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• eduardo amaro

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DIFERENCIAS FINITAS

Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma

Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma el límite h → 0. Sea f(x) una función definida en (a, b) que tiene hasta la k−ésima derivada, entonces la expansión de f(x) usando series de Taylor alrededor del punto xi contenido en el intervalo (a, b) será:

Dónde ε = xi + θ(x − xi) y 0 < θ < 1. Diferencias Progresivas Considerando la Ec.(1.1) con k = 2 y x = xi + ∆x, tenemos:

De esta ecuación obtenemos la siguiente expresión para aproximación de la primera derivada

En este caso la aproximación de f ′ (x) mediante diferencias progresivas es de primer orden, o sea O(∆x). Siendo Op(∆x) el error local de truncamiento, definido como

También podemos escribir lo anterior como:

Diferencias Regresivas: Considerando la Ec.(1.1) con k = 2 y x = xi − ∆x, tenemos:

De esta ecuación obtenemos la siguiente expresión para aproximación de la primera derivada:

En este caso la aproximación de f ′ (x) mediante diferencias regresivas es de primer orden, o sea O(∆x). Siendo Or(∆x) el error local de truncamiento, definido como:

También podemos escribir la expresión anterior como:

Diferencias Centradas Considerando la Ec.(1.1) con k = 3 y escribiendo f(x) en x = xi + ∆x y x = xi − ∆x, tenemos:

Restando la Ec.(1.12) de la Ec.(1.13), se tiene:

Esta última expresión lleva a la siguiente aproximación de la primera derivada mediante diferencias centradas

Con un error local de truncamiento de segundo orden Oc(∆x 2 ), es decir:

Comparado el error local de truncamiento de la aproximación anterior Oc(∆x 2 ), con los obtenidos previamente para diferencias progresivas y regresivas Op(∆x) y Or(∆x), se tiene que

Es común encontrar expresada la derivada:

Solución Numérica de la Ecuación de Laplace 2 2  u  u  2u  2  2  0 x y

 2u ui 1, j  2.ui , j  ui 1, j  2 x x 2

 2u ui , j 1  2.ui , j  ui , j 1  2 y y 2  u ui1, j  ui1, j  x 2.x

 u ui, j1  ui, j1  y 2.y

Aproximación por diferencias finitas para la solución de la ecuación de Laplace:

Tenemos que

Sustituimos en la ecuación anterior y tenemos:

ui 1, j  2.ui , j  ui 1, j x

2



ui , j 1  2.ui , j  ui , j 1 y

2

0

Ecuación de conducción en una dimensión La función T(x) puede ser aproximada por una serie de Taylor en x como:

Y

Truncando la primera ecuación después de los dos primeros términos y despejando la primera derivada de dicha ecuación obtenemos la aproximación en diferencias finitas en forma implícita:

Truncando la segunda ecuación después de los dos primeros términos y despejando la primera derivada de dicha ecuación obtenemos la aproximación en diferencias finitas en forma explícita:

Si truncando ambas ecuaciones en el tercer término, le restamos la segunda de las ecuaciones a la primera y despejamos la primera derivada de la función, obtenemos la aproximación de la primera derivada en forma centrada:

Para obtener la aproximación en diferencias finitas de la segunda derivada truncamos las ecuaciones en el tercer término y las sumamos, para posteriormente despejar la segunda derivada, obteniendo la siguiente relación, que es también una relación de diferencias centrada:

Aplicándole a esta ecuación el método de diferencias finitas explícitas obtenemos:

Despejando el término de la temperatura en el tiempo (t+∆t) obtenemos la ecuación que se utilizará para el cálculo del campo de temperaturas.