• Author / Uploaded
• alain carata

Citation preview

DIAGRAMA DE MOMENTO CURVATURA EN VIGA 1. DATOS REQUERIDOS PARA EL ANÁLISIS kg kg F'y ≔ 4200 ―― F'c ≔ 210 ―― 2 2 cm cm B ≔ 30 cm

H ≔ 60 cm

kg 6 Es ≔ 2 ⋅ 10 ―― 2 cm El diagrama de momento curvatura se elabora para ver la ductilidad de la estructura, la norma hace requerimiento de estructura dúctil mas no frágil, el cual incita a que la estructura tenga grandes deformaciones.

As ≔ 10 cm

2

2. SECCIÓN NO FISURADA 2.1. Sección transformada: y Cuando la viga aun no sufre agrietamiento, entonces el concreto tiene resistencia a tracción. y Se transforma la el área de acero para compatibilizando con el concreto, multiplicando el área de acero por un "n" que resulta de dividir entre el modulo de elasticidad del concreto y acero. 2 ‾‾‾‾‾‾‾ kg kg Ec ≔ 15000 ⋅ F'c ⋅ ―― = 217370.651 ―― 2 2 cm cm Es n ≔ ―= 9.201 Ec A ≔ As ⋅ n - As = 82.009 cm

2

2.2. Determinación del eje neutro para la sección transformada:. H y1 ≔ ―= 30 cm 2

A1 ≔ B ⋅ H = 1800 cm

2

d ≔ H - 6 cm = 54 cm El eje neutro se determina de la siguiente forma. y1 ⋅ A1 + d ⋅ A c ≔ ―――― = 31.046 cm A1 + A El momento de inercia con respecto al eje neutro: 3 2 2 B⋅H I ≔ ――+ B ⋅ H ⋅ ((c - y1)) + A ⋅ ((d - c)) 12 Correo: [email protected] pagina de facebook: conswa ingenieros

Numero: 917421431

I = 585178.676 cm

4

2.3. Calculo de momento y curvatura para sección a pun de agrietarse: El esfuerzo que genera agrietamiento se calcula de la siguiente manera: σ =fR=2* σ≔2⋅

2

2

‾‾ Fc y y ≔ H - c

σ⋅I M1 ≔ ―― = 5857.558 kg ⋅ m y

‾‾‾‾‾‾‾ kg kg F'c ⋅ ―― = 28.983 ―― , 2 2 cm cm

2.4. Esfuerzo en el concreto y el acero M1 ⋅ c kg fc1 ≔ ――= 31.076 ―― 2 I cm

,

M1 ⋅ ((d - c) kg fs1 ≔ ―――― ⋅ n = 211.407 ―― 2 I cm

2.4. Deformación unitaria y la curvatura de la sección: fc1 fs1 La deformación unitaria del concreto εc1 ≔ ―= 0.000143 , εs1 ≔ ―= 0.00011 Ec Es εc1 1 -4 curvatura de la sección: Ψ1 ≔ ― = ⎛⎝4.605 ⋅ 10 ⎞⎠ ― c m 3. SECCIÓN FISURADA 3.1. Determinación del eje neutro: y En este caso el concreto solo trabaja en la parte compresión, en la parte de tracción ya no trabaja porque está agrietado y el acero a tracción. A ≔ n ⋅ As = 92.009 cm

2

tomando el momento estático con respecto al eje neutro, se determina el valor de "c". ⎛c⎞ B ⋅ c ⎜― ⎟ ＝ A ⋅ ((d - c)) ⎝2⎠ ⎛c⎞ B ⋅ c ⎜― ⎟ - A ⋅ ((d - c) ＝ 0 ⎝2⎠ c = 15.389 cm 3.2. Momento de inercia respecto al eje neutro: 2 1 3 4 I≔― ⋅ B ⋅ c + A ⋅ ((d - c)) = 173611.922 cm 3

3.3. Esfuerzo en el concreto y acero: M: momento M⋅y y: distancia del eje neutro al borde de superior del are f ＝ ―― I de compresión o tracción. Correo: [email protected] pagina de facebook: conswa ingenieros

Numero: 917421431

tomando un momento mayor al momento que genera agrietamiento en la sección de la estructura. M2 ≔ M1 + 640 kg ⋅ m = 6497.558 kg ⋅ m M2 ⋅ c kg M2 ⋅ ((d - c)) kg , fs2 ≔ ―――― ⋅ n = 1329.554 ―― fc2 ≔ ――= 57.596 ―― 2 2 I I cm cm 3.4. Deformación unitaria y la curvatura de la sección: fc2 fs2 La deformación unitaria del concreto εc2 ≔ ―= 0.000265 , εs2 ≔ ―= 0.00066 Ec Es εc2 1 -3 curvatura de la sección: Ψ2 ≔ ― = ⎛⎝1.722 ⋅ 10 ⎞⎠ ― c m 4. SECCIÓN POR ESFUERZO ADMISIBLE 4.1. Esfuerzo admisible:

