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• Jeremiah V.N.

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VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL Y DISTRIBUCIONES DISCRETAS 1. Un experimento consiste en lanzar tres veces una moneda. Sea la variable aleatoria: X ="número de caras que se obtienen". Se pide: a) Distribución de probabilidad de X b) Función de distribución de X. Representación gráfica c) Media, varianza y desviación típica de X Solución: a) Espacio muestral:   (c,c,c),(c,c,e),(c,e,c),(e,c,c),(c,e,e),(e,c,e),(e,e,c),(e,e,e) X(c,c,c)= 3

P(X=3)= 1/8

X(c,c,e)=X(c,e,c)=X(e,c,c)= 2

P(X=2)= 3/8

X(c,e,e)=X(e,c,e)=X(e,e,c)= 1

P(X=1)= 3/8

X(e,e,e)= 0

P(X=0)= 1/8

La distribución de probabilidad será: X = xi

P(X = xi ) = pi

xi . pi

xi2

xi2 . pi

x1 = 0

1/8

0

0

0

x2 = 1

3/8

3/8

1

3/8

x3 = 2

3/8

6/8

4

12/8

x4 = 3

1/8

3/8

9

9/8

1

12/8 = 1,5

24/8 = 3

b) La función de distribución: F(x)=P(X ≤ x) = ∑𝑥𝑖≤x 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) = ∑𝑥𝑖≤x 𝑝𝑖 x0

F(x)= P(X ≤ x)= P(ꬾ)= 0

0x1

F(x)= P(X ≤ x)= P(X= 0)= 1/8

1x2

F(x)= P(X ≤ x)= P(X< 2)= P(X= 0) + P(X= 1)= 1/8 + 3/8 = 4/8

2x3

F(x)= P(X ≤ x)= P(X< 3)= P(X= 0) + P(X= 1) + P(X= 2)= 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8

x3

F(x)= P(X ≤ 3)= P(X= 0) + P(X= 1) + P(X= 2) + P(X= 3)= 1

x3

F(x)= P(X ≤ x)= P(Ω)= 1

X = xi

0

P(X = xi )

1

2

3

1/8 3/8 3/8 1/8

F(x)= P(X ≤ x) 1/8 4/8 7/8

1

0

𝑥 0 1 3 ( ) √6 𝑀4 (𝑢) 20,07 𝐾= 4 = > 0,263 𝜎 (𝑥) 1 4 ( ) √6

→

𝐴𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎

→

𝐸𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑖𝑐𝑢𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎

9. La variable X ="número de centímetros a que un dardo queda del centro de la diana" al ser tirado por una persona tiene como función de densidad: 𝑘 𝑓(𝑥) = { 0

0 < 𝑥 < 10 } 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠

Se pide: a) Hallar k para que f(x) sea función de densidad. b) Hallar la función de distribución. c) Media, varianza y desviación típica d) P(X ≤ 1) e) Probabilidad de acertar en la diana Solución:

a) Para que f(x) sea función de densidad debe verificar: ∞

0

10

1 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ −∞

−∞

∞

10

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

0

10

0

la primera y tercera integral son cero al ser f(x) = 0 en esos intervalos. 10

10

𝑘𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑑𝑥 = 10[𝑥]10 0 = 10𝑘

1=∫ 0

→

𝑘=

0

1 10

En consecuencia: 1 𝑓(𝑥) = {10 0

0 < 𝑥 < 10} 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠

b) La función de distribución se define 𝐹(𝑥) =

𝑥 ∫−∞ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑥

x 10

𝐹(𝑥) = ∫−∞ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫−∞ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + ∫0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + ∫10 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =

10 1

∫0

10

𝑥

0

𝑥

𝑥

0

𝑥 1

10

10

𝑑𝑡 =

𝑥 10

𝑥

𝑑𝑡 = 1

En consecuencia: 0 1 𝑓(𝑥) = { 10 1

𝑥 10

c) ∞

10

Media

𝛼1 = 𝜇𝑥 = 𝐸(𝑥) = ∫−∞ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫0 𝑥.

