unidades de análisis en la población se consideran agrupadas en conglomerados. Cada conglomerado constituirá una unidad de muestreo.

DECISIONES DE M U E S T R E O No. 3:

Selección de una Muestra Representativa Se quiere estimar un Parámetro del Universo partiendo de una Muestra Representativa

Variable Cualitativa

¿De qué naturaleza es el Parámetro a estimar?

Muestreo Representativo para estimar una Proporción

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Variable Continua

Muestreo Representativo para estimar una Media

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Definición del Tamaño Muestral La definición del siguientes factores

tamaño

muestral

depende

de

los

1 . Los objetivos del estudio. 2 . Los conocimientos previos sobre el comportamiento de la característica en la población.

3 . Los recursos técnicos y financieros para obtener la información. 4 . El error máximo que se permitirá el analista. 5 . La confiabilidad de la inferencia esperada por el analista.

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DECISIONES DE M U E S T R E O No. 4:

Definicion Del Tamaño Muestral La Variable de muestreo es CUALITATIVA Intención de describir la variable (Estudios descriptivos)

La Variable de muestreo es CONTINUA

Se ha decidido tomar una muestra representativa del Universo

Intención de relacionar la variable con otras (Estudios analíticos) 17/01/2018

Estudio de Seguimiento

Estudio de Casos

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DECISIONES DE M U E S T R E O No. 4:

Definicion Del Tamaño Muestral La Variable de muestreo es CUALITATIVA Intención de describir la variable (Estudios descriptivos)

La Variable de muestreo es CONTINUA

Se ha decidido tomar una muestra representativa del Universo

Intención de relacionar la variable con otras (Estudios analíticos) 17/01/2018

Definición de tamaño muestral para una Proporción conocida Definición de tamaño muestral para una Proporción desconocida Definición de tamaño muestral para una varianza conocida Definición de tamaño muestral para una Varianza desconocida

Estudio de Seguimiento

Estudio de Casos

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No. 5: Definición del tamaño muestral n para una Variable Cualitativa cuyo comportamiento se conoce (p se conoce) Se quiere medir una variable CUALITATIVA (proporción p) en una Muestra Representativa

Definir la confiabilidad de la medición ()

Definir el máximo error aleatorio admisible (Error Estándar ES)

𝑛 = 𝑍𝛼ൗ2 17/01/2018

2 𝑝𝑞

𝐸2

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Ejercicio 1 La oficina de planificación familiar de cierto distrito desea determinar la proporción de familias con un ingreso anual de S/. 30 000. Estudios previos han indicado que esta proporción era de 20%. a. ¿Qué tamaño muestral se requiere para asegurar con una confianza de 0,95 que el error en la estimación de esta proporción no sobrepase a 0,05? b. En qué forma variará el tamaño de la muestra si el máximo error permisible es reducido a 0,01?

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Ejercicio 1. Solución

n 

(1.96) 2 (0.20) (0.80)

= 245.86

(0.05)2

• n = 246

n 

(1.96) 2 (0.20) (0.80) (0.01)

2

• = 6146.56

• n = 6147 17/01/2018

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No. 6: Definición del tamaño muestral n para una Variable Cualitativa cuyo comportamiento se DESCONOCE (p desconocida) Se quiere medir una variable CUALITATIVA (proporción p) en una Muestra Representativa

Definir la confiabilidad de la medición ()

Definir el máximo error aleatorio admisible (Error Muestral EM)

𝑛 = 𝑍𝛼ൗ2

2 0.25

𝐸2

Se asumen los valores máximos de P y Q: P=0.5 Q=0.5 17/01/2018

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No. 7: Definición del tamaño muestral n para una Variable CONTINUA cuya variación se conoce Se quiere medir una variable CONTINUA (MEDIA X) en una Muestra Representativa

Definir la la Confiabilidad Z Esperada

Definir La Desviación Estándar (σ) Conocida

n

= Z2

Definir el Error Estándar (ES) Esperado

σ2 ES2

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Ejercicio 2 A fin de conocer el gasto mensual en medicinas por familia, el Gerente de Marketing de un laboratorio farmacéutico desea determinar el tamaño de la muestra que le proporcione un nivel de confianza de 0,95. Además conoce por estudios anteriores que las compras medias por familia eran de S/. 120 mensuales, con una desviación estándar de 30. El Gerente busca un tamaño de muestra que le permita estimar el nivel de gasto con un error de 10

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Ejercicio 2. Solución

n=

Z2 

2

e2

1,96  30  2 10  2

n=

2

n = 36 17/01/2018

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No. 8: Definición del tamaño muestral n para una Variable CONTINUA cuya variación se Desconoce Se quiere medir una variable CONTINUA (MEDIA X) en una Muestra Representativa

Definir la la Confiabilidad Z Esperada

Estimar o suponer La Desviación Estándar (S) Esperada

n

= Z2

Definir el Error Estándar (ES) Esperado

s2 ES2

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Tamaño de la muestra (n) para poblaciones finitas

n

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no * N no  ( N  1)

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Muestreo no probabilístico

MUESTRAS NO PROBABILÍSTICAS • Llamadas también muestra dirigidas, se determinan mediante un procedimiento de selección informal y arbitrario.

• Selecciona sujetos “típicos” con la esperanza de que serán casos respresentativos de una población determinada.

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MUESTRA NO PROBABILÍSTICAS • Desventaja: No se puede calcular el error estándar, por tanto no se conoce el nivel de confianza de la estimación. • Ventaja: Es útil para diseñar estudios que no requieren necesariamente “representatividad de elementos de la población, sino una cuidadosa elección de sujetos con ciertas características especificadas previamente en el planteamiento del problema”.

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Clases de muestras dirigidas • Muestra de sujetos voluntarios. • Son frecuentes en ciencias sociales, ciencias de la conducta, medicina, arqueología, etc. Se usan en estudios de laboratorio, donde se procura sean sujetos homogéneos en variables como edad, sexo, inteligencia. 17/01/2018 17/01/2018

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Clases de muestras dirigidas • Muestra a juicio de expertos. • Son frecuentes en estudio cualitativos y exploratorios. • Son válidas y útiles cuando los objetivos del estudio así requieren.

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Clases de muestras dirigidas • Muestra de sujetos-tipo. Se utiliza en estudios exploratorios de tipo cualitativo, donde el objetivo es la riqueza, profundidad y calidad de la información y no la cantidad y la estandarización. Se aplican en estudios motivacionales, o en análisis de valores, ritos y significados de grupos sociales.

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Clases de muestras dirigidas • Muestra por cuotas. Se utiliza en estudios de opinión y de mercadotecnia. Se aplican cuestionarios a sujetos que transitan en la calle y se va llenando cuotas de acuerdo con la proporción de ciertas variables demográficas en la población.

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Distribuciones muestrales Estadística Aplicada Mg. Adiel Omar FLORES RAMOS

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Propósito semanal • Reconocer como la distribución muestral de un estadístico; • Identificar el principio básico acerca de la distribución muestral de medias de muestra y la distribución muestral de proporciones de muestra.

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Contenido • Distribuciones muestrales • Distribución muestral de un estadístico. • Distribución muestral de medias de muestra. • Distribución muestral de proporciones de muestra.

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Distribuciones muestrales

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Distribuciones muestrales • La distribución muestral de un estadístico (como una porción muestral o una media muestral), es la distribución de todos los valores del estadístico cuando se obtienen todas las muestras posibles del mismo tamaño n de la misma población.

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Distribuciones muestrales

Distribución muestral de la media

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Distribución muestral de la media

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Ejemplo • Consideremos la población que consiste en los valores 1, 2, 5. El McGwire Electronics Center estuvo abierto sólo durante tres días, por un personal de ventas descortés, a un pobre plan de negocios, publicidad ineficaz y a una ubicación inadecuada. • Durante el primer día se vendió un teléfono celular, durante el segundo día dos teléfonos celulares y sólo cinco durante el tercer día.

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Ejemplo • Ya que los valores 1, 2, 5 constituyen una población completa, consideremos muestras de tamaño 2. Con sólo tres valores poblacionales, hay únicamente nueve posibles muestras diferentes de tamaño 2, suponiendo que el muestreo se realiza con reemplazo. Es decir, se reemplaza cada valor seleccionado antes de realizar una nueva selección.

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EJEMPLO Distribución muestral de la media • Una población se compone de los valores 1, 2, 5. Identifique la distribución muestral específica de la media de las muestras de tamaño n = 2, que se seleccionan aleatoriamente con reemplazo, de la población 1, 2, 5. • También, calcule la media de esta distribución muestral. ¿Coinciden las medias de muestra con el valor de la media poblacional?

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Ejemplo

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Variabilidad de muestreo • Las medias de muestra varían. Observe que las medias de muestra son diferentes. • La primera media de muestra es 1.0, la segunda media de muestra es 1.5, etcétera. Esto nos conduce a la siguiente definición.

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Distribuciones muestrales

Distribución muestral de proporciones

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Distribución muestral de proporciones

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Distribución muestral de proporciones • Uno de los usos clásicos de la estadística inferencial es el cálculo de alguna proporción muestral y su aplicación para hacer una inferencia acerca de la proporción poblacional. • Encuestadores de la organización Gallup le preguntaron a 491 adultos que se seleccionaron al azar si estaban a favor de la pena de muerte para una persona que sentenciaron por homicidio. • Los resultados mostraron que 319 individuos (o el 65% de ellos) se manifestaron a favor. El resultado muestral conduce a la inferencia de que “el 65% de todos los adultos están a favor de la pena de muerte para una persona sentenciada por homicidio”. Mg. Adiel Omar FLORES RAMOS

Ejemplo: Distribución muestral de proporciones • Una población se compone de los valores 1, 2, 5. Para cada muestra de tamaño n = 2, considere la proporción de números impares. • Identifique la distribución muestral para la proporción de números impares y después calcule su media. ¿Coinciden las proporciones muestrales con el valor de la proporción poblacional?

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Solución

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Propiedades de la distribución de proporciones muestrales • Las proporciones muestrales tienden a coincidir con el valor de la proporción poblacional. • En ciertas condiciones, la distribución de proporciones muestrales se aproxima a una distribución normal.

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Distribuciones muestrales

Estimadores de parámetros

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¿Cuáles estadísticos son buenos estimadores de parámetros? • La Estadística Inferencial, estudia métodos formales para el uso de estadísticos muestrales que nos permitirán hacer estimaciones de los valores de parámetros de población. • Algunos estadísticos funcionan mucho mejor que otros, por lo cual es posible juzgar su valor examinando sus distribuciones muestrales.

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Ejemplo: Distribuciones muestrales • Una población se compone de los valores 1, 2, 5. Seleccione aleatoriamente muestras de tamaño 2 con reemplazo. a) Para cada muestra calcule la media, mediana, rango, varianza, desviación estándar y la proporción de valores muestrales impares. b) Para cada estadístico, calcule la media de los resultados del inciso a. c) Compare las medias del inciso b con los parámetros de población correspondientes; después, determine si cada estadístico coincide con el valor del parámetro poblacional.

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Ejemplo: Distribuciones muestrales

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Interpretación • Con base en los resultados, observamos que cuando se utiliza un estadístico muestral para estimar un parámetro de población, algunos estadísticos son buenos porque coinciden con el parámetro poblacional y, por lo tanto, tienden a producir buenos resultados. • Estadísticos como éstos se denominan estimadores sin sesgo. Otros estadísticos no son tan buenos (ya que son estimadores sesgados). • Estadísticos que coinciden con los parámetros poblacionales: media, varianza, proporción • Estadísticos que no coinciden con los parámetros poblacionales: mediana, rango, desviación estándar Mg. Adiel Omar FLORES RAMOS

Interpretación • Aunque la desviación estándar muestral no coincide con la desviación estándar poblacional, el sesgo es relativamente pequeño en muestras grandes, de manera que con frecuencia utiliza s para estimar σ. • Por consiguiente, a medias, proporciones, varianza y desviaciones estándar se les considerará importantes, pero la mediana y el rango se utilizarán en pocas ocasiones.

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Estimaciones y tamaños de muestra Estadística Aplicada Mg. Adiel Omar FLORES RAMOS

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Propósito semanal • Realiza inferencias estadísticas basados en el cálculo de parámetros.

Contenido • Distribuciones muestrales • Estimadores • Intervalo de confianza para un parámetro • Intervalos de confianza para dos parámetros

Estimadores

Estimador • Un estimador es un estadístico usado para estimar un parámetro desconocido de la población. • Por ejemplo, si se desea conocer el precio medio de un artículo (el parámetro desconocido) se recogerán observaciones del precio de dicho artículo en diversos establecimientos (la muestra) y la media aritmética de las observaciones puede utilizarse como estimador del precio medio.

Ejemplo

Inferencia

ഥ =240 cc ×

µ

Estimador • Para cada parámetro pueden existir varios estimadores diferentes. En general, escogeremos el estimador que posea mejores propiedades que los restantes, como insesgadez, eficiencia, convergencia y robustez. • El valor de un estimador proporciona una estimación puntual del valor del parámetro en estudio. • En general, se suele preferir realizar una estimación mediante un intervalo, esto es, obtener un intervalo [a,b] dentro del cual se espera esté el valor real del parámetro con un cierto nivel de confianza.

Ejemplo

Inferencia

[235;245]

µ

Estimación puntual

Intervalos de confianza para un parámetro

Intervalos • Un intervalo, significa sustituir la estimación puntual, por un intervalo de posibles valores. • Esto es una estimación por intervalo o intervalo de confianza, es decir, un intervalo de valores posibles para el parámetro que se estima. • El grado de posibilidades se especifica por un nivel de confianza, de modo que hablaremos de un intervalo de confianza de 95% (nivel de confianza de 95%) o intervalo al 99%.

Intervalos de confianza para una proporción

¿Funciona la terapia de contacto? (Triola, p.319) • Ensayos realizados: 280 • Aciertos (éxitos): 123 • Estimador puntual (éxitos): 123 𝑝Ƹ = = 0.439285 = 44% 280 𝑞ො = 56%

Intervalo de confianza • Nivel de confianza: 95%

0,381 < p < 0,497 “Tenemos una confianza de 95% de que el intervalo de 0,381 a 0,497 realmente contiene el valor de p”

“Existe un 95% de probabilidad de que el valor real de p esté entre 0,381 y 0,497”.