kg fc3 ≔ 0.45 F'c = 94.5 ――, 2 cm

kg fs3 ≔ 0.5 F'y = 2100 ―― 2 cm

4.2. Momento admisible: MAD ⋅ y f⋅I f ＝ ――, entonces M3 ＝ Mad ＝ ― y I

,

fc3 ⋅ I MAD1 ≔ ―― = 10660.787 kg ⋅ m c

fs3 ⋅ I MAD2 ≔ ―――= 10262.741 kg ⋅ m ((d - c)) ⋅ n

,

M3 ≔ MAD2 = 10262.741 kg ⋅ m

Tomando el momento admisible calcula con esfuerzo de acero volvemos a calcular los esfuerzos MAD2 ⋅ c MAD2 ⋅ ((d - c)) kg kg fc3 ≔ ――― = 90.972 ―― , fs ≔ ⋅ n = 2100 ―― ―――― 3 2 2 I I cm cm 4.3. Deformación unitaria y la curvatura de la sección: fc3 fs3 La deformación unitaria del concreto εc3 ≔ ―= 0.000419 , εs3 ≔ ―= 0.00105 Ec Es εc3 1 -3 curvatura de la sección: Ψ3 ≔ ― = ⎛⎝2.719 ⋅ 10 ⎞⎠ ― c m 5. SECCIÓN POR FLUENCIA DEL ACERO

Correo: [email protected] pagina de facebook: conswa ingenieros

Numero: 917421431

5.1. Determinación del valor de "c": Por compatibilidad de deformaciones del "diagrama de deformaciones" εc εy εy ⋅ c F'y Por semejanza de triángulos ―＝ ――― , εy ≔ ―= 0.0021 , entonces εc ＝ ――― ((d - c) c ((d - c) Es εy ⋅ c εc ＝ ――― .......................(1) ((d - c)) εy = 0.0021

d = 54 cm

Por equilibrio estático del "diagrama de esfuerzos" Cc ＝ T ..................................(2) T ＝ As ⋅ F'y ............................(3) c ⎛ ⎞ a1 2 ⌠ Cc ＝ ⌡ F'c ((c)) ⋅ B d c ＝ B ⋅ ⎜0.5 ⋅ a2 ⋅ c ⋅ εc - ―⋅ c ⋅ εc ⎟ ....................(4) 3 ⎝ ⎠ 0

Donde:

F'c a1 ＝ ――, 2 ε0

2 ⋅ F'c a2 ＝ ―― ε0

ε0 ≔ 0.002

Reemplazando valores: F'c kg a1 ≔ ―― = 52500000 ――, 2 2 ε0 cm Reemplazando ecuación (1) en (4)

2 ⋅ F'c kg a2 ≔ ――= 210000 ―― 2 ε0 cm

2⎞ ⎛ ⎛ εy ⋅ c ⎞ ⎟ ⎛ ε y ⋅ c ⎞ a1 ⎜ Cc ＝ B ⋅ ⎜0.5 ⋅ a2 ⋅ c ⋅ ⎜――― ⎟ - ―⋅ c ⋅ ⎜――― ⎟ ....................(5) ⎝ ⎝ ((d - c)) ⎠ 3 ⎝ ((d - c)) ⎠ ⎟⎠

Reemplazando ecuación (5) y (3) en (2) 2⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ε ⋅ c a ε ⋅ c ⎜ ⎟ y 1 y B ⋅ ⎜0.5 ⋅ a2 ⋅ c ⋅ ⎜――― ⎟ - ―⋅ c ⋅ ⎜――― ⎟ ⎟ ＝ As ⋅ F'y ...............(6) ( ) ( ) ⎝ ⎝ (d - c) ⎠ 3 ⎝ (d - c) ⎠ ⎠

De la ecuación (6) se determina el valor de "c", c = 16.753 cm 5.2. Determinación del momento: M4 ＝ T ⋅ ((d - 0.375 ⋅ c)) T ≔ As ⋅ F'y = 42000 kg M4 ≔ T ⋅ ((d - 0.375 ⋅ c)) = 20041.357 kg ⋅ m

Correo: [email protected] pagina de facebook: conswa ingenieros

Numero: 917421431

5.3. Deformación unitaria y la curvatura de la sección: εy ⋅ c F'y La deformación unitaria del concreto εc4 ≔ ――― = 0.000945 , εs4 ≔ ―= 0.0021 ((d - c)) Es εc4 1 -3 curvatura de la sección: Ψ4 ≔ ― = ⎛⎝5.638 ⋅ 10 ⎞⎠ ― c m 6. SECCIÓN ULTIMA y sucede cuando el concreto llega a su máxima resistencia a compresión. T ≔ As ⋅ F'y = 42000 kg .................(1) 2 Cc ＝ ― ⋅ c ⋅ B ⋅ F'c ...........................(2) 3 Igualando ecuación (1) y (2) por equilibrio estático, se obtiene el valor de "c" 3 ⋅ As ⋅ F'y c ≔ ―――= 10 cm 2 ⋅ B ⋅ F'c M5 ≔ T ⋅ ((d - 0.375 ⋅ c)) = 21105 kg ⋅ m 6.1. Deformación unitaria y la curvatura de la sección: F'y La deformación unitaria del concreto εc5 ≔ ε0 = 0.002 , εs5 ≔ ―= 0.0021 Es εc5 1 curvatura de la sección: Ψ5 ≔ ― = 0.02 ― c m 7. GRAFICA DE MOMENTO CURVATURA

0.00272

0.00564

0.02

22000 20000 18000 16000 14000 12000 10000

M (kg ⋅ m)

8000 6000 4000 2000 0 0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

⎛1⎞ Ψ ⎜―⎟ ⎝m⎠ Correo: [email protected] pagina de facebook: conswa ingenieros

Numero: 917421431