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Distribución Log Normal

Geoestadistica I

DISTRIBUCION LOG NORMAL El Teorema del limite central

Universidad Nacional de Ingeniería

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DISTRIBUCION LOG NORMAL En probabilidades y estadísticas, la distribución log-normal es una distribución de probabilidad de cualquier variable aleatoria con su logaritmo normalmente distribuido (la base de una función logarítmica no es importante ya que, loga X está distribuida normalmente si y solo si logb X está distribuida normalmente). Si X es una variable aleatoria con una distribución normal, entonces exp(X) tiene una distribución log-normal. "Log-normal" también se escribe "log normal" o "lognormal". Una variable puede ser modelada como log-normal si puede ser considerada como un producto multiplicativo de muchos pequeños factores independientes. Un ejemplo típico es un retorno a largo plazo de una inversión: puede considerarse como un producto de dos retornos diarios. La distribución log-normal tiende a la función densidad de probabilidad

para x > 0, donde μ y σ son la media y la desviación estándar del logaritmo de variable. El valor esperado es Universidad Nacional de Ingeniería

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y la varianza es .

TESTS DE NORMALIDAD

HISTOGRAMAS Universidad Nacional de Ingeniería

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Datos aleatorios de la data Arun1:

Distribución Log normal:

Log de la data de Arun1:

Distribución normal

Datos aleatorios de Arun1 con datos aleatorios log normal agregados: Universidad Nacional de Ingeniería

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Se puede apreciar la anomalía en la parte derecha de la distribución (rango 3-4) Log de Data de Arun1 con datos aleatorios log normal agregados:

Aquí también se puede notar la presencia de la anomalía, que escapa de los límites de la campana de Gauss.

(P-P) PLOT: Universidad Nacional de Ingeniería

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Datos aleatorios de la data Arun1:

Del LOG de la data que inicialmente se encontraba con distribución Lognormal se comprueba con el PP-Plot que efectivamente se trata de una data sin presencia de anomalías.Esto se puede comprobar por la presencia de una línea recta en la grafica

Datos aleatorios de Arun1 con datos aleatorios log normal agregados: Universidad Nacional de Ingeniería

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En este caso debido a la inclusión de datos que no guardan relación con la data inicial, se va a presentar una anomalía (que se puede notar en los histogramas anteriores).Esto traerá como consecuencia la perturbación de la línea recta presentada en la data sin alterar. Si los números aleatorios incluidos toman valores mayores a los de la data (histograma expandido hacia la derecha) la curva tendera hacia arriba.

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CONCLUSIONES  El muestreo para simular data lognormal se ha basado en el teorema de limite central, el cual trabaja con la media y la desviación estándar tomadas en el campo. De esta manera se podría simular un yacimiento o, si hablamos de minería podríamos generar tiempos de atención de la pala (shovel-truck system).  El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, la distribución de la suma de variables aleatorias tiende a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana o curva de Gauss o campana de Gauss) cuando la cantidad de variables es muy grande.  Para llegar a la muestra lognormal, los random uniformes se han sumado en grupos de n generando una variable aleatoria, la cual se ha normalizado (TLC llapunov) y posteriormente estos resultados normalizados han pasado a ser potencia de un exponencial, simulando así datos log normal.  Para corroborar que los datos han sido normalizados (a partir de la media y la desviación estándar tomadas), este informe presenta un histograma en el cual se puede apreciar la forma gaussiana de las frecuencias resultantes.  Para la distribución lognormal estudiada se ha realizado una grafica PP-Plot en el que se compara a la distribución experimental con la teórica. Si en la grafica del PPPlot se obtiene una línea recta entonces se comprueba la normalización, caso contrario la grafica resultante va ser una curva.  En el PP-Plot la recta degenerada se debe a una anomalía en la muestra inicial, esto se debe a que se ha agregado datos de diferente espacio muestral a los datos iníciales.  En el PP-Plot a medida que los valores de la muestra experimental son mayores se van a generar mayores frecuencias (se va a expandir el histograma) y esto da como consecuencia que la curva baje. Lo contrario ocurre cuando los datos experimentalmente s son de menor valor, pues en este caso la formación de la curva va a ser ascendente.  La grafica PP-Plot nos va a ayudar a verificar la existencia de anomalías que puedan presentarse en muestras lognormal. Mas aun cuando se trabaje con muestras donde las anomalías no sean notorias.

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Algoritmo para simular 100000 random log normal para una media y desviación estándar dadas #include #include #include #include #include //#include #include char nombre[80]; char m[80]; char n[80]; int nmu, i,p,; float R [240000]; float S[10000]; float Z[10000]; float L[10000]; float sum,media,sd,uv,sv; FILE *archivo; ////UNIFORM RANDOM NUMBERS void URNG (void) { srand(time(NULL) + getpid()); for (i =0 ; i < 24*nmu ; i++) { R[i]=((double)rand()/(double)RAND_MAX) ; } ///AQUI SE SUMAN for(p=0;p