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Formas cristalinas (abiertas, cerradas y combinadas) La forma cristalina es el número y aspecto de las caras y su distribución con respecto a los elementos de simetría del mismo. Las formas del sistema cúbico tienen nombres especiales. Formas simples : Formada por caras equivalentes físicamente e igualmente orientadas. .. Abiertas: Son caras equivalentes que no cierran espacio. .. Cerradas: Son caras equivalentes que cierran espacio. Cuando un poliedro puede reconstruirse totalmente a partir de una cara por aplicación sucesiva de los elementos de simetría. Formas combinadas: .. Combinadas de simples abiertas .. Combinadas de simples cerradas

Sistema cristalino Un sólido cristalino se construye a partir de la repetición en el espacio de una estructura elemental paralelepipédica denominada celda unitaria. En función de los parámetros de red, es decir, de las longitudes de los lados o ejes del paralelepípedo elemental y de los ángulos que forman, se distinguen siete sistemas cristalinos:

Sistema Cristalino

Ejes

Angulos ejes

Cúbico

a=b=c

α = β = γ = 90°

Tetragonal

a=b≠c

α = β = γ = 90°

Ortorrómbico

a≠b≠c≠a

α = β = γ = 90°

Hexagonal

a=b≠c

α = β = 90°; γ = 120°

a=b=c

α = β = γ ≠ 90°

a≠b≠c≠a

α = γ = 90°; β ≠ 90°

Trigonal Romboédrica) Monoclínico

(o

entre

α≠β≠γ Triclínico

a≠b≠c≠a

α, β, γ ≠ 90°

En función de las posibles localizaciones de los átomos en la celda unitaria se establecen 14 estructuras cristalinas básicas, las denominadas redes de Bravais. Elementos de simetría

El tipo de sistema cristalino depende de la disposición simétrica y repetitiva de las caras que forman el cristal. Dicha disposición es consecuencia del ordenamiento interno de sus átomos y, por lo tanto, característico de cada mineral. Las caras se dispondrán según los elementos de simetría que tenga ese sistema, siendo uno de ellos característico de cada uno de los 7 sistemas: Sistema Cristalino

Elementos característicos

Cúbico

Cuatro ejes ternarios

Tetragonal

Un eje cuaternario binario derivado)

Ortorrómbico

Tres ejes binarios o tres planos de simetría

Hexagonal

Un eje senario (o ternario derivado)

Trigonal Romboédrica)

(o

(o

Un eje ternario

Monoclínico

Un eje binario o un plano de simetría

Triclínico

Un centro de simetría o bien ninguna simetría

Sistema Cúbico (Isométrico) El SISTEMA ISOMÉTRICO-- tiene15 formas, todas cerradas, los tres ejes cristalográficos tienen la misma longitud y se cruzan en ángulos rectos entre si A los ejes se les denomina a 1, a2, y a3. es necesario recordar que a 3 es vertical, a2 es horizontal, y a1 es frontal al observador. Las formas cristalinas de más alto grado de simetría son las del sistema isométrico. SIMETRÍA, cuando se compare todos los sistemas cristalinos. ¿quién pensaría que hay un solo objeto en el universo geométrico con simetría perfecta? se considera a la esfera (fig. 3.1). Los infinitos planos de simetría que pasan a través del centro de la esfera, así como infinitos ejes rotacionales están presentes, no importa cuan pequeño o grande sea el giro siempre aparecen escenarios semejantes, una esfera es el non plus ultra de la simetría. Ningún sistema cristalino se aproxima al grado de simetría de la esfera , pero es rápidamente reconocible puesto que algunas de sus formas y combinaciones de formas se aproximan a la esfericidad, especialmente cuando las caras son curvadas, debido al alto grado de simetría en el sistema isométrico.

Observando la notación de Hermann-Mauguin para las primeras siete formas isométricas, tenemos, que cada forma tiene la siguiente notación : Cubo {001}

Dodecaedro {011}

Trapezoedro {hhl}

Octaedro {111}

Tetrahexaedro {0kl}

Trisoctaedrov {hll}

Hexoctaedro {hkl}

Para estas formas, los tres ejes cristalográficos son ejes cuaternarios ( de rotación ). Este también tiene cuatro ejes diagonales ternarios de rotoinversión que pasan a través del sólido en el punto en donde se interceptan las tres caras . Sin embargo, hay 6 direcciones de ejes de simetría binarios (en el centro de la línea formada por la intersección de dos planos). Existe también un centro de simetría. Hay 9 planos de simetría (ver figs. 1.5 y 1.6 en primer artículo en esta serie). Dicha combinación de elementos de simetría define la más alta simetría posible en los cristales. Como 4/m-32/m. Según la notación de Hermann-Mauguin En el texto, la notación se presenta como (-3) se presenta como un tres con un signo negativo debido a problemas con las computadoras y los navegadores en el web, Y no se pudo reemplazar este tipo de notación especial en el ciberespacio, se hace la aclaración para que el lector no sufra una confusión si consulta con un libro de mineralogía. Se pronuncia como 3 negativo o 3 barra es la notación para el eje ternario de roto-inversión. Se puede utilizar el signo negativo donde considere necesario. Los mismos criterios que se utilizan en la notación para los índices de Miller, se utilizan para las notaciones de las formas generales. Las formas de los grupos cristalográficos por su notación simétrica son considerados siete, el primero con la misma simetría - 4/m-32/m.