Varianza

σx2= 2 - 12

2 = 𝐸(𝑥

∞

2)

10 2

2

= ∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 . −∞

0

1 10

𝑑𝑥 =

1 𝑑𝑥 10

1 10

=

1 10 ∫ 𝑥𝑑𝑥 10 0

10 2

∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 0

=

1 𝑥3 10 3

25

1

d) 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 𝐹(1) = 10 1 1 𝑑𝑥 10

1

1

1

1

= 10 ∫0 𝑑𝑥 = 10 [𝑥]10 = 10

e) Probabilidad de acertar en la diana: P(X = 0) = 0 por ser una variable continua 0

0

𝑃(𝑋 = 0) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 0

0

1 1 0 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = 0 10 10 0

10

[ ]

Desviación típica σ𝑥 = √ 3 = 2,9𝑐𝑚

o también, 𝑃(𝑥 ≤ 1) = ∫0

10 1 𝑥2 [ ] 10 2 0

0

=

25 3

= 5𝑐𝑚

𝑐𝑚2

1

10. La probabilidad de hacer una venta de cierto artículo por un vendedor en un intento es 2. Cuál es la probabilidad de obtener: a) Exactamente 2 ventas en 3 intentos de ventas consecutivas. b) Por lo menos una venta en tres intentos de venta consecutivos. c) Cuantos intentos de venta consecutivos deben hacerse para obtener una seguridad de 0,9375 de obtener por lo menos una venta. Solución 𝑝=

1 2

;

𝑞 =1−

1 2

→

𝑞=

1 2

a) Exactamente 2 ventas de 3 intentos: 𝑛=3 3−𝑥 3 1 1 𝑝(𝑥) = ( ) ( ) ( ) 𝑥 𝑥 2

Si x=2 𝑛=3 2 3 1 1 𝑝(𝑥 = 2) = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 𝑝(𝑥 = 2) = 8

b) Por lo menos una venta en tres intentos: 𝑝(𝑥 ≥ 1) = 1 − 𝑝(𝑥 < 1) 0 1 3 3 1 𝑝(𝑥 < 1) = 𝑝(𝑥 = 0) = ( ) ( ) ( ) 0 2 2 1 𝑝(𝑥 = 0) = 8 1 7 𝑝(𝑥 ≥ 1) = 1 − → 𝑝(𝑥 ≥ 1) = 8 8

c) Por lo menos 1 venta: 1 venta en “n” intentos 𝑝(𝑥 ≥ 1) = 1 − 𝑝(𝑥 < 1) 𝑝(𝑥 ≥ 1) = 1 − 𝑝(𝑥 = 0) 𝑥 1 𝑛−𝑥 𝑛 1 𝑝(𝑥) = ( ) ( ) ( ) 𝑥 2 2

Si x=0 𝑝(𝑥 = 0) =

1 2𝑛

1 = 0,9375 2𝑛 1 1 − 0,9375 = 𝑛 2 1−

2−𝑛 = 0,0625

𝑙𝑜𝑔

−𝑛𝑙𝑜𝑔2 = 𝑙𝑜𝑔0,0625 𝑛=−

𝑙𝑜𝑔0,0625 𝑙𝑜𝑔2

𝑛 = 3,9999 𝑛=4 11. Suponga que la maquina A produce el doble de artículos que la maquina B y que la maquina C la mitad de artículos de la maquina B. Se sabe que el 6% de los artículos que produce A son defectuosos mientras que el 3% de los artículos producidos por las maquinas B y C son defectuosos. Si se reúne la producción de las tres máquinas en un solo almacén y se toma una muestra de 10 artículos. Calcular la probabilidad de: a) Obtener 3 artículos defectuosos. b) Por lo menos tres artículos defectuosos. Solución Maquina Produccion %Defectuosos A

