• Author / Uploaded
• astrid

Citation preview

Áreas y longitudes mediante el cálculo integral La mayoría de las veces en la vida real nos encontramos con figuras irregulares a las cuales se hace necesario hallar áreas o longitudes y por esto el cálculo integral nos brinda herramientas para estas cuentas mediante la integral definida. Objetivos de aprendizaje: 1. Interpreta analítica y geométricamente el concepto de integral definida. 2. Propone diferentes procedimientos en la solución de áreas 3. Calcula la longitud de arco de una curva aplicando la integral definida

Indicaciones generales: Antes de iniciar el desarrollo del trabajo, es importante leer y tener en cuenta las siguientes indicaciones:  Lea atentamente cada enunciado e identifiqué cuál es la instrucción y su propósito.  Al registrar sus aportes no olvide escribir detalladamente todas las explicaciones y procesos realizados para dar respuesta a cada uno de los puntos; recuerde que sus aportes serán leídos por sus compañeros de trabajo y será un insumo para el desarrollo del trabajo grupal.  Tenga en cuenta las pautas generales de participación en el foro.

Ejercicio A continuación se presenta un plano del primer piso de una casa en dos dimensiones: la medida del lado de cada cuadrado es de un metro, se omiten paredes internas, puertas y ventanas para facilitar los cálculos

Responder: a. Se quiere enbaldosinar toda la casa, por esto calcula el área de la casa utilizando como unidad el cuadrado de la cuadrícula. b. Ahora, use rectángulos para calcular el área de la casa, para esto realice el cálculo variando el número de rectángulos (cambie el número de rectángulos tres veces), por favor registre los datos obtenidos en la siguiente tabla. Número de intervalos

Estimado del área

c. Use la integral definida para calcular el área de la casa. d. Teniendo en cuenta el ítem b y c ¿Cuál es la mejor aproximación del área de la casa? Justifique su respuesta.

e. Por seguridad el propietario quiere colocarle cerca eléctrica a la casa, para esto debe conocer ¿cuántos metros lineales de cerca necesita? Use técnicas de integración. Desarrollo del trabajo

Punto (a)

      

Área I: 10𝑢2 Área II: área del rectángulo= 𝑏 ∙ ℎ = 6 ∙ 4 = 24 𝑢2 1 1 Área III: área del triángulo= 2 (𝑏 ∙ ℎ) = 2 (1 ∙ 1) = 0.5 𝑢2 1∙0.9

Área IV: ( 2 ) = 0.45𝑢2 Área V: (1 − 0.1) = 0.9𝑢2 1 Área VI: (1 + 0.5) ∙ 2 = 0.525𝑢2 0.9

Área VII: ((0.1 + 1) ∙ ( 2 ) + (0.1 ∙ 1)) = 0.595𝑢2



1

Área VIII: ((0.1 + 1) ∙ (2)) = 0.5𝑢2

 

Área IX: área del rectángulo= 𝑏 ∙ ℎ = 0.2 ∙ 4 = 0.8𝑢2 Área X: área del rectángulo= 𝑏 ∙ ℎ = 3 ∙ 1 = 3𝑢3



Área XI: ((2 + 1) + (0.5 + 1) ∙ (2 ∙ 2)) = 4.5𝑢2

1

AREA= 10𝑢2 + 24𝑢2 + 0.5𝑢2 + 0.45𝑢2 + 0.9𝑢2 + 0.525𝑢2 + 0.595𝑢2 + 0.5𝑢2 + 0.8𝑢2 + 3𝑢2 + 4.5𝑢2 ÁREA TOTAL = 45.82𝑢2

Punto (b)

A2

A3

A4

A1

C5 C4

C1: es una línea recta que pasa por los puntos (-3, -1) y (-2, 0) con estos datos hallamos la ecuación Y – Yo= m (X –Xo)

Xo = -2

Yo = 0

m = Y2 – Y1 = 0 +1 = 1 = 1 X2 –X1

-2 +3

1

y-0 = 1 (X+2) = y= X+2

C2: Es una recta que pasa por los puntos (-1, -3) y (1, -1) con estos datos hallamos la ecuación: M= -1 + 3 = 2 = 1 1+1

Xo= 1

Yo= -1

2

Y + 1 = 1 (x – 1)

Y= x -1 - 1

Y=X–2

C3: Es una recta que pasa por los puntos (-3, -1) y (-1, -3) con estos datos hallamos la ecuación. M = -3 + 1

=

-1 + 3 Y + 1 = -1 (x + 3)

-2

= -1

Xo= -3

Yo= -1

2 Y = -x – 3 – 1

Y= -x - 4

C4: Es una parábola con vértice en (3, - 3) y pasa por el punto (1, -1 ) Y = a (x –h)2 + k X=1

Y= -1

- 1 = a (1 – 3)2 - 3 - 1 = a (- 2)2 – 3 -1 = 4 a - 3

vértice (h, k)

h=3

K= -3

A= 2/4 A= 1/2

Y= 1/2 (x -3)2 - 3 Y= 1/2 (x2 – 6x + 9) – 3 Y= 1/2 X2 – 3X + 9/2 - 3 Y= 1/2 X2 - 3X + 9 - 6 2 Y= 1/2 X2 – 3X + 3/2.

