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Teoría de Decisión

Teoría de Decisión 

La Decisión: Es una elección entre dos o mas líneas de acción diferentes. El objeto de la teoría de la decisión es racionalizar dicha elección. El estudio de la teoría de decisión provee de herramientas para la toma de decisiones importantes.

Esquema de actuación 1) Definición del problema

2) Enumeración de posibles alternativas (Ai: Alternativas o estrategias) 3) Identificación de los posibles escenarios o estados de la naturaleza. (Ej: Estados de la naturaleza) 4) Obtención de resultados y valoración de los mismos. (Xij: Resultados) 5) Predicción de probabilidad sobre la ocurrencia de cada estado de la naturaleza.(Pj: Probabilidad)

Esquema de actuación 6) Fijación de criterios de decisión que permitan la elección de una estrategia o alternativa. 7) Identificación del tipo de decisión: 

Decisiones estáticas



Decisiones secuenciales

8) Identificación del contexto en el que se toma la decisión   

Incertidumbre

Riesgo Certeza

2. Desiciones estáticas: Análisis por Matriz de Ganancias * Las filas corresponden a las posibles decisiones alternativas o estrategias que se contemplen.

Ai= {a1, a2, ………..an} * Las columnas corresponden a los posibles estados de la

Ej= { e1, e2, ………..em } * El cuerpo de la tabla contiene las ganancias.

 x11  X ij   x21 x  n1

x12 ... x1m   x22 x2 m matriz n  m xn 2 xnm 

naturaleza.

2.1. Decisión tomada bajo Incertidumbre - El criterio de decisión se toma basandose en la experiencia de quien toma la decisión. - Este incluye un punto de vista optimista o pesimista, agresivo o conservador. -Criterios: * Criterio Maximin - pesimista o conservador * Criterio Minimax - pesimista o conservador * Criterio Maximax - optimista o agresivo * Principio de Razonamiento Insuficiente o Laplace * Criterio de Hurwicz

La Inversión de John Pérez   

John Pérez ha heredado $1000. El ha decidido invertir su dinero por un año. Un inversionista le ha sugerido 5 inversiones posibles: * * * * *



Oro. Bonos. Negocio en Desarrollo. Certificado de Depósito. Acciones.

John debe decidir cuanto invertir en cada opción.

Solución     

Construir una matriz de ganancias Seleccionar un criterio de decisión Aplicar el criterio en la matriz de ganancia Identificar la decisión óptima Evaluar la solución

Matriz de Ganancias Estados de la Naturaleza Altern. De Dec. Gran Alza Peq. Alza Sin Cambios Peq. Baja Gran Baja -100 100 200 300 0 Oro 250 200 150 -100 -150 Bonos 500 250 100 -200 -600 Negocio Des. 60 60 60 60 60 Certf. De Dep 200 150 150 -200 -150 Acciones

El conjunto de opciones es dominado por la segunda alternativa (desechamos inversión en acciones)

2.1.1. Criterio Maximin o Wald (1) -Este criterio se basa pensando en el peor de los casos * Una decisión pesimista se toma creyendo que el peor caso ocurrirá. * Una decisión bajo criterio conservador asegura una ganancia mínima posible. -Para encontrar una decisión optima: * Marcar la mínima ganancia a través de todos lo estados de la naturaleza posibles.

Criterio Maximin (2) * Identificar la decisión que tiene máximo de las “mínimas ganancias”.

Continuación del Problema de John Pérez

El Criterio Maximin Gran Alza Decisiones -100 Oro 250 Bonos 500 Negocio en D. 60 Cert. De Dep.

Peq. Alza

100 200 250 60

Minimos

Sin Cambios Peq. Baja

200 150 100 60

300 -100 -200 60

Gran Baja

0 -150 -600 60

Ganancias

-100 -150 -600 60

2.1.2. Criterio Minimax o Savage (1) - Este criterio se ajusta a decisiones pesimistas y conservadoras. - La matriz de ganancia es basada en el coste de oportunidad - El tomador de decisiones evalúa en qué pérdidas incurre si no escoge la mejor decisión. 

Para encontrar la decisión óptima: 

Para cada estado de la naturaleza: Determine la mejor ganancias de todas las decisiones  Calcule el costo de oportunidad para cada alternativa de decisión como la diferencia entre su ganancia y la mejor ganancia calculada. Para cada decisión  Encuentre el máximo costo de oportunidad para todos los estados de la naturaleza.  Seleccione la alternativa de decisión que tiene el mínimo costo de oportunidad. 



