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DIFERENCIAS FINITAS STC →

Cálculo Diferencial – Cálculo Integral Teoría de las Ecuaciones Diferenciales

STD →

Diferencias Finitas - Operadores Teoría de las Ecuaciones de Diferencias

Señales Discretas: Existen sólo para valores discretos del tiempo:tk = kT ; k = 0 ó entero(+) u(kT)

v(kT)

kT

u(kT)

v(kT)

0

u(0)

v(0)

1

u(T)

v(T)

2

u(2T)

v(2T)

3

u(3T)

v(3T)

:

:

:

Relación Funcional → Ec. de Diferencias más general

:

:

:

Esta relación funcional puede ser cualquiera, incluso puede ser no lineal.

k

u(kT)

v(kT)

STD

Ecuación de Diferencias Finitas (ó de Diferencias) V(kT) = f{u(kT), u[(k-1)T], u[(k-2)T], ... , u[(k-j)T], v[(k-1)T], v[(k-2)T], ..., v[(k-i)T]} ; j≥1

Nos interesan los sistemas cuya salida sea la combinación lineal de las variables: u[(k-j)T] y v[(k-i)T] con j≥1 y además con A y B ≡ coeficientes reales tal que: J

v(kT )

I

A j u (k

j )T

Bi v ( k

j 0

i )T

i 1

Esta es la “Forma más general de un Ecuación de Diferencias Lineal con Coeficientes Constantes” O también la “Expresión más General de un STD Lineal de Entrada Única (SISO). Representa el comportamiento de un STD lineal. Hay una similitud formal entre la Teoría de las Ecuaciones Diferenciales y las Ecuaciones de Diferencias, pero no hay una conexión directa entre ambas. DIFERENCIAS DIVIDIDAS Dada una cierta variable independiente discreta xk y una cierta función f(xk) ≡ f(k) ≡ fk , puede confeccionarse una Tabla de Valores: xk

x0

x1

x2

x3

.

.

.

.

xk

f(xk)

f(x0)

f(x1)

f(x2)

f(x3)

.

.

.

.

f(xk)

Las Diferencias Divididas de f(xk) se definen como la relación entre las diferencias de f(xk) y xk:

1

Primeras Diferencias Divididas DD1f(xk):

xk

f(xk)

D1f(xk)

D2f(xk)

:

:

:

:

:

:

xi

f(xi)

:

:

xj

f(xj)

:

:

xk

f(xk)

:

:

Dnf(xk)

:

Df(xi,xj) =

Segundas Diferencias Divididas DD2f(xk): D2f(xi,xj) =

: Enésimas Diferncias Divididas DDnf(xk):

f(xi , xj)

: f(xi , xj, xk)

:

:

:

:

:

:

:

:

f(xj, xk)

xn-1

f(xn-1)

:

:

:

xn

f(xn)

:

:

:

f(xi,xj,xk,…,xn)

Dnf(xi,xj) = En todos los casos se ve que en los términos del numerador, las variables que son distintas son sólo la primera y la última. Propiedades de las Diferencias Divididas: a) Dada una función f(xk) , puede demostrarse que: f(xi,xj) = f(xj,xi) b) Dada una F(x) = f(xk) ± g(xk), puede demostrarse que: F(xi,xj) = f(xi,xj) ± g(xi,xj) c) Dada una F(x) = A.f(x), puede demostrarse que: F(xi,xj) = A.f(xi,xj) Por lo tanto, las Diferencias Divididas tienen la propiedad de Linealidad. Ejercicio 1: Probar que si la función f(xk)es una función de variable compleja, para las diferencias divididas valen las siguientes propiedades: a) f(xj , xk) = f(xk , xj) b) Si f(xk) = a.g(xk) ± b.h(xk), entonces f(xi , xj) = a.g(xi , xj)) ± b.h(xi , xj) Tabla de Diferencias Divididas Los intervalos entre muestras pueden ser regulares o irregulares, esto es, el salto entre una muestra y otra puede ser constante, o puede variar. En todos los casos, para confeccionar la Tabla de Valores con las correspondientes Diferencias Divididas, se procede de la manera que se muestra en el ejemplo:

2

x

f(x)

1asDDs

2asDDs

3asDDs

x0

f(x0)

f(x0, x1)

f(x0, x1, x2)

f(x0, x1, x2, x3)

x1

f(x1)

f(x1, x2)

f(x1, x2, x3)

x2

f(x2)

f(x2, x3)

X 3

f(x3)

Ejercicio 2: Dada la función generatriz f(x) = x3, y la serie de valores de entrada x (con intervalos de muestreo: x = 0, 1, 3, 4, 7, 9 realizar una tabla de valores con las Primeras, Segundas y Terceras Diferencias Divididas. Observar y escribir conclusiones sobre los resultados obtenidos. x

f(x)

1asDDs

2asDDs

3asDDs

4asDDs

0

0

1

4

1

0

1

1

13

8

1

0

3

27

37

14

1

4

64

93

20

7

343

193

9

729

Vemos que, a pesar de haber tomado intervalos de muestreo totalmente irregulares, en la 3a diferencia obtenemos todos resultados iguales a 1., y de allí en adelante son todas las diferencias iguales a cero. No hemos hecho distinción ni en el orden de ubicación ni en el espaciamiento de las variables, ni en la forma de la función. Tampoco esta Diferencia Dividida nada tiene que ver con la Derivada de una función. Sin embargo estmos frente a una “similitud formal” entre las Diferencias Divididas y la Derivada de una Función. Recordemos, la derivada de la función f(x) = x3: dx 3 3x 2 dx d 2 x3 6x dx d 3 x3 6 dx d 4 x3 0 dx

Vemos que la similitud formal está en que tanto la derivada como la diferencia de una función de orden n, se hacen igual a una constante en la enésima derivada o diferencia, y a partir de allí las siguientes derivadas o diferencias son iguales a cero. El elemento básico de una Ecuación Diferencial es la “Derivada”, el de la Ecuación de Diferencias es la “Diferencia” Vamos a tener en cuenta esto para ver la similitud entre las Ecuaciones Diferenciales y las Ecuaciones de Diferencias.

