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• Edwin Revelo

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PROBLEMAS PROPUESTOS 1. La panadería Dulce Pan produce pan de diversos tipos, que vende al público a un precio de $0.80 cada pieza. Su costo es de 0.60 $/unidad y las piezas que no vende el mismo día que produce, las rebaja al día siguiente a $0.40 cada una. De estadísticas con las que cuenta, sus ventas han sido de 300, 310, 320, 330 y 340 piezas diarias. ¿Cuál de estas cantidades debe elaborar? Resolver según los siguientes criterios: a) b) c) d) e)

Modelo minimax. Modelo optimista. Modelo de Hurwicz α=70%. Modelo de maximización del pago promedio. Modelo costo de oportunidad.

2. La taquería La Guadalupana ofrece a sus clientes deliciosos tacos al pastor, que vende a $1.30 cada uno. Si el costo por cada taco es de $0.95 y los que no vende debe darlos a $0.80. ¿Cuál debe ser la cantidad de tacos que debe preparar? Se sabe que las ventas varían desde 100 hasta 130 tacos diarios en rangos de 10. Solucionar conforme a los mismos criterios del problema anterior. 3. La compañía Agrol le ofrece al señor Juan Ledezma rentarle sus tierras, las cuales no disponen de agua, por lo que será necesario perforar un pozo para poder utilizarlas con fines agrícolas. Agrol le ha propuesto al señor Ledezma hacer la perforación y en caso de obtener el agua le pagará $100.000, en caso contrario sólo $20.000. Si el señor Ledezma hace la perforación por su cuenta, ésta le costará $ 60.000, pero si saca agua, espera obtener hasta $200.000 trabajando él mismo sus tierras. Una tercera opción del señor Ledezma es no optar por ninguna de las opciones anteriores. Se sabe que la compañía perforadora ha obtenido agua en la región en 65% de las ocasiones. ¿Cuál debe ser la decisión del señor Ledezma y cuánta su ganancia esperada bajo el criterio de priori? Realizar el análisis de sensibilidad tanto gráfico como aritméticamente. 4. La empresa Minas Potosinas le propone al municipio de Rioverde alquilarle un terreno, ya que es factible que éste contenga minerales de estaño. La compañía debe hacer un estudio geológico exploratorio, que, si resulta positivo, implicará pagarle al municipio $350000, en caso contrario sólo le pagará $50000. Si el municipio hace los trabajos de extracción de minerales por cuenta propia puede lograr hasta $500000, pero el estudio exploratorio le costaría $60000. La tercera opción del municipio es no rentar ni trabajar el terreno, sino dejarlo para otros fines. ¿Cuál debe ser su decisión y cuánta su ganancia esperada bajo el criterio a priori? El Instituto Universitario Rioverde le ha proporcionado al municipio el dato de la probabilidad de que en el municipio haya estaño, la cual es de 54%. Realizar el análisis de sensibilidad tanto gráfico como aritméticamente. 5. Un muchacho está pensando en poner un carrito en la plaza de armas para vender algo, lo que aún no tiene definido, pues ha considerado cuatro posibilidades: vender café, aguas preparadas, helados o jugos naturales. Por su parte, la venta dependerá del tipo de clima que se presente, pues el muchacho está consciente de que el café se venderá más en días fríos, mientras los helados, en días calurosos. Por esto ha preparado una tabla de ganancias condicionales para cada posibilidad de venta y cada tipo de clima (tabla 10.8):

Tabla 10.8 Clima Venta Café Aguas preparadas Helados Jugos naturales

Cálido

Frío

Lluvioso

Ventarroso

(200) 500 1000 400

1300 350 (500) 400

700 400 300 400

500 450 600 400

De una estadística climática, se sabe que en el lugar los días calurosos son 45%, los fríos, 20%, los lluviosos, 15%, y los ventarrosos, 20%. a) b) c) d) e)

Modelo minimax. Modelo optimista. Modelo de Hurwicz α=40%. Modelo de maximización del pago promedio. Modelo costo de oportunidad.