Criterio Minimax 500 - (-100) = 600 500 o Savage (2) -100 500 Continuación Problema John Pérez 500 -100 -100 de Ganancias 500 Matriz Decision Gran Alza -100 Peq. Alza Sin CambioPeq. Baja Gran Baja -100-100 100 200 300 0 Oro Invertir en Oro incurre en una 500 250 200 150 -100 -150 Bonos pérdida mayor cuando el mercado 500 500 250 100 -200 -600 Negocio presenta 60 60 60 una gran 60 alza 60 Cert Dep

Matriz de Costo de Oportunidad Maximo Decision Gran Alza Peq. AlzaSin CambiosPeq Baja Gran Baja Costo Op 600 600 150 0 0 60 Oro de Costo 50 de Oportunidad 400 250 Tabla50 400 210 Bonos 660 0 0 100 500 660 Negocio D 440 440 190 140 240 0 Cert. Dep

2.1.3. El Criterio Maximax (1) - Este criterio se basa en el mejor de los casos. - Este criterio considera los puntos de vista optimista y agresivo. * Un tomador de decisiones optimista cree que siempre obtendrá el mejor resultado sin importar la decisión tomada. * Un tomador de decisiones agresivo escoge la decisión que le proporcionará una mayor ganancia.

El Criterio Maximax (2) - Para encontrar la decisión óptima: * Encuentre la máxima ganancia para cada alternativa de decisión. * Seleccione la decisión que tiene la máxima de las “máximas ganancias”.

Continuación del Problema de John Pérez El Criterio Maximax Decision Gran Alza Peq. Alza Sin CambioPeq. Baja Gran Baja -100 100 200 300 0 Oro 250 200 150 -100 -150 Bonos 500 250 100 -200 -600 Neg. Des 60 60 60 60 60 Cert. Dep.

2.1.4. El Principio de Razonamiento Insuficiente o Criterio de Laplace (1) - Este criterio puede ser utilizado por un tomador de decisiones que no sea optimista ni pesimista. - El tomador de decisiones asume que todos los estados de la naturaleza son equiprobables. - El procedimiento para encontrar una decisión óptima: * Para cada decisión calcule la ganancia esperada. m

E ( X i )   X ij  Pj j 1

n

P j 1

j

1

* Seleccione la decisión con la mayor ganancia esperada.

El Principio de Razonamiento Insuficiente o Criterio de Laplace (2) Ganancias Esperadas (simplemente sumando): Decisión Óptima * Oro = -100+100+200+300+0= $500 * Bonos = 250+200+150-100-150= $350 * Negocio D. = 500+250+100-200-600= $50 * Cert. Dep. = 60+60+60+60+60 = 300 - Ganancias Esperadas (aplicando fórmula): E ( X1)  E (Oro)  100  0,2  100  0,2  200  0,2  300  0,2  0 * 0,2  100

Decisión Óptima

E ( X )  E ( Bonos)  250  0,2  200  0, 2  150  0,2  100  0,2  150  0, 2 2  70 E ( X 3 )  E ( Negocio)  500  0, 2  250  0, 2  100  0, 2  200  0, 2  600  0, 2  10

E ( X 4 )  E (Certif .)  60  0,2  60  0,2  60  0,2  60  0,2  60  0, 2  60

2.1.5. El Criterio de Hurwicz (1) 

Es un criterio intermedio entre maximin y el maximax: Supone la combinación de ponderaciones de optimismo y pesimismo.



Sugiere la definición del llamado coeficiente de optimismo (α), y propone que se utilice como criterio de decisión una media ponderada entre el máximo resultado asociado a cada alternativa, y el mínimo resultado asociado a la misma.

El Criterio de Hurwicz (2) En nuestro ejemplo, si suponemos que el empresario es neutral α=0,5 EL CRITERIO HURWICS ESTADOS DE LA NATURALEZA

Máximas Ganancias Conα =0,5

ALTERNATIVAS

Gran alza

pequeñ a alza

sin cambio s

pequeñ a baja

gra n baja

Oro

-100

100

200

300

0

Bonos

250

200

150

-100

-150 50

Negocio

500

250

100

-200

-600 -50

Cert. de depósito

60

60

60

60

60

100

60

T ( X 1 )  T (Oro)  0.5  300  0.5  (100)  100  Se elige Las demas alternativas se calculan de forma análoga

2.2. Decisión tomada bajo Riesgo 

El Criterios de la ganancia esperada - Si existe una estimación de la probabilidad de que un determinado estado de la naturaleza ocurra , entonces se puede calcular la ganancia esperada.