Cálculo del intervalo de confianza 𝑝Ƹ − 𝐸 < 𝑝 < 𝑝Ƹ + 𝐸

• Donde E : Margen de error

Margen de Error • El margen de error E también se denomina error máximo del estimado y se calcula como se indica en la fórmula:

• Donde: Zα/2 es el valor crítico

Valor crítico

Ejemplo: cálculo del valor crítico • Nos proponemos un nivel de confianza del 95% 1. Hallamos la diferencia respecto al 100% expresado en decimales 100%-95%=5% = 0.05 α = 0.05 2. Dividimos entre 2 para obtener la proporción en cada cola: α/2 = 0.05/2 = 0.025 3. Calculamos z de acuerdo al área: Área a la izquierda: 0.025  de la tabla A-2 hallamos Z=-1.96 Área a la derecha: 1-0.025=0.975  de la tabla A-2 hallamos Z=1.96

Valor crítico

=INV.NORM.ESTAND(0.025) =INV.NORM.ESTAND(0.975)

Intervalo y nivel de confianza

Calculando el intervalo 𝑝Ƹ − 𝐸 < 𝑝 < 𝑝Ƹ + 𝐸 𝑝Ƹ = 0.439285 𝑞ො = 0.560712 n = 280

𝑍α/2 = 1.96

Solución

Requisitos 1. La muestra es aleatoria simple. 2. Las condiciones para la distribución binomial se satisfacen. Esto es, hay un número fijo de ensayos, los ensayos son independientes, hay dos categorías de resultados y las probabilidades permanecen constantes para cada ensayo. 3. Existen al menos 5 éxitos y al menos 5 fracasos. (Cuando p y q se desconocen, estimamos sus valores utilizando la proporción muestral, de manera que este requisito es una forma de verificar que np >= 5 y nq >= 5 se cumplan para que la distribución normal sea una aproximación adecuada para la distribución binomial.

Determinación del tamaño muestral para la proporción

Determinación del tamaño muestral • Suponga que queremos reunir datos muestrales con el objetivo de estimar alguna proporción de la población. ¿Cómo sabemos cuántos elementos muestrales deben obtenerse?

Ejemplo: Tamaño muestral para una encuesta por correo electrónico • Las formas en las que nos comunicamos se han visto afectadas drásticamente por el uso de máquinas contestadoras telefónicas, máquinas de fax, correo de voz y correo electrónico. Suponga que un sociólogo quiere determinar el porcentaje actual de hogares en Estados Unidos que utilizan el correo electrónico. • ¿Cuántos hogares deben encuestarse para tener una confianza del 95% de que el porcentaje muestral es erróneo por no más de 4 puntos porcentuales?

Ejemplo: Tamaño muestral para una encuesta por correo electrónico • a. Utilice el siguiente resultado de un estudio pionero: en 1997, el 16.9% de los hogares estadounidenses usaban correo electrónico (según datos de The World Almanac and Book of Facts). • b. Suponga que no tenemos información previa que sugiera un posible valor de p’

Solución

Intervalos de confianza para dos parámetros

Intervalos de confianza para dos medias

El caso de estudio • Se lleva a cabo un estudio para comparar el tiempo que tardan hombres y mujeres para realizar determinada tarea. Las experiencias anteriores indican que la distribución de tiempos tanto para hombres como para mujeres es normal con varianzas diferentes. Una muestra aleatoria de 9 hombres y 8 mujeres han dado los siguientes tiempos en minutos: Hombres Mujeres

12 16

28 20

10 16

25 20

24 16

19 17

22 15

33 21

17

• Mediante un intervalo de confianza del 95% para la verdadera diferencia de los promedios de tiempos de hombres y mujeres, ¿se puede concluir que los hombres emplean mayor tiempo que las mujeres para hacer la tarea?.

Intervalo de confianza −2.681 < 𝜇1 − 𝜇2 < 9.653 Tenemos una confianza del 95% de que los límites de -2.681 min y 9.653 min realmente contienen la diferencia entre las dos medias poblacionales. Puesto que esos límites contienen a 0, este intervalo de confianza sugiere que es muy posible que las medias de las dos poblaciones sean iguales. No existe una diferencia significativa entre las dos medias.

Cálculo del intervalo de confianza 𝑥1 − 𝑥2 − 𝐸 < 𝜇1 − 𝜇2 < 𝑥1 − 𝑥2 + 𝐸

• Donde E : Margen de error • Además, de los datos muestrales obtenemos: • nh: 9 • nm: 8

xh: 21.111 xm: 17.625

sh: 7.4237 sm: 2.3261

Margen de Error • Varianza poblacional conocida 𝐸 = 𝑧𝛼/2

𝜎12 𝜎22 + 𝑛1 𝑛2

• Varianza poblacional desconocida

𝐸 = 𝑡𝛼/2

𝑠12 𝑠22 + 𝑛1 𝑛2

Valor crítico tα/2 • Para un intervalo de confianza del 95% Calcular 100% - 95% = 5% = 0.05 • Grados de libertad: nh: 9  gl=9-1=8 nm: 8  gl=8-1=7 • Para 7 grados de libertad a 2 colas: • De la tabla A-3 se obtiene que tα/2=2.365

=INV.T.2C(0.05;7)

Solución 𝐸 = 𝑡𝛼/2

𝑠12 𝑠22 + 𝑛1 𝑛2

7.42372 2.32612 𝐸 = 2.365 + = 6.167 9 8

3.486 − 6.167 < 𝜇1 − 𝜇2 < 3.486 + 6.167 −2.681 < 𝜇1 − 𝜇2 < 9.653

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Prueba de Hipótesis Estadística Aplicada Mg. Adiel Omar FLORES RAMOS

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Propósito semanal • Dada una aseveración, identificar la hipótesis nula y la hipótesis alternativa, y expresar ambas de forma simbólica. • Dados una aseveración y datos muestrales, calcular el valor del estadístico de prueba. • Plantear la conclusión de una prueba de hipótesis en términos sencillos y sin tecnicismos.

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Adiel Omar FLORES RAMOS

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Contenido • Hipótesis nula y la hipótesis alternativa. • Calcular el valor del estadístico de prueba. • Redactar la conclusión de una prueba de hipótesis.

28/01/2018

Adiel Omar FLORES RAMOS

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Prueba de Hipótesis Fundamentos

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4

HIPÓTESIS Cualquier afirmación o conjetura que se hace acerca de algo

28/01/2018

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Hipótesis Estadística Cualquier afirmación o aseveración acerca de una propiedad de la población. Ejemplo: El promedio ponderado de los alumnos de la UC en el semestre 2017-1 es superior a 14

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6

Prueba de hipótesis estadística • Es un procedimiento estándar para probar una aseveración acerca de una propiedad de la población. • Llamado también prueba de significancia

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7

Hipótesis Nula (H0) Es la afirmación de que el valor de un parámetro de la población es igual a un valor aseverado. Es la hipótesis que es aceptada provisionalmente como verdadera y cuya validez será sometida a comprobación

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8

Hipótesis Alternativa (H1, Ha, HA) Es una hipótesis contraria a la hipótesis nula, se acepta en caso que la hipótesis nula sea rechazada.

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9

Planteamiento de hipótesis

1)H0:  = 0 y H1 :  ≠ 0 2)H0:  ≤ 0 y H1 :  > 0 3)H0:  ≥ 0 y H1 :  < 0 0 es el valor del parámetro desconocido  28/01/2018

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Identificación de H0 y H1

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Ejemplo: Identificación de las hipótesis nula y alternativa a) La proporción de conductores que admiten pasarse la luz roja es mayor que 0.5. b) El peso medio de los pasajeros de avión, con su equipaje de mano, es a lo sumo de 195 libras (la cifra que la Federal Aviation Administration difunde actualmente). c) La desviación estándar de las puntuaciones de CI de actores es igual a 15.

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SOLUCIÓN a) H1: H0: b) H1: H0: c) H1: H0:

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p > 0.5, p = 0.5. µ > 195 µ = 195. σ ≠ 15 σ = 15.

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TIPOS DE PRUEBAS DE HIPÓTESIS Depende de la hipótesis alternativa

Prueba de Hipótesis unilateral o Prueba de una cola

H0:  = 0 y H1 :  > 0 H0:  = 0 y H1 :  < 0 28/01/2018

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TIPOS DE PRUEBAS DE HIPÓTESIS Prueba de Hipótesis Bilateral o Prueba de dos cola H0:  = 0 y H1 :  ≠ 0

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15

ESTADÍSTICO DE PRUEBA • En un valor que se utiliza para tomar la decisión sobre la hipótesis nula • Se calcula convirtiendo al estadístico muestral en una puntuación de una distribución de probabilidad

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16

ESTADÍSTICO DE PRUEBA Se utiliza la distribución muestral del estadístico de la prueba a realizar:

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17

Herramientas para evaluar el estadístico de prueba • La región crítica (o región de rechazo) es el conjunto de todos los valores del estadístico de prueba que pueden provocar que rechacemos la hipótesis nula.

H1 : Ɵ < Ɵ0

RC

H1 : Ɵ > Ɵ0 RC

H1 : Ɵ ≠ Ɵ0

RC 28/01/2018

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RC 18

Herramientas para evaluar el estadístico de prueba

H1 : Ɵ < Ɵ0

• El nivel de significancia (denotado con α) es la probabilidad de que el estadístico de prueba caiga en la región crítica, cuando la hipótesis nula es verdadera. Si el estadístico de prueba cae en la región crítica, rechazamos la hipótesis nula • Las opciones comunes para a son 0.05, 0.01 y 0.10, aunque la más común es 0.05.

α H1 : Ɵ > Ɵ0

α H1 : Ɵ ≠ Ɵ0

α/2 28/01/2018

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α/2 19

Herramientas para evaluar el estadístico de prueba • El valor crítico, es cualquier valor que separa la región crítica (donde rechazamos la hipótesis nula) de los valores del estadístico de prueba que no conducen al rechazo de la hipótesis nula. • Los valores críticos dependen de la naturaleza de la hipótesis nula, de la distribución muestral que se aplique y del nivel de significancia α. 28/01/2018

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H1 : Ɵ < Ɵ0

VC

H1 : Ɵ > Ɵ0

VC H1 : Ɵ ≠ Ɵ0

VC

VC

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EJEMPLO: Cálculo de valores críticos • Con un nivel de significancia de α=0.05, calcule los valores z críticos para cada una de las siguientes hipótesis alternativas (suponiendo que la distribución normal puede emplearse como aproximación de la distribución binomial): a) p < 0.5 (de manera que la región crítica está en la cola izquierda de la distribución normal) b) p > 0.5 (de manera que la región crítica está en la cola derecha de la distribución normal) c) p ≠ 0.5 (de manera que la región crítica está en ambas colas de la distribución normal)

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Solución • Cuando α=0.05 (cola izquierda) de la tabla A-2  z=-1.645 =INV.NORM.ESTAND(0.05)

• Cuando α=0.05 (cola derecha) 1-0.05=0.95 de la tabla A-2  z=1.645 =INV.NORM.ESTAND(0.95)

• Cuando α=0.05 (cola bilateral) α/2=0.05/2=0.025 0.025 de la tabla A-2  z=-1.96 =INV.NORM.ESTAND(0.025)

1-0.025=0.975 de la tabla A-2  z=1.96

=INV.NORM.ESTAND(0.975) 28/01/2018

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REGLA DE DECISIÓN Es la división de la distribución muestral del estadístico de la prueba en dos partes mutuamente excluyentes: Región Crítica (RC) : región de rechazo de H0

Región de Aceptación (RA) : región de no rechazo de H0 Depende de la hipótesis alternativa H1 del nivel de significación y la distribución muestral del estadístico Valor crítico: es cualquier valor que separa la región crítica y la región de aceptación 28/01/2018

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Método tradicional • Rechace H0 si el estadístico de prueba cae dentro de la región crítica. • No rechace H0 si el estadístico de prueba no cae dentro de la región crítica.

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REGLA DE DECISIÓN: Método tradicional Prueba de Hipótesis Bilateral o Prueba de dos colas H0:  = 0 y H1 :  ≠ 0

Prueba de Hipótesis unilateral o Prueba de una cola a la izquierda H0:  = 0 y H1 :  < 0

Prueba de Hipótesis unilateral o Prueba de una cola a la derecha H0:  = 0 y H1 :  > 0 28/01/2018

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Redacción de la conclusión

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Ejemplo • Suponga que un reportero asevera que “más de la mitad” (más del 50%) de los empleados consiguen trabajo por medio de redes de contactos. • Esta aseveración de p > 0.5 se convierte en la hipótesis alternativa, mientras que p =0.5 se convierte en la hipótesis nula. • Además, suponga que la evidencia muestral hace que rechacemos la hipótesis nula de p = 0.5. • Enuncie la conclusión en términos sencillos y sin tecnicismos. 28/01/2018

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27

Solución • La aseveración original no incluye la condición de igualdad, y rechazamos la hipótesis nula. Por lo tanto, la redacción de la conclusión final debe ser la siguiente: • “Los datos muestrales sustentan la aseveración de que la mayoría de los empleados consiguen trabajo por medio de redes de contactos”.

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28

Ejercicios

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Pasos para realizar la prueba de hipótesis • Plantear la hipótesis nula H0 y alternativa H1 • Elegir el nivel de significación () • Elegir y estimar el estadístico de prueba • Establecer la regla de decisión • Tomar la decisión • Redactar la conclusión

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Prueba de Hipótesis Estadística Aplicada Mg. Adiel Omar FLORES RAMOS

3 1

Propósito semanal • Dada una aseveración, identificar la hipótesis nula y la hipótesis alternativa, y expresar ambas de forma simbólica. • Dados una aseveración y datos muestrales, calcular el valor del estadístico de prueba. • Plantear la conclusión de una prueba de hipótesis en términos sencillos y sin tecnicismos.

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Contenido • Hipótesis nula y la hipótesis alternativa. • Calcular el valor del estadístico de prueba. • Redactar la conclusión de una prueba de hipótesis.

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Prueba de Hipótesis Fundamentos

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HIPÓTESIS Cualquier afirmación o conjetura que se hace acerca de algo

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Hipótesis Estadística Cualquier afirmación o aseveración acerca de una propiedad de la población. Ejemplo: El promedio ponderado de los alumnos de la UC en el semestre 2017-1 es superior a 14

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Prueba de hipótesis estadística • Es un procedimiento estándar para probar una aseveración acerca de una propiedad de la población. • Llamado también prueba de significancia

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Hipótesis Nula (H0) Es la afirmación de que el valor de un parámetro de la población es igual a un valor aseverado. Es la hipótesis que es aceptada provisionalmente como verdadera y cuya validez será sometida a comprobación

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Hipótesis Alternativa (H1, Ha, HA) Es una hipótesis contraria a la hipótesis nula, se acepta en caso que la hipótesis nula sea rechazada.

