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• Maria Cecilia Peña

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PROBABILIDAD E INFERENCIA ESTADÍSTICA SEGUNDO AÑO

Capítulo 7 Distribuciones de Probabilidad Discretas Enero 2014

DAR LA PROXIMA VEZ LA DIST MULTINOMIAL 1) Objetivos del Capítulo -

Definir los términos distribución de probabilidad y variable aleatoria. Distinguir entre una distribución de probabilidad discreta y una distribución de probabilidad continua. Calcular la media, la varianza y la desviación estándar de una distribución de probabilidad discreta. Describir las características de la distribución de probabilidad binomial y calcular las probabilidades utilizando esa distribución. Definir las características de la distribución hipergeométrica y calcular probabilidades con aplicación a tal distribución. Describir las características de la distribución de Poisson y calcular las probabilidades empleando esa distribución.

Contenido 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

Objetivos del Capítulo Bibliografía del Capítulo Enlaces Internet Introducción Variable aleatoria ¿Qué es una distribución de probabilidad? Media o valor esperado de una distribución de probabilidad Varianza y desviación estándar de una distribución de probabilidad Fórmula alternativa para la varianza de la distribución probabilística (recomendada para cálculos manuales) Distribución de probabilidad binomial Tablas de probabilidad binomial Distribución de probabilidad acumulada Distribución de probabilidad binomial negativa Distribución de probabilidad hipergeométrica Distribución de Poisson Ejercicios adicionales

Ejemplos a) b) c) d) e) f) g) h)

Número de caras que se pueden obtener al lanzar una moneda tres veces (6) Ejemplo sobre el experimento de lanzar un dado una vez (6) Vendedor de carros (8) Venta de refrescos (9) Bombillos defectuosos (11) Conductores de automóviles (12) Lanzamiento de un dado Planta de ensamblaje

1

i)

Los 4 premios

j) Fabricante de computadoras k) Llamadas telefónicas l) Maletas extraviadas 2) Bibliografía del Capítulo 7 -

Lind, pp. 191 - 225 Anderson, 173 - 212 Webster, 102 - 115 Levin, pp. 230 – 257 Triola, pp. 198 – 243 Pérez, pp. 262 - 282

3) Enlaces Internet -

-

http://www.vitutor.com/pro/3/b_g.html / Problemas y ejercicios de la distribución binomial http://www.scribd.com/doc/29257708/10-problemas-distribucion-hipergeometrica. Ejercicios de la distribución Hipergeométrica

4) Introducción Durante el curso hemos estudiado la estadística descriptiva. Como organizar y presentar datos. Vimos las medidas de tendencia central como la media, la mediana y la moda para encontrar un valor representativo de los datos cercano al centro de todos ellos y estudiamos las medidas de dispersión como la desviación estándar y la varianza como una aproximación a la variabilidad de los datos. Hasta ese punto en el curso nuestra atención estaba dirigida a evaluar y analizar algo que ya había sucedido. Posteriormente a través del estudio de las probabilidades nos aproximamos a inferir, estimar y calcular probabilidades sobre eventos que no habían sucedido basados en muestras representativas de una población objeto de estudio o del conocimiento a priori de las probabilidades de ocurrencia. En este capítulo daremos inicio al estudio de las distribuciones de probabilidad comenzando por las de tipo discreto. 5) Variable aleatoria Son los diferentes valores o resultados que puede tomar un experimento aleatorio. Entendiéndose por experimento aleatorio aquel que se rige por el azar, por lo fortuito. Una variable aleatoria puede ser discreta o continua dependiendo del número de valores específicos que pueda tomar. En el caso de las variables aleatorias discretas, solo se pueden dar un número finito de resultados, generalmente es el resultado de un conteo de posibles valores. En el caso de variables aleatorias continuas podemos tener un número infinito de valores o cuando dentro de un intervalo dado permitido se pueden presentar cualquier número de valores posibles. Si lanzo un dado una vez puedo obtener solo 6 resultados posibles. Variable aleatoria discreta. Por el contrario, si medimos la estatura de un alumno y utilizamos una escala de medición muy amplia podemos obtener un número infinito de valores posibles, un alumno puede medir, 1,6578969887 … cm y otro, 1,65826543 …. Entre 1,650 y 1,660 hay un número infinito de valores posibles.

2

6) ¿Qué es una distribución de probabilidad? Es una función o fórmula matemática o lista de valores que muestra todos los resultados posibles y las probabilidades de ocurrencia de un experimento. Se suelen representar mediante un gráfico, un cuadro estadístico o una fórmula matemática. Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento aleatorio. Una distribución de probabilidad es similar a la distribución de frecuencias relativas vista anteriormente. Describe la probabilidad que un evento se realice en el futuro, basado en resultados anteriores, si utilizamos el enfoque empírico o en base al resultado esperado si nos basamos en el enfoque clásico. Constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias o los valores esperados actuales de diversos fenómenos naturales.

a.

Ejemplo sobre el número de caras que se pueden obtener al lanzar una moneda tres veces

Suponga que queremos saber el número de caras que se pueden obtener al lanzar una moneda tres veces. Así el experimento consiste en lanzar una moneda tres veces. ¿Cuántas caras podemos obtener al lanzar una moneda tres veces? El número total de resultados posibles lo obtenemos con el siguiente razonamiento. Al lanzar una moneda podemos obtener cara o sello, dos resultados posibles y como lo repetimos tres veces, tenemos que el número total de puntos muestrales será, 2 x 2 x 3 = 2 3 = 8. En la siguiente tabla listamos todos los resultados posibles: Resultados Posibles 1 2 3 4 5 6 7 8

Primer Lanzamiento S S S S C C C C

Segundo Lanzamiento S S C C S S C C

Tercer Lanzamiento S C S C S C S C

Número de Caras 0 1 1 2 1 2 2 3

Probabilidad 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8

Probabilidad de obtener 0 caras es 1/8 (0,125) (Evento 0 / Resultado 1) Probabilidad de obtener 1 cara es 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 (0,375) (Evento 1 / Resultados 2, 3 y 5) Probabilidad de obtener 2 caras es 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 (0,375) (Evento 2 / Resultados 4, 6 y 7) Probabilidad de obtener 3 caras es 1/8 (0,125) (Evento 3 /Resultado 8)

3

Observe que las probabilidades de ocurrencia de cada uno de los eventos definidos van desde 0 a 1 y que la suma de todos los eventos (dado que son mutualmente excluyentes) es 1. b.