- Para cada decisión la ganancia esperada se calcula como: Ganancia Esperada = Probabilidad)*(Ganancia) (Para cada estado de la naturaleza)

Continuación Problema de John Pérez

Ganancia El Criterio de la Ganancia Esperada Decision Gran Alza Peq. Alza Sin CambioPeq. Baja Gran Baja Esperada -100 100 200 300 0 100 Oro 250 200 150 -100 -150 130 Bonos 500 250 100 -200 -600 125 Neg. Des 60 60 60 60 60 60 Cert. Dep. 0,2 0,3 0,3 0,1 0,1 Probabilid

(0.2)(250) + (0.3)(200) + (0.3)(150) + (0.1)(-100) + (0.1)(-150) = 130



Observaciones sobre el criterio de la ganancia esperada.



El criterio de la ganancia esperada es factible de usar en situaciones donde al sujeto decisor no le importe la dispersión del resultado (no tiene en cuenta la desviación típica)



Un problema de este criterio es que no considera las situaciones ante posibles pérdidas, no considera la existencia del riesgo de ruina .

Para solucionar estas limitaciones se construyen funciones de utilidad

a) Consideración de la variabilidad de los resultados: Si a→1 Mayor aversión al riesgo. Perfil más conservador Si a→0 Poca aversión al riesgo. Perfil más arriesgado.  X2  var ianza como medida de var iabilidad de los resultados Varianza : 

2 X

m

  ( X ij  E ( X i )) 2  Pj

 X  Desviación típica :  X2

j 1

En nuestro ejemplo: Si Jhon Pérez tiene una aversión al riesgo del 15%: a=0,15 U ( X 2 )  E ( Bonos )  a  V ( Bonos )  130  0,15 (250  130) 2  0, 2  (200  130) 2  0.3  (150  130) 2  0.3  ( 100  130) 2  0,1  ( 150  130) 2  0,1  71,71

Las demas alternativas se calculan de forma análoga

b) Consideración del riesgo de ruina: pérdidas que se está dispuesto a asumir o beneficio mínimo exigido En nuestro ejemplo, si estamos dispuestos a asumir pérdidas hasta 180 unidades monetarias, se rechazan las inversiones en negocio y en acciones ya que podrían generar pérdidas que no se podrían asumir (-600; -200). MATRIZ DE GANANCIAS ESTADOS DE LA NATURALEZA ALTERNATIVAS

Gran alza

pequeña alza

sin cambios

pequeña baja

gran baja

Oro

-100

100

200

300

0

Bonos

250

200

150

-100

-150

Negocio

500

250

100

-200

-600

Cert. de depósito

60

60

60

60

60

Acciones

200

150

150

-200

-150

Se desechan

2.3 El valor de la información perfecta (I) 

Principio de maximización de ganancias cuando se dispone de información perfecta, se conoce con certeza la ocurrencia de cierto estado de la naturaleza, Ej: Decisión óptima= Max {Xij }

Estados de la Naturaleza Altern. De Dec. Gran Alza Peq. Alza Sin Cambios Peq. Baja Gran Baja -100 100 200 300 0 Oro 250 200 150 -100 -150 Bonos 500 250 100 -200 -600 Negocio Des. 60 60 60 60 60 Certf. De Dep 200 150 150 -200 -150 Acciones

El valor de la información perfecta (II) Principio de máxima ganancias esperada cuando se dispone de información probabilística, en condiciones de riesgo. m Decisión óptima= Máxima ganancia esperada= Max( X ij  Pj )



j 1

Ganancia El Criterio de la Ganancia Esperada Decision Gran Alza Peq. Alza Sin CambioPeq. Baja Gran Baja Esperada -100 100 200 300 0 100 Oro 250 200 150 -100 -150 130 Bonos 500 250 100 -200 -600 125 Neg. Des 60 60 60 60 60 60 Cert. Dep. 0,2 0,3 0,3 0,1 0,1 Probabilid