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Planteamiento de hipótesis

1)H0:  = 0 y H1 :  ≠ 0 2)H0:  ≤ 0 y H1 :  > 0 3)H0:  ≥ 0 y H1 :  < 0 0 es el valor del parámetro desconocido  28/01/2018

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Identificación de H0 y H1

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Ejemplo: Identificación de las hipótesis nula y alternativa a) La proporción de conductores que admiten pasarse la luz roja es mayor que 0.5. b) El peso medio de los pasajeros de avión, con su equipaje de mano, es a lo sumo de 195 libras (la cifra que la Federal Aviation Administration difunde actualmente). c) La desviación estándar de las puntuaciones de CI de actores es igual a 15.

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SOLUCIÓN a) H1: H0: b) H1: H0: c) H1: H0:

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p > 0.5, p = 0.5. µ > 195 µ = 195. σ ≠ 15 σ = 15.

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TIPOS DE PRUEBAS DE HIPÓTESIS Depende de la hipótesis alternativa

Prueba de Hipótesis unilateral o Prueba de una cola

H0:  = 0 y H1 :  > 0 H0:  = 0 y H1 :  < 0 28/01/2018

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TIPOS DE PRUEBAS DE HIPÓTESIS Prueba de Hipótesis Bilateral o Prueba de dos cola H0:  = 0 y H1 :  ≠ 0

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ESTADÍSTICO DE PRUEBA • En un valor que se utiliza para tomar la decisión sobre la hipótesis nula • Se calcula convirtiendo al estadístico muestral en una puntuación de una distribución de probabilidad

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ESTADÍSTICO DE PRUEBA Se utiliza la distribución muestral del estadístico de la prueba a realizar:

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Herramientas para evaluar el estadístico de prueba • La región crítica (o región de rechazo) es el conjunto de todos los valores del estadístico de prueba que pueden provocar que rechacemos la hipótesis nula.

H1 : Ɵ < Ɵ0

RC

H1 : Ɵ > Ɵ0 RC

H1 : Ɵ ≠ Ɵ0

RC 28/01/2018

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Herramientas para evaluar el estadístico de prueba

H1 : Ɵ < Ɵ0

• El nivel de significancia (denotado con α) es la probabilidad de que el estadístico de prueba caiga en la región crítica, cuando la hipótesis nula es verdadera. Si el estadístico de prueba cae en la región crítica, rechazamos la hipótesis nula • Las opciones comunes para a son 0.05, 0.01 y 0.10, aunque la más común es 0.05.

α H1 : Ɵ > Ɵ0

α H1 : Ɵ ≠ Ɵ0

α/2 28/01/2018

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α/2 19

Herramientas para evaluar el estadístico de prueba • El valor crítico, es cualquier valor que separa la región crítica (donde rechazamos la hipótesis nula) de los valores del estadístico de prueba que no conducen al rechazo de la hipótesis nula. • Los valores críticos dependen de la naturaleza de la hipótesis nula, de la distribución muestral que se aplique y del nivel de significancia α. 28/01/2018

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H1 : Ɵ < Ɵ0

VC

H1 : Ɵ > Ɵ0

VC H1 : Ɵ ≠ Ɵ0

VC

VC

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EJEMPLO: Cálculo de valores críticos • Con un nivel de significancia de α=0.05, calcule los valores z críticos para cada una de las siguientes hipótesis alternativas (suponiendo que la distribución normal puede emplearse como aproximación de la distribución binomial): a) p < 0.5 (de manera que la región crítica está en la cola izquierda de la distribución normal) b) p > 0.5 (de manera que la región crítica está en la cola derecha de la distribución normal) c) p ≠ 0.5 (de manera que la región crítica está en ambas colas de la distribución normal)

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Solución • Cuando α=0.05 (cola izquierda) de la tabla A-2  z=-1.645 =INV.NORM.ESTAND(0.05)

• Cuando α=0.05 (cola derecha) 1-0.05=0.95 de la tabla A-2  z=1.645 =INV.NORM.ESTAND(0.95)

• Cuando α=0.05 (cola bilateral) α/2=0.05/2=0.025 0.025 de la tabla A-2  z=-1.96 =INV.NORM.ESTAND(0.025)

1-0.025=0.975 de la tabla A-2  z=1.96

=INV.NORM.ESTAND(0.975) 28/01/2018

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REGLA DE DECISIÓN Es la división de la distribución muestral del estadístico de la prueba en dos partes mutuamente excluyentes: Región Crítica (RC) : región de rechazo de H0

Región de Aceptación (RA) : región de no rechazo de H0 Depende de la hipótesis alternativa H1 del nivel de significación y la distribución muestral del estadístico Valor crítico: es cualquier valor que separa la región crítica y la región de aceptación 28/01/2018

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Método tradicional • Rechace H0 si el estadístico de prueba cae dentro de la región crítica. • No rechace H0 si el estadístico de prueba no cae dentro de la región crítica.

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REGLA DE DECISIÓN: Método tradicional Prueba de Hipótesis Bilateral o Prueba de dos colas H0:  = 0 y H1 :  ≠ 0

Prueba de Hipótesis unilateral o Prueba de una cola a la izquierda H0:  = 0 y H1 :  < 0

Prueba de Hipótesis unilateral o Prueba de una cola a la derecha H0:  = 0 y H1 :  > 0 28/01/2018

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Redacción de la conclusión

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Ejemplo • Suponga que un reportero asevera que “más de la mitad” (más del 50%) de los empleados consiguen trabajo por medio de redes de contactos. • Esta aseveración de p > 0.5 se convierte en la hipótesis alternativa, mientras que p =0.5 se convierte en la hipótesis nula. • Además, suponga que la evidencia muestral hace que rechacemos la hipótesis nula de p = 0.5. • Enuncie la conclusión en términos sencillos y sin tecnicismos. 28/01/2018

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27

Solución • La aseveración original no incluye la condición de igualdad, y rechazamos la hipótesis nula. Por lo tanto, la redacción de la conclusión final debe ser la siguiente: • “Los datos muestrales sustentan la aseveración de que la mayoría de los empleados consiguen trabajo por medio de redes de contactos”.

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Ejercicios

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29

Pasos para realizar la prueba de hipótesis • Plantear la hipótesis nula H0 y alternativa H1 • Elegir el nivel de significación () • Elegir y estimar el estadístico de prueba • Establecer la regla de decisión • Tomar la decisión • Redactar la conclusión

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Inferencia a partir de dos muestras Estadística Aplicada Mg. Adiel Omar FLORES RAMOS

4 2

Propósito semanal • Construir un estimado de un intervalo de confianza de la diferencia entre las proporciones poblacionales correspondientes. • Probar una aseveración acerca de dos proporciones poblacionales

Contenido • Inferencia a partir de dos muestras. • ANOVA.

Inferencias a partir de dos poblaciones

Introducción • Existen muchas situaciones importantes y significativas en las que es necesario comparar dos conjuntos de datos muestrales. • Poner a prueba la aseveración de que, cuando se trata el síndrome del túnel carpiano, la cirugía es más exitosa que la aplicación de un entablillado. • Cuando se prueba la eficacia de la vacuna de Salk en la prevención de la poliomielitis paralítica, determinar si el grupo de tratamiento tiene una menor incidencia de poliomielitis que el grupo al que se administró un placebo.

Introducción • Cuando se prueba la eficacia del Lipitor, determinar si los sujetos tienen niveles más bajos de colesterol después de tomar el fármaco. • Dados dos grupos similares de sujetos con depresión bipolar, determinar si el grupo tratado con paroxetina obtiene puntuaciones más bajas en la escala de depresión Hamilton que el grupo que recibió un placebo.

Requisitos 1. Tenemos proporciones de dos muestras aleatorias simples que son independientes. (Las muestras son independientes si los valores muestrales seleccionados de una población no están relacionados ni apareados de alguna forma con los valores muestrales seleccionados de la otra población). 2. Para ambas muestras, el número de éxitos es de al menos 5 y el número de fracasos es de al menos 5.

Notación para dos proporciones

Proporción muestral agrupada

Estadístico de prueba para dos proporciones (con H0: p1 = p2)

Prueba de Hipótesis • Ahora consideraremos pruebas de hipótesis acerca de dos proporciones poblacionales, pero sólo nos ocuparemos de pruebas que tienen la hipótesis nula p1 = p2. • En específico, usted debe reconocer que bajo el supuesto de igualdad de proporciones, el mejor estimado de la proporción común se obtiene al combinar ambas muestras en una muestra grande, de manera que p es el estimador de la proporción poblacional común.

Ejemplo: ¿La cirugía es mejor que el entablillado? • Se incluye los resultados de una prueba clínica en la que se dio tratamiento a pacientes con síndrome de túnel carpiano, los resultados se resumen en la tabla:

Ejemplo: ¿La cirugía es mejor que el entablillado? • Utilice los datos muestrales de la tabla, con un nivel de significancia de 0.05 para probar la aseveración de que la tasa de éxito de la cirugía es mejor que la tasa de éxito del entablillado.

Solución • Paso 1: La aseveración de una mayor proporción de éxitos en el grupo de tratamiento con cirugía se expresa como p1 > p2.

• Paso 2: Si p1 > p2 es falso, entonces p1 ≤ p2.

• Paso 3: • Puesto que nuestra aseveración de p1> p2 no contiene igualdad, se convierte en la hipótesis alternativa. La hipótesis nula es la afirmación de igualdad, entonces tenemos:

H0: p1 = p2 H1: p1 > p2 (aseveración original)

Solución • Paso 4: • El nivel de significancia es a 0.05.

• Paso 5: • Utilizaremos la distribución normal (con el estadístico de prueba) como una aproximación de la distribución binomial. • Estimamos el valor común de p1 y p2 con el estimado de la muestra agrupada p

Solución • Paso 6 Estadístico de prueba

Solución

Solución

Inferencias acerca de dos medias: Muestras independientes

Muestras independientes con σ1 y σ2 desconocidas y sin suposición de igualdad • Dos muestras son independientes si los valores muestrales seleccionados a partir de una población no están relacionados, apareados o asociados de alguna manera con los valores muestrales seleccionados a partir de la otra población. Si existe alguna relación, de modo que cada valor en una muestra esté apareado con un valor correspondiente en la otra muestra, las muestras son dependientes. • Las muestras dependientes se conocen con frecuencia como datos apareados o muestras equiparadas.

Supuestos 1. Las dos muestras son independientes. 2. Ambas muestras son muestras aleatorias simples. 3. Cualquiera o ambas de estas condiciones se satisfacen: • los dos tamaños de muestra son grandes (con n1 > 30 y n2 > 30) o • ambas muestras provienen de poblaciones que tienen distribuciones normales.

Estadístico de prueba de hipótesis para dos medias: muestras independientes

EJEMPLO: Discriminación por edad • Los Revenue Commissioners de Irlanda realizaron un concurso de promoción. A continuación se muestran las edades de los solicitantes que tuvieron éxito y de los que no tuvieron éxito. • Algunos de los solicitantes que no tuvieron éxito para obtener la promoción se quejaron de que hubo discriminación por edad en la competencia. • Maneje los datos como muestras de poblaciones más grandes y utilice un nivel de significancia de 0.05 para poner a prueba la aseveración de que los solicitantes sin éxito provienen de una población con una edad media mayor que la de los solicitantes exitosos. • Con base en el resultado, ¿parece haber discriminación por la edad?

EJEMPLO: Discriminación por edad

Prueba de Hipótesis • Paso 1: La aseveración de que en los solicitantes sin éxito tienen una edad media mayor que la edad media de los solicitantes con éxito se expresa simbólicamente como µ1 > µ2.

• Paso 2: Si la aseveración original es falsa, entonces µ1 ≤ µ2 .

Prueba de Hipótesis • Paso 3: La hipótesis alternativa es la expresión que no contiene igualdad, y la hipótesis nula es una expresión de igualdad, de manera que tenemos

H0: µ1 = µ2 H1: µ1 > µ2 (aseveración original) 0

2

1

2

Ahora procedemos con la suposición de que µ1 = µ2 o µ1 - µ2 = 0

Prueba de Hipótesis • Paso 4: El nivel de significancia es a 0.05.

• Paso 5: Puesto que tenemos dos muestras independientes y estamos probando una aseveración acerca de dos medias poblacionales, utilizamos una distribución t con el estadístico de prueba dado.

Prueba de Hipótesis • Paso 6: El estadístico de prueba se calcula como sigue:

Como estamos utilizando una distribución t, los valores críticos de t = 1.717 se encuentran en la tabla A-3. El estadístico de prueba, el valor crítico y la región crítica se muestran en la figura.

Prueba de hipótesis

• Paso 7: • Puesto que el estadístico de prueba no se ubica dentro de la región crítica, no se rechaza la hipótesis nula µ1 = µ2 (o µ1 - µ2 =0).

Interpretación • No existe evidencia suficiente para sustentar la aseveración de que la edad media de los solicitantes sin éxito es mayor que la edad media de los solicitantes con éxito. Con base en esta prueba de hipótesis, no parece existir discriminación por edad. • Sin embargo, la prueba de hipótesis toma en cuenta una faceta de la situación general, y existen otros factores que podríamos considerar. Por ejemplo, podríamos comparar la proporción de solicitantes mayores de 50 años que tuvieron éxito con la proporción de solicitantes menores de 50 años que tuvieron éxito. • Dos especialistas en estadística presentaron evidencias en el juicio y llegaron a conclusiones diferentes. La corte determinó que había “un vínculo entre la edad de los candidatos y su éxito o fracaso en la competencia”.

Análisis de varianza ANOVA

¿Por qué ANOVA? Es un método de prueba de igualdad de tres o más medias poblacionales, por medio del análisis de varianzas muestrales

DISTRIBUCIÓN F Como se van a comparar varianzas, entonces se utiliza la distribución F

ANOVA DE UN FACTOR

ANOVA DE UN FACTOR Llamado también ANOVA de una vía o una entrada Se emplea una sola propiedad o característica para categorizar las poblaciones

DEFINICIONES Unidades Experimentales : Objetos que reciben el tratamiento Tratamientos o factor: Es una propiedad o característica que nos permite distinguir entre si a las distintas poblaciones

SUPUESTOS ESENCIALES 1. Todas las poblaciones involucradas son normales 2. Todas las poblaciones tienen la misma varianza

3. Las muestras son aleatorias simples 4. Las muestras son independientes 5. Las muestras provienen de poblaciones que están categorizadas de una sola forma

HIPÓTESIS

H 0 : 1   2  ...   k H1 :

Al menos una de las medias poblacionales es diferente a las otras

ESTADISICO DE PRUEBA

varianza entre las muestras F varianza dentro de las muestras

REGLA DE DECISIÓN

Si F > Fc Rechazar la hipótesis Nula

Cálculos con tamaños muestrales iguales 2 x 2 p

ns F s

Grados de Libertad: gl del numerador = k – 1 gl del denominador = k(n - 1)

Calculo con tamaños muestrales Desiguales



Suma de cuadrados total SC(total)   x  x



2

Suma de cuadrados entre tratamientos

SC(tratamiento)   ni x i  x 

2

Suma de cuadrados del error

SC(error)   (ni  1) s

2 i

CUADRADOS MEDIOS Cuadrado Medio del Tratamiento SC (tratamiento) CM (tratamiento)  k 1

Cuadrado Medio del Error SC(error) CM (error)  nk

Cuadrado Medio Total SC (total) CM (total)  n 1

ESTADÍSTICO DE PRUEBA

CM (tratamiento) F CM (error) Grados de liberad: gl del numerador = k - 1 gl del denominador = n - k

TABLA ANOVA

Fuente de variación

Tratamiento

Suma de cuadrados

Grados de Cuadrado medio libertad

SC(tratamiento) k -1

Error

SC(error)

n–k

Total

SCT

n–1

Valor F

CM (tratamiento) CM(error)

F

CM(tratamiento) CM(error)

PRUEBA DE COMPARACIÓN MÚLTIPLE DE BONFERRONI • Paso 1: Realice una prueba t separada para cada par de muestras, haciendo los ajustes de los siguientes pasos • Paso 2; Calcule para cada par de muestras el valor de t • Paso 3: Calcule el valor t crítico o el valor de P t

xi  x j 1 1 CM (error).   n n  j   i

➢ Valor de P: elegir t con gl=n-k y ajuste el valor de P multiplicándolo por el número de pares de muestras diferentes posibles ➢ Valor Crítico: ajuste el nivel de significancia α dividiéndolo entre el número de pares de muestras posibles

Ejemplo: ¿Tratamientos diferentes afectan los pesos de álamos? • El conjunto de datos incluye los pesos (en kilogramos) de álamos que recibieron distintos tratamientos en terrenos diferentes. Sólo consideraremos los pesos del año 1 en el terreno 1, el cual tiene un suelo fértil y húmedo, y se localiza cerca de un arroyo.

Ejemplo: Pesos de álamos • Dados los pesos de álamos listados en la tabla anterior, y un nivel de significancia de a 0.05, pruebe la aseveración de que las cuatro muestras provienen de poblaciones con medias diferentes.

Solución • Paso 1: Las hipótesis son: Ho: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 H1: Por lo menos una de las medias poblacionales de los bloques no es igual las otras.

• Paso 2: Calcular las medias de cada bloque y la media global.

• Paso 3 Obtener la suma de los cuadrados totales  SCT

Solución • Paso 4: Obtener la suma de los cuadrados de las variaciones entre los tratamientos  SCTR

• Paso 5 Calcular la suma de cuadrados de la variación aleatoria, también llamada suma de cuadrados del error, y es la variación dentro del tratamiento  SCE

Solución • Paso 6 Verificar la igualdad SCT = SCTR + SCE

• Paso 7 Se obtiene el promedio de los cuadrados entre tratamientos PCTR, para ello se divide SCTR entre los grados de libertad de los tratamientos gtratamientos. Éste es el primer promedio de cuadrados (varianza).

Solución • Paso 8 Se obtienen la media de los cuadrados del error PCE, para ello se divide SCE entre los grados de libertad totales gtotales. Éste es el segundo promedio de cuadrados.

• Paso 9 Se obtiene el valor empírico de F, o sea el F calculado, que es el cociente de estos dos últimos promedios de cuadrados.

Solución • Paso 10 El valor F crítico se busca en la tabla correspondiente a la distribución F, para el nivel de significancia correspondiente 0.05 con 3 grados de libertad para el numerador y 16 grados de libertad para el denominador.

• Paso 11 La regla de decisión: se rechaza la Ho si el Fcalculado es mayor que el Fcrítico.

ANOVA DE DOS FACTORES

¿CUÁNDO SE UTILIZA?

El ANOVA de dos vías se utiliza cuando existe influencia de dos factores en las unidades experimentales. Requiere que se haga una prueba de iteración entre los dos factores, para verificar si el efecto de uno de los factores cambia en las diferentes categorías del otro factor.

REQUISITOS • Los valores muestrales provienen de una población con una distribución que es aproximadamente normal. • Las poblaciones tienen la misma varianza o desviación estándar • Las muestras son aleatorias simples • Las muestras son independientes entre si • Los valores muestrales se categorizan en dos factores • Todas las celdas tienen mismo número de valores muestrales

PROCEDIMIENTO DEL ANOVA DE DOS FACTORES Paso 1: Efecto de interacciones: se debe probar la hipótesis nula de que no existe interacciones entre los dos factores. Paso 2: Efectos renglón/columna: ➢ Si rechazamos la hipótesis nula no se debe seguir con las pruebas adicionales. ➢ Si no rechazamos la hipótesis nula entonces procedemos a probar las siguientes dos hipótesis:

PLANTEAMIENTO DE HIPÓTESIS Hipótesis con respecto a los bloques existe efectos del factor de renglón = las H 0 : 1   2  ...   r No medias de la fila o renglón son iguales H1 :

No todas las medias de la filas o renglón son iguales

Hipótesis con respecto a los tratamientos existe efectos del factor de columna= las H 0 : 1   2  ...   c No medias de la columnas son iguales H1 :

No todas las medias de las columnas son iguales

SUMA DE CUADRADOS Suma de Cuadrados del Total

SCT = SCTR + SCE + SCBL Donde : SCT y SCTR se calculan de la misma manera que ANOVA de una vía

SUMA DE CUADRADOS y la SCBL (Suma de cuadrados de bloques) está dado por:

SCBL   ci ( xi  x)

2

Suma de Cuadrados del Error

SCE = SCT - SCTR - SCBL

CUADRADOS MEDIOS CUADRADO MEDIO DEL TOTAL SCT CMT  n 1 CUADRADO MEDIO DEL TRATAMIENTO SCTR CMTR  c 1

CUADRADOS MEDIOS CUADRADO MEDIO DEL ERROR SCE CME  (r  1)(c  1)

CUADRADO MEDIO DEL BLOQUE SCBL CMBL  r 1

Donde : r es el número de bloques

VALOR DE F Determinar la diferencia significativa entre las medias de los tratamientos

CMTR F CME Determinar si los bloques se realizaron de manera efectiva o si loa bloques afectar a los tratamientos

CMBL F CME

EJEMPLO Una empresa de contabilidad grande trata de seleccionar un sistema de computación integrado a la oficina, entre los tres modelos que están actualmente en estudio. La selección final dependerá de la productividad de los sistemas. Se seleccionan aleatoriamente 5 operadores para manejar cada sistema. Es importante tener en cuenta que el nivel de experiencia que tienen los empleados en el manejo de computadoras puede afectar el resultado de la prueba.

EJEMPLO - continuación Por tanto, existe la necesidad de justificar el impacto de la experiencia al determinar los meritos relativos de los sistemas de computación. Los niveles resultantes de producción medidos en unidades por hora se muestran a continuación

EJEMPLO - Continuación Niveles de producción para los sistemas de computación Nivel de Experiencia

1 2 3 4 5

Sistemas 1 27 31 42 38 45

2 21 33 39 41 46

3 25 35 39 37 45

EJEMPLO - Continuación Hipótesis con respecto a los bloques

H 0 : 1   2  3   4  5

El nivel promedio de producción para cada nivel de experiencia es el mismo

H1 :

Al menos una de las medias de producción para cada nivel de experiencia (las filas) no son iguales

EJEMPLO - Continuación Hipótesis con respecto a los tratamientos

H 0 : 1   2  3 La producción promedio de los sistemas de computación son iguales

H1 :

Al menos una de las medias de los sistemas de computación (las columnas) no son iguales

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Análisis de correlación y regresión lineal Estadística Aplicada Mg. Adiel Omar FLORES RAMOS

5 1y2

Propósito de la sesión

• Interpreta los resultados gráficos y numéricos de la correlación y regresión de dos variables.

Contenido • Introducción • Diagramas de Dispersión • Coeficiente de Correlación • Regresión lineal • Prueba de Hipótesis de Correlación

Introducción

Introducción • Mediante la correlación y regresión, analizaremos el análisis de situaciones que se presentan en una distribución que contienen dos variables X y Y. • El espacio muestral de un experimento con dos variables es cierto conjunto de pares ordenados de medidas, es decir, dos observaciones por cada prueba.

03/03/2018 Mag. Adiel Omar FLORES RAMOS

5

Introducción • Nuestro principal objetivo, al analizar las dos variables X y Y, es el poder determinar la relación entre éstas dos variables, es decir como se comportan las dos variables una con respecto a la otra. • También nos interesa encontrar una ecuación, de tal manera que basándonos en una determinada cantidad X podamos estimar el promedio de cantidad Y.

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Introducción • Así, una ecuación de éste tipo que relaciona las dos variables, una dependiente de la otra se puede considerar como una relación de estimación. • La ecuación que relaciona éstas dos variables se llama ecuación de Regresión de Y respecto a X.

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7

Diagramas de dispersión

DIAGRAMAS DE DISPERSION • Un diagrama de dispersión es una gráfica en la que cada punto trazado representa un par de valores observados de las variables independientes y dependientes.

03/03/2018

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9

DIAGRAMAS DE DISPERSION • El valor de la variable independiente X se ubica en el eje horizontal mientras que el valor de la variable dependiente Y se ubica en el eje vertical, una vez ubicados en un plano cartesiano podemos obtener una imagen de como está distribuida la muestra bien sea (línea positiva, línea inversa o no hay relación, entre otras).

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Correlación Positiva Perfecta

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Correlación negativa Perfecta

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Correlación positiva estrecha

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Correlación negativa moderada

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Correlación positiva moderada

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Correlación nula

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Coeficiente de correlación

Coeficiente de correlación de Pearson • En la mayoría de los casos el principal interés del investigador no solamente está en poder medir la relación que puede existir, entre las dos variables, directa e inversa , sino que además se concentra en determinar si están o no correlacionadas, y en caso afirmativo, en hallar que tan fuerte es éste grado de relación.

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Coeficiente de correlación de Pearson • Esta técnica analítica que se utiliza en hallar este grado de relación, recibe el nombre de análisis de correlación. • El valor del coeficiente de correlación puede ir de -1.00 a +1.00. • El signo aritmético asociado con el coeficiente de correlación indica la dirección de la relación entre X y Y (positivo igual a directa; negativo igual inversa).

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Coeficiente de correlación de Pearson • Cuando las dos variables no están correlacionadas el coeficiente de correlación es 0 o muy cercano a 0. • Con base a éstos hechos, podemos deducir que mientras más cerca esté el valor numérico del coeficiente de correlación a +1 o -1, entonces más estrecho será el grado de relación de las variables estudiadas.

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20

Coeficiente de correlación de Pearson

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Interpretación Valor -1 -0,9 a -0,99 -0,7 a -0,89 -0,4 a -0,69 -0,2 a -0,39 -0,01 a -0,19 0

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Significado Correlación negativa grande y perfecta Correlación negativa muy alta Correlación negativa alta Correlación negativa moderada Correlación negativa baja Correlación negativa muy baja Correlación nula

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Interpretación Valor 0 0,01 a 0,19 0,2 a 0,39 0,4 a 0,69 0,7 a 0,89 0,9 a 0,99 1

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Significado Correlación nula Correlación positiva muy baja Correlación positiva baja Correlación positiva moderada Correlación positiva alta Correlación positiva muy alta Correlación positiva grande y perfecta

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Ejemplo ilustrativo: • La tabla presenta el peso y la presión sanguínea de una muestra aleatoria de 7 universitarios.

a) Halle e interprete el coeficiente de correlación de Pearson y grafique el diagrama de dispersión. b) Halle e interprete el coeficiente de determinación. c) Realice la prueba de significancia para α=0,02.

Solución

El coeficiente de correlación indica que entre el peso y la presión sanguínea de los 7 universitarios existe una correlación positiva baja.

Solución: Coeficiente de determinación • El coeficiente de determinación: cd= r2, entonces: cd= (0,34)2= 0,1156≈11,56% • Interpretación: Existe una baja asociación entre las variables. La variación de cerca del 11,56% de las presiones sanguíneas se explica por la variación de los pesos de los 7 universitarios.

Prueba de Hipótesis de correlación

Introducción • Cuando se prueban hipótesis o cuando se hacen inferencias sobre una correlación, se deben cumplir las siguientes condiciones: • La muestra de datos apareados (x; y) es una muestra aleatoria de datos cuantitativos. • El diagrama de dispersión debe confirmar que los puntos se aproximan al patrón de una línea recta. • Es conveniente eliminar los valores extremos, si existieran, ya que es muy probable que sea producto de algún error.

• En la prueba de hipótesis se formulan las siguientes hipótesis: • H0: ρ=0 (No existe una correlación lineal entre las variables) • H1: ρ≠0 (Existe una correlación lineal entre las variables)

El estadístico de prueba • El estadístico de prueba es la t de Student, para n-2 grados de libertad:

• Conclusión • Si │t│> tα/2 (valor crítico de la tabla A-3), rechace H0 y concluya que existe una correlación lineal. • Si │t│≤ tα/2, no rechace H0 y concluya que no hay evidencia suficiente para afirmar que existe una correlación lineal.

Ejemplo • La tabla presenta el peso y la presión sanguínea de una muestra aleatoria de 7 universitarios.

• Realice la prueba de significancia para α=0,02.

Prueba de Hipótesis • Paso 1: Formulación de H0 y H1

• H0: No existe una correlación significativa entre el peso y la presión sanguínea • H1: Si existe una correlación significativa entre el peso y la presión sanguínea.

• Paso 2: Nivel de significancia α=0,02 • Paso 3: Se utiliza la prueba t de Student para la correlación de Pearson. • Paso 4: Para los grados de libertad: g.l.=7-2=5; α=0,02 se tiene en la tabla A-3: tα/2=3,365

Prueba de Hipótesis • Paso 4: • Para los grados de libertad: g.l.=7-2=5; • α=0,02 • se tiene en la tabla A-3: tα/2=3,365

• Paso 5: Hallamos el valor de la t de Student calculado (tc)

• Regla de decisión: Se rechaza H0 si ocurre que │0,808│>3,365

Prueba de Hipótesis • Paso 6: • Para un 98% de nivel de confianza no es posible rechazar H0, por lo que se asevera que: No existe una correlación significativa entre el peso y la presión sanguínea de los 7 universitarios que participan en la investigación.

Regresión lineal

Ecuación de regresión lineal • Es necesario definir una recta de tal manera que las suma de los cuadrados entre las diferencia de los valores de Y y los correspondiente valores calculados por medio de la recta para cada valor de X sea el más pequeño. • Este método conocido como el método de los mínimos cuadrados es el más comúnmente usado en estadística para obtener la recta de mejor ajuste.

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Regresión Lineal • Recordemos que la forma general de la ecuación de la línea recta es Y = mX + b, que es la ecuación que queremos estimar y la llamaremos:

Y = mX + b • Para encontrar esta ecuación utilizamos las siguientes fórmulas:

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Pendiente e intercepto • Pendiente de la recta n

m

• Intercepto o corte con el eje Y

__ __

 X iYi  n X Y i 1 n

 Xi

2

__

 n( X )

__

__

bYmX

2

i 1

03/03/2018

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37

EJEMPLO PRACTICO • Supóngase que se desea determinar la posible relación existente entre la cantidad de agua lluvia en una región, y la cantidad de maíz recolectada en 10 haciendas diferentes, durante un cierto periodo de tiempo:

03/03/2018 Mag. Adiel Omar FLORES RAMOS

X= cantidad de agua lluvia (metros cúbicos)

Y= cosechas de maíz mill. De libras

45

6,53

42

6,3

56

9,52

48

7,5

42

6,99

35

5,9

58

9,49

40

6,2

39

6,55

50

8,72 38

Ejemplo • Estimar cuantos mill. de libras produciría cuando hay una precipitación pluvial de 40 m3. • Cuántos m3 de agua lluvia se necesitaría para producir una cosecha de 9 mill. Lib. De maíz.

03/03/2018 Mag. Adiel Omar FLORES RAMOS

39

Ecuación de Regresión

03/03/2018

X*Y

X2

Y2

X= cantidad de agua

Y= cosechas de maíz

45

6,53

293,85

2025

42,641

42

6,3

264,6

1764

39,69

56

9,52

533,12

3136

90,63

48

7,5

360

2304

56,25

42

6,99

293,58

1764

48,86

35

5,9

206,5

1225

34,81

58

9,49

550,42

3364

90,06

40

6,2

248

1600

38,44

39

6,55

255,45

1521

42,903

50

8,72

436

2500

76,038

455

73.70

3441.52

21203

560.3224

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n

X

X i 1

n

i



455  45.50 10



73.70  7.37 10

n

Y

Y i 1

n

i

40

Tenemos que: n

m

 X iYi i 1 n

__ __

nX Y

__

__

2 X  n ( X )  i 2

__

b Ym X

i 1

∑xy=3441.52 n=10 𝑥ҧ = 45.50 𝑦ത = 7.37 ∑x2=21203 03/03/2018

m= 𝑥ҧ = 45.50 𝑦ത = 7.37

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41

Tenemos que: n

m

__ __

 X iYi  n X Y i 1 n

__

__

b Ym X

__

2 X  n ( X )  i 2

i 1

3441.52  10(45.50)(7.37) 88.17 m   0.176 2 21203  10(45.50) 500.50 b  7.37  0.176(45.50)  7.37  8.01  0.64 03/03/2018

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42

Solución • Así que la ecuación de la recta de regresión de Y con respecto a X será:

Y = mX + b

Solución • Así que la ecuación de la recta de regresión de Y con respecto a X será:

Y = mX + b Y = 0.176 (X) – 0.64

Predicción de otros valores • Para un supuesto de 40 m3 de precipitación lluviosa, ¿cuánta cosecha se espera? • Si X= 40 Y=?

03/03/2018 Mag. Adiel Omar FLORES RAMOS

45

Predicción de otros valores • Si X= 40 Y=? Y* = 0.176 (40) – 0.64= 6.4 Lo que significa que para un supuesto de 40 met. Cub. de precipitación de agua lluvia se espera una cosecha de 6.4 mill. de lib. de maíz.

03/03/2018 Mag. Adiel Omar FLORES RAMOS

46

- Si Y = 9 X=? Y  0.64 9  0.64 X*    54.77 0.176 0.176 Lo que significa que para obtener una cosecha de 9 mill. Lib. De maiz deben precipitarse 54.77 met. Cub. de agua lluvia.

03/03/2018 Mag. Adiel Omar FLORES RAMOS

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Análisis de correlación y regresión lineal Estadística Aplicada Mg. Adiel Omar FLORES RAMOS

5 1y2

Propósito de la sesión

• Interpretar pronósticos utilizando el análisis de correlación, regresión y modelos de series de tiempo.

Contenido • Regresión múltiple. Análisis de mullticolinealidad. • Validación de modelos. • Modelos de series de tiempo.

Regresión múltiple

Introducción • En este capítulo se amplía el estudio de la correlación y de la regresión, analizando la influencia de dos o más variables independientes sobre la variable dependiente, al cual se denomina análisis de regresión y correlación múltiples. • Una ecuación de regresión múltiple expresa una relación lineal entre una variable de respuesta y dos o más variables de predicción (x1; x2;….xk)

29/05/2017 Mag. Adiel Omar FLORES RAMOS

5

Ecuación de regresión • La forma general de la ecuación de regresión múltiple estimada:

• Donde: • • • • •

n: tamaño de la muestra k: número de variables de predicción o variables independientes. y: valor predicho de y x1; x2; … ; xk: son las variables de predicción β0: intercepto y, o el valor de y cuando todas las variables de predicción son 0 (este valor es un parámetro poblacional) • b0: estimado de β0 basado en los datos muestrales (b0 es un estadístico muestral) • β1; β2;…; βk: son los coeficientes de las variables de predicción: x1; x2;…; xk • b1; b2;…; bk: son estimados muestrales de los coeficientes:β1; β2;…; βk

Estadísticos de la regresión • Matriz de correlación: Es una matriz que contiene los coeficientes de correlación entre todos los pares de variables, la cual ayuda a identificar cuáles son las variables relativamente más importantes. • Coeficiente múltiple de determinación (R2): Es una medida que denota lo bien que se ajusta la ecuación de regresión múltiple a los datos muestrales si se tiene la matriz de correlación de las variables de la ecuación de regresión múltiple: ŷ = b0 + b1x1+ b2x2

DEMO

Análisis de multicolinealidad

Multicolinealidad • Es la correlación que existe entre las variables independientes, las que se deben analizar mediante el uso de una matriz de correlación entre las variables. • Las variables independientes correlacionadas dificultan las inferencias acerca de los coeficientes de regresión individuales y sus efectos individuales sobre la variable dependiente. • En la práctica, es casi imposible seleccionar variables que carezcan por completo de alguna relación.

Multicolinealidad • Primero, se debe destacar que la multicolinealidad no afecta la capacidad de una ecuación de regresión múltiple para predecir la variable dependiente. • No obstante, cuando se tenga interés en evaluar la relación entre cada variable independiente y la variable dependiente, la multicolinealidad puede presentar resultados inesperados.

Multicolinealidad • Una segunda razón para evitar variables independientes correlacionadas es que pueden generar resultados erróneos en las pruebas de hipótesis para las variables independientes individuales. Esto se debe a la inestabilidad del error estándar de estimación. • Varias pistas que indican problemas con la multicolinealidad incluyen lo siguiente: 1. Una variable independiente conocida como anticipador importante resulta con un coeficiente de regresión que no es significativo. 2. Un coeficiente de regresión que debiera tener un signo positivo resulta negativo, o lo contrario. 3. Cuando se agrega o elimina una variable independiente, hay un cambio drástico en los valores de los coeficientes de regresión restantes.

Multicolinealidad • Un método práctico que se utiliza es que las correlaciones entre variables independientes, cuyo valor está comprendido entre -0,70 y 0,70, no ocasionan dificultades. • Una prueba mas precisa es utilizar el factor de inflación de la varianza, el cual por lo general se escribe VIF. El valor de VIF se determina como sigue: 1 𝑉𝐼𝐹 = 1 − 𝑅2

Multicolinealidad • El termino R2 se refiere al coeficiente de determinación, donde la variable independiente seleccionada sirve como una variable dependiente, y las variables independientes restantes, como variables independientes. • Un VIF mayor que 10 se considera insatisfactorio, e indica que la variable independiente se deberá eliminar del análisis.

Ejemplo • Salsberry Realty vende casas en la costa este de Estados Unidos. Una de las preguntas mas frecuentes de los compradores potenciales es: si compramos esta casa, ¿cuanto gastaremos en calefacción durante el invierno? • Al departamento de investigación de Salsberry se le pidió desarrollar algunas directrices respecto de los costos de calefacción de casas unifamiliares. Se considera que tres variables se relacionan con los costos de calefacción: 1) la temperatura externa diaria media, 2) el numero de pulgadas de aislamiento en el atico y 3) la antigüedad en años del calentador.

• Para el estudio, el departamento de investigación de Salsberry selecciono una muestra aleatoria de 20 casas de venta reciente. Determino el costo de calefacción de cada casa en enero pasado, asi como la temperatura externa en enero en la región, el numero de pulgadas de aislamiento en el ático y la edad del calentador.

DEMO

Validación de Modelos

Introducción • Un Modelo matemático es una función matemática que se “ajusta” o describe datos del mundo real. • Algunos modelos genéricos que aparecen en la calculadora científica:

29/05/2017 Mag. Adiel Omar FLORES RAMOS

18

Modelos matemáticos • El modelo que se seleccione dependerá de las características de los datos muestrales y una herramienta necesaria es la elaboración de un diagrama de dispersión para decidir el modelo adecuado.

Reglas para la creación de un modelo matemático • Elabore el gráfico de puntos y elija el modelo que visualmente más se ajuste a los puntos observados, es decir a un modelo lineal, cuadrático, exponencial, potencial, etc. • Con la calculadora halle los coeficientes de determinación (r2) de cada modelo y elija el modelo que tenga el mayor coeficiente de determinación, ya que éste será el mejor modelo • Si trabaja con un software estadístico (como el SPSS) elija el modelo que tenga el menor p-valor.

Ejemplo • Un ingeniero descubrió que, al incluir pequeñas cantidades de un compuesto en baterías recargables para computadoras portátiles, podría extender su tiempo de vida. • Experimentó con diferentes cantidades de aditivo y los datos fueron:

DEMO

Evaluamos el modelo

Conclusión • De los resultados se observa que el modelo lineal presenta el mayor coeficiente de determinación (r2=87,10%), seguido del modelo exponencial (r2=78,55%). • Por lo tanto se concluye que la ecuación: y=1,2 + 1,8x describe mejor la relación entre la cantidad de aditivo y el tiempo de vida adicional de las baterías.

Series temporales

Serie Temporal • Se llama Series de Tiempo a un conjunto de observaciones sobre valores que toma una variable (cuantitativa) en diferentes momentos del tiempo.

Y

1

Ing. Sergio Jurado

2

3

4

5

6

7

8

t

Utilidad • Una serie temporal (también denominada histórica, cronológica o de tiempo) se define como un conjunto de datos, correspondientes a un fenómeno, ordenados en el tiempo.

Producto Interno Bruto Año a Año. Ventas de nuestra empresa en los últimos 10 años.

Cantidad de lluvia caída al día durante el último trimestre.

Serie Temporal Estacional

Tendencia Secular

Cíclica

Irregular

Compo nentes Ing. Sergio Jurado

Componentes de una Serie Temporal Secular

Estacional Cíclica Irregular

Serie Temporal

Modelo Aditivo 𝑌෠

T

E

C

I

C

I

Modelo Multiplicativo 𝑌෠

T

E

Ing. Sergio Jurado

Métodos de suavizamiento de la serie • Una forma de visualizar la tendencia, es mediante suavizamiento de la serie. La finalidad es definir a partir de la serie observada una nueva serie que suaviza los efectos ajenos a la tendencia (estacional, efectos aleatorios), de manera que podamos determinar la dirección de la tendencia. • Se revisan tres casos: • Promedio Móvil • Promedios móviles ponderados. • Suavizamiento exponencial

Promedio Móvil • El método promedio móvil emplea el promedio de los n valores más recientes de datos en la serie de tiempos como pronósticos para el siguiente periodo. Es uno de los indicadores más versátiles y de mayor uso dentro de todos los indicadores. • La utilización de un promedio móvil muestra la dirección y la duración de una tendencia, el propósito es ilustrar la tendencia, de una manera más suavizada.

Promedio Móvil • Se construye sustituyendo cada valor de una serie por la media obtenida con esa observación y algunos de los valores inmediatamente anteriores y posteriores. • A continuación se presenta la fórmula: σ(𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑚á𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠) 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑀ó𝑣𝑖𝑙 = 𝑛

DEMO

Promedio móviles ponderados • Este método consiste en asignar un factor de ponderación distinto para cada dato. • Generalmente, a la observación o dato más reciente a partir del cual se quiere hacer el pronóstico, se le asigna el mayor peso, y este peso disminuye en los valores de datos más antiguos. • La suma de los factores de ponderación siempre debe ser igual a 1.

DEMO

Suavizamiento exponencial • Este método emplea el promedio ponderado de la serie de tiempo pasado como pronóstico, es un caso especial del método de promedios móviles ponderados en el cual sólo se selecciona el peso o factor de ponderación más reciente. El siguiente modelo corresponde al método de suavizamiento exponencial: • Donde • • • •

𝐹𝑡+1 =∝ 𝑌𝑡 + (1 −∝)𝐹𝑡

Ft+1= pronóstico de la serie de tiempo para el periodo t+1 Yt = valor real de la serie de tiempo en el periodo t Ft= pronóstico de la serie de tiempo para el periodo t ∝ = constante de suavizamiento, 0≤ ∝ ≤1

DEMO

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Diseños experimentales Estadística Aplicada Mg. Adiel Omar FLORES RAMOS

7 1, 2 y 3

Propósito de la semana

• Identifica los elementos de diseño experimental. • Realiza la prueba de hipótesis para la diferencia de medias y luego interpreta los resultados. • Aplica experimentos de dos factores y realiza la prueba de hipótesis para experimentos factoriales.