CUBO—El cubo esta compuesto de 6 caras cuadradas formando ángulos de 90 grados entre ellos, cada cara esta interceptando a cada uno de los ejes cristalográficos (fig. 3.2). Esta forma, {001}, es una de las más fáciles a reconocer y muchos minerales lo presentan, a veces con pequeñas modificaciones. ¡ejem. como la galena, pirita, fluorina, perovskita, o cubos de halita ! OCTAEDRO-- El octaedro es una forma compuesta de 8 triángulos equiláteros. Dichas caras en forma de triángulos interceptan a los tres ejes cristalográficos a la misma distancia, su forma de notación de {111} ( fig. 3.3) . Los Minerales comúnmente exhiben la misma forma octaédrica simple como es el caso de la magnetita, cromita, franklinita,

espinela, pirocloro, cuprita, oro, y diamante. En ocasiones la fluorina, pirita y galena toman esta forma. DODECAEDRO (Dodecaedro Rómbico) – Esta forma esta compuesta de 12 caras de forma rómbicas. Las caras de esta forma interceptan dos de los ejes equidistantes y es paralelo al tercer eje, su notación es{011}.Las diferentes especies minerales del grupo del granate presentan muy comúnmente esta forma. La magnetita y la sodalita, en ocasiones exhiben esta forma.

TETRAHEXAEDRO—Esta forma tiene 24 caras triangulares isósceles. La manera más fácil de comprender esta forma es la visualización del cubo interprentando por otro cubo de caras iguales (fig. 3.5) que ha sido intercrecido desde el centro de la cara del cubo. Cada cara triangular tiene su base agregada al limite del cubo, y la cúspide de las cuatro caras triangulares permite observar un eje de simetría de orden cuaternario. Puesto que en la variación de la inclinación del eje cuaternario, hay un numero determinado de posibles formas tetrahexahedrales, todas tienen la notación general {0hl}. La forma más común es{012}. Esta está interceptando, en forma de levantamiento, cuando se combinan un conjunto de cuatro caras a lo largo del eje, esta forma se aproxima al dodecaedro. Conforme se acercan al origen, la forma se acerca al cubo. El tetrahexaedro es raramente una forma dominante en los cristales naturales, y esta estadísticamente subordinado al cubo, octaedro o dodecaedro (fig. 3.6). Los minerales del sistema cúbico como la fluorina (cubo o tetrahexaedro), magnetita o cobre (octaedro y tetraexaedro) y el granate (dodecaedro y tetrahexaedro) pueden exhibir en ocasiones esta forma.

TRAPEZOEDRO (Tetragon-trioctaedro) –Esta forma tiene 24 caras similares a la forma de un trapezoedro. Si mi sitio en la red está correcto, un trapezoedro tiene un conjunto de cuatro caras planas no paralelas. Dichas caras se

interceptan en el eje cristalográfico a una distancia considerada como la unidad y a los otros dos ejes a distancias iguales, dichas distancias podrían ser mas grandes que la unidad. Esto suena un poco complicado, pero viendo el dibujo es más comprensible (fig. 3.7). Puesto que hay varias distancias de intercepción en los dos ejes el símbolo general {hhl} es muy común utilizarlo. La forma mineral más común es {112} . Los dos silicatos más comunes que cristalizan como trapezoedros son la analcima y la leucita. Esta forma es poco conocida y varia desde dominante a subordinada en el caso de las variedades del granate, donde se le observa combinada con el dodecaedro (fig. 3.8) . TRISOCTAEDRO (Trigonal Trisoctaedro ) – Esta es otra forma de 24 caras, pero las caras son triángulos isósceles, cada cara intersecta dos ejes cristalográficos, y el tercer eje en algún múltiplo de la unidad; por lo que su notación general es {hll}. Para visualizar mejor un trisoctaedro, es mejor pensar en un octaedro. Cada cara octaédrica esta dividida en tres triángulos isósceles, dibujando tres líneas desde el centro de la cara octaédrica y alcanzando las tres esquinas de cada cara, repitiendo la misma operación en las otras siete caras del octaedro usted tiene el trisoctaedro (fig. 3.9). Como una forma dominante, el trisoctaedro es poco común, se presenta más comúnmente en el diamante y como forma subordinada (fig. 3.10). Recientemente se ha demostrado que el diamante trisoctaedrico, probablemente no sea un verdadero cristal sino un intercrecimiento de formas cristalinas, ¡pero si en cambio una forma de la solución causada por la disolución diferencial del diamante octaédrico durante su transporte del manto a la corteza, pero eso corresponde a otro curso. Cuando una forma subordinada ha sido reportada, es en combinación con el octaedro en los casos de la fluorina y la magnetita y en combinación con el cubo y el octaedro, los cristales complejos de galena.

