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• Carlos Hernandez

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Determinantes y la Regla de Cramer

1

Matriz Inversa  Nota: una matriz cuadrada que no tiene inversa

se llama matriz singular. Ejemplo:

[A|I ]

 2  4 A  1  2  Si al aplicar el método de Gauss se obtiene ceros en los elementos de la última fila de la matriz de coeficientes. Por lo tanto, la matriz A no tiene inversa

 2  4 1 0 1  2 0 1   1  2 12 0 1  2 0 1  



1  2 0 1 0 0 1 1 2  

1 2

R1

 R1  R 2

2

Determinante de una matriz  Está definido solamente para matrices cuadradas.

 El determinante de una matriz cuadrada es un número real. Definición:  Si A= [aij] es una matriz de dimensión 1x1, entonces |A| = a11.



 a11 a12  Si A   es una matriz cuadrada de dimensión 2x2,  a21 a22 

entonces el determinante de A, denotado por |A| o det(A), es |A| = a11 a22 – a21 a12. 1

 a11 A a 21

2

a12  a 22 

El determinante de la matriz A :

el producto de los elementos a11 a22 menos 3

el producto de los elementos a21 a12.

Determinantes Ejemplo 1: Dado la matriz A, halle su determinante.

 2  4 A  1  2  El determinante de la matriz A, denotado por |A| o det(A) es

|A| = 2(-2) – 1(-4) 

= -4 + 4



=0 4

Determinantes Ejemplo 2. Dado la matriz A, halle el determinante de la matriz A.

  2 4 A   6 5 El determinante de la matriz A, denotado por |A| o det(A) es

|A| = -2(5) – 6(4) = -10 -24 = - 34 5

Determinantes Ejemplo 3. Determine el valor de a tal que el det(C) = 2.

5  3 C  4 a   El determinante de la matriz C es 5 por lo tanto 2 = 5(a) – 4(-3) 2 = 5a + (12) 2 -12 = 5a

- 10 = 5a -2 = a

6

Determinante de una matriz de orden 3 En el caso de matrices cuadradas de orden 3, también podemos calcular el determinante de la siguiente manera: • Copie la primera y segunda columna de la matriz a su derecha:

a11 a12 a13 a11 a12 A  a21 a22 a23 a21 a22

+

-

a31 a32 a33 a31 a32 A  a11a 22 a33  a12 a 23a31  a13a 21a32  a12 a 21a33  a11a 23a32  a13a 22 a31 

Ejercicios 1. Evalúe el determinante de las siguientes matrices:

 5 A   7  4

4 2 3

 1  3 1 

1  1 0 B   2  2  1  1 1 1 

2. Para que valor de a el determinante es cero:

1 a

2

3

2a

1

0

2

4 a

Ejercicios: Solución 1. Evalúe el determinante de las siguientes matrices:

 5 4  1 5 4 ( 10 + 48 + -21 ) 37 - 9 A   7 2  3 7 2   28  4 3 1  4 3

-

( 8 + -45 + 28 )

1 1 0 1  ( 0 + 1 + -2 ) 0 -1 - 0 B   2  2  1 2  2   -1 1  1 1   1 1

-

( -2 + 0

+ 2

)

Determinantes y la inversa

1 det( A )  det( A) 1

Si el determinante de A es cero, entonces el determinante de 𝑨−𝟏 no está definida. Si el determinante de una matriz no está definida, entonces la matriz no existe. Es decir si el determinante de una matriz es cero, NO tiene inversa. Si el determinante de una matriz es diferente de cero, entonces la matriz tiene inversa.

Método de Cofactores para Hallar Determinantes

11

Método de Cofactores Definición: Sea A= [aij] una matriz n x n y sea Mij la matriz (n-1) x (n-1) obtenida al remover la i-ésima fila y la j-ésima columna de A.  Det(Mij) es llamado el menor del elemento aij Ejemplo 1. Dado la matriz cuadrada A, halle el menor M32

3 5  1 A  4 2 6  0 7 8 

La matriz M32 se obtiene removiendo la tercera fila y la segunda columna de la matriz A

3  1 M 32    4 6  

12

Método de Cofactores  Ejemplo 2. Dado la matriz A, el menor del

elemento a32 el menor del elemento a32 = det(M32)

3 5  1 A  4 2 6  0 7 8 

3  1   3  1  M 32     det      4 6 4 6   

 36  4  1

 22

el menor del elemento a 32  22

13

Método de Cofactores  Ejemplo 3. Dado la matriz A, halle el menor del

elemento a13. 3 5  1 A  4 2 6  0 7 8 

primera fila

tercera columna

La matriz M13 se obtiene removiendo la primera fila y la tercera columna de la matriz A.