Contenido • Diseño de experimentos. • Prueba para la diferencia de medias. • Experimento factorial A x B ANOVA.

Diseño de experimentos

Introducción • En los métodos estadísticos, por lo general se toman datos que se obtienen de dos fuentes distintas: • las investigaciones observacionales y • los experimentos.

03/03/2018 Mag. Adiel Omar FLORES RAMOS

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DISEÑOS EXPERIMENTALES • El diseño de experimentos es un conjunto de técnicas que permiten manipular un proceso para inducirlo a proporcionar la información que se requiere para mejorarlo mediante cambios en sus variables y su interacción o secuencia de ejecución. En suma, es la aplicación del método científico para generar conocimiento acerca de un proceso o sistema.

Tipos de diseños

Objetivo de un diseño de experimentos • El objetivo de un diseño de experimentos es proporcionar la mayor cantidad de información para responder el problema planteado en la investigación, con un mínimo costo y máxima eficiencia. • Los principios básicos del diseño de experimentos es que se cumplan con la reproducción, aleatorización y control.

Ejemplo • Un investigador está interesado en estudiar el efecto de los contenidos televisivos antisociales sobre la conducta agresiva de los niños, para lo cual establece dos grupos de niños, uno que ven solo programas televisivos con contenidos antisociales y otro grupo que ven solo programas televisivos con contenidos prosociales. • Al finalizar la experiencia se observará cuál de los dos grupos muestra una mayor conducta agresiva, si ocurriera que el grupo de niños que vieron programas antisociales muestran mayor conducta agresiva, frente a los niños que vieron programas prosociales, y si no hay otra causa posible que hubiera afectado a los grupos de niños se comprobaría la hipótesis.

Ejemplo • Hipótesis de investigación: Los programas televisivos con contenidos antisociales influyen sobre la conducta agresiva de los niños. • Variable independiente: Programas televisivos antisociales. • Variable dependiente: Conducta agresiva de los niños. • Diseño de investigación: El diseño es cuasi experimental, pudiéndose utilizar de dos maneras, así:

Diseño experimental completamente aleatorio • Es el diseño más simple y sencillo de realizar, en el cual los tratamientos se asignan entre las unidades experimentales. Este diseño tiene una amplia aplicación cuando las unidades experimentales son muy homogéneas, es decir, la mayoría de los factores actúan por igual entre las unidades. • El diseño completamente al azar es una prueba basada en el análisis de varianza, en donde la varianza total se descompone en “la varianza de los tratamientos” y la “varianza del error”. • El objetivo es determinar si existe una diferencia significativa entre los tratamientos, para lo cual se compara si la “varianza del tratamiento” contra la “varianza del error” y se determina si la primera es lo suficientemente alta.

Características a) Se definen los tratamientos que se van aplicar a las n unidades experimentales, de tal forma que a r unidades experimentales les va a corresponder un tipo de tratamiento. b) Las unidades experimentales se sortean para la asignación a cada tratamiento. c) Se define la variable a medir.

Ventajas a) Es flexible, el número de observaciones puede variar de un tratamiento para otro. b) El análisis estadístico es simple, aunque se tengan tratamientos con diferente número de observaciones. c) El análisis no se complica cuando se pierde algún dato o todo un tratamiento. d) Los grados de libertad son máximos y en experimentos pequeños con pocos tratamientos y repeticiones representan una ventaja.

Hipótesis de un diseño completamente al azar • En este diseño la hipótesis nula (H0) es que los efectos del tratamiento son todos iguales, lo que se expresa por: H0: β1= β2= β3=…… • La hipótesis alterna es que hay al menos un efecto de tratamiento que es diferente a los demás. Para probar esta hipótesis se hace uso de la prueba ANOVA.

Prueba para la diferencia de medias

Introducción • El análisis de varianza (ANOVA) de un factor sirve para comparar varios grupos en una variable cuantitativa. Se trata, por lo tanto, de una generalización de la prueba “t” de Student para dos muestras independientes al caso de diseños con más de dos muestras. • El análisis de la varianza permite contrastar la hipótesis nula de que las medias de K poblaciones (K>2) son iguales, frente a la hipótesis alternativa de que por lo menos una de las poblaciones difiere de las demás en cuanto a su valor esperado.

Introducción • El análisis de varianza es un método de prueba de igualdad de tres o más medias poblacionales, por medio del análisis de las varianzas muestrales. • Formulación de la hipótesis nula (H0) y la hipótesis alterna (H1) • H0: μ1=μ2=μ3= μ4=…. • H1: No todas las medias son iguales

Estadístico de prueba • Si el valor estadístico de prueba (ANOVA) nos impulsa a aceptar la hipótesis nula (H0), se concluye que las diferencias observadas entre las medias muestrales se deben a la variación casual en el muestreo (por lo que se asevera que los valores medios de la población son iguales). • Si se rechaza la hipótesis nula (H0), se concluye que las diferencias entre los valores medios de la muestra son demasiado grandes como para deberse únicamente a la casualidad (por lo que se asevera que, no todas las medias de la población son iguales)

ANOVA • El análisis de varianza requiere el cumplimiento de los siguientes supuestos: • Las poblaciones (distribuciones de probabilidad de la variable dependiente correspondiente a cada factor) son normales. • Las K muestras sobre las que se aplican los tratamientos son independientes. • Las poblaciones tienen todas igual varianza (homocedasticidad).

Análisis de varianza de un factor • Se utiliza para probar la hipótesis de que tres o más medias poblacionales son iguales y porque se emplea una sola propiedad o característica para categorizar las poblaciones.

DEMO

Ejemplo • Se tiene un nuevo limpiador de uso múltiple cuya demanda se prueba exhibiéndolo en tres lugares diferentes dentro de diversos supermercados. • La tabla muestra el número de botellas de 12 onzas de “Clean All” que se vendieron en cada ubicación. Al nivel de significancia del 0,025 ¿existe una diferencia en el número medio de botellas vendidas según el punto de venta?

Solución 1. Formulación de la hipótesis nula (H0) y la hipótesis alterna (H1) • H0: La media del número de botellas vendidas no difieren según el punto de venta. H0: μ1 = μ2 = μ3 • H1: No todas las medias del número de botellas vendidas en los puntos de ventas son iguales.

2. Nivel de significación α=0,025 3. Prueba análisis de varianza de un factor (ANOVA).

Solución • Regla de decisión: Se rechaza H0 si Fc > F(2; 9) 19,5203 >5,7147 • Conclusión: Se rechaza la hipótesis nula (H0) y se acepta la hipótesis alterna (H1), por tanto, se afirma que el número medio de botellas vendidas de “Clean All” difieren según el punto de venta donde se ubicó el producto, para un nivel de confianza del 97,5%.

Experimento factorial AxB (ANOVA en dos direcciones)

Introducción • En un análisis de varianza en dos direcciones se considera una segunda variable de tratamiento. La segunda variable de tratamiento se denomina la variable de bloqueo. • La ventaja de considerar otros factores reside en que se puede reducir la varianza del error.

03/03/2018

Mag. Adiel Omar FLORES RAMOS

26

DEMO

Ejemplo • Una empresa de transportes realiza una ampliación de autobuses desde un punto de la ciudad hasta el centro de la ciudad. Hay cuatro rutas: A; B; C y D. Se sabe que la empresa realizó varios recorridos de prueba para determinar si existe diferencia entre los tiempos utilizados al recorrer las cuatro rutas. Como hay una gran número de conductores, la prueba se realizó de manera que cada uno de los conductores recorriera cada una de las cuatro rutas.

Ejemplo • A continuación se muestran los tiempos del recorrido, en minutos de cada combinación conductor-ruta.

• A nivel de significación de 0,05. ¿Existirá alguna diferencia en el tiempo promedio de viaje en las cuatro rutas y los cinco conductores elegidos aleatoriamente?

Solución: Tratamientos • Formulación de la hipótesis nula (H0) y la hipótesis alterna (H1) • H0: Las medias de las columnas son iguales. • H1: Las medias de las columnas no son iguales.

• Luego: Fc=4.5378 • Se rechaza H0 si Fc > F(3; 12)  4,5378>3,4903 ………... (V) • Se rechaza H0 para un 95% de confianza, es decir se asevera que el tiempo medio de viaje no es el mismo en las cuatro rutas.

Solución: Bloques • Formulación de la hipótesis nula (H0) y la hipótesis alterna (H1) • H0: Las medias de las filas son iguales. • H1: Las medias de las filas no son iguales.

• Luego: Fc = 8.2143 • Se rechaza H0 si Fc > F(4; 12)  8,2143>3,2592 ………... (V) • Se rechaza H0 para un 95% de confianza, es decir se asevera que el tiempo medio de viaje no es el mismo para los cinco conductores.

Conclusión • Finalmente se asevera que hay diferencia en el tiempo utilizado en las cuatro rutas y con los cinco conductores, para un 95% de nivel de confianza.

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Gráficos de control para la variación, media y atributos Estadística Aplicada Mg. Adiel Omar FLORES RAMOS

8 4y5

Propósito de la semana

•Realiza el control estadístico de procesos.

Contenido • Gráficos de control para la variación y media. • Gráficas de control para atributos.

Gráficos de control para la variación y media

Datos de proceso • Son datos ordenados de acuerdo con alguna secuencia de tiempo. • Son mediciones de una característica de bienes o servicios que resultan de alguna combinación de equipo, personas, materiales, métodos y condiciones.

Gráfica de rachas • Es una gráfica secuencial de valores de datos individuales a lo largo del tiempo. • Un eje (generalmente el eje vertical) se utiliza para los valores de los datos y el otro eje (generalmente el eje horizontal) se emplea para la secuencia de tiempo).

Interpretación de una gráfica de rachas • Un proceso es estadísticamente estable o se encuentra bajo control estadístico si sólo varía de forma natural, sin patrones, sin ciclos o puntos fuera de lo común. • Gráfica 𝒙 • Es una gráfica de control que permite realizar el seguimiento de media del proceso.

DEMO

Ejemplo 1 • Una empresa ofrece un servicio telefónico gratuito para asesorar a sus clientes respecto a problemas con el uso de sus productos, desde las 8:00 a.m. hasta las 5:00 p.m. todos los días. Es imposible que un representante técnico conteste inmediatamente a cada llamada, por lo que se presenta un malestar en los clientes. La empresa decide elaborar un diagrama de control que describa el tiempo (en minutos) que transcurre desde que se recibe una llamada hasta que un representante responda al cliente.

Ejemplo 1 • Cierto día se tomó una muestra de cinco llamadas cada hora, el resultado se muestra a continuación:

Interpretación: • El proceso se encuentra bajo control estadístico. • Existe cierta variación en la duración de las llamadas telefónicas, pero todas las medias muestrales se encuentran dentro de los límites de control.

Fuera de control 1. Hay un patrón, una tendencia o un ciclo que evidentemente no es aleatorio. 2. Hay un punto que está fuera de la región entre los límites superior e inferior. 3. Si cumplen una de las siguientes rachas: • Existen ocho puntos consecutivos, todos por encima o por debajo de la línea central (Regla de racha de 8). • Existen seis puntos consecutivos, todos crecientes o decrecientes.

Fuera de control • Hay 14 puntos consecutivos alternantes que se incrementan o disminuyen sucesivamente. • Dos de cada tres puntos consecutivos están más allá de los límites de control que se encuentran a dos desviaciones estándar de la línea central. • Cuatro de cada cinco puntos consecutivos están más allá de los límites de control que están a una desviación estándar de la línea central.

Fuentes de variación • Variación aleatoria: se debe al azar, este tipo de variación inherente a cualquier proceso que no es capaz de producir un bien o servicio exactamente de la misma forma cada vez. • Variación asignable: Resulta de causas identificables como maquinaria defectuosa, empleados sin capacitación adecuada, entre otros.

Gráfica R • Es una gráfica de control para supervisar la variación. • Una gráfica de control de una característica de proceso (como la media o la variación) consiste en valores graficados en secuencia a lo largo del tiempo e incluye una línea central, así como un límite de control inferior (LCI) y un límite de control superior (LCS). • Notación: • • • • •

n: tamaño de cada muestra o subgrupo. Puntos graficados son los rangos muestrales. Línea central: R̅ Límite de control superior: LCS=D4R̅ Límite de control inferior: LCI=D3R̅

Ejemplo • Elabore un gráfico de control para amplitudes de variación (gráfica R) del ejemplo 1, ¿parece que hay momentos en los que se presenta demasiada variación en la operación? • Formule su conclusión.

Solución • De la tabla 14-2 hallamos el valor D3=0,000 y D4=2,114 • Del ejemplo 1 ya se conoce que R̅= 6,2 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 • Hallamos los límites de control: • LCS=2,114(6,2)=13,11 • LCI= 0,000(6,2)=0,00

Conclusión • Al observar el gráfico se concluye que: • El gráfico muestra que todas las amplitudes se encuentran dentro de los límites de control. • La variación en el tiempo de atención a las llamadas de los clientes están dentro de los límites normales, es decir el tiempo de atención a la llamadas se encuentran bajo control estadístico.

Gráficos de control para atributos

Gráfica de Control de p • Es una gráfica de se dibuja en secuencia en función del paso del tiempo y que incluye una línea central, un límite de control inferior (LCI) y un límite de control superior (LCS). • Notación: • El estimado agrupado de la proporción de artículos defectuosos en el proceso se simboliza por ̅ y el estimado agrupado de la proporción de artículos del proceso que no son defectuosos se simboliza por 𝑞

Notación

• Nota: Si el valor del límite de control inferior saliera negativo, utilice 0 en su lugar. • Si el valor del límite de control superior excediera a 1, utilice 1 en su lugar.

DEMO

Ejemplo • El departamento de crédito de un banco se encarga de ingresar cada transacción al estado de cuenta mensual del cliente. La exactitud es decisiva y los errores causarían el descontento de los clientes. • Para evitar equivocaciones, cada empleado que ingresa los datos teclea una muestra de 1500 de su lote de trabajo una segunda vez, y un programa de computación verifica que los números concuerden. • El programa imprime además un informe acerca del número y tamaño de cualquier discrepancia.

Ejemplo • Siete personas trabajaron durante la última hora y los siguientes son los resultados: a) Elabore un diagrama de porcentaje de defectuosos para este proceso ¿Cuáles son los límites de control superior e inferior? Interprete los datos. b) ¿Parecería que algunos de los encargados de ingresar los datos están “fuera de control”?