HEXOCTAEDRO—Esta es una forma de 48 caras triangulares, seis caras parecen estar levantadas de cada cara de un simple octaedro. Estas podrían visualizarse dibujando una línea desde el centro de cada uno de los bordes de una cara octaédrica a través de una cara central a la esquina opuesta. Repitiendo este mecanismo para las otras 7 caras de un octaedro, se puede construir el hexoctaedro (fig. 3.11).

Simplemente como la forma trisoctaedral , esta forma se ve más a menudo en el diamante por lo que se piensa que representa una forma derivada de un octaedro, la verdadera

cristalización. Con ambos los tris - y hexoctaedros, las caras se encorvan a menudo, produciendo una forma casi esférica. La combinación del dodecaedro dominante y el hexoctaedro subordinado es común en el granate (fig. 3.12). Tenemos las 8 formas restantes del sistema cúbico a considerar. Las siguientes 4 tienen la notación de HermannMauguin de -43m. Estas son el tetraedro, tristetraedro, dodecaedro deltoide y hextetraedro.

TETRAEDRO-- El tetraedro incluye formas positivas y negativas con la notación{111} y {1-11}, respectivamente. Estas son simples imágenes espejo, uno de otro. Un tetraedro es una forma de cuatro caras, cada cara en principio es un triangulo equilátero. Cada cara intersecta a los tres ejes cristalográficos a la misma distancia. Se puede derivar esta forma desde un octaedro extendiendo caras alternadas (esto también se incluye en el conjunto contrario de caras alternadas hasta que ellas desaparezcan).

En la figura 3.13 se despliega la orientación de una forma tetraedral en relación al cubo. No se especula que las dos formas , tanto positiva como negativa existan porque siempre se encuentran juntas (fig. 3.14) ¡en un solo cristal! Si las formas positiva y negativa tienen el mismo tamaño en un cristal individual y la apariencia inicial de la forma cristalina es INDISTINGUIBLE desde un octaedro. Aquí es donde la diferencia en la orientación de la superficie es muy importante para el estudio de la forma. Un mineral que comúnmente presenta esta forma ha sido denominada tetraedrita. Otros ejemplos son el diamante, helvita y esfalerita. TRISTETRAEDRO—Con los ejemplos anteriores se puede derivar esta forma. Ahora, tomar un tetraedro y levantar 3 triángulos isósceles y formar las caras en cada una de las 4 caras del tetraedro. Así es como esta forma tiene 12 caras triangulares (fig. 3.15). En el tetraedo hay formas positivas y negativas como el tetraedro, designadas como { hhl} y {h-hl}, respectivamente. Ésta es sólo una forma relativamente común en la tetraedrita, normalmente subordinada al tetraedro (el fig. 3.16), pero también se ha reportado en la esfalerita y la boracita. La posibilidad de que este presente en el diamante no puede pasarse por alto,

pero como se ha mencionado, puede ser el resultado de procesos de la disolución, en lugar de cristalización. En el tetraedro hay formas positivas y negativas como el tetraedro, designadas {hhl} y {h-hl}, respectivamente. Ésta es sólo una forma relativamente común en la tetraedrita, normalmente subordinada al tetraedro (fig. 3.16), pero también se ha reportado en la esfalerita y la boracita. La posibilidad de que este presente en el diamante no puede pasarse por alto, pero como se ha mencionado, puede ser el resultado de procesos de la disolución, en lugar de cristalización. HEXTETRAEDRO-- De nuevo, se toma un tetraedro y, de la manera similar como el hexoctaedro, se levantan 6 caras triangulares que tienen un ápice común en el centro de la cara triangular equilátera del tetraedro. Repitiendo esto en el tetraedro completo resultando las 24 caras (el fig. 3.17). Hay formas positivas y negativas, se designan como {hkl} y {h-kl}, respectivamente. Esta forma se ha reportado en la tetraedrita, y raramente en la esfalerita. También una posible forma de la solución del diamante DELTOIDE DODECAEDRO—Éste es una forma de 12 caras están en las caras adelante a cada uno de la cara de un tetraedro (el fig. 3.18). La forma de las caras resultante es rómbica. Hay formas positivas y negativas, designadas como {hll} y {h-ll}, respectivamente. Esta forma a veces se ve como subordinada a la tetraedrita o esfalerita dónde aparecería como un conjunto de 3 caras rómbicas modificando las esquinas de la forma tetraédrico dominante. Ahora ahora se del sistema giroide.

tienen sólo 4 formas restantes para discutir, isométrico. El primero a considerar es el

GIROIDE (Pentagono-trioctaedro)—¡Esta forma no tiene centro de simetría¡. La notación de Hermann-Mauguin es 432. