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Ecuaciones por diferencias finitas para un nodo próximo a un borde curvo. Realizado por: Luis Camaño Joselyn Martínez Franklin Vega

Planteamiento del problema. • • • • • • •

Un nodo m,n esta próximo a un borde curvo El borde intersecta dos de las cuerdas provenientes del punto m,n. Se conoce la temperatura del borde curvo. Se conocen las temperaturas Tc y Td, que son los puntos de intersección. La longitud de m,n hasta C, es 𝜂𝑙 donde 𝜂 ≤ 1. La longitud de m,n hasta D, es ξ𝑙 donde 𝜉 ≤ 1. Los cuatro nodos a considerar son C, D, (m,n), (m-1, n), (m, n-1)

Ecuación diferencial del problema Teniendo un caso de conducción con generación, estacionaria y bidimensional definida por un plano x, y. 𝜕 !𝑇 𝜕 !𝑇 𝑔𝑒𝑛 + !+ =0 ! 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑘

Ecuaciones para los puntos intermedios entre nodos • Entre los nodos (m,n) y D 𝜕𝑇

$ "#!, &

𝜕𝑥

𝑇' − 𝑇",& = 𝜉𝑙

• Entre los nodos (m,n) y (m-1, n) 𝜕𝑇

$ "( !, &

𝜕𝑥

𝑇",& − 𝑇"($,& = 𝑙

Ecuaciones para los puntos intermedios entre nodos • Entre los nodos (m,n+1) y C 𝜕𝑇

$ ", & # !

𝜕𝑦

𝑇) − 𝑇",& = 𝜂𝑙

• Entre los nodos (m,n) y (m, n-1) 𝜕𝑇

$ ", & ( !

𝜕𝑦

𝑇",& − 𝑇",&($ = 𝑙

Segundas derivadas de la temperatura en el nodo (m,n) • Con respecto a x

𝜕 !𝑇",& = ! 𝜕𝑥

𝜕𝑇 𝜕𝑇 K $ − K $ 𝜕𝑥 "# , & 𝜕𝑥 "( , & !

1 1 𝑙 + 𝑙𝜉 2 2

!

=

𝜕𝑇 𝜕𝑇 K $ − K $ 𝜕𝑥 "# , & 𝜕𝑥 "( , & !

1 𝑙 1+𝜉 2

!

Segundas derivadas de la temperatura en el nodo (m,n) • Con respecto a y

𝜕 !𝑇",& = ! 𝜕𝑦

𝜕𝑇 𝜕𝑇 K − K 𝜕𝑥 ", &#$ 𝜕𝑥 ", &($ !

1 1 𝑙 + 𝑙𝜂 2 2

!

=

𝜕𝑇 𝜕𝑇 K − K 𝜕𝑥 ", &#$ 𝜕𝑥 ", &($ !

1 𝑙 1+𝜂 2

!

Convirtiendo las derivadas parciales en ecuaciones algebraicas por aproximación de diferencias finitas • Con respecto a y 𝜕 ! 𝑇",$ 𝜕𝑦 !

𝑇% − 𝑇",$ 𝑇",$ − 𝑇",$&' 1 𝑇% − 𝑇",$ − − 𝑇",$ + 𝑇",$&' 𝜂𝑙 𝑙 𝜂 𝑙 = = 1 1 𝑙 1+𝜂 𝑙 1+𝜂 2 2

𝜕 ! 𝑇",$ 𝜕𝑦 !

𝑇% 𝑇",$ 2 𝜂 − 𝜂 − 𝑇",$ + 𝑇",$&' = 𝑙! 1 + 𝜂

Convirtiendo las derivadas parciales en ecuaciones algebraicas por aproximación de diferencias finitas • Con respecto a x 𝜕 ! 𝑇",$ 𝜕𝑥 !

𝑇% − 𝑇",$ 𝑇",$ − 𝑇"&',$ 1 𝑇% − 𝑇",$ − − 𝑇",$ + 𝑇"&',$ 𝜉𝑙 𝑙 𝑙 𝜉 = = 1 1 𝑙 1+𝜉 𝑙 1+𝜉 2 2

𝜕 ! 𝑇",$ = 𝜕𝑥 !

2

𝑇% 𝑇",$ − − 𝑇",$ + 𝑇"&',$ 𝜉 𝜉 𝑙! 1 + 𝜉

Volviendo a la ecuación diferencial inicial 𝑇 𝑇 𝑇( 𝑇",$ − − 𝑇",$ + 𝑇"&',$ 2 % − ",$ − 𝑇",$ + 𝑇",$&' 𝑔",$ 𝜉 𝜉 𝜂 𝜂 + + =0 ! ! 𝑙 1+𝜉 𝑙 1+𝜂 𝑘 2 𝑇( 𝑇",$ 𝑇",$ 𝑇"&',$ 2 𝑇% 𝑇",$ 𝑇",$ 𝑔",$ − − + + − − + 𝑇 + =0 ",$&' ! ! 𝑙 𝜉 1+𝜉 𝜉 1+𝜉 1+𝜉 1+𝜉 𝑙 𝜂 1+𝜂 𝜂 1+𝜂 1+𝜂 𝑘 2 𝑇( 𝑇% 𝑇"&',$ 𝑇",$&' 𝑇",$ 𝑇",$ 𝑇",$ 𝑇",$ 𝑔",$ + + + − − − − + =0 𝑙! 𝜉 1 + 𝜉 𝜂 1+𝜂 1+𝜉 1+𝜂 𝜉 1+𝜉 1+𝜉 𝜂 1+𝜂 1+𝜂 𝑘 2

2 𝑇( 𝑇% 𝑇"&',$ 𝑇",$&' 1 1 1 1 + + + − 𝑇 − − − ",$ 𝑙! 𝜉 1 + 𝜉 𝜂 1+𝜂 1+𝜉 1+𝜂 𝜉 1+𝜉 1+𝜉 𝜂 1+𝜂 1+𝜂 2 𝑇( 𝑇% 𝑇"&',$ 𝑇",$&' 1 1 + + + − 𝑇",$ + 𝑙! 𝜉 1 + 𝜉 𝜂 1+𝜂 1+𝜉 1+𝜂 𝜉 𝜂

𝑔",$ + =0 𝑘

+

𝑔",$ =0 𝑘

Ecuación algebraica obtenida con aproximación de diferencias finitas 𝑇! 𝑇" 𝑇#$%,' 𝑇#,'$% 1 1 2 + + + − 𝑇#,' + 𝜉 1+𝜉 𝜂 1+𝜂 1+𝜉 1+𝜂 𝜉 𝜂

𝑔#,' 𝑙 ( + =0 𝑘

Muchas gracias