Ejemplo sobre el experimento de lanzar un dado una vez

Los resultados posibles del experimento que consiste en lanzar un dado una vez. a) Elabore una distribución de probabilidad de estos resultados b) Represente en forma gráfica la distribución de probabilidad c) ¿Cuál es la suma de las probabilidades

Resultados Posibles 1 2 3 4 5 6

Lanzamiento de un dado una vez 1 2 3 4 5 6

Probabilidad 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

4

7) Media o valor esperado de una distribución de probabilidad La denotamos con la letra griega, μ y representa el valor promedio, el resultado promedio que puede tomar la variable aleatoria en estudio. Se le conoce también como valor esperado. But the average, like the family with 1.7 children, is just a statistical abstraction.

La media o valor esperado de una distribución de probabilidad discreta se calcula mediante la fórmula: μ = Σ [ x P(x) ] donde P(x) es la probabilidad de ocurrencia de cada valor posible de x En el ejemplo visto anteriormente sobre el lanzamiento de una moneda tres veces tenemos que la media de esta distribución de probabilidad discreta es:

X (Caras) 0 1 2 3

P(X) 1/8 3/8 3/8 1/8 

[ X P(X) ] 0 3/8 6/8 3/8 12/8 = 1,5 caras

Si repitiéramos este experimento muchas veces, a largo plazo el número promedio de caras obtenidas sería de 1,5. Y si el experimento consiste en lanzar un dado una vez. ¿Cuál es el valor esperado?

5

8) Varianza y desviación estándar de una distribución de probabilidad La varianza y la desviación estándar (raíz cuadrada de la varianza) de una distribución de probabilidad discreta describe el grado de dispersión, de variación, que tiene la variable aleatoria discreta y se calcula mediante la fórmula: Varianza σ 2 = Σ [ ( x – μ ) 2 P (x) ] En el ejemplo de los tres lanzamientos de la moneda la varianza es: (X – μ ) (0-1,5) = -1,5 (1-1,5) = -0,5 (2-1,5) = 0,5 (3-1,5) = 1,5

(X – μ ) 2 2,25 0,25 0,25 2,25

P(X) 1/8 3/8 3/8 1/8 

[ ( X – μ ) 2 P (X) 0,281 0,094 0,094 0,281 0,75

La varianza es 0,75 y la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, 0,866 caras. Su interpretación sería que cuando repetimos el experimento de lanzar una moneda tres veces en infinidad de oportunidades el número de caras obtenidas no siempre es el mismo y se diferencian de la media (1,5 caras) en 0,866 caras en promedio. c.

Ejemplo sobre el vendedor de carros

Un vendedor de carros ha logrado determinar la siguiente distribución probabilidad referida al número de vehículos que vende los días sábados. Número de vehículos vendidos X 0 1 2 3 4

Probabilidad de ocurrencia P (x) 0,10 0,20 0,30 0,30 0,10 1,00

a) ¿Que tipo de distribución probabilística ha definido? b) ¿Cual es el valor esperado o media de ventas un día sábado? c) ¿Cuál es la varianza y desviación estándar de la distribución? a)

Se trata de una distribución de probabilidad discreta. El mismo ha limitado el número de vehículos vendidos a no más de 4 por sábado, además no puede vender la mitad de un vehículo. Entre la primera y la segunda venta no hay ninguna venta. b) Valor esperado o media de la distribución de probabilidad discreta μ = Σ [ x P(x) ]

6

Número de vehículos vendidos

Probabilidad de ocurrencia

x P(x)

x

P (x)

0

0,1

0

1

0,2

0,2

2

0,3

0,6

3

0,3

0,9

4

0,1

0,4

1

μ = 2,1

¿Como interpretar un valor esperado de 2,1 automóviles por sábado? c)

Varianza de la distribución

Número de Probabilidad vehículos de vendidos ocurrencia x P (x) 0 0,1 1 0,2 2 0,3 3 0,3 4 0,1 1

(x - μ)

(x - μ) 2

(x - μ) 2 P (x)

-2,1 -1,1 -0,1 0,9 1,9

4,41 1,21 0,01 0,81 3,61

0,441 0,242 0,003 0,243 0,361 1,29

σ 2 = 1,29 = varianza … desviación estándar igual a √ 1,29 = 1,135 vehículos. ¿Cómo interpretamos la desviación estándar?

7

9) Fórmula alternativa para la varianza de la distribución probabilística (recomendada para cálculos manuales) σ 2 = Σ [ x 2 P (x) ] – μ 2

Número de Probabilidad vehículos de vendidos ocurrencia x P (x) 0 0,1 1 0,2 2 0,3 3 0,3 4 0,1 1

x2

x 2 P (x)

0 1 4 9 16

0 0,2 1,2 2,7 1,6 5,7

σ 2 = Σ [ x 2 P (x) ] – μ 2 σ 2 = 5,7 – 2,1 2 = 5,70 – 4,41 = 1,29 d.

σ = 1,14

Ejemplo sobre ventas de refrescos

Un local de comida rápida ofrece tres tamaños de refrescos, grande, mediano y pequeño. Los precios de los refrescos son Bs. 17, 12 y 6 respectivamente. El dueño del negocio ha estudiado el comportamiento de las ventas de refrescos expresados mediante la siguiente distribución probabilística. 20% la probabilidad de vender un refresco grande, 50% un refresco mediano y 30% pequeño. a) ¿Es la distribución enunciada discreta? b) Calcule el precio promedio por venta de refrescos c) ¿Cuál es la varianza y la desviación estándar? a)

Se trata de una distribución discreta ya que solo hay tres precios para los refrescos

b) Precio promedio Precio para cada tamaño

Probabilidad de ocurrencia

Bs x

P (x)

17

0,3

0,7

12

0,5

1,25

6

0,2

0,45

1

μ = Bs. 2,4

c)

x P(x)

Varianza

8

Precio para cada tamaño

Probabilidad de ocurrencia

x2

x 2 P (x)

Bs x

P (x)

3,5

0,2

12,25

2,45

2,5

0,5

6,25

3,125

1,5

0,3

2,25

0,675

1

6,25

σ 2 = 6,25 – 2,4 2 = 6,25 – 5,76 = 0,49 σ = Bs. 0,7

10) Distribución de probabilidad binomial Es una distribución de probabilidad discreta, es decir que la variable aleatoria es el resultado de un conteo de un número finito de resultados posibles. Las características de la distribución de probabilidad binomial son las siguientes: -

-

Solo hay dos resultados posibles en cada ensayo de un experimento. Al lanzar una moneda o es cara o es sello. Al lanzar un dado el número resultante es par o impar. Un producto pasa o no pasa un control de calidad. De acuerdo como haya sido definido el experimento binomial a un resultado se le denomina “éxito” y al otro “fracaso” esto es así por convención y no necesariamente atribuye un aspecto positivo a uno y negativo al otro. Los resultados son mutualmente excluyentes. Si ocurre un resultado la primera vez no puede ocurrir el otro resultado la primera vez. La probabilidad de éxito o fracaso sigue siendo la misma, ensayo tras ensayo, repetición tras repetición. Cada ensayo es independiente de cualquier otro. Es decir que los resultados no siguen ningún patrón. Se realiza una cantidad fija de ensayos del experimento. Se lanza una moneda 10 veces. Se evalúa si 1000 personas están empleados o desempleados.