Conclusión • Si la proporción de defectos se encuentran entre los límites 0,0000 y 0,0087, se dice que el proceso está bajo control. • Se observa que el desempeño del empleado 5 está fuera de control estadístico, debido a que la proporción de defectos que él muestra es de 0,0100 o 1% cifra que se encuentra fuera del límite superior de control, por lo que se sugiere un entrenamiento o capacitación adicional o debe ser transferido a otra área de trabajo en el banco.

Diagrama de c con barra • El diagrama llamado c con barra representa gráficamente el número de defectos o fallas por unidad. • Límites de control para el número de defectos por unidad: • Donde ̅ es el número medio de defectos por unidad.

Ejemplo • El director de un periódico de Huancayo está interesado en determinar el número de palabras mal escritas que se publican en ese diario. Para controlar el problema y promover la necesidad de una escritura correcta, se utilizará un diagrama de control. • El número de palabras con errores en la edición final del diario durante los últimos 10 es días es: 9; 10; 7; 4; 8; 9; 5; 6; 11; y 9. • Determine los límites de control adecuados e interprete el diagrama. ¿Hubo algunos días en ese periódico en los que el número de palabras mal escritas haya estado fuera de control?

Solución

Conclusión • Al comparar cada punto de los datos con el valor 16,18 se observa que todos ellos son menores que el límite superior de control, de manera que el número de palabras más escrita en el diario huancaíno se encuentra “bajo control”.

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CALCULO III BALOTARIO PARA EXAMEN FINAL

MASA-RESORTE-AMORTIGUADO Y FORZADO Problemas propuestos:

APLICACIONES DE LA EDL EN CIRCUITO ELÉCTRICOS RLC Problemass propuestos:

PLANTEA Y RESUELVE SEDL - MEZCLAS 1. Dos grandes tanques, cada uno con 100 litros de agua se encuentran interconectados por medio de tubos. El agua fluye del tanque A al B a 3 L/m y de B al A a 1 L/m. Una solución de salmuera con concentración de 2 Kg/L fluye hacia el tanque A a 6 L/m. La solución diluida sale del tanque A a 4L/m y del tanque B a 2L/m. El tanque A contenía agua pura y el tanque B 200 kg de sal. Se pide hallar la variación de sal en los tanques A y B. 2. Dos tanques que contienen cada uno 50 litros de líquido se encuentran interconectados por medio de dos tubos. El líquido fluye del tanque A hacia el tanque B a razón de 4 litros por minuto y del tanque B al tanque A a 1 litro por minuto. El líquido contenido en cada tanque se mantiene perfectamente agitado. Hacia el tanque A entra del exterior agua a razón de 3 litros por minuto y la solución fluye hacia el exterior por el tanque B a la misma velocidad. Si inicialmente el tanque A contiene 25 kilos de sal y el tanque B no contiene nada de sal, determinar la cantidad de sal en cada instante de tiempo.

3. Dos grandes tanques, cada uno de 50 litros se encuentran interconectados por un tubo. El líquido fluye del tanque A hacia el B a razón de 5 litros por minuto. El líquido contenido en el interior de cada tanque se mantiene bien agitado. Una salmuera con concentración de 3 kilos por litro fluye del exterior hacia el tanque A a razón de 5 litros por minuto, saliendo hacia el exterior a la misma velocidad por un tubo situado en el tanque B. Si el tanque A contiene inicialmente 50 kilos de sal y el tanque B contiene 100 kilos, determinar la cantidad de sal en cada instante.

4. Consideremos dos tanques, A y B, conteniendo 1000 litros de agua cada uno de ellos e interconectados. El líquido fluye del tanque A hacia el tanque B a razón de 30 l/min y del tanque B hacia el A a razón de 10 l/min. Una solución de salmuera con una concentración de 2 kg/l de sal fluye hacia el tanque A a razón de 60 l/min, manteniéndose bien agitado el líquido contenido en el interior de cada tanque. La solución diluida fluye hacia el exterior del sistema, desde el tanque A a razón de 40 l/min y desde B a razón de 20 l/min. Si inicialmente el tanque A solo contiene agua y el tanque B contiene 200 kg de sal, calcula qué cantidad de sal habría en cada tanque al cabo de 10 min.

ECUACION DIFERENCIAL LINEAL TRANSFORMADA DE LAPLACE

CON

COEFICIENTES

CONSTANTES

CON

En los ejercicios del 31 al 34, resuelva el problema de valores iniciales que se proporciona en cada caso.

ECUACION DIFERENCIAL LINEAL TRANSFORMADA DE LAPLACE

CON

COEFICIENTES

VARIABLES

CON

}

Explicaion del profesor

7

CAPÍTULO

3 Aplicaciones de primer orden

3.4 Ley de Enfriamiento de Newton Si un cuerpo u objeto que tiene una temperatura T0 es depositado en un medio ambiente que se mantiene a una temperatura Ta constante, con Ta ¤ T0 , la experiencia nos dice que, al paso del tiempo, la temperatura del cuerpo tiende a ser igual a la del medio circundante. Es decir, si T .t/ es la temperatura del cuerpo en el tiempo t, entonces T .t/ ! Ta cuando t crece. Es posible representar esto en un diagrama como sigue: En t D 0

En t > 0

En t D periodo largo

T0

T .t /

T .t /  Ta

Ta

Ta

Ta

Para modelar la temperatura del objeto utilizamos la ley de Enfriamiento de Newton; ésta afirma que la rapidez de cambio de la temperatura de un cuerpo es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y el medio circundante. Esto es, T 0 .t/ D kŒT .t/

Ta I

donde k es la constante de proporcionalidad. Notemos aquí dos situaciones: 1. Cuando T0 > Ta , y por lo mismo T .t/ > Ta , en el cuerpo ocurre un enfriamiento y se tiene que T .t/ d d decrece y que T .t/ Ta > 0, es decir, T .t/ < 0 y T .t/ Ta > 0, por lo que T .t/ D kŒT .t/ Ta  ) dt dt k < 0. 1. canek.azc.uam.mx: 22/ 9/ 2010

1

2

Ecuaciones diferenciales ordinarias 2. Cuando T0 < Ta , y por lo mismo T .t/ < Ta , en el cuerpo ocurre un calentamiento y se tiene que T .t/ d d crece y que T .t/ Ta < 0, es decir, T .t/ > 0 y T .t/ Ta < 0, por lo que T .t/ D kŒT .t/ Ta  ) dt dt k < 0.

Concretando: sea enfriamiento o calentamiento, la ecuación diferencial

d T .t/ D kŒT .t/ dt

Ta  tiene sentido

siempre y cuando k sea negativa (k < 0). Tenemos entonces que la temperatura T .t/ del cuerpo en el instante t  0 está determinada por el PVI: T 0 .t/ D kŒT .t/

Ta ; con la condición inicial T .0/ D T0 :

Resolvemos la ecuación diferencial, que es claramente de variables separables: dT D kdt ) Ta Z Z dT D k dt ) ) T Ta ) ln j T Ta j D kt C C1 )

T > Ta ) T Ta > 0 ) ) j T Ta j D T Ta :

T

) jT

Ta j D e k t CC1 D e k t e C1 D Ce k t )

) jT

Ta j D Ce k t )

) T

Obtenemos lo mismo si: T < Ta ) T Ta < 0 ) Ta j D Ce k t )

) jT )

Ta D Ce k t )

)T

) T .t/ D Ta C Ce k t

.T

Ta / D Ce k t )

Ta D Ce k t ) T

Ta D Ce k t :

que es la temperatura del cuerpo en el instante t  0. Para tener bien determinada la temperatura T .t/, son necesarias dos condiciones adicionales que permitan calcular valores únicos para las constantes C y k. Estas condiciones podrían ser las temperaturas del cuerpo en dos instantes cualesquiera y una de ellas podría ser la temperatura inicial T0 . Ejemplo 3.4.1 Un cuerpo que tiene una temperatura de 70 ı F es depositado (en el tiempo t D 0) en un lugar donde la temperatura se mantiene a 40 ı F. Después de 3 min, la temperatura del cuerpo ha disminuido a 60 ı F. 1. ¿Cúal es la temperatura del cuerpo después de 5 min? 2. ¿Cuánto tiempo pasará para que el cuerpo tenga 50 ı F? H Si T .t/ es la temperatura del cuerpo en ı F después de t minutos, entonces la ecuación diferencial que modela a T .t/ es T 0 .t/ D kŒT .t/ Ta ; donde Ta D 40 ı F es la temperatura fija del medio circundante. Las condiciones adicionales son T .0/ D 70 y T .3/ D 60. Luego, la temperatura T .t/ está dada por la solución del PVI: T 0 .t/ D kŒT .t/

40;

con

T .0/ D 70 y además T .3/ D 60:

Resolvamos este problema: dT D k.T dt Ahora,

Z Z dT dT 40/ ) D kdt ) D k dt ) ln.T T 40 T 40 ) T 40 D e k t CC ) T .t/ D Ce k t C 40:

40/ D kt C C )

T .0/ D 70 , T .0/ D Ce k
0 C 40 D 70 , C C 40 D 70 , C D 30I

3.4 Ley de Enfriamiento de Newton por lo que,

3

T .t/ D 30e k t C 40, entonces: 20 2 60 40 D D ) T .3/ D 60 ) 30e k
3 C 40 D 60 ) e 3k D 30   30 3   2 1 2 ) ln e 3k D 3k D ln ) k D ln  0:1352 : 3 3 3

Luego,

0:1352 t

T .t/ D 30e

C 40:

1. ¿Cuál es la temperatura del cuerpo después de 5 min? T .5/ D 30e

0:1352 .5/

C 40 D 55:2594 ) T .5/  55:26 ı F.

2. ¿Cuánto tiempo pasará para que el cuerpo tenga 50 ı F? 50 40 10 1 C 40 D 50 ) e 0:1352 t D D D ) 30 30 3   1 ln 3 1:0986 0:1352 t D ln D ln 3 ) t D D  8:1258 min. 3 0:1352 0:1352

T .t/ D 50 ) 30e )

0:1352 t

Entonces el cuerpo tendrá una temperatura de 50 ı F después de t  8 minutos, 8 segundos.  Ejemplo 3.4.2 Un objeto que tiene una temperatura 50 ı F se coloca a las 10:00 horas en un horno que se mantiene a 375 ı F. A las 11:15 horas su temperatura era 125 ı F. ¿A qué hora estará el objeto a 150 ı F? H

La ecuación diferencial que modela el problema es d T .t/ D kŒT .t/ dt

Ta I

donde Ta D 375 ı F es la temperatura constante del medio circundante. Puesto que de 10 am a 11:15 am transcurren 75 min, las condiciones adicionales son T .0/ D 50

y

T .75/ D 125:

Luego la temperatura T .t/ del objeto está dada por la solución del PVI: T 0 .t/ D kŒT .t/

375;

con

T .0/ D 50 y además T .75/ D 125:

Sabemos que: T .t/ D Ta C Ce k t ) T .t/ D 375 C Ce k t : Ahora, usando la condición inicial: T .0/ D 50 ) 375 C Ce 0 D 50 ) C D 50

375 ) C D 325:

Por lo que, T .t/ D 375

325e k t :

Usando la segunda condición: 250 10 125 375 D D ) 325e k
75 D 125 ) e 75k D 325 13     325 10 1 10 ) 75k D ln ) kD ln D 0:0034982  0:0035 : 13 75 13

T .75/ D 125 ) 375

4

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Luego, T .t/ D 375

325e

0:0035t

:

El objeto alcanzará la temperatura de T D 150 ı F cuando: 150 375 225 9 D 150 ) e 0:0035t D D D ) 325 325 13   0:367725 9 0:0035t D ln D 0:367725 ) t D  105:06 min. 13 0:0035

T .t/ D 150 ) 375 )

325e

0:0035t

Es decir, la temperatura del objeto será T D 150 ı F después de t D 105 min, a partir de las 10 de la mañana. Por lo tanto, la temperatura será 150 ı F aproximadamente a las 11:45 horas. 

Ejemplo 3.4.3 Una taza de café cuya temperatura es 190 ı F se coloca en un cuarto cuya temperatura es 65 ı F. Dos minutos más tarde la temperatura del café es 175 ı F. ¿Después de cuánto tiempo la temperatura del café será 150 ı F? H

Sea T .t/ la temperatura (en ı F) del café en el instante t  0 min. Observamos que T .0/ D 190; Ta D 65 y T .2/ D 175:

El PVI por resolver es dT D k.T dt

65/;

con

T .0/ D 190 y además T .2/ D 175;

para determinar la temperatura del café en cualquier instante t  0 min. Sabemos que T .t/ D Ta C Ce k t ) T D 65 C Ce k t : Usando la condición inicial, tenemos: T .0/ D 190 ) T .0/ D 65 C Ce k
0 D 190 ) C D 125 ) T .t/ D 65 C 125e k t : Ahora usamos la segunda condición: k
2

2k

T .2/ D 175 ) T .2/ D 65 C 125e D 175 ) e   22 1 ) k D ln  0:0639 ) k  2 25

110 22 D D ) 2k D ln 125 25



22 25



)

0:0639 :

Entonces: T .t/ D 65 C 125e

0:0639t

;

que es la temperatura (en ı F) del café en el minuto t  0. Sea t1 el instante en que T .t1 / D 150. Tenemos entonces: T .t1 / D 65 C 125e

0:0639t1

0:0639t1

D 0:68 ) 0:0639t1 D ln 0:68 ) ln 0:68 ) t1 D  6:0354 min. 0:0639

D 150 ) e

Por lo tanto deben transcurrir t1  6 min, 2 s para que la temperatura del café sea de 150 ı F. 

