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Maracaibo, 5 de Agosto del 2009 Ed. Fabián González. 1. Demostrar que en una Estructura Cristalina Hexagonal Compacta ideal (H.C.P.), posee una relación c/a=

8 3

.

 Se define que la altura del H.C.P. es igual a “c” y cada uno los lados del hexágono que se encuentran en los plano superior e inferíos será igual a “a”

 Analizando la estructura H.C.P. se puede observar que se puede dividir en 3 sub estructura iguales la cuales será la que se procederá a analizar.

Ed. Fabián González.

 Teniendo en consideración que los triángulos definidos en esta sub-estructura son equiláteros cuyos lados tienen un valor de “a”. definiendo también los puntos “e”, “f”, “g”, “h”, “i”, “j” y “k”

 Se Asume el principio de “esfera rígida”, entonces el punto “e” se encuentra equidistante de cualquier punto anteriormente definido y se encuentra ha 𝐜 𝟐 de cualquiera de los dos planos de la base (plano superior y plano inferior),  La distancia, 𝒆𝒇= 𝒆𝒉 = 𝒇𝒉 =

𝒇𝒈 = 𝒈𝒉 = 𝒆𝒈

= a = 2r

 Analizando el tetraedro formado por los puntos “e”, “f”, “g” y “h” se tiene la proyección del punto “e” la cual se llamara “l” y este punto es el baricentro, orto centro, circuncentro e incentro del triangulo hfg, que es un triangulo equilátero con los lados igual “a” (En un triangulo equilátero todos estos putos coinciden) y el segmento 𝑒𝑙 = 𝑐 2 .

Ed. Fabián González.



Como “l” es el incentro, el segmento 𝑓𝑙 es la bisectriz del ángulo ‫ۓ‬hfg que tiene un valor de 60° por ser triangulo equilátero, entonces: ‫ۓ‬hfl = ‫ۓ‬lfm ‫ۓ‬hfg = ‫ ۓ‬hfl + ‫ۓ‬lfm ‫ۓ‬hfg = 2‫ ۓ‬lfm 60°/2 =

‫ۓ‬lfm

‫ۓ‬lfm = 30° 

Como “l” es baricentro,

𝑙𝑚

es mediana del segmento 𝑓𝑔 siendo “m” punto medio entonces

𝑚𝑔 = 𝑎 2.

 El Angulo ‫ ۓ‬lmf = 90° por ser también altura Ed. Fabián González.

𝑓𝑚 =

 Aplicando

‫ ۓ‬lmf

Cos

cos 30° =

𝑓𝑚 , 𝑓𝑙

cos 30° = 𝑎

2 𝑓𝑙

cos 30° = 𝑎

𝑓𝑙 =

2 cos 30° 𝑎

𝑓𝑙 =

𝑓𝑙 =

2

3

2

𝑎 3

 Aplicando Pitágoras al triangulo fel. 𝑒𝑓 2 = 𝑒𝑙 2 + 𝑓𝑙 2

 Sustituyendo. 𝑎2 =

𝑐 2

2

+

𝑎

2

3

 Efectuando, agrupando términos semejantes y sacando factor común “a ” 2

𝑐2 𝑎2 = 𝑎2 − 4 3 𝑐2 1 = 1 − 𝑎2 4 3 𝑐2 1 = 1 − 𝑎2 4 3 𝑐2 2 2 = 𝑎 4 3

Ed. Fabián González.

3 2

 Despejando c/a 𝑐2 8 = 2 𝑎 3 𝑐 = 𝑎

Ed. Fabián González.

8 = 1.633 3