Esta distribución de probabilidad tiene múltiples aplicaciones, entre ellas el control estadístico de calidad, ¿Como se calcula una distribución de probabilidad binomial? Consideremos el siguiente ejemplo: Entre dos ciudades hay cinco vuelos diarios. Si la probabilidad de que un vuelo llegue retrasado es 0,20 (20%). ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los cinco vuelos de hoy llegue retrasado. Observe que el foco de atención está en los vuelos retrasados. Identifiquemos si este problema sigue el modelo binomial. -

Solo hay dos resultados posibles. Que el vuelo llegue retrasado (éxito) o que no llegue retrasado (fracaso). Son mutualmente excluyentes. Si uno de los cinco vuelos llegó retrasado no podemos decir que llegó a tiempo.

9

-

La probabilidad de éxito. Vuelo retrasado es 0,2 y la probabilidad de fracaso, vuelo a tiempo es 0,8. Y estas probabilidades son las mismas vuelo tras vuelo. El hecho de que un vuelo haya llegado a tiempo o retrasado no influye o incide en el vuelo siguiente. Son independientes. En este caso consideramos una cantidad fija de repeticiones del experimento. Cinco vuelos.

La probabilidad de que ningún vuelo llegue retrasado es decir 0 éxitos o x = 0 la podemos calcular mediante la fórmula del modelo binomial: P(x) = ( n C x ) π x (1-π) n-x Donde:   

P(x) es la probabilidad de obtener x éxitos. En nuestro problema x = 0 n C x es el número total de combinaciones de n elementos (cinco vuelos) tomados x a la vez π (letra griega pi) es la probabilidad de éxito. Probabilidad de que un vuelo llegue retrasado = 0,20.

La probabilidad de que no llegue ninguno de los cinco vuelos retrasados será: P(0) = (5 C 0) 0,20 0 (0,80) 5

5

C 0 = 5! / 0! 5! = 1

0,20 0 = 1

(0,80) 5 = 0,3277

P(0) = 0,3277 (32,8%) Observe que este problema en particular lo podíamos haber resuelto utilizando la regla especial de la multiplicación (eventos independientes) estudiada anteriormente. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de los cinco vuelos llegue retrasado? P(1) = (5 C 1) 0,20 1 (0,80) 4 0,41

5

C 1 = 5! / 1! 4! = 5 4 3 2 1 / 1 4 3 2 1 = 5

0,20 1 = 0,20 (0,80) 4 =

P(1) = 5 por 0,20 por 0,41 = 0,41 La distribución de probabilidad completa es la siguiente: Número de vuelos retrasados 0 1 2 3 4 5

Probabilidad 0,3277 0,4096 0,2048 0,0512 0,0064 0,0003 1,0000

Representación gráfica: Probabilidad de que X de los cinco vuelos lleguen retrasados

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11) Tablas de probabilidad binomial Para problemas donde el número de repeticiones del experimento sea grande, la fórmula indicada para el cálculo de las probabilidades puede ser engorrosa. Suerte que contamos con tablas que nos permiten llegar rápidamente a los resultados. La tabla de probabilidades de la distribución binomial cuenta con los siguientes valores: -

n, para diferentes valores de repeticiones del experimento. Número de éxitos, x Diferentes probabilidades de éxito, y finalmente La probabilidad de obtener un número determinado de éxitos en el experimento

Repetir el ejemplo anterior utilizando la tabla binomial. e.

Ejemplo sobre bombillos defectuosos

Se ha determinado que el 5% de los bombillos de una fábrica son defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar al azar seis bombillos, ninguno sea defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que solo uno sea defectuoso?¿O exactamente dos defectuosos? ¿O tres? ¿O cuatro? ¿O cinco? ¿O los seis? Revisar que este problema cumple con todos los requisitos de la distribución binomial. Número de bombillos defectuosos 0 1 2 3 4 5 6

Probabilidad P(x) 0.735 0.232 0.031 0.002 0.000 0.000 0.000 1,000

La forma de la distribución binomial será de tipo simétrica, acampanada en la medida que el número de repeticiones del experimento aumente. Y será más simétrica, mientras la probabilidad de éxito se aproxime a 0,50. A continuación veremos la forma de la distribución binomial para diferentes valores de n y de p:

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Valor esperado o media de la distribución binomial Vimos que en una distribución discreta el valor esperado o media era igual a: μ = Σ [ x P(x) ] donde P(x) es la probabilidad de ocurrencia de cada valor posible de x en el caso de la distribución binomial la obtenemos mediante la fórmula μ=nπ Varianza de una distribución binomial En general, para cualquier distribución discreta la varianza es: σ 2 = Σ [ ( x – μ ) 2 P (x) ] Para la distribución binomial la obtenemos por la fórmula: σ 2 = n π (1 – π) En el ejercicio de los bombillos la media será: μ = n π 6 por 0,05 = 0,30 es decir el valor esperado de bombillos defectuosos cuando se revisan 6 será 0,3 y la varianza: σ 2 = n π (1 – π) σ 2 = 6 x 0,05 (0,95 ) = 0,285 y la desviación estándar

√ 0,285 = 0,53

12) Distribuciones de probabilidad acumulada f.

Consideremos el siguiente ejemplo sobre conductores de automóviles:

Un estudio realizado recientemente reveló que solo 60% de los conductores de automóviles se coloca el cinturón de seguridad al manejar. Se seleccionó una muestra de 10 automovilistas.

12

-

¿Cuál es la probabilidad de que exactamente siete se hayan colocado el cinturón? ¿Cuál es la probabilidad de que 7 o menos de los conductores lo lleven puesto?