Determinar mediante el criterio a priori: f) ¿Qué producto le conviene vender? g) ¿Cuánta será su ganancia esperada? h) ¿Cuál será su ganancia si tuviera la información perfecta? 6. El señor José Martínez vende yogurt en envases de galón y tiene la estadística de ventas diarias. Venta, gal

Frecuencia

280 283 287 290 293 298 300 304

4 6 12 28 11 9 7 3

Si el yogurt le cuesta $15 el galón, lo vende a $24 y lo que no se vende al final del día no lo recupera, pues se echa a perder, determinar por medio del análisis marginal: a) ¿Cuánto deberá tener en existencia? b) ¿Cuál será su ganancia esperada promedio? c) ¿Cuánto ganaría si tuviera la información perfecta?

7. El señor José Sánchez vende leche en envases de litro y tiene la estadística de ventas de varios días pasados (tabla 10.10)

Tabla 10.10 Venta, l

Frecuencia

360 363 367 370 373 378 380 384

2 6 10 32 13 9 6 2

Si la leche le cuesta $5 el litro, lo vende a $8.50 y lo que no se vende al final del día no lo recupera, pues se echa a perder; encontrar mediante el modelo de distribución de probabilidad continua lo siguiente: a) ¿Cuánto debe tener en existencia? b) ¿Cuál será su ganancia esperada promedio? c) ¿Cuánto ganaría si tuviera la información perfecta? 8. En el otoño a un granjero le ofrecen por su producción de naranjas $50000, la que se cosechará al inicio del presente año. Si el granjero no acepta la oferta, deberá vender sus naranjas en el mercado libre luego de cosecharlas, ante lo cual puede recibir hasta $75000 si no se presenta una helada, en caso contrario, sólo obtendría $15000 si la helada es leve y no obtendrá nada si la helada es fuerte. De una estadística de los últimos 30 años, se han presentado heladas fuertes en seis años y leves en ocho. ¿Cuánto es la decisión que debe tomar? 9. Hilos del Centro maneja fibra corta para la industria confeccionadora de ropa informal. Tiene la estadística de ventas mensuales en kilogramos durante los últimos 15 años (tabla 10.11) Tabla 10.11 Venta Probabilidad

1500 0.02

2000 0.06

2500 0.10

3000 0.15

3500 0.35

4000 0.16

4500 0.10

5000 0.06

Si su costo actual es de $120 por kilogramo, su precio de venta de $160 y su precio de remate de $100, y su precio de remate de $100, mediante el análisis marginal determine: a) ¿Cuál debe ser su decisión en cuanto a la cantidad de fibra que debe manejar? b) ¿Cuánta será su ganancia esperada? c) ¿Cuál sería su ganancia en caso de contar con la información perfecta? 10. Un empresario debe seleccionar su mejor opción de inversión, para lo cual tiene cuatro opciones de bancos, cuyos resultados ante las probabilidades de riesgo se presentan en la tabla 10.12. Tabla 10.12 Riesgo Banco Bansur Banco Bueno Bancamexi Banca ZM

Alto

Mediano

Bajo

(30000) (12500) 0 0

15000 10000 0 5800

45000 57500 10000 27650

En el pasado se muestra la estadística que de cada 120 ocasiones, 33 han sido de alto riesgo, 45 de mediano riesgo y el resto de bajo riesgo. Ante esto, ¿Qué decisión deberá tomarse y cuál sería la ganancia esperada? 11. Al licenciado Saúl Rodríguez un amigo le propone que compre dólares, ya que se escuchan varios rumores de que habrá una devaluación del peso. El licenciado Rodríguez ha hecho una estimación burda de lo que podría invertir y de las posibilidades que los rumores se hagan realidad y con base en ello ha elaborado una tabla de valores que a su juicio aplican a su situación personal (tabla 10.13):

Tabla 10.13 Opción

Valor subjetivo

Comprar dólares y devaluación. Comprar dólares y no devaluación. No comprar dólares y devaluación. No comprar dólares y no devaluación.

+40 -20 -30 +10

Según los análisis financieros y economistas la probabilidad de que haya una devaluación es de 48%. ¿Cuál debe ser la decisión del licenciado Rodríguez? Realizar el análisis de sensibilidad tanto gráfico como aritméticamente

12. Jugos S.A. tiene la estadística de venta de naranjas para jugo de los últimos 50 días de operación, las cuales ofrecen en costales de 30 kg (tabla 10.14):