C5. Es una línea horizontal a Constante Y= -1 Función a integrar F(X1) = -C3 + C1 = X + 4 + X + 2 = 2X + 6 F(X2) = Sen(X) + 4 – C2 = Sen(X) + 4 – X + 2 = Sen(X) – X + 6 F(X3) = Sen(X) + 4 – C4 = Sen(X) + 4 – ½ X2 + 3X -

3 2

= Sen(X) - ½ X2 + 3X + 5/2 F(X4) = Sen(X) + 4 –C5

= Sen(x) + 4 +1

=

Cálculo de áreas con sumas de rectángulos. n: número de rectángulos A1 [-3, -1] ∆X =

𝑏−𝑎 𝑛

=

−1+3

Xi= a + i ∆X Xi= -3 + i (2/n)

𝑛

=

2 𝑛

F(X) = 2X + 6

Sen(X) + 5

2𝑖

Xi=

-3

𝑛

A1 = ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖) − ∆X 𝑛

2𝑖

∑

=

𝑖=1

𝑓 (𝑛 − 3 ) −

𝑛 𝑖=1

[ 2 (𝑛 − 3 ) + 6 ] −

𝑛

∑

=

[

4𝑖 𝑛

𝑖=1 𝑛

∑

=

[

4𝑖 𝑛

𝑖=1 𝑛

∑

=

[

8𝑖

𝑖=1 8

=

𝑛2

−6+6]− ]−

2 𝑛

2 𝑛

2 𝑛

]

∑𝑛𝑖=1 𝑖

𝑛2 8

=

𝑛

2𝑖

∑

=

2

∗

𝑛2

𝑛(𝑛+1) 2

8 (𝑛+1)

=

2𝑛 4𝑛+4

=

𝑛 4

A1 = 4 -

𝑛

A2 [-1, 1] ∆X =

1+1 𝑛

=

2 𝑛

F(X) = Sen (X) – x + 6

X𝑖= a + 𝑖 ∆X 2

X𝑖= -1 + 𝑖 ( 𝑛 ) X𝑖=

2𝑖 𝑛

-1 𝑛

A2 = ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖) − ∆X = ∑𝑖=1 [ 𝑆𝑒𝑛 (

2𝑖 𝑛

−1)− (

2𝑖 𝑛

−1)+6]

A3 [1, 5] ∆X =

5− 1

X𝑖= 1 + 𝑖 ( X𝑖=

4𝑖

4

=

𝑛

F(X) = Sen (X) –

𝑛

4

1 2

𝑥 2 + 3X +

5 2

)

𝑛

+1

𝑛

𝑛

A3= ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖) ∆X = ∑𝑖=1 [Sen (

4𝑖 𝑛

1

+ 1) -

2

(

4𝑖 𝑛

+ 1)2 + 3 (

4𝑖 𝑛

A4 [5; 6,28] ∆X =

6.28 − 5 𝑛

X𝑖= 5 + 𝑖 ( X𝑖=

1.28 𝑖 𝑛

=

1.28 𝑛

1.28

F(X) = Sen (X) + 5

𝑛

)

+5 𝑛

A4= ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖) ∆X = ∑𝑖=1 [Sen (

1.28 𝑖 𝑛

+ 5) + 5 ]

Área para n= 5 4

A1= 4 + 5 = 4.8 𝑢2 5

A2= ∑𝑖=1 [Sen ( 5

A3= ∑𝑖=1 [Sen ( 5

A4= ∑𝑖=1 [Sen (

2𝑖 5 4𝑖 5

- 1) - (

5

1

+ 1) - 2 (

1.28 𝑖 5

2𝑖

- 1) + 6] = 29 𝑢2 4𝑖 5

+ 1)2 + 3 (

4𝑖 5

+ 1) +

+ 5) + 5] = 25.5 𝑢2

A total= 4.8 𝑢2 + 29 𝑢2+ 31.7 𝑢2+ 25.5 𝑢2= 91 𝑢2

Área para n= 10 4

A1= 4 + 10 = 4.4 𝑢2 10

A2= ∑𝑖=1 [Sen (

2𝑖 10

- 1) - (

2𝑖 10

- 1) + 6] = 59 𝑢2

5 2

] = 31.7 𝑢2

+ 1) +

5 2

]