Primer Teorema: Las enésimas Diferencia Divididas de un polinomio de grado n, son constantes. Corolario: Las enésimas Diferencias de un polinomio de grado n son constantes.

3

Diferencias de una Función: Se define como Diferencia de una función ∆f(xk) = f(xk+1) - f(xk) ∆fk == fk+1 - fk

ó

Esta es la Primera Diferencia 2

Segunda Diferencia de f : ∆ fk ∆[∆fk] = ∆[f(xk+1) - f(xk)] = ∆fk+1 - ∆fk = ∆2fk : Enésimas Diferencias de f : ∆nfk ∆[∆n-1fk] = ∆n-1fk+1 - ∆n-1fk = ∆n fk Propiedades del Operador ∆: a) ∆(fk ± gk) = ∆(fk) ± ∆(gk) b) ∆(C.fk) = C.∆( fk) c) ∆m(∆n fk) = ∆m+n fk

Ley de exponentes. Es válida para valores de m y n enteros.

Operador Incremental E: E(fk) = E f(xk) = f(xk+h) = f(xk+1) = fk+1 siendo h la diferencia que hay entre dos valores de x sucesivos (xk y xk+1) E[E.f(xk)] = E2 f(xk) = fk+2 = f(xk+2h) x

f(x)

xk

f(xk)

xk+1

f(xk+h)

Si tengo un cierto xk con su respectiva función f(xk), y le aplico el operador incremental, la hago bajar un nivel a la función. Si lo aplico Γ veces, la bajo Γ niveles.

h

Γ

:

EΓ f(xk) = fk+Γ = f(xk+Γh)

f(xk+Γ) Propiedades del Operador E: 1) E(fk ± gk) = E fk ± E gk 2) E(C.fk) = C.E fk 3) EΓ[Es fk] = EΓ+s fk

Ley exponencial de los sistemas lineales, válida para Γ y s enteros.

Equivalencias entre los Operadores Δ y E: Dos operadores se dice que tienen la propiedad de ser operacionalmente equivalentes, si aplicados a la misma función, dan el mismo resultado. Δ fk = fk+1 - fk E f(xk) = E(xk+h) = fk+1, con h=1 Δ fk = E fk - fk = (E-1) fk => Δ = (E-1) 4

Interpretación del STD por Ecuaciones de Diferencias Así como las Ecuaciones Diferenciales podían utilizarse para definir los STC, ya sean lineales o no, lsd Ecuaciones de Diferencias se pueden utilizar para representar los STD sean lineales o no lineales. Como primera medida utilizaremos el operador E para aplicarlo a nuestra ecuación de diferencias. El operador E puede utilizarse como operador de avance, o de retroceso (E-1). Aplicado a una función fk, sería: E(fk) = f(k+1) ; En f(k) = f(k+n) -1

-n

E (fk) = f(k-1) ; E f(k) = f(k-n)

ó fk+n ó fk-n

Entonces, por ejemplo si: y(k) = A0 fk + A1 fk+1 + A2 fk+2 + ... + An fk+n usando el operador E sería: y(k) = A0 fk + A1 E fk + A2 E2 fk + ... + An En fk Recordemos el operador Diferencia Δ: Δ fk = fk+1 – fk

ˆ

E fk – fk = (E – 1) fk => Para la enésima diferencia será: Δn fk

ˆ

(E-1)n fk

Binomio de Newton Podemos expresar las Ecuaciones de Diferencia como: {f (En)}y(k) = Φ(k) Entrada al STD Para interpretar al STD por ecuaciones de diferencias, introducimos a la entrada del sistema una excitación Φ(k) , y obtenemos la salida y(k). Si desarrollamos la expresión anterior, de orden n, lineal, con coeficientes constantes Ai , será: (A0 + A1 E-1 + A2 E-2 + ... + An-1 E-(n-1) + An E-n)y(k) = Φ(k) no hay ninguna restricción para la función de excitación Φ(k), pudiendo ser ésta eventualmente igual a cero, tendríamos entonces una ecuación de diferencias homogénea; o puede tener una expresión analítica completa (con funciones generatrices xk, sen(wkT), cos(wkT), etc.) El sistema que puede responder a la ecuación anterior será un Sistema de Tiempo Discreto absolutamente generalizado, que puede ser “lineal” o “no lineal”.. De la expresión general para un STD lineal, causal, a coeficientes constantes, podemos ver que es posible realizar estos sistemas en forma computacional (por software) o por hardware (realización circuital). Computacional: se pueden desarrollar programas de computadora, con distintos lenguajes, que respondan a dicha ecuación, haciendo variar el tiempo T en un intervalo prefijado, y obtener su respuesta temporal en forma directa. Por Hardware: Así también podemos ver que es posible desarrollar la expresión general utilizando sólo tres tipos de componentes: Sumadores (+), Multiplicadores ( ) y retardos (E-1).

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