Tabla 10.14 42 40 44 40 41 50 40 39 50

34

38 43 40 39 38 37 41 42 46

33

46 37 42 36 32 36 41 38 42

38

47 46 38 42 31 47 40 42 40

42

40 41 39 40 49 40 39 40 35

43

Si al negocio cada costal le cuesta $15, los vende a $22.50 y lo que no vende lo rebaja a $12 a partir del día siguiente, ¿Cuál debe ser el nivel óptimo de costales que debe manejar y cuánta su ganancia esperada? Resolver por medio del modelo de distribución de probabilidad continua. 13. Petróleos Diáfanos tiene el siguiente registro de ventas de petróleo, que abarca los últimos 120 días trabajados (tabla 10.15) Tabla 10.15 Venta, l

Frecuencia

120 130 140 150 160 170 Total

9 22 30 28 20 11 120

Si para cada litro de petróleo su costo es de $1.10, su precio de venta de $1.60 y su precio de remate $0.90, ¿Cuánto debe tener cada día y cal será su ganancia esperada? Utilizar el modelo de distribución de probabilidad continua. 14. Si para el problema anterior el costo del petróleo aumentara a $1.30 por litro sin incrementar los precios, ¿Cuáles serían ahora los resultados?

15. La fábrica de envases del Potosí produce botellas de plástico de 2 l, las cuales vende a $2.50 cada una a tres distribuidoras exclusivas. El costo de materiales directos (costo variable) de la fábrica es de $1.10 por botella y tiene costos fijos por $50000 mensuales. Sus ventas el año pasado en botellas mensuales fueron las siguientes (tabla 10.16)

Tabla 10.16 Venta Frecuencia

45000 2

50000 4

55000 3

60000 2

65000 1

Si las piezas que no vende de inmediato las rebaja a $1.80 cada una, ¿Qué nivel de producción le optimizará su ganancia y cuál será el monto de ésta? 16. El restaurante Rivera elabora comidas rápidas las cuales vende a $15, su costo unitario es de $11.50 Y lo que no vende ese día lo pasa al asilo de ancianos de la localidad quienes se lo pagan a sólo $10 por cada comida. Su estadística de ventas de los últimos 90 días es (tabla 10.17): Tabla 10.17 Ventas Núm. Comidas Frecuencia

60

65

70

75

80

22

20

18

16

14

¿Cuántas comidas rápidas debe preparar para optimizar su ganancia esperada y de cuánto será? Resolver mediante: a) Análisis marginal. b) Modelo de distribución de probabilidad continúa. c) Explicar la diferencia entre los dos incisos anteriores. 17. Se tienen los siguientes datos de ventas de hamburguesas: 300 310 320 330 340

350 360 360 300 350

320 330 330 340 320

330 320 310 340 330

330 310 340 320 330

330 340 320 350 310

310 320 330 320 330

350 330 340 320 330

330 330 330 340 340

330 340 330 330 340

Si el precio de cada hamburguesa es de $17, su costo de $11 y su precio de recuperación de $6.30 cada una:

a) ¿Cuál será la mejor decisión? b) ¿Cuál su ganancia esperada? c) ¿Cuál sería la ganancia si tuviese la información perfecta? 18. El señor José Rodríguez vende yogurt en envases de galón y tiene la siguiente estadística de ventas de varios días pasados:

Venta, gal

Frecuencias

280 283 287 290 293 298 300 304 306 308

4 6 12 28 45 26 12 8 4 2

Si el yogurt le cuesta 15 pesos el galón, lo vende a 24 pesos y lo que no se vende al final del día no lo recupera, pues echa a perder: a) ¿Cuánto deberá tener en existencia? b) ¿Cuál será su ganancia esperada promedio? c) ¿Cuánto ganaría si tuviera la información perfecta? 19. El señor Juan Escalante dispone de $15000 de capital, que desea invertir para obtener el máximo rendimiento. La tasa actual de rendimiento es de 9%, pero se considera bastante volátil, y se piensa que puede subir o bajar. Dispone de tres opciones de inversión: bonos, acciones y el mercado de dinero. Según un estudio, le han presentado la siguiente tabla de posibilidades de incrementar su capital al final de un año, teniendo las distintas tasas de interés prevalecientes al final del mismo. Tasa de interés Opción Bonos Acciones Mercado de dinero

