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• Francisco Peinador

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica Prof. Miguel Walker Ure˜ na

Dpto. Matem´ atica Aplicada MA-1002: C´ alculo 2 Ciclo 1-2014

Desarrollos Limitados de uso Frecuente A continuaci´ on una lista de Desarrollos Limitados de uso frecuente 1. Exponenciales x2 x3 xn + + ··· + + O(xn ) 2 3! n! x2 x3 (−1)n xn =1−x+ − + ··· + + O(xn ) 2 3! n!

ex = 1 + x + e−x 2. Trigonom´etricas

x3 x5 (−1)n x2n+1 + − ··· + + O(x2n+2 ) 3! 5! (2n + 1)! x2 x4 (−1)n x2n cos(x) = 1 − + − ··· + + O(x2n+1 ) 2 4! (2n)!

sen(x) = x −

3. Hiperb´olicas x2n+1 x3 x5 + + ··· + + O(x2n+2 ) 3! 5! (2n + 1)! x2 x4 x2n cosh(x) = 1 + + + ··· + + O(x2n+1 ) 2 4! (2n)!

senh(x) = x +

4. Geom´etricas 1 = 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + O(xn ) 1−x 1 = 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)n xn + O(xn ) 1+x 5. Logaritmos x2 x3 (−1)n xn+1 + − ··· + + O(xn+1 ) 2 3 n+1 x2 x3 xn+1 ln(1 − x) = −x − − − ··· − + O(xn+1 ) 2 3 n+1 ln(1 + x) = x −

6. Tangentes inversas x3 x5 (−1)n x2n+1 + − ··· + + O(x2n+2 ) 3 5 2n + 1 x3 x5 x2n+1 arctanh(x) = x + + + ··· + + O(x2n+2 ) 3 5 2n + 1 arctan(x) = x −

7. Binomial (1 + x)α = 1 + α x + α(α − 1)

x2 2

+ α(α − 1) (α − 2)

x3 3!

.. . + α(α − 1)(α − 2) . . . (α − n + 1) + O(xn )

xn n!