2z

6

B

Z

3

C

z/2

3

Total

7/2 z

p = probabilidad de tener un defectuoso Por el teorema de probabilidad total 𝑧 2𝑧 6 𝑧 3 3 2 𝑝= = + ∗ + ∗ 7 7 7 100 100 100 2𝑧 2𝑧 2𝑧 4 6 6 24 + 9 𝑝= ∗ + = 7 100 7 ∗ 100 700 33 𝑝= 700 33 667 𝑞 =1− → 𝑞= 700 700

n=10 a) 3 667 10−3 10 33 𝑝(𝑥 = 3) = ( ) ( ) ( ) 3 700 700

𝑝(𝑥 = 3) = 8,966 ∗ 10−3 b) 𝑝(𝑥 ≥ 3) = 1 − 𝑝(𝑥 = 0) − 𝑝(𝑥 = 1) − 𝑝(𝑥 = 2) 667 10 33 1 667 9 33 2 667 8 𝑝(𝑥 ≥ 3) = 1 − ( ) − 10 ( ) ( ) − 45 ( ) ( ) 700 700 700 700 700 𝑝(𝑥 ≥ 3) = 9,79 ∗ 10−3 12. Una fábrica de helados produce paletas cubiertas de chocolate que se venden a 6Bs.-, por una promoción se coloca una estrella en cada 50 paletas; si alguien comprara la paleta con estrella puede solicitar una paleta gratuita. ¿Cuántas paletas se debe comprar antes de lograr una gratis? Solución 1 𝑝𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑙𝑙𝑎 1 50 1 𝜇= 1 50 𝑝=

→

𝑞 =1− →

𝑐𝑎𝑑𝑎 50 𝑝𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠

1 50

→

𝑞=

49 50

𝜇 = 50 𝑝𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠

Se compran 49 paletas antes de la premiada 𝑞 𝜎 = 2= 𝑝 2

49 50 = 50(49) 1 2 ( ) 50

𝜎 = 35√2𝑝𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠 13. Una fábrica emplea un patrón de aceptación en los artículos producidos antes de embarcarlos. El plan consta de dos etapas: cajas con 25 artículos son preparadas para su embarque tomándose 3 artículos como muestra para su revisión; si se encuentra alguno defectuoso, la caja regresa para inspeccionar el 100% de su contenido, en caso contrario se lo embarca. Cuál es la probabilidad de: a) Embarcar una caja que contenga 3 artículos defectuosos. b) Regresar una caja que contiene un solo artículo defectuoso. Solución: 𝑐𝑎𝑗𝑎

→

25 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 {

𝐷𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜𝑠 } 𝑁𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜𝑠

𝑛 = 3{ 𝑝(𝑥) =

0 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 } 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 1 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 25−𝑀 (𝑀 𝑥 )(3−𝑥 ) (25 3 )

a) M = 3 22! (22!)2 19! ∗ 3! ∗ 𝑝(𝑥 = 0) = 25! 25 ∗ 24 ∗ 23 ∗ 22! ∗ (19!) 22! ∗ 3! b) M = 1 1 24 ( )( ) 𝑝(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 25 ( ) 3 Rechazar x= 1 1 24 24 ∗ 23 ∗ 22! ( )( ) 1 2 22! ∗ 2 𝑝(𝑥 = 1) = = 25 25 ∗ 24 ∗ 23 ∗ 22! ( ) 22! ∗ 6 3 2 𝑝(𝑥 = 1) = 25 14. Considere un sistema eléctrico que consiste en 6 focos conectados en serie de manera que ninguna prendera si uno de ellos es defectuoso. Si los focos de la instalación se seleccionan al azar de un lote de 100, 20 de los cuales son defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad que funcionen todos los focos del sistema eléctrico? Solución N = 100 focos M = 20 defectuosos N-M = 80 no defectuosos Enciende el sistema eléctrico: 6