• Author / Uploaded
• Felipe Gaytan Valdez

Citation preview

Unidad 4

Distribución de probabilidad de variables aleatorias continuas Ana Gabriela Luna Cristian Avila Luis Leal Ramón Núñez Felipe Gaytan

Unidad 4 Distribución de probabilidad de variables aleatorias continuas 4.1- Introducción, conceptos básicos de variables aleatorias continuas 4.2- Variables aleatorias discretas 4.2.1- Valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta 4.2.2- Regla empírica y teorema de Chebyshev 4.3- Distribución de probabilidad binomial 4.3.1- Valor esperado y varianza de una variable aleatoria binomial 4.4- Distribución de probabilidad de una variable aleatoria hipergeométrica 4.4.1- Valor esperado y varianza (VA) hipergeométrica 4.5- Distribución de una variable aleatoria Poisson 4.5.1- Valor esperado y varianza de una VA Poisson

Introducción y conceptos variables aleatorias continuas

básicos,

de

La variable aleatoria es una “codificación” del experimento aleatorio, de tal manera que a cada elemento del espacio muestral (e) le corresponde un valor numérico real.

Una variable aleatoria representa una codificación del experimento de tal manera que a cada elemento del espacio muestral le hace corresponder una x(e) que es un numero real.

Se dice que una Variable aleatoria Discreta X, tiene un conjunto definido de valores posibles x1,x2,x3,…..xn con probabilidades respectivas p1,p2,p3,…..pn. Es decir, sólo puede tomar ciertos valores dentro de un campo de variación dado. Como X ha de tomar uno de los valores de este conjunto, entonces p1 + p2 +…+ pn=1. En general, una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X = x) se entenderá la probabilidad de que X tome el valor de x. De esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una función matemática que asigne una probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria X.

El valor esperado es un concepto fundamental en el estudio de las distribuciones. Este concepto ha sido aplicado para tomar decisiones en condiciones de incertidumbre. Para obtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta, multiplicamos cada valor que ésta puede asumir por la probabilidad de ocurrencia de ese valor y luego sumamos los productos. Es un promedio ponderado de los resultados que se esperan en el futuro. Sea X una Variable Aleatoria que toma valores en un conjunto discreto, por ejemplo si la variable aleatoria X toma los siguientes valores: X = 0, 1, 2, 3, … decimos que es discreta

Ejemplo.- Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda al aire. Los sucesos elementales del experimento, «que salga cara», «que salga cruz», no vienen representados por los números, por lo que a cada suceso elemental se le hace corresponder un número real. Así al suceso elemental «que salga cara» se le hace corresponder el número “1” y al suceso elemental «que salga cruz» se le hace corresponder el número “2”. La variable aleatoria será: X = (1,2). Se trata de una variable aleatoria discreta, ya que únicamente puede adoptar los valores 1 y 2.

Regla empírica Si una variable está normalmente distribuida puede aplicarse la regla empírica para saber la probabilidad de que la variable tome cualquier valor dentro de un rango que está a 1, 2 ó 3desviaciones estándar del valor esperado.

Para demostrar cómo la desviación estándar es indicadora de la dispersión de la distribución de una variable aleatoria, el matemático ruso Pafnuty Lvovich Chébyshev desarrolló un teorema en el que ofrece una garantía mínima acerca de la probabilidad de que una variable aleatoria asuma un valor dentro de k desviaciones estándar alrededor de la media.

Para cualquier variable aleatoria X con media µ y desviación estándar ó, la probabilidad de que X tome un valor contenido en k desviaciones estándar de la media, siendo k una constante positiva cualquiera, es cuando menos 1 - 1/k²

La desigualdad de Chébyshev es muy importante, ya que permite determinar los límites de las probabilidades de variables aleatorias discretas o continuas sin tener que especificar sus funciones de probabilidad. Este teorema asegura que la probabilidad de que una variable aleatoria se aleje de la media no más de k desviaciones estándar, es menor o igual a 1/k2 para algún valor de k >1. Aunque la garantía no siempre es muy precisa, la ventaja sobre este teorema es su gran generalidad por cuanto es aplicable a cualquier variable aleatoria con cualquier distribución de probabilidad, ya sea discreta o continua.

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por tener solo dos posibles resultados, éxito si tiene la probabilidad de ocurrencia p y al otro fracaso, con una probabilidad q = 1 – p.