Una vez asegurado que este problema cumple con los requisitos del modelo binomial, calculamos directamente de la tabla las probabilidades correspondientes. La primera respuesta es 0,217 y la segunda 0,833 Observe que la segunda respuesta también la hemos podido haber derivado utilizando la regla del complemento. 1 menos la probabilidad de (x > 7) 13) Distribución de probabilidad binomial negativa Las características de la distribución binomial negativa son los siguientes: o o o o o

Solo hay dos resultados posibles en cada ensayo de un experimento. “éxito” y al otro “fracaso” Los resultados son mutualmente excluyentes. Si ocurre un resultado la primera vez no puede ocurrir el otro resultado la primera vez. La probabilidad de éxito o fracaso sigue siendo la misma, ensayo tras ensayo, repetición tras repetición. Cada ensayo es independiente de cualquier otro. Es decir que los resultados no siguen ningún patrón. Se realiza una cantidad variable de ensayos del experimento hasta que se obtiene un número determinado de éxitos.

Esta última característica lo diferencia del modelo binomial visto anteriormente. La probabilidad de obtener el éxito c en el intento N lo representamos como: b* (N;c;p) =

( N−1 c−1 )

pc q (N-c)

explicar cada uno g.

Ejemplo sobre el lanzamiento de un dado

Asuma que definimos éxito cuando lanzamos un dado y el resultado es 1 o 2. Es decir que la probabilidad de éxito es 1/3. Continuamos lanzando el dado hasta obtener 4 éxitos. ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan necesitado exactamente 10 lanzamientos? b*( 10;4;1/3) =

(93)

1/34 2/3 6

= 0,091

14) Distribución de probabilidad hipergeométrica (Ver: http://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/hipergeometrica.htm Introducimos el concepto de la distribución hipergeométrica mediante el siguiente ejemplo: h.

Ejemplo sobre la planta de ensamblaje

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Una planta de ensamblaje local tiene 50 empleados en el departamento de operaciones. De estos 50 empleados , 40 pertenecen al sindicado y 10 no. Se van a elegir a 5 empleados aleatoriamente para que integren un comité que negociará con la directiva de la empresa acerca de la hora de inicio de los diferentes turnos. Se sabe que el sindicato ha estado apoyando a los empleados para lograr términos más favorables en esta negociación. ¿Cuál es la probabilidad de que 4 de los 5 elegidos pertenezcan al sindicato? Al evaluar las condiciones para la utilización del modelo binomial observamos que el único criterio que no se cumple es que las probabilidades de éxito van cambiando en la medida que vamos seleccionando a los empleados del comité. En éste y otros casos cuando la muestra se realiza sin reemplazamiento y en consecuencia las probabilidades son condicionales (eventos dependientes) utilizamos el modelo hipergeométrico. La distribución hipergeométrica la representamos por:

S N−S ( x )( n−x ) P ( x )= ( Nn ) Donde: N es el tamaño de la población S es la cantidad de éxitos en la población x es el número de éxitos en la muestra n es el tamaño de la muestra o el número de ensayos Aplicando la fórmula de la distribución hipergeométrica para este problema tenemos:

S N−S ( x )( n−x ) P ( x )= ( Nn )

14

40 10 ( 4 )( 1 ) P ( x )= (505 )

= 0,43

La probabilidad entonces de que 4 de los 5 empleados elegidos al azar sean del sindicato es 43% Obviemos por un momento el no cumplimiento en este problema de la condición de que las probabilidades de éxito sean constantes en cada repetición del experimento y utilicemos el modelo binomial. Probabilidad de éxito, π = 40 / 50 = 0,80 Número de repeticiones, n = 5 Número de éxitos deseados, x = 4 En la tabla binomial encontramos que esta probabilidad es 0,41 similar al 0,43 obtenido al aplicar la distribución hipergeométrica. Como regla empírica tenemos que el modelo binomial se puede utilizar, aun cuando no se cumpla la condición de que las probabilidades de repeticiones sucesivas sea constante, si el tamaño de la población es grande en relación a la muestra o lo que es equivalente que el tamaño de la muestra sea pequeño en relación al tamaño de la población. Si el tamaño de la muestra es menor que el 5% del tamaño de la población podríamos utilizar el modelo binomial en lugar del hipergeométrico. En nuestro caso, el tamaño de la muestra (5) es equivalente al 10% del tamaño de la población (50). Muy grande!. No es recomendado utilizar el modelo binomial no obstante los resultados similares tal como lo vimos anteriormente. ¿Qué hubiese ocurrido si el tamaño de la población fuese 120 en lugar de 50? ¿Podríamos utilizar la aproximación binomial? La media de una distribución hipergeométrica será , como en el caso de la binomial : Y la varianza es: Otros ejemplos de la distribución hipergeométrica (http://www.scribd.com/doc/29257708/10-

problemas-distribucion-hipergeometrica) i.

Ejemplo sobre los 4 premios

En un sorteo de 400 billetes hay 4 premios. ¿Cuál es la probabilidad de ganar por lo menos un premio si compro 10 billetes? j.

Ejemplo sobre el fabricante de computadoras

Un fabricante de computadoras compra monitores a una nueva compañía que realiza estrictos controles de calidad. El fabricante recibe 150 monitores y decide aceptarlos a todos si al seleccionar 25 de manera

15

aleatoria, no encuentra ningún monitor defectuoso. Si encuentra algún monitor defectuoso, rechaza los 150. Supongamos que el lote contiene 3 monitores defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar los 150 monitores?

15) Distribución de probabilidad de Poisson (ver: http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci %C3%B3n_de_Poisson) La distribución de probabilidad discreta de Poisson describe la cantidad de veces que ocurre un evento en un intervalo determinado. Esta distribución de probabilidad se utiliza frecuentemente cuando los eventos tienen muy baja probabilidad de ocurrencia. En ocasiones, aun no conociendo la probabilidad de ocurrencia de un evento en particular (porque sea muy baja), podemos aproximarnos al promedio de veces que ese evento se presenta en un determinado intervalo. k.

Ejemplo sobre las llamadas telefónicas

Si una persona recibe en promedio 5 llamadas telefónicas por día. ¿Cuál es la probabilidad de que recibirá exactamente 5 llamadas mañana? En este caso es correcto aplicar el modelo de Poisson ya que: -

Los eventos ocurren en un intervalo determinado (tiempo, espacio, distancia). En este caso el intervalo es un día. Los eventos que ocurren en un intervalo determinado son independientes de los eventos que ocurran en otro intervalo. Lo que ocurra hoy es independiente de lo que ocurra mañana. La probabilidad de que un evento ocurra es proporcional a la amplitud, longitud o tamaño del intervalo. La probabilidad de recibir una llamada en un día es distinta a la probabilidad de recibir una llamada en dos días. La probabilidad de que dos o más eventos ocurran en una pequeñísima fracción del intervalo considerado es tan baja que puede ser obviada.

Las probabilidades correspondientes a una distribución de Poisson se calculan mediante la fórmula:

P(x) =

 x e  x!

Donde: μ es la media de ocurrencias (éxitos) en un intervalo determinado e corresponde a la constante 2,71828 (base del sistema logarítmico neperiano) x es el número de ocurrencias, éxitos P(x) es la probabilidad de ocurrencia de un número determinado de éxitos Para resolver este ejemplo tendríamos: La media de la población es μ = 5 llamadas por día

P(x) =

 x e x!

5 5 2.718 5 5! P(5) =

= 0,175

16

La probabilidad de recibir exactamente cinco llamadas al día siguiente es 17,5% La media y la varianza de la distribución discreta de Poisson es el parámetro μ l.

Ejemplo sobre las maletas extraviadas

Se ha establecido que el promedio de maletas extraviadas de vuelos que llegan al aeropuerto de Maiquetía es 300 maletas por cada 1.000 vuelos. μ = 300 / 1.000 = 0,3 El promedio de maletas perdidas por cada vuelo es de 0,3 ¿Cuál es la probabilidad de que en un vuelo cualquiera no se pierda ninguna maleta? Revisemos si en este ejemplo se cumple con las condiciones del modelo de Poisson. P(x) = μ x e – μ / x ¡

P(0) = 0,3 0 2.71828 – 0,3 / 0 ¡ = 0,74

¿Cuál es la probabilidad de que se pierda una maleta exactamente? P(1) = 0,3 1 2.71828 – 0,3 / 1 ¡ = (0,3) (0,74) = 0,222 Afortunadamente al igual que en los casos de la Distribución Binomial, para la Distribución de Poisson contamos con valores tabulados. 16) Ejercicios Adicionales Ejercicio 1 Calcule la media y la varianza de la siguiente distribución de probabilidad discreta X

P (x)

x P (x)

x2

x2 P (x)

0 1 2 3

0.2 0.4 0.3 0.1 1

0 0.4 0.6 0.3 1.3

0 1 4 9

0 0.4 1.2 0.9 2.5

μ = Σ [ x P(x) ] μ = 1.3 σ 2 = Σ [ x 2 P (x) ] – μ 2 = 2.5 – 1.3 2 = 2.5 – 1.69 = 0.81 Ejercicio 2 Determine la media y la varianza de la siguiente distribución de probabilidad discreta.

X

P (x)

x P (x)

x2

x2 P (x)

2

0.5

1

4

2

17

8 10

0.3 0.2 1

2.4 2 5.4

64 100

19.2 20 41.2

μ = Σ [ x P(x) ] μ = 5.4 σ 2 = Σ [ x 2 P (x) ] – μ 2 = 41.2 – 5.4 2 = 41.2 – 29.16 = 12.04 Ejercicio 3 Las tres tablas presentadas a continuación muestran “variables aleatorias” y sus “probabilidades”. Sin embargo, solo una de las tres es realmente una distribución de probabilidad. a)

¿Cual es? x 5 10 15 20

P (x) 0.3 0.3 0.2 0.4

x 5 10 15 20

P (x) 0.1 0.3 0.2 0.4

x 5 10 15 20

P (x) 0.5 0.3 -0.2 0.4

Solo la del medio cumple con los requisitos de una distribución de probabilidad discreta. Todas las probabilidades son positivas y que sumen 1. b) 1) 2) 3)

Utilizando la distribución de probabilidad correcta, encuentre la probabilidad de que x sea: Exactamente 15 …. P (x = 15) = 0.2 No más de 10 …. P ( x ≤ 10 ) = 0.4 Más de 5 … P ( x > 5 ) = 0.3 + 0.2 + 0.4 = 0.9

c)

Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de esta distribución

X

P (x)

x P (x)

x2

x2 P (x)

5 10 15 20

0.1 0.3 0.2 0.4 1

0.5 3 3 8 14.5

25 100 225 400

2.5 30 45 160 237.5

μ = Σ [ x P(x) ] μ = 14.5 σ 2 = Σ [ x 2 P (x) ] – μ 2 = 237.5 – 14.5 2 = 237.5 – 210.25 = 27.25 σ = 5.22

18

Ejercicio 4 ¿Cuál de las siguientes variables son aleatorias discretas y cuales son aleatorias continuas? a) b) c) d) e)

El número de ventas realizadas durante un año … discreta El tiempo entre llegadas de clientes a un cajero automático … continua El número de clientes de una peluquería … discreta La cantidad de gasolina en el tanque de su automóvil … continua La temperatura exterior el día de hoy … continua

Ejercicio 5 El dueño de una cafetería con la finalidad de atraer más clientes ofrece gratuitamente rellenar la taza de los clientes que han pedido café y quieren tomar más. Después de poner en práctica su estrategia durante un tiempo, logró conformar la siguiente tabla: Tazas de Café Rellenadas por cliente 0 1 2 3

Porcentaje 30 40 20 10

Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de la distribución del numero de tazas de café rellenadas. X

P (x)

x P (x)

x2

x2 P (x)

0 1 2 3

0.3 0.4 0.2 0.1 1

0 0.4 0.4 0.3 1.1

0 1 4 9

0 0.4 0.8 0.9 2.1

μ = Σ [ x P(x) ] μ = 1.1 σ 2 = Σ [ x 2 P (x) ] – μ 2 = 2.1 – 1.1 2 = 2.1 – 1.21 = 0.89 σ = 0.94 Ejercicio 6 Una reconocida universidad estimó que la distribución de las admisiones de estudiantes para el próximo año en base a la experiencia previa. ¿Cuál es el número esperado de alumnos por admitir? Evalúe la varianza y la desviación estándar.

