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• Wilmer Calle Cruz

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3. Determinar el factor de forma por flexión elastoplástica de la sección romboidal maciza(Figura 3.1) y construir la gráfica de la relación momentocurvatura normalizados a la fluencia (M/Mf vs. κ/κf). Considerar puntos de la gráfica de κ/κf de 0 a 4.

Figura 3.1 a. Cálculo del modulo de sección elástica: El módulo de sección elástica se determina con la fórmula: S :=

I c

Para el calculo del momento de inercia se consideró la sección rectangular de lados bx2c, y se le resto las inercias de las cuatro secciones triangulares, aplicando el teorema de los ejes paralelos: b ⋅ ( 2 ⋅ c) 12

S :=

3

− 4 ⋅ 

1

 72

12

S :=

3

⋅b⋅c +

1 9

⋅b⋅c

3

 

c

2 3

3

⋅b⋅c −

1 2

⋅b⋅c

3

c 1

S :=

 b ⋅ c3 b c  2 ⋅ c  2  + ⋅ ⋅   2 ⋅ 36 2 2  3  

− 4

c b ⋅ ( 2 ⋅ c)

S :=

3

6

⋅b⋅c

3

c S :=

1 6

⋅b⋅c

2

b. Cálculo del modulo de sección plástica: El módulo de sección plástica se determina con la fórmula: Z :=

Z :=

b⋅c 2

⋅ 

c

3

+

A 2

⋅ ( yt + yc )

c 3 Z :=

1 3

⋅b⋅c

2

c. Factor de forma: El factor de forma es la relación del modulo de sección plástica y del modulo de sección elástica, tal como se describe a continuación: f :=

1 f :=

3 1 6

Z S

⋅b⋅c

2

⋅b⋅c

2

f := 2

Este valor indica que esta sección romboidal, resiste el doble del momento de fluencia My, antes de llegar a un momento Mu o un momento plástico. d. Relación Momento-Curvatura: Representemos por “z”, la distancia desde el eje neutro hasta la orilla del núcleo elástico. La parte superior a “z”, se encuentra en fluencia y generará un momento M1(Ver figura 3.2), la parte inferior a “z”, tiene una variación lineal del esfuerzo y genera un momento M2(Ver figura 3.3), el momento flexionante resultante final será M = M1 + M2, el procedimiento realizado para este caso es el concepto de integral, aun hacerlo por la fuerza resultante y la distancia al centroide de la aplicación de la carga tendría el mismo efecto, a continuación se muestra el calculo de M1: De donde el diferencial de área es: dA := b

El valor de c

⋅ ( c − y)

b c

⋅ ( c − y ) ⋅ dy

, es el valor de la horizontal a la altura de z.

 ⌠c  M1 := 2 ⋅   σy ⋅ y dA  ⌡z   ⌠c  b M1 := 2 ⋅   σy ⋅ y ⋅ ⋅ ( c − y ) dy  c    ⌡z 

Figura 3.2 c

b ⌠ M1 := 2 ⋅ σy ⋅ ⋅  y ⋅ ( c − y ) dy c ⌡z M1 :=

1 3

2

⋅ c ⋅ σy ⋅ b +

M1 :=

1 3

⋅ σy ⋅

b c

2 3

⋅ σy ⋅

(3

b c 3

3

2

⋅ z − σy ⋅ b ⋅ z

2

⋅ c + 2⋅ z − 3⋅ c⋅ z

El momento M2 será:

Figura 3.3

)

 ⌠z  M2 := 2 ⋅   σy ⋅ y dA  ⌡0   ⌠z  y b M2 := 2 ⋅   σy ⋅ ⋅ y ⋅ ⋅ ( c − y ) dy  z c    ⌡0  M2 := 2 ⋅  σy ⋅

1



−1

M2 :=

c



⌠ 2  ⋅   y ⋅ ( c − y ) dy   ⌡0 

3

⋅ σy ⋅ z ⋅

2

M2 :=

z

b

⋅

1

⋅ σy ⋅

6

b

z

b

+

c

2 3

2

⋅ σy ⋅ z ⋅ b

2

⋅ z ⋅ ( 4 ⋅ c − 3 ⋅ z)

c

El momento total es M=M1+M2 es : M :=

1 3

⋅ σy ⋅

b c

(3

3

2

⋅ c + 2⋅ z − 3⋅ c⋅ z

)+

1 6

b

⋅ σy ⋅

c

2

⋅ z ⋅ ( 4 ⋅ c − 3 ⋅ z)

Haciendo la transformación del lado derecho de la ecuación y colocando en función del My(de donde: M := 2 ⋅

My c

3

(

My :=

3

σy ⋅ b ⋅ c

2

6

), se tiene:

3

2

⋅ c + 2⋅ z − 3⋅ c⋅ z

) + My ⋅ z

2

c

M := My ⋅

3

⋅ ( 4 ⋅ c − 3 ⋅ z)

(2 ⋅ c3 + z3 − 2 ⋅ c ⋅ z2) c

 

M := My ⋅  2 − 2 ⋅ 

z

2

+

c

3

3  z   c    .............(I)

Introduciendo la curvatura se tendrá: κ :=

κy :=

My E⋅ I

ε y

ε :=

My :=

σy

y := z

E

σy ⋅ b ⋅ c

2

I :=

6

Colocando en una forma adimensional: κ κy

:=

c z

κ := b⋅c 6

σy E⋅ z

3

κy :=

σy E⋅ c

Introduciendo esta relación de curvaturas en la ecuación (I), se tiene finalmente la relación momento curvatura: M My



2 3  κy  +  κy     κ   κ  

:=  2 − 2 ⋅ 



Graficando esta ultima ecuación en las abcisas la relación de curvaturas y en las ordenadas la relación de momentos se tiene el siguiente grafico de 0 a 4: 1.891

DIAGRAMA MOMENTO CURVATURA 2 1.8

Relacion de momentos(M/My)

1.6 1.4 f ( x1) 1.2 g( x)

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

0 0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

2.4

x1 , x Relacion de curvaturas(x/xy)

2.8

3.2

3.6

4 4

Considerando algunos puntos de la grafica, en este caso para relación de curvaturas de 1,2,3,4 se tiene los siguientes valores respectivamente: f ( x1) = 1 1.625 1.815 1.891

Es notorio que cuando las relaciones de curvaturas sean grandes, el momento M=Mp, es decir se hace asintótico en el valor de 2, ya que este es su valor de factor de forma.