(0.2)(250) + (0.3)(200) + (0.3)(150) + (0.1)(-100) + (0.1)(-150) = 130

El valor de la información perfecta (III) El valor esperado monetario en información perfecta (VEMIT) indica la ganancia esperada o valor esperado monetario de aquel individuo que pudiera adaptar su decisión al estado realizado después de m ésta realización. VEMIP   Max( X i )  P( E j ) j 1

Ganancia El Criterio de la Ganancia Esperada Decision Gran Alza Peq. Alza Sin CambioPeq. Baja Gran Baja Esperada -100 100 200 300 0 100 Oro 250 200 150 -100 -150 130 Bonos 500 250 100 -200 -600 125 Neg. Des 60 60 60 60 60 60 Cert. Dep. 0,2 0,3 0,3 0,1 0,1 Probabilid

VEMIP  500*0, 2  250*0,3  200*0,3  300*0,1  60*0,10  271

El valor de la información perfecta (IV) En condiciones de incertidumbre la decisión debe producirse antes de la realización del estado de la naturaleza, cuando todo aún es posible. La decisión tomada no puede revisarse y se mantendrá una vez ocurrido ese estado de la naturaleza, sea cual sea. Si el individuo que toma la decisión se rige según el criterio de ganancia esperada o valor esperado monetario, es fácil ver que:

VEMIP ≥ Ganancia Esperada Poseer información perfecta aumenta la ganancia esperada en la cantidad [VEMIT-Ganancia Esperada]≥0 Por definición, esta diferencia es la Ganancia Esperada de La Información Perfecta (GEIP)

El valor de la información perfecta (V) La Ganancia Esperada de La Información Perfecta (GEIP), nos indica el máximo valor que el individuo está dispuesto a pagar para librarse de la incertidumbre, comprar información y tomar su decisión con información perfecta de lo que va a suceder. El GEIP = VEMIT-Ganancia Esperada: m

m

j 1

j 1

GEIP   Max( X i )  P( E j )  Max( X ij  Pj ) En nuestro ejemplo:

GEIP  271  130  141

Si el coste (c) de adquisición de información es inferior al GEIP, el decisor prefiere comprar la decisión y eliminar la incertidumbre , en caso contrario prefiere no comprar y tomar su decisión en incertidumbre.

El valor de la información perfecta (VI) m

m

j 1

j 1

GEIP   Max( X i )  P( E j )  Max( X ij  Pj ) En nuestro ejemplo:

GEIP  271  130  141

Ganancia El Criterio de la Ganancia Esperada Decision Gran Alza Peq. Alza Sin CambioPeq. Baja Gran Baja Esperada -100 100 200 300 0 100 Oro 250 200 150 -100 -150 130 Bonos 500 250 100 -200 -600 125 Neg. Des 60 60 60 60 60 60 Cert. Dep. 0,2 0,3 0,3 0,1 0,1 Probabilid

VEMIP  500*0, 2  250*0,3  200*0,3  300*0,1  60*0,10  271 Si el coste (c) de adquisición de información es inferior al GEIP, el decisor prefiere comprar la decisión y eliminar la incertidumbre , en caso contrario prefiere no comprar y tomar su decisión en incertidumbre.

2.4. El valor de la información imperfecta (I) La información adicional no siempre es perfecta, muchas veces los estudios que se encargan a consultoras especializadas presentan un margen de error. La información adicional obtenida de estos informes mejora la probabilidad obtenida de la ocurrencia de un determinado estado de la naturaleza y ayuda al tomador de decisiones a escoger la mejor opción. La estadística Bayesiana construye un modelo a partir de la información adicional obtenida a partir de diversas fuentes que nos permite calcular la Ganacia Esperada con la Información Adicional (GECIA) y la Ganancia Esperada de la Información adiciona (GEIA)

El valor de la información imperfecta (II) El teorema de Bayes:

P( E j / Ai )  probabilidad revisada

P( E j / Ai ) 

P ( E j ) * P( Ai / E j ) n

 P( E ) * P( A / E ) i 1

j

i

j

P( E j )  probabilidad

a priori

P( Ai / E j )  probabilidad condicionada n

 P( E ) *P( A / E )  sumatoria probabilidad conjunta i 1

j

i

j

Ejemplo de Jhon Pérez: Supongamos que hemos contratado un informe adicional que nos indica la probabilidad de ocurrecia de una gran alza, pequeña alza, etc. condicionada a que el crecimiento económico sea positivo o negativo. Los resultados se pueden ver en la siguiente tabla. ESTADOS DE LA NATURALEZA ALTERNATIVAS Gran pequeña sin pequeña Gran alza alza cambios baja baja Probabilidad Crec. Positivo 0,800 0,700 0,500 0,400 0,000 Condicionada Crec, Negat. 0,200 0,300 0,500 0,600 1,000

