• Author / Uploaded
• jossevi1

Citation preview

DISTANCIAS El medir una distancia,significa evaluar una longitud entre dos puntos que se encuentran aislados en rectas o planos. Evaluaremos las distancias para los siguientes casos:

1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: La distancia entre dos puntos, se halla determinando la verdadera magnitud del segmento que los une. Para efectuar esta operación haremos un simple cambio de plano. Aplicación:Hallar el valor de la distancia entre los puntos m y n.

mH'

mH

nH H F

nH' mF

nF

Procedimiento:   

Primero unimos los puntos m y n mediante un segmento de recta. Luego, mediante un cambio de plano horizontal, se lleva mn a verdadera magnitud (transformado a horizontal). En el nuevo sistema, la longitud de la proyección m H’nH’ es la que determina la verdadera magnitud del segmento dado.

2. DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA: La distancia entre un punto y una recta, está dadapor la longitud del segmento perpendicular entre el punto y la recta dada. Aplicación:Encontrarel valor de la distancia entre el punto m y la recta ab.

bH

aH

mH H F

mH'

aH'

bH'

mF

bF aF

Procedimiento:   

El puntom y la recta abdeterminan el plano mab, el cual es llevado a verdadera magnitud. En la verdadera magnitud se traza desde el punto muna perpendicular a la recta ab y que corta en el punton. La distancia existente entre el punto y la recta dados, equivale a la magnitud del segmento mn, la cual se mide de acuerdo a la escala correspondiente del dibujo.

3. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS: Teniendo en cuenta que el segmento representativo de la distancia entre dos rectas paralelas es perpendicular a ellas, bastará colocar las dos rectas dadas en posición perpendicular a uno de los planos de proyección y en ella se tendrá el valor de la distancia buscada. Aplicación: Determinar el valor de la distancia existente entre las rectas paralelasmn y pq.

nH qH

mH pH

H F

pF mF qF nF

mH'

pH'

nH'

qH'

mF'nF' pF'qF'

Procedimiento:  

Llevamos las rectas mn y pq a una posición de punta normal,mediante dos cambios de planos. La distancia existente entre las proyecciones frontales de las rectas (que son visualizados como dos puntos, en el nuevo sistema), nos determina el segmento D, que representa a la magnitud buscada.

La siguiente figura nos ayuda a visualizar en forma espacial la posición final de las dos rectas dadas, es decir, cómo quedan las rectas en posición de punta normalen el sistema H’-F’ después de efectuado los respectivos cambios de plano.

4. DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS: La distancia entre dos planos paralelos, está dada por la porción de perpendicular a los planos y comprendido entre ellos. Por ello, para encontrar la verdadera magnitud de la distancia entre dos planos paralelos, es necesario efectuar un cambio de planos hasta llevarlo a una posición de canto (vertical o normal) y en la proyección respectiva, medir el valor de la distancia buscada. Aplicación: Determinar la verdadera magnitud de la distancia existente entre los planos paralelos mnp y rqs.

Procedimiento:  

Llevamos los planos mnp y abc a una posición de canto vertical,mediante un cambio de plano. La distancia existente entre las proyecciones horizontales de los planos (que son visualizados como dos rectas, en el nuevo sistema), nos determina el segmento D, que representa la distancia buscada.

La siguiente figura nos permitetener una visualización espacial de la posición final de los dos planos dados, es decir, cómo quedan éstos en posición de canto vertical en el sistema H’-F después de efectuado el respectivo cambio de plano.

5. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN: Dos rectas que se cruzan son aquellas queno siendo coplanares, tampoco son paralelas, es decir pertenecen en el espacio sin cortarse en ningún momento entre sí. Para encontrar la mínima distancia que hay entre ellas, podemos emplear dos procedimientos:

5.1.

Método de las rectas:

Para hallar la mínima distancia existente entre éstas rectas, bastara con que una de ellas sea perpendicular a uno de los planos de proyección, ya que, en este caso la proyección de la recta en dicho plano es un punto y la distancia a la proyección de la otra recta determinara el valor de la distancia requerida.

Aplicación: Determinar la mínima distancia existente entre las rectas mn y pq que se cruzan en el espacio.

Procedimiento: 





Transformamos la recta mnen Frontal,mediante un primer cambio de plano, del sistema H-F al sistema H-F’.Se determinan también las nuevas proyecciones de la recta pq. Luego, con un segundo cambio de plano se transforma la Frontal anterior en una recta de punta vertical. También determinamos la nueva proyección correspondiente de la recta pq en el nuevo sistema H’-F’. De la proyección horizontal de la recta mn(representada por el punto mH’nH’en el nuevo sistema), trazamos una perpendicular a la proyección horizontal de la recta pq. La magnitud de ésta perpendicular nos determina (en verdadera magnitud) el valor de la menor distancia entre las rectas dadas.

5.2.

Método de los planos:

Para hallar la mínima distancia existente entre estas rectas, mediante este procedimiento, bastará con hacer pasar por una de las rectas, un plano paralelo a la otra recta. La distancia existente entre la recta y el plano paralelo trazado, es el valor de la distancia requerida. Aplicación: Determinar la mínima distancia existente entre las rectas que se cruzan mn y pq mediante el método de los planos.

Procedimiento:  



Hacemos pasar por la recta mn, un plano paralelo a la recta pq: el plano mns. Luego, mediante un cambio de plano frontal, se transforma el plano mns en Normal. Determinamos después la nueva proyección correspondiente de la recta pq. En el nuevo sistema H-F’, la distancia existenteentre las proyecciones frontales mF’nF’sF’ del plano y pF’qF’ de la recta representa el valor en verdadera magnitud de la mínima distancia.