3.4 Ley de Enfriamiento de Newton

5

Ejemplo 3.4.4 Un termómetro en el que se lee 70 ı F se coloca en un lugar donde la temperatura es 10 ı F. Cinco minutos más tarde el termómetro marca 40 ı F. ¿Qué tiempo debe transcurrir para que el termómetro marque medio grado ma´s que la temperatura del medio ambiente? H

Sea T .t/ la temperatura (en ı F) del termómetro en el instante t  0 min. Observamos que T .0/ D 70; Ta D 10 y T .5/ D 40:

El PVI por resolver es dT D k.T dt

10/;

con

T .0/ D 70 y además T .5/ D 40:

La solución es T .t/ D Ta C Ce k t ) T .t/ D 10 C Ce k t : Utilizamos la condición inicial: T .0/ D 70 ) T .0/ D 10 C Ce k.0/ D 70 ) C D 60 ) T .t/ D 10 C 60e k t : La segunda condición nos permite calcular k: T .5/ D 40 ) T .5/ D 10 C 60e 5k D 40 ) e 5k D 0:5 ) D ln.0:5/ ) k D

ln 0:5  0:1386 : 5

En conclusión: T .t/ D 10 C 60e

0:1386t

:

Sea t1 el minuto en que T .t1 / D 10:5 F: ı

T .t1 / D 10 C 60e

0:1386t1

D 10:5 ) e )

0:1386t1

D

0:5 ) 60

.0:1386/t1 D ln.0:0083/ ) t1 D

ln 0:0083  34:57 min. 0:1386

Por lo tanto, el tiempo que debe transcurrir para que el termómetro marque medio grado más que la temperatura ambiente es t1  34 minutos, 34 segundos.  Ejemplo 3.4.5 Un termómetro que está en el interior de una habitación se lleva al exterior donde la temperatura es 5 ı F. Después de 1 min el termómetro marca 55 ı F y después de 5 min marca 30 ı F. ¿Cuál era la temperatura del termómetro en la habitación? H

Sea T .t/ la temperatura (en ı F) del termómetro en el instante t  0 min. Tenemos: Ta D 5; T .1/ D 55; T .5/ D 30 & T .0/ D T0 , que es la temperatura a determinar.

Al resolver la ED, resulta: T .t/ D Ta C Ce k t ) T .t/ D 5 C Ce k t : Usando la condición inicial: T .0/ D T0 ) 5 C Ce k
0 D T0 ) C D T0

5 ) T .t/ D 5 C .T0

5/e k t :

Usando ahora las dos condiciones dadas: T .1/ D 55 ) 5 C .T0

5/e k D 55 ) .T0

T .5/ D 30 ) 5 C .T0

5/e 5k D 30 ) .T0

5/e k D 50 ) T0 5/e 5k D 25 ) T0

5 D 50e

k

5 D 25e

(3.1)

: 5k

:

(3.2)

6

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Las expresiones (3.1) y (3.2) conforman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (T0 y k). Entonces, por igualación: D 25e 5k ; (multiplicando por e 5k ) ) 50e 4k D 25 ) e 4k D 0:5 ) 4k D ln.0:5/ ) ln.0:5/ D 0:1733 ) k  0:1733 : ) kD 4

50e

k

Utilizando el valor de k en (3.1): T0

5 D 50e

k

) T0 D 5 C 50e 0:1733 ) T0 D 64:46 ı F:

Es la temperatura que marcaba el termómetro en la habitación.  ı

Ejemplo 3.4.6 En una habitación la temperatura que marca un termómetro clínico es 20 C. Para detectar si un paciente tiene fiebre (definida como temperatura corporal de 38 ı C o más) se coloca un termómetro en la axila del paciente. Si al cabo de un minuto el termómetro marca 27 ı C en una persona sana (con temperatura de 36 ı C), ¿cuánto tiempo se debe dejar en una persona con fiebre para detectarla con un error no mayor que 0:2 ı C? H

Si T .t/ es la temperatura que marca el termómetro a los t minutos, entonces: T .0/ D 20 ı C;

T .1/ D 27 ı C

&

Ta D 36 ı C:

Con estos datos podemos obtener el valor de k, que en cierta forma mide la sensibilidad del termómetro. El PVI es dT D k.T 36/; con T .0/ D 20 y además T .1/ D 27: dt Sabemos que T .t/ D Ta C Ce k t ) T .t/ D 36 C Ce k t : Usando la condición inicial: T .0/ D 20 D 36 C Ce k
0 ) C D 20

36 D 16 ) T .t/ D 36

16e k t :

Usamos ahora la segunda condición: T .1/ D 27 D 36

16e k
1 ) 16e k D 36

27 D 9 ) e k D

9 ) k D ln 16



9 16



D

0:57536 :

Como se dijo, este valor de k es una constante del termómetro. Si ese mismo termómetro se usa en un paciente que tal vez tenga fiebre (Ta  38 ı C ahora, con Ta no conocida), entonces resolvemos el PVI: dT D 0:57536.T dt y hallamos el valor de t de modo que T .t/  Ta

Ta /;

con

T .0/ D 20;

0:2. Tendremos T .t/ D Ta C Ce

T .0/ D 20 ) Ta C C D 20 ) C D 20

0:57536t

, pero aquí

Ta ;

así que la temperatura marcada por el termómetro para el tiempo t  0 es T .t/ D Ta C .20 Es preciso comparar esta expresión con Ta T .t/ D  T a C .20

) e

0:57536t

Ta /e



0:57536t

Ta /e

0:57536t

:

0:2 y resolver para t:  T a

0:2 ) Ta 20

0:2 ) .Ta

20/e

0:57536t

 0:2 )   0:2   ln 0:2 Ta 20 0:57536t  ln ) t Ta 20 0:57536

3.4 Ley de Enfriamiento de Newton

7

(se invirtió la desigualdad por dividir entre un número negativo). Es decir, t

ln 0:2 0:57536

ln.Ta 20/ ln.Ta 20/ D 2:7973 C : 0:57536 0:57536

El último término está en función de la temperatura Ta del paciente, que no se conoce en principio; sin embargo podemos hacer una estimación, pues en seres humanos Ta es cuando mucho 42 ı C en casos extremos. ln 22 El valor del último término sería entonces cuando mucho D 5:3724, y esto sumado al primer tér0:57536 mino daría un total de t  8:17 min, alrededor 8 min 10 s. Por lo tanto, para detectar una Ta D 38 ı C se ln 18 requerirían 2:7973 C D 7:82 min, o sea, alrededor de 7 min 50 s. 0:57536  Un caso de aplicación de la ley de Enfriamiento de Newton en medicina, relacionado con lo anterior, consiste en determinar la hora en que falleció una persona cuyo cadáver se encuentra en un medio ambiente frío. La homeostasis, o conjunto de funciones vitales de un individuo, regula su temperatura corporal (en condiciones normales, sin enfermedad) entre 36 y 36:5 ı C; sin embargo al morir, el cadáver del individuo se comporta como un cuerpo caliente en un medio frío (puesto que su organismo ya no produce calor), como nos lo ilustra el siguiente ejemplo: Ejemplo 3.4.7 Un ganadero salió una tarde a cazar un lobo solitario que estaba diezmando su rebaño. El cuerpo del ganadero fue encontrado sin vida por un campesino, en un cerro cerca del rancho junto al animal cazado, a las 6:00 h del día siguiente. Un médico forense llegó a las 7:00 y tomó la temperatura del cadáver, a esa hora anotó 23 ı C; una hora más tarde, al darse cuenta de que en la noche, y aún a esas horas, la temperatura ambiente era aproximadamente de 5 ı C, el médico volvió a medir la temperatura corporal del cadáver y observó que era de 18:5 ı C. ¿A qué hora murió el ganadero aproximadamente? H Podemos suponer por la información proporcionada, que la temperatura ambiente se mantuvo casi constante como Ta D 5 ı C y también que hasta el instante de su muerte, cuyo momento desconocemos, la temperatura corporal del ganadero fue de 36 ı C. Tiene mucho sentido que el forense haya tomado dos mediciones de la temperatura del cuerpo, para determinar el valor de k. Podemos denotar por T .t/ la temperatura del cuerpo al tiempo t, medido en horas; por comodidad, hagamos t D 0 a las 7:00 h y t D 1 a las 8:00 h, así que tenemos el PVI: dT D k.T dt

Ta /;

con

T .0/ D 23 ı C y además T .1/ D 18:5 ı C;

con Ta D 5 ı C. Se busca determinar el tiempo (negativo) t0 en el que T .t0 / D 36 ı C. Al resolver la ED sabemos que: T .t/ D Ta C Ce k t ) T D 5 C Ce k t ) T .t/ 5 D Ce k t : Al usar las condiciones resulta T .0/ D 23 ) 23

5 D 18 D Ce k
0 ) C D 18 ) T

T .1/ D 18:5 ) 18:5

5 D 13:5 D 18e k

5 D 18e k t I   13:5 13:5 ) ek D ) k D ln D 18 18

0:2877:

En síntesis, por lo anterior: T .t/ D 5 C 18e 0:2877t es la solución del PVI. Para determinar t0 , consideramos T .t0 / D 36 y resolvemos: 36 D 5 C 18e

0:2877t0

31 D 36 5 ) e 0:2877t0 D ) 18   31 ln.31=18/ 0:2877t0 D ln ) t0 D D 1:8895  1 h 53 min. 18 0:2877

) 18e )

0:2877t0

Comprobamos que el deceso ocurrió aproximadamente 1 h y 53 min antes de las 7:00 (hora de la primer toma de temperatura), esto es, alrededor de las 5:07 horas. 

8

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Ejercicios 3.4.1 Ley de Enfriamiento de Newton. Soluciones en la página 9 1. La temperatura de un motor en el momento en que se apaga es de 200 ı C y la temperatura del aire que lo rodea es de 30 ı C. Después de 10 min la temperatura del motor ha bajado a 180 ı C. ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que la temperatura del motor disminuya hasta 40 ı C? 2. Un recipiente con agua a una temperatura de 100 ı C se coloca en una habitación que se mantiene a una temperatura constante de 25 ıC. Después de 3 min la temperatura del agua es de 90 ıC. Determinar la temperatura del agua después de 15 min. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que la temperatura del agua sea de 40 ı C? 3. Un termómetro se saca de una habitación –donde la temperatura del aire es de 70 ı F– al exterior donde la temperatura es de 10 ı F. Después de medio minuto el termómetro marca 50 ı F. ¿Cuánto marca el termómetro cuando t D 1 min? ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que la temperatura marcada por el termómetro sea de 15 ı F? 4. Una taza de café caliente, inicialmente a 95 ı C, al estar en una habitación que tiene una temperatura constante de 21 ı C, se enfría hasta 80 ı C en 5 min. Determinar la temperatura del café después de 10 min. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que el café tenga una temperatura de 50 ı C? 5. Una barra metálica, cuya temperatura inicial es de 20 ı C, se deja caer en un recipiente que contiene agua hirviendo (a 100 ı C) y su temperatura aumenta 2 ı C después de 1 s. Determinar la temperatura de la barra metálica después de 10 s. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que la temperatura de la barra sea de 60 ı C? 6. Un termómetro que indica 70 ı F se coloca en un horno precalentado y mantenido a temperatura constante. A través de una ventana de vidrio del horno, un observador registra que la temperatura marcada por el termómetro es de 110 ı F después de medio minuto y de 145 ı F después de 1 min. ¿A qué temperatura está el horno? 7. Un termómetro en el que se lee 80 ı F se lleva al exterior. Cinco minutos más tarde el termómetro indica 60 ı F. Después de otros 5 min el termómetro señala 50 ı F. ¿Cuál es la temperatura del exterior? 8. Un material cerámico se saca en cierto momento de un horno cuya temperatura es de 750 ı C, para llevarlo a una segunda etapa de un proceso que requiere que el material se encuentre a una temperatura de cuando mucho 200 ı C. Suponga que la temperatura de una sala de enfriamiento donde se colocará este cerámico es de 5 ı C y que, después de 15 min, la temperatura del material es de 600 ı C. ¿En cuánto tiempo el material cerámico estará listo para entrar a la segunda etapa de su proceso? 9. A las 13:00 horas un termómetro que indica 10 ı F se retira de un congelador y se coloca en un cuarto cuya temperatura es de 66 ı F. A las 13:05, el termómetro indica 25 ı F. Más tarde, el termómetro se coloca nuevamente en el congelador. A las 13:30 el termómetro da una lectura de 32 ı F. ¿Cuándo se regresó el termómetro al congelador?; ¿cuál era la lectura del termómetro en ese momento? 10. Luis invitó a Blanca a tomar café en la mañana. Él sirvió dos tazas de café. Blanca le agregó crema suficiente como para bajar la temperatura de su café 1 ı F. Después de 5 min, Luis agregó suficiente crema a su café como para disminuir su temperatura en 1 ı F. Por fin, tanto Luis como Blanca empezaron a tomar su café. ¿Quién tenía el café más frío?

3.4 Ley de Enfriamiento de Newton

9

Ejercicios 3.4.1 Ley de Newton de cambio de temperaturas. Página 8 1. 3 h, 46 min, 18 s.

6. 390 ı F.

2. 61:67 ı C; 33 min, 44 s.

7. 40 ı F.

3. 36:7 ı F; 3 min, 4 s.

8. 1 h, 29 min, 22 s.

4. 68 ı C; 20 min, 41 s.

9. 13:20:19; 50:22 ı F.

5.

37:9 ı C;

27:38 s.

10. Luis.

1 Ley de Newton de cambio de temperaturas. E: Un material cerámico se saca en cierto momento de un horno cuya temperatura es de 750 ı C, para llevarlo a una segunda etapa de un proceso que requiere que el material se encuentre a una temperatura de cuando mucho 200 ı C. Suponga que la temperatura de una sala de enfriamiento donde se colocará este cerámico es de 5ı C y que, después de 15 min, la temperatura del material es de 600 ı C. ¿En cuánto tiempo el material cerámico estará listo para entrar a la segunda etapa de su proceso? D: H La temperatura T .t/, en ı C, del material cerámico al cabo de t minutos, está dada por la solución del PVI: T 0 .t/ D kŒT .t/ Resolvemos la ED: dT D k.T dt

5; con T .0/ D 750 y además T .15/ D 600:

Z Z dT dT 5/ ) D k dt ) Dk dt ) T 5 T 5 ) ln.T 5/ D k t C C ) T 5 D e ktCC D e kt e C D e kt C ) ) T

5 D C e kt ) T .t/ D 5 C C e kt :

Hemos encontrado la solución general de la ED. Considerando que T .0/ D 750 ) 5 C C e 0 D 750 ) C D 745 ) T .t/ D 5 C 745e kt I 600 5 119 T .15/ D 600 ) 5 C 745e 15k D 600 ) e 15k D D ) 745 149     1 119 119 ) 15k D ln ) kD D 0:015 ) T .t/ D 5 C 745e ln 15 149 149

.0:015/t

:

La expresión anterior es la solución del PVI. El material cerámico estará listo para entrar a la segunda etapa del proceso cuando T .t/ D 200 ı C, lo cual sucederá cuando: T .t/ D 200 ) 5 C 745e

.0:015/t

D 200 )   200 5 39 39 .0:015/t ) e D D ) .0:015/t D ln ) 745 149 149   1 39 ) tD ln D 89:36 min  1 h, 29 min, 22 s. 0:015 149 

3. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010