El valor de la información imperfecta (IIi) Reconstruimos la información para mejorar la información: EL CRITERIO DE LA GANACIA ESPERADA CON INFORMACIÓN ADICIONAL ESTADOS DE LA NATURALEZA Gran pequeña sin pequeña ALTERNATIVAS alza alza cambios baja -100 100 200 300 Oro 250 200 150 -100 Bonos 500 250 100 -200 Negocio 60 60 60 60 Cert. de depósito 200 150 150 -200 Acciones 0,2 0,3 0,3 0,1 Probabilidad Probabilidad Crec. Positivo 0,800 0,700 0,500 0,400 Condicionada Crec, Negat. 0,200 0,300 0,500 0,600 0,210 0,160 0,150 0,040 Probabilidad Crec. Positivo 0,040 0,090 0,150 0,060 Conjunta Crec. Negat. 0,286 0,375 0,268 0,071 Probabilidad Crec. Positivo 0,091 0,205 0,341 0,136 Revisada Crec. Negat.

m

E ( X ij ) a posteriori o revisada  n

X

ij

Gran baja 0 -150 -600 60 -150 0,1 0,000 1,000 0,000 0,100 0,000 0,227

Gan. Esp. Gan. Esp. a priori Revisada Cre. Posi. Crec. Neg. 120 84 100 67 179 130 249 -33 125 60 60 60 139 39 95 ∑=1

0,560 0,440 1,000 1,000

 Pj m

j 1

GECIA    Max[ E ( X ij ) a posteriori  *  P ( E j ) *P ( Ai / E j )  249  0,56  120  0, 44  193  100  0,286  100 i 1 j 1  0,375  200  0, 268  300  0,071  0  0  84

probabilidad conjunta  P ( E j ) * P ( Ai / E j )  0,80 *0, 20  0,16 P ( E j ) * P( Ai / E j )

0,16   0, 286 a priori ]  193  130  63 0,56  P( E j ) * P( Ai / E j )

( E j [/EA(i )X ) n GEIA  GECIA PMax ij

i 1

El valor de la información imperfecta (IIi) Reconstruimos la información para mejorar la información: EL CRITERIO DE LA GANACIA ESPERADA CON INFORMACIÓN ADICIONAL ESTADOS DE LA NATURALEZA Gran pequeña sin pequeña ALTERNATIVAS alza alza cambios baja -100 100 200 300 Oro 250 200 150 -100 Bonos 500 250 100 -200 Negocio 60 60 60 60 Cert. de depósito 200 150 150 -200 Acciones 0,2 0,3 0,3 0,1 Probabilidad Probabilidad Crec. Positivo 0,800 0,700 0,500 0,400 Condicionada Crec, Negat. 0,200 0,300 0,500 0,600 Probabilidad Crec. Positivo 0,160 0,210 0,150 0,040 Conjunta Crec. Negat. 0,040 0,090 0,150 0,060 Probabilidad Crec. Positivo 0,286 0,375 0,268 0,071 Revisada Crec. Negat. 0,091 0,205 0,341 0,136 n

Gran baja 0 -150 -600 60 -150 0,1 0,000 1,000 0,000 0,100 0,000 0,227

Gan. Esp. Gan. Esp. a priori Revisada Cre. Posi. Crec. Neg. 100 84 120 130 179 67 125 249 -33 60 60 60 95 139 39 ∑=1

0,560 0,440 1,000 1,000

m

GECIA    Max[ E ( X ij ) a posteriori  *  P ( E j ) *P ( Ai / E j )  249  0,56  120  0, 44  193 i 1

j 1

m

) * P ( A / E )  0,80 *0, 20  0,16 E ( X ijprobabilidad X ij   Pj PP((E ) a posteriori o revisadaconjunta  E jj) * P( Ai / Ei j ) j 0,16 (j E1 j [/EA(i )X ) n ]  193  130  63   0, 286 GEIA  GECIA PMax ij a priori 0,56 ( E j)0*,375 P ( Ai/ 200 E j )  0,268  300  0,071  0  0  84 P100  100  0,286



i 1