10

A3= ∑𝑖=1 [Sen ( 10

A4= ∑𝑖=1 [Sen (

4𝑖 10

1

+ 1) - 2 (

1.28 𝑖 10

4𝑖 10

+ 1)2 + 3 (

4𝑖 10

+ 1) +

5 2

] = 63.75 𝑢2

+ 5) + 5] = 51 𝑢2

A total= 4.4 𝑢2 + 59 𝑢2+ 63.75 𝑢2+ 51 𝑢2= 178.15 𝑢2

Área para n= 15 4

A1= 4 + 15 = 4.26 𝑢2 15

A2= ∑𝑖=1 [Sen ( 15

A3= ∑𝑖=1 [Sen ( 15

A4= ∑𝑖=1 [Sen (

2𝑖 15 4𝑖 15

- 1) - ( 1

2𝑖 15

+ 1) - 2 (

1.28 𝑖 15

- 1) + 6] = 89 𝑢2 4𝑖 15

+ 1)2 + 3 (

4𝑖 15

+ 1) +

5 2

] = 95.73 𝑢2

+ 5) + 5] = 76.48 𝑢2

A total= 4.26 𝑢2 + 89 𝑢2+ 95.73 𝑢2+ 76.48 𝑢2= 265.47 𝑢2 Número de intervalos 5 10 15

Estimado del área 91 𝑢2 178.15 𝑢2 265.47 𝑢2

Punto (c)

AREA I: 10 UNIDADES AREA II: 24 + 0,4 = 24,4 UNIDADES AREA III: 0,5 UNIDADES 𝟐𝝅

∫𝟔 [(𝒔𝒆𝒏(𝒙) + 𝟒) − 𝟑]𝒅𝒙

AREA A:

𝟐𝝅

AREA A: ∫𝟔 (𝒔𝒆𝒏(𝒙) + 𝟏)𝒅𝒙 AREA A:

[−𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒙]𝟎 𝟐𝝅

AREA A:

−𝒄𝒐𝒔(𝟐𝝅) + 𝟐𝝅 − [−𝒄𝒐𝒔(∅ + 𝟎]

AREA A:

−𝟏 + 𝟐𝝅 − [−𝟏 + ∅]

AREA A:

6,28

𝟓

𝟏

𝟑

AREA B: ∫𝟏 [−𝟏 − (𝟐 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐)] 𝒅𝒙 AREA B: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 −𝟏 = 𝒂(𝟏) + 𝒃 + 𝒄 −𝟏 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 −𝟑 = 𝒂(𝟑)𝟐 + 𝒃𝟑 + 𝒄 −𝟑 = 𝟗𝒂 + 𝒃𝟑 + 𝒄 −𝟏 = 𝒂𝟓𝟐 + 𝟓𝒃 + 𝒄 −𝟏 = 𝟐𝟓𝒂 + 𝟓𝒃 + 𝒄 𝒂= 𝒚=

𝟏

𝟑

𝒃 = −𝟑

𝟐

𝒄=𝟐

𝟏 𝟐 𝟑 𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟐 𝟐 𝟓

𝟏

𝟑

AREA B= ∫𝟏 (−𝟏 − 𝟐 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐) 𝒅𝒙 𝟓

𝒙𝟑 𝟑𝒙𝟐 𝟑 [−𝒙 − − − 𝒙] 𝟔 𝟐 𝟐 𝟏 −𝟓 −

𝟓𝟑 + 𝟏. 𝟓(𝟓)𝟐 − 𝟏. 𝟓(𝟓) 𝟔

− (−𝟏 −

𝟏 + 𝟏. 𝟓 − 𝟏. 𝟓) 𝟔 𝟏

AREA B= −𝟓 − 𝟐𝟎. 𝟖𝟑 + 𝟑𝟕. 𝟓 − 𝟕. 𝟓 + 𝟏 + 𝟔 − 𝟏. 𝟓 + 𝟏. 𝟓 AREA B= 𝟓. 𝟑𝟑 𝒖𝟐 AREA TOTAL= 𝟏𝟎 + 𝟐𝟒. 𝟒 + 𝟎. 𝟓 + 𝟔. 𝟐𝟖 + 𝟓. 𝟑𝟑 AREA TOTAL= 𝟒𝟔. 𝟓𝟏 𝒎𝟐

Punto (d). La mejor aproximación del área de la casa la obtenemos por medio de la integral definida puesto que nos permite hacer un cálculo más exacto sin dejar pequeñas áreas por fuera como es el caso hallando el área por medio de rectángulos, donde es muy difícil calcular exactamente el área bajo las curvas.

Punto (e) L=

𝑎

∫𝑏 √1 + (𝑦 2 ) 2 dx

Longitud de la curva y= senx + 4 entre x= -1y Y1= -cosx

(y2)2= cos2x

x=6.28

√1 + 𝑐𝑜𝑠2x

6.28

L= ∫−1 √1 + 𝑐𝑜𝑠2x 𝑑𝑥 = 10.28 𝑢

Longitud de la curva C4 Y= -1/2 x2- 3x + 3/2 Y= x – 3

(Y2)2 = (x-3)2 = X2 – 6X + 9

3

L= ∫1 √1 + 𝑥 2- 6x + 9 𝑑𝑥 3

L= ∫1 √ 𝑥2- 6x + 10

𝑑𝑥 = 5.91 𝑢2

Lc1 = Lc2 = Lc3 = √22+ 22 = √4+4

= √8 = 2.82 𝑢2

L total= 10.28 𝑢2 + 5.91 𝑢2 + 3 (2.82 𝑢2 ) + 1. 28 𝑢2 + 2 𝑢2 + 7𝑢2 L total= 34.93 𝑢2