19

Admisiones 1000 1200 1500

Probabilidad 0.6 0.30 0.10

X

P (x)

x P (x)

x2

x2 P (x)

100 0 120 0 150 0

0.6

600

600000

0.3

360

0.1

150

100000 0 144000 0 225000 0

1

1110

432000 225000 125700 0

μ = Σ [ x P(x) ] μ = 1110 σ 2 = Σ [ x 2 P (x) ] – μ 2 = 1257000 – 1110 2 = 1257000 – 1232100 = 24900 σ = 157.79 Ejercicio 7 La siguiente tabla muestra la distribución de probabilidad para premios en efectivo de una rifa de la universidad. Premio en miles de bolívares 0 10 100 500

Probabilidad de ganar de cada boleto vendido de la rifa 0.45 0.30 0.20 0.05

Si Usted comprara un solo número de la rifa, ¿Cuál es la probabilidad de que gane: b) c) d) e)

Exactamente Bs. 100000 …. 20% Por lo menos 10.000 … 20 mil o mas … 0.30 + 0.20 + 0.05 = 0.55 = 55% No más de 100.000 … 100 mil o menos … 0.20 + 0.30 + 0.45 = 0.95 … 95% Calcule la media, la varianza y la desviación estándar para esta distribución

X

P (x)

x P (x)

x2

x2 P (x)

0 10 100 500

0.45 0.3 0.2 0.05

0 3 20 25

0 100 10000 25000 0

0 30 2000 12500

20

1

48

14530

μ = Σ [ x P(x) ] μ = 48 σ 2 = Σ [ x 2 P (x) ] – μ 2 = 14530 – 48 2 = 14530 – 2304 = 12226 σ = 110.6 Ejercicio 8 Le piden que relacione tres canciones con los intérpretes que la hicieron famosas. Si acierta, la distribución de probabilidad para el número correcto de resultados es: Probabilidad Número de Aciertos

1/3 0

1/2 1

0 2

1/6 3

¿Cuál es la probabilidad de que obtenga? a) b) c) d)

Exactamente un resultado correcto … 50% Por lo menos uno correcto … ½ + 1/6 = 4/6 = 2/3 Exactamente dos resultados correctos … 0 % Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de esta distribución

X

P (x)

x P (x)

x2

x2 P (x)

0 1 2 3

0.3333 0.5 0 0.1667 1

0 0.5 0 0.5 1

0 1 4 9

0 0.5 0 1.5 2

μ = Σ [ x P(x) ] μ=1 σ 2 = Σ [ x 2 P (x) ] – μ 2 = 2 – 1 2 = 2 – 1 = 1 σ=1 Problemas adicionales sobre distribuciones discretas. Copiados sin editar y sacados de la página web http://www.monografias.com/trabajos32/problemario-probabilidad/problemarioprobabilidad.shtml#distribhiper Ejercicio 9

21

Se ha determinado que el 5% de los bombillos de una fábrica son defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar al azar seis bombillos, ninguno sea defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que solo uno sea defectuoso?¿O exactamente dos defectuosos? ¿O tres? ¿O cuatro? ¿O cinco? ¿O los seis? Revisar que este problema cumple con todos los requisitos de la distribución binomial. Ejercicio 10 Se ha determinado que la trocha en la autopista Caracas – La Guaira genera colas de más de 60 minutos para los automovilistas 20% del tiempo. Usted debe transitar por esa vía una vez al día durante los próximos 7 dias y desea predecir el número de veces que tardará 60 minutos o más en la cola antes de tomar la trocha. a)

Satisface este problema las condiciones del modelo binomial? Éxito … cola de más de 60 minutos … P(Exito) = 0,20 … n = 7 … o hay cola de más de 60 minutos o no hay … la cola de cada día es independiente del día anterior

b) Calcule la probabilidad de colas de más de 60 cada vez que tome la autopista X = 7 P(7) = 0,0000… c)

Calcule la probabilidad de tener colas de más de 60 minutos 3 de las 7 veces R = 0,115

d) Calcule la probabilidad de tener cola de más de 60 minutos una vez R = 0,367 Utilice como alternativa de cálculo la función Excel, DISTR.BINOM Ejercicio 11 En un problema de distribución binomial con n = 4 y π = 0,25 determine las siguientes probabilidades utilizando la fórmula binomial a) x = 2 … P(x) = n C x π x (1-π) n-x … P(2) = 4 C 2 0.25 2 (0.75) 2 = 4 3 2 1 / 2 1 2 1 0,0625 0,5625 = 0,21 a) x = 3 … P(x) = n C x π x (1-π) n-x … P(3) = 4 C 3 0.25 3 (0.75) 1 = 4 3 2 1 / 3 2 1 1 0,0156 0,75 = 4 = 0,0468 Ejercicio 12 Considere una distribución binomial en la que n = 3 y π = 0,60 a) X 0 1 2 3

Construya la distribución de probabilidad para todos los valores de x. Asegure que la suma de estas probabilidades es 1 P(x) 0.064 0.288 0.432 0.216 1.000

b) Determine la media y la desviación estándar de la distribución

22

μ=nπ

…. 3 por 0,60 = 1,8

σ 2 = n π (1 – π) … 3 por 0,60 (0,40) = 0.72 … σ = 0.85 c)

Grafique la distribución de probabilidad resultante

Ejercicio 13 Una encuesta determinó que 30% de las amas de casa en Venezuela compran regularmente en algún establecimiento MERCAL. En una muestra seleccionada al azar de 9 amas de casa. ¿Cuál es la probabilidad de que: a)

Exactamente dos amas de casa de la muestra compren en MERCAL R = 0,27 b) Exactamente cuatro de ellas compren en MERCAL R = 0,17 c) Ninguna de ellas compre en mercal R = 0,04 d) Determine e interprete la media y la desviación estándar μ = n π … 9 por 0,30 = 2,7 … si repitiéramos este experimento muchas veces en promedio obtendríamos 2,7 amas de casa que en muestras de tamaño 9 compren en MERCAL σ 2 = n π (1 – π) … 9 0,30 (0.70) = 1.89 … σ = 1.37 … la variación promedio alrededor de la media es de 1,4 amas de casa e) Grafique la distribución de probabilidad binomial resultante X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

P(x) 0.040 0.156 0.267 0.267 0.172 0.074 0.021 0.004 0.000 0.000

23

1.000

f)

Grafique nuevamente la distribución de probabilidad binomial pero cambiando el valor de π de 0,3 a 0,5. ¿Qué diferencia observa en los gráficos? X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

P(x) 0.002 0.018 0.070 0.164 0.246 0.246 0.164 0.070 0.018 0.002 1.000

En la medida que el valor de π tiende a 0,5 la distribución de probabilidad tenderá a tener forma simétrica y acampanada. Ejercicio 14 Para un caso donde n = 4 y π = 0,60 determine la probabilidad de que:

24

a) x = 2 … 0,346 b) x ≤ 2 …. 0.526 c) x > 2 … 0,476 X P(x) 0 0.026 1 0.154 2 0.346 3 0.346 4 0.130 1.000 d) Grafique la distribución de probabilidad binomial

e)

Grafique nuevamente pero asumiendo n = 12. ¿Qué observa? …al aumentar el número de observaciones la distribución se hace más simétrica, más acampanada.

f)

Grafique nuevamente pero asumiendo n = 12 y π = 0,5 en lugar de 0,6. ¿Qué observa?