 4 2 M 13    0 7  

det M13  

4 2  47  02 0 7  28  0

el menor del elemento a 13  28

Método de Cofactores Ejemplo 4. Halle el menor del elemento a23

 3 5  1 A  4 2 6    0 7 8 

3 5

det M 23   0 7  3(7)  0(5)  21  0  21 15

Método de Cofactores  El cofactor del elemento aij es definido por

Aij = (-1)i+j det(Mij)

determina el signo del resultado

Ej 5. Dado la matriz A, halle el cofactor del elemento a23. 3 5  1 El cofactor de elemento a23, denotado por A23, es definido:   A  4 2 6  23 A  (  1 ) det(M 23 ) 23 0 7 8  5 5 3  (1) 0 7

 1[3(7)  0(5)]  21

16

Método de Cofactores Ej 6. Dado la matriz A, halle el cofactor del elemento a33. 3 5  1 El cofactor de elemento a33, A  4 2 6  denotado por A33, es definido: 0 7 8  A  (1) 33 det( M ) 33

33

 (1)

6

3 5 4 2

 [3(2)  4(5)]  [6  20]

 14

Método de Cofactores  Teorema

El determinante de una matriz cuadrada puede ser hallado multiplicando los elementos de cualquier fila o columna por sus respectivos cofactores y luego sumando estos productos.

18

Método de Cofactores Ejemplo 8. Dado la matriz A, halle el determinante de A.

2 1 4  A  3 5  1 1 0 0 

A  2 A11  1A12  4 A13

 20  1 1  4 5  21

El determinante de A se obtiene multiplicando los elementos de la primera fila por sus respectivos cofactores y luego sumando estos productos.

A  21

Los cofactores correspondientes a los elementos de la primera fila: A11, A12 y A13, son calculados a continuación: 1 1 5 33 2 5 4 3 A12   1 A11   1 A13   1 0 0 1 0 1 0

 150   01

 130   1 1

 130   15

0

 1

 5

19

Método de Cofactores Ejemplo 8b. Dado la matriz A, halle el determinante de A.

2 1 4  A  3 5  1 1 0 0 

A  1A31  0 A32  0 A33

El determinante de A se obtiene multiplicando los elementos de la última fila por sus respectivos cofactores y luego sumando estos productos.

 1 21  0  0  21

A  21

Los cofactores correspondientes a los elementos de la tercera fila se calculan a continuación: A31

A31   1

4

1

4

5 1  11 1  45  1  20

 21

20

Método de Cofactores Ejemplo 9. Dado la matriz A, halle el determinante de A por el método de cofactores.

3 5  1   A  4 2 6  0 7 8 

Solución: Para hallar el determinante de la matriz A, usted puede seleccionar cualquier fila o columna de la matriz A. La mejor selección será la fila o columna que contenga más ceros. Usaremos la columna 1.

|A| = 3A11 + 4A21 + 0A31 = 3(-26)+4(-47) = -266

Los cofactores A11 y A21 son calculados a continuación:

A11  (1)

2

2 6

7 8  1[2(8)  7(6)]

 26

A21  (1)

3

5 1

7

8

 1[5(8)  7(1)]  47

21

Regla de Cramer

22

Regla de Cramer  Permite hallar el valor de una variable particular sin

necesidad de hallar los valores de las demás variables del sistema de ecuaciones lineales. Dado un sistema de n ecuaciones lineales en n variables; sean x1,x2,x3,…, xn las variables del sistema. a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + … + a2n xn = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + … + a3n xn = b3 . . . an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + … + ann xn = bn

23

Regla de Cramer Sea

 a11 a12 a a22 21  A    an1 an 2

a13  a1n  a23  a2 n    an 3  ann 

la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones.

24

Regla de Cramer Sea Ak la matriz obtenida de reemplazar la k-ésima columna de la matriz A por el vector de constantes.

 a11 a12  a1k 1 a a  a 21 22 2 k 1  Ak    an1 an 2  ank1

k-ésima columna b1 a1k 1  a1n  b2 a2 k 1  a2 n    bn ank1  ann 

25

Regla de Cramer 1. 2.

3.