Es una distribución de probabilidades que surge al cumplirse cinco condiciones: 1. 2. 3. 4. 5.

Existe una serie de N ensayos, En cada ensayo hay sólo dos posibles resultados, En cada ensayo, los dos resultados posibles son mutuamente excluyentes, Los resultados de cada ensayo son independientes entre si, y La probabilidad de cada resultado posible en cualquier ensayo es la misma de un ensayo a otro.

Cuando se cumple estas condiciones, la distribución binomial proporciona cada resultado posible de los N ensayos y la probabilidad de obtener cada uno de estos resultados.

Para este tipo de distribución de probabilidad, la función matemática es la siguiente: Donde: P(X) = probabilidad de X éxitos dados los parámetros n y p n = tamaño de la muestra p = probabilidad de éxito 1 – p = probabilidad de fracaso X = numero de éxitos en la muestra ( X = 0, 1, 2, …….. N) El término indica la probabilidad de obtener X éxitos de n observaciones en una secuencia específica. En término indica cuantas combinaciones de los X éxitos entre n observaciones son posibles. Entonces dado el número de observaciones n y la probabilidad de éxito p, la probabilidad de X éxitos es: P(X) = (numero de secuencia posibles) x (probabilidad de un secuencia especifica) Por eso que llegamos a la función matemática que representa esta distribución.

Tabla de distribución binomal ¿Cómo utilizar la tabla de la distribución Binomial? Un examen consta de 10 preguntas a las que hay que contestar si o no. Suponiendo que a las personas que se le aplica no sabe contestar a ninguna de las preguntas y en consecuencia contesta al azar hallar. A) probabilidad de obtener 5 aciertos B) Probabilidad de obtener algún acierto C) Probabilidad de obtener al menos 5 aciertos.

A) probabilidad de obtener 5 aciertos

P(X=5)

B) Probabilidad de obtener algún acierto

P(X ≥ 1)= 1 – P(X=0) P(X ≥ 1) = 1 - .0010 = 0.999

P(X=0)

C) Probabilidad de obtener al menos 5 aciertos. PROBABILIDAD BINOMIAL ACUMULADA

P(X ≥ 5) = .6231

Valor esperado El valor esperado es un concepto fundamental en el estudio de las distribuciones de probabilidad. Desde hace muchos años este concepto ha sido aplicado ampliamente en el negocio de seguros y en los últimos veinte años ha sido aplicado por otros profesionales que casi siempre toman decisiones en condiciones de incertidumbre. Para obtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta, multiplicamos cada valor que ésta puede asumir por la probabilidad de ocurrencia de ese valor y luego sumamos los productos. Es un promedio ponderado de los resultados que se esperan en el futuro.

Varianza Se podría usar un argumento parecido para justificar las fórmulas para la varianza de la población σ² y la desviación estándar de la población σ . Estas medidas numéricas describen la dispersión o variabilidad de la variable aleatoria mediante el “promedio” o “valor esperado” de las desviaciones cuadráticas de los valores de x a partir de su media µ .

V(x)= npq

Ejemplo Los clientes de una gasolinera pagan con tarjetas de credito (A) tarjeta de debito (B) o en efectivo (C). Suponga que clientes sucesivos eligen su forma de pago de manera independiente con P(A)= 0.5 P(B)=0.2 P(C) 0.3 A) Entre los siguientes 100 clientes Cuales son la media y varianza del numero de quienes pagan con tarjeta de crédito?

Distribución hipergeométrica En estadística la Distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta con tres parámetros discretos N, d y n cuya función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución hipergeométrica puede deducirse a través de razonamientos combinatorios y es igual a :

Donde N = Total de Población. n = Tamaño de la Muestra Extraída. d = Número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada X = Número de éxitos en la muestra. La notación hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar elementos de un total.

Ejemplo De 50 edificios de un parque Industrial 12 no cumplen con el código eléctrico. Si se seleccionan 10 edificios aleatoriamente. Determine: A) 3 no cumplan con el código. B) 4 no cumplan con el código. C) Menos de 5 no cumplan con el código

Solución:

Datos: N = Total de la Población d = # de elementos de la categoría deseada n = Tamaño de la muestra X = # de éxitos de la muestra A) =

= 50 = 12 = 10 3

Solución:

X = # de éxitos de la muestra

B) =

4

Solución:

X = # de éxitos de la muestra

C) =

X