La distribución se hace ahora casi perfectamente simétrica y acampanada al tener π a 0,5

25

Ejercicio 15 La CANTV asegura que el 70% de los reclamos recibidos los resuelve el mismo día que los reportan. Supóngase que las 15 quejas reportadas ayer de los números del serial 987 son representativos de todas las quejas. a)

¿Cuantas de estas quejas es de esperarse que se hayan resuelto ayer? ¿Cuál es la desviación estándar? R: μ = n π = 15 0,70 = 10,5 σ 2 = n π (1 – π) … 15 0,70 (0.30) = 3.15 … 1.77 b) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 de esas 15 quejas se hayan resuelto ayer mismo? R: 0.206 c) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 o 11 problemas hayan sido resueltos ayer? R: 0.206 + 0.219 = 0.425 d) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 de esos problemas se solucionaron ayer? R: 0,516 Ejercicio 16 Un noticiero de televisión desea incorporar a 5 pasantes estudiantes de Comunicación Social. Se presentaron 50 aspirantes y se preseleccionaron a 12 de los cuales 8 son muchachos y 4 muchachas. El dueño del canal decide elegir a los 5 aleatoriamente de los 12 preseleccionados. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de los 5 seleccionados sean varones? Utilizamos el modelo hipergeométrico dado que las probabilidades de selecciones consecutivas no son independientes.

P(x) = [ S C x ] [

N-S

C n-x ] / [ N C n ]

P(3) = [ 8 C 3 ] [

12-8

C 5-3 ] / [ 12 C 5 ]

…. 56 6 / 792 = 0.424

Ejercicio 17 Suponga que una población consta de 10 computadoras, de los cuales 6 están defectuosos. Se selecciona una muestra de 3. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 de los seleccionados estén defectuosos? El problema tal como está planteado corresponde al modelo hipergeométrico dado que las probabilidades son condicionales en la medida que vamos seleccionando computadoras.

26

P(x) = [ S C x ] [

N-S

C n-x ] / [ N C n ] … sea éxito que el computador esté defectuoso

P(2) = [ 6 C 2 ] [ 4 C 1 ] / [ 10 C 3 ] [15] [4] / [120] = 0,5 … la probabilidad de que dos de las tres computadoras seleccionadas esté defectuosa es 50% N es el tamaño de la población S es la cantidad de éxitos en la población x es el número de éxitos en la muestra n es el tamaño de la muestra o el número de ensayos Ejercicio 18 Una importante Pizzería tiene 15 motos para el reparto a domicilio. Suponga que 6 de las 15 motos tienen problemas con los cauchos. Se seleccionan 5 motos al azar para revisarle los cauchos. ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de las motos revisadas tengan problemas con los cauchos? Nuevamente este ejercicio corresponden al modelo hipergeométrico (¿razones?) P(x) = [ S C x ] [

N-S

C n-x ] / [ N C n ]

P(2) = [ 6 C 2 ] [ 9 C 3 ] / [ 15 C 5 ]

N=15

S=6

n=5 x=2

15 por 84 entre 3003 = 0,419

Ejercicio 19 En una distribución de Poisson con μ = 0,4 a) ¿Cual es la probabilidad de que x = 0? …. 0,6703 b) ¿Y cual es la que x > 0? . … 1 – 0,6703 = 0,3297 Ejercicio 20 Se estima que 0,5% de las llamadas telefónicas al Departamento de Quejas de una importante compañía, reciben la señal de ocupado. ¿Cuál es la probabilidad de que de las 1.200 llamadas del día de hoy, por lo menos 5 hayan recibido dicha señal? Veamos si este ejercicio cumple con los requisitos del modelo de Poisson -

Los eventos ocurren en un intervalo determinado (tiempo, espacio, distancia). Los eventos que ocurren en un intervalo determinado son independientes de los eventos que ocurran en otro intervalo. La probabilidad de que un evento ocurra es proporcional a la amplitud, longitud o tamaño del intervalo. La probabilidad de que dos o más eventos ocurran en una pequeñísima fracción del intervalo considerado es tan baja que puede ser obviada.

Este ejercicio cumple con todas las condiciones del modelo de Poisson. El valor de μ (promedio) es 0,5% de 1.200 llamadas es de 6 llamadas ocupadas en un intervalo de 1.200 llamadas … el valor de x es por lo menos 5 llamadas, es decir 5 o más. P(x ≥ 5) = 1 – P(x < 4)

27

Ejercicio 21 Una compañía grande de distribución de materiales de construcción cuenta con 15 camiones de reparto. Suponga que 6 de los 15 camiones tienen malos los frenos. Se seleccionaron 5 camiones al azar para hacer envíos. a)

¿Cuál es la probabilidad de que dos de los camiones seleccionados tengan los frenos defectuosos? Justifique la escogencia del modelo correspondiente para responder esta pregunta. b) Determine la probabilidad de que al menos 1 de los cinco camiones tenga los frenos malos. Justifique la metodología utilizada para dar su respuesta. Explique el significado de la raíz cuadrada de esta fórmula: σ 2 = Σ [ ( x – μ ) 2 P (x) ] Ejercicio 22 En una estación de servicio llegan en promedio 6 carros por hora a poner gasolina. a)

¿Cual es la probabilidad de que en una hora cualquiera lleguen a poner gasolina exactamente tres carros? Justifique la metodología utilizada para dar su respuesta. Explique el resultado en términos del problema. b) Obtenga la probabilidad de que llegue por lo menos un carro en una hora cualquiera a poner gasolina. Explique la metodología utilizada para dar su respuesta. c) Defina y presente mediante un ejemplo, el concepto: Distribución de Probabilidad. Comente sobre sus características, tipos y su valor esperado. (tres puntos) Ejercicio 23 En una cantina se venden tres tamaños de refresco, grande, mediano y pequeño, en la siguiente proporción, 30%, 55% y 15% respectivamente. El precio del refresco grande es 3 veces mayor que el pequeño y el mediano es dos veces mayor que el pequeño. Si el ingreso medio esperado al vender 100 refrescos es de BsF. 430. ¿Cuál es el precio que se vende cada tamaño de refresco? Comente los aspectos metodológicos que considere convenientes. Ejercicio ¿Se ha establecido que el 25% de los administradores trabajan en empresas privadas. Suponga que estos resultados se van a aplicar a un grupo de 15 egresados de la universidad. Cuál es la probabilidad de que cuando menos tres egresados vayan a trabajar en una empresa privada?.