Si

A  0, entonces X k 

Ak A

Si A  0 y Ak  0 para todo k,1  k  n , entonces el sistema es dependiente (que tiene una infinidad de soluciones.) Si A  0 y Ak  0 para algún k, 1  k  n , entonces el sistema es inconsistente (que no tiene soluciones.) 26

Regla de Cramer Ejemplo 1. Halle el valor de x mediante la regla de Cramer. 2x  4 y  6z  4 4 6  4 2  x  4 y  3z  8 B  8  A   1  4  3 yz 0 0  0 1  1 El determinante de A por el método de cofactores:

A  1A32  1A33  10  1 4

A 4

4 Cómputos de los cofactores:

2

5    1 A32  1

6 3

 1 6   6  0

A33   1

6

2

4

1  4

 1 8   4  4

27

Regla de Cramer Ejemplo 1. continuación Halle la matriz A1 reemplazando la primera columna por el vector de constantes. Encuentre el determinante de la matriz A1. (Utilizaremos la fila 3.) 6 4 4 6 5 4   A32   1 A  1 A  1 A 8 3 32 33   1

A1  8  4  3 0 1  1

 160  1 48

 14 3  86 

 60  48

 60

 108 El valor de x mediante la regla de Cramer es:

A1

108 x   27 A 4

A33   1

6

4

4

8 4

 14 4   84   48

28

Regla de Cramer Ejemplo 2. Halle el valor de y del sistema del ejemplo anterior mediante la regla de Cramer Solución: Halle A2 sustituyendo la segunda columna

de A por el vector de constantes.

2 4 6 A2   1 8  3  0 0  1

Halle el determinante de la matriz A2.

A2  1A33

 120  20

A33   1

El valor de la variable Y por la regla de Cramer es:

y

A2 A

Habíamos determinado que 𝐴 =4

 20 5  4

6

2

4

1 8  128   14

 20

29

Regla de Cramer Ejemplo 3. Halle el valor de z mediante la regla de Cramer. Solución: Halle la matriz A3 reemplazando la tercera columna de A por el vector de constantes. Encuentre el determinante de la matriz A3.

4 4 2 A3   1  4 8   0 1 0

A3  1A32

 1 20  20

El valor de mediante la regla de Cramer es:

z

A3 A

Habíamos determinado que 𝐴 =4



A32   1

5

2

4

1 8

 128   14  20

 20  5 4 30

Posprueba 1. Dado la matriz A, halle el determinante de A.

5 4  A  7  3 2. Dado la siguiente matriz:

3 2 0 A  4 5 7 1 3 2 a. halle el cofactor del elemento a31,

b. halle el cofactor del elemento a22, c. halle el determinante de la matriz A por el método de cofactores usando la primera columna de A, d. halle el determinante de la matriz A por el método de cofactores usando la primera fila de A. 31

Posprueba 3. Dado el siguiente sistema de ecuaciones: x + 2y – 3z = 6 2x - 3y + 5z = 10 x-y+z=0 a. halle el valor de la variable z usando la regla de Cramer, b. halle el valor de la variable x usando la regla de Camer.

32

Soluciones de la Posprueba

1. det(A) =

5 4 = 5(-3) – 7(4) = -15 – 28 = -43 7 3

2. Dado la matriz

3 2 0 A  4 5 7 1 3 2

a. El cofactor del elemento a31 es

A31  (1) 4

2 0  1[2(7)  5(0)]  14 5 7

b. El cofactor del elemento a22 es

3 0 A22  (1)  1[3(2)  1(0)]  6 1 2 4

33

Soluciones de la Posprueba 3 2 0 A  4 5 7 1 3 2 c. El determinante de la matriz A por el método de cofactores usando la primera columna, det(A) = 3A11 + 4A21 + 1A31 = 3(-11) + 4(-4) + 1(14) = -33 – 16 + 14 = -35 donde, A11  (1) 2

5 7  1[5(2)  3(7)]  10  21  11 3 2

A21  (1)3

2 0  1[2(2)  3(0)]  4 3 2

2 0 A31  (1)  1[2(7)  5(0)]  14 5 7 4

d. El determinante de la matriz A por el método de cofactores usando la primera fila det(A) = 3A11 + 2A12 + 0A13 = 3(-11) + 2(-1) = -33 + (-2) = -35 donde,

A12  (1)3

4 7  1[4(2)  1(7)]  1[8  7]  1(1)  1 1 2

34

Soluciones de la Posprueba 3. Dado el sistema de ecuaciones:

x + 2y – 3z = 6 2x - 3y + 5z = 10 x - y+z=0

1 2  3 A  2  3 5  1  1 1 

donde det(A) = 5

a. El valor de la variable z usando la regla de Cramer es

z=

det( A3 ) 36  det( A) 5

1 2 6  A3  2  3 10 donde det(A ) = 36 3 1  1 0 

b. El valor de la variable x usando la regla de Cramer es

x=

det( A1 ) 22  det( A) 5

 6 2  3 A1  10  3 5  donde det(A ) = 22 1  0  1 1  35