Alta 100000 90000 108000

Igual 85000 90000 100000

Baja 60000 75000 45000

Según una encuesta entre expertos, de entre 60 encuestados, 21 dicen que la tasa se mantendrá, 25 predicen que subirá, y el resto que disminuirá:

a) ¿Qué decisión deberá tomar el señor Escalante, y cuanto será su capital esperado al final del año? b) ¿Cuál sería su capital si tuviese la información perfecta? 20. Un individuo está buscando montar un nuevo negocio ambulante en las afueras del mercado municipal, y está pensando en cuatro opciones: vender agua embotellada, café, helado o pan. Las cuatro requieren una inversión inicial de $7000 para el agua, de $10500 para el café, de $18000 para los helados, y de $7800 para el pan. Las posibilidades de venta dependen en gran medida del clima, el cual puede ser soleado, nublado, lluvioso o frío. Dispone de un pronóstico de ventas diarias para las opciones según los diferentes climas, que es el siguiente: Clima Opción Agua, l Café, taza Helado, l Pan, piezas

Soleado 1800 250 700 500

Nublado 1000 600 350 750

Lluvioso 750 850 500 1200

Frío 600 1450 250 1500

Si la utilidad por producto es de $0.80 por litro de agua, $1.20 por taza de café, $3.50 por litro de helado, y de $1.10 por pieza de pan, y cuenta con una estadística climática del año anterior, según la cual de los 365 días del año 175 fueron soleados, 82 nublados, 28 lluviosos y el resto fríos: a) ¿Qué negocio deberá instalar? b) ¿Cuánto espera ganar en un mes de operaciones? 21. Una empresa debe decidir primero si lleva a cabo la investigación de mercados o no. Si ésta se realiza, el resultado será ya sea favorable (F) o desfavorable (U). Suponga que sólo hay dos alternativas de decisión, d1 y d2, y dos estados de la naturaleza, s1 y s2. La tabla de resultados siguiente muestra las utilidades:

A. Trace el árbol de decisión. B. Utilizando las probabilidades siguientes, ¿cuál es la estrategia de decisión óptima?

22. Para ahorrar en gastos, Rona y Jerry acordaron viajar de ida y vuelta al trabajo, alternando sus automóviles. Rona prefirió una ruta más larga, pero más constante por la avenida Queen City. Aunque Jerry prefirió la vía rápida, estuvo de acuerdo con Rona en que deberían tomar la avenida Queen City si había un congestionamiento en la vía rápida. La tabla de resultados siguiente proporciona el tiempo estimado en minutos para viajar en un sentido hacia y desde el trabajo:

Con base en su experiencia con los problemas de tránsito, Rona y Jerry estuvieron de acuerdo en una probabilidad de 0.15 de que la vía rápida esté congestionada. También estuvieron de acuerdo en que el clima afecta las condiciones de tránsito en la vía rápida. Sea D = despejado N = nublado Ll = lluvioso Las probabilidades condicionales siguientes se aplican: P(D|s1) = 0.8 P(N|s1) = 0.2 P(Ll|s1) = 0.0 P(D|s2) = 0.1 P(N|s2) = 0.3 P(Ll|s2) = 0.6 a. Utilice el teorema de Bayes para la revisión de la probabilidad con el fin de calcular la probabilidad de cada condición climática y la probabilidad condicional de la vía rápida libre, s1, o congestionada, s2, dada cada condición del clima. b. Muestre el árbol de decisión para este problema. c. ¿Cuál es la estrategia de decisión óptima y cuál el tiempo de recorrido esperado?

23. Del ejercicio con numeral 3 “La compañía Agrol le ofrece al señor Juan Ledezma rentarle sus tierras…” Juan pudo estimar su utilidad para varios valores: U(-60.000)=0; U(0)=4; U(20.000)=6; U(100.000)=9,5; U(140.000)=10; utilizando los valores de utilidad contestar las siguientes preguntas: ¿Es Juan adverso al riesgo? ¿Cuál es la decisión que debe tomar Juan si utiliza el criterio de utilidad? 24. Del ejercicio con numeral 4 “La empresa Minas Potosinas le propone al municipio de Rioverde alquilarle un terreno …” los dirigentes del municipio estiman su utilidad para varios valores: U(-60.000)=0; U(0)=0,3; U(50.000)=1; U(350.000)=6; U(440.000)=10; utilizando los valores de utilidad contestar las siguientes preguntas: ¿Los dirigentes del municipio son adversos al riesgo? ¿Cuál es la decisión que debe tomar los dirigentes del municipio si utiliza el criterio de utilidad?