Ejercicio 24 Problema 31, pag 196 del Anderson Se estima que el 5% de los camioneros son mujeres. Asuma que se seleccionan al azar 10 camioneros para una encuestas sobre las condiciones de trabajo. a) b)

¿Cuál es la probabilidad de que dos de los camioneros sean mujeres? Justifique la metodología utilizada. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno sea mujer? Realice un gráfico en apoyo a su respuesta

Ejercicio 25 Problema 45, pag 201 Anderson En la central telefónica de la universidad llega en promedio una llamada cada dos minutos. a) b)

¿Cuál es la probabilidad de que no lleguen llamadas en un período de 5 minutos? Justifique la metodología utilizada para resolver este problema.

28

Esta prueba incluye los conceptos explicados en clase sobre el capítulo 7, (Distribuciones de Probabilidad Discretas. La prueba debe realizarse en máximo dos horas.

Ejercicio 26 Una compañía grande de distribución de materiales de construcción cuenta con 15 camiones de reparto. Suponga que 6 de los 15 camiones tienen malos los frenos. Se seleccionaron 5 camiones al azar para hacer envíos. a) b)

¿Cuál es la probabilidad de que dos de los camiones seleccionados tengan los frenos defectuosos? Justifique la escogencia del modelo correspondiente para responder esta pregunta. Determine la probabilidad de que al menos 1 de los cinco camiones tenga los frenos malos. Justifique la metodología utilizada para dar su respuesta. Explique el significado de la raíz cuadrada de esta fórmula: σ 2 = Σ [ ( x – μ ) 2 P (x) ]

Ejercicio 27 En una estación de servicio llegan en promedio 6 carros por hora a poner gasolina. a) b)

¿Cuál es la probabilidad de que en una hora cualquiera llegue a poner gasolina exactamente tres carros? Justifique la metodología utilizada para dar su respuesta. Explique el resultado en términos del problema. Obtenga la probabilidad de que llegue por lo menos un carro en una hora cualquiera a poner gasolina. Explique la metodología utilizada para dar su respuesta.

Ejercicio 28 En una cantina se venden tres tamaños de refresco, grande, mediano y pequeño, en la siguiente proporción, 30%, 55% y 15% respectivamente. El precio del refresco grande es 3 veces mayor que el pequeño y el mediano es dos veces mayor que el pequeño. Si el ingreso medio esperado al vender 100 refrescos es de BsF. 430. ¿Cuál es el precio que se vende cada tamaño de refresco? Comente los aspectos metodológicos que considere convenientes.

Ejercicio 29 (Prob 29, pag 196 Anderson) ¿Se ha establecido que el 25% de los administradores trabajan en empresas privadas. Suponga que estos resultados se van a aplicar a un grupo de 15 egresados de la universidad. Cuál es la probabilidad de que cuando menos tres egresados vayan a trabajar en una empresa privada?. Justifique la metodología utilizada para resolver este problema.

Ejercicio 30 Aproximadamente el 10% de las botellas de vidrio que salen de una línea de producción tienen defectos graves. Si se seleccionan 5 botellas al azar para inspeccionarlas, ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente dos botellas con defectos graves? ¿Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos una botella con defectos graves? ¿Cuál es el valor esperado del número de botellas inspeccionadas que tienen defectos graves?

Ejercicio 31 La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura: 1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2 personas? 2.¿Y cómo máximo 2? Ejercicio 32

29

Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan: 1. Las cinco personas. 2.Al menos tres personas. 3.Exactamente dos personas. Ejercicio 33 Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces. Ejercicio 34 Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos? Ejercicio 35 La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión? Ejercicio 36 En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan aprovechado el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes. Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección. 1. Determinar la probabilidad a de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones. 2. Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones. Ejercicio 37 La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es p = 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica. Ejercicio 38

30

En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se anota si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la media y la desviación típica. Ejercicio 39 Un laboratorio afirma que una droga causa de efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos? 1. Ningún paciente tenga efectos secundarios. 2.Al menos dos tengan efectos secundarios. 3.¿Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar? Ejercicio 40

a) b)

Describa las diferencias y similitudes entre las distribuciones de probabilidad, Binomial, Hipergeométrica y Poisson. De ejemplos. ¿Cuál es la diferencia entre una variable aleatoria y una distribución de probabilidad?

c)

Defina y de un ejemplo de una distribución de probabilidad discreta

Ejercicio 41 El programa de televisión Buenas Noches en Globovisión ha sido exitoso por varios años. Recientemente tuvo un índice de audiencia de 20 , lo que significa que de todos los televisores encendidos, el 20% tenía sintonizado a Buenas Noches. Suponga que un anunciante desea verificar ese valor del 20% realizando su propia encuesta de 10 hogares el pasado jueves que tenían el televisor encendido en el horario de Buenas Noches. a) b) c)

Calcule la probabilidad de que ninguno de los hogares esté sintonizando el programa. Justifique la metodología utilizada. Obtenga la probabilidad de que al menos uno esté viendo el programa. Si la encuesta arroja que cinco hogares estaban sintonizando a Buenas Noches de los 10 verificados, ¿qué puede decir sobre el índice de audiencia de 20 dado? Utilice el valor esperado como parte de su análisis.

Ejercicio 42 Triola pg 235, Prob 13 En un año hubo 6 homicidios en el barrio la Periquita. Para un mes seleccionado al azar, calcule la probabilidad de que el número de homicidios sea: a) 0. Justifique su respuesta. b) No más de uno. c) Por lo menos 3

Ejercicio 43

Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la

31

probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?. Ejercicio 44

Todas las preguntas de un exámen oral son de escogencia múltiple. Se presentan 5 opciones para cada pregunta. El alumno responde aleatoriamente cada pregunta hasta que llega a 5 preguntas correctas. ¿Cual es la probabilidad de que el alumno haya llegado a las 5 respuestas correctas antes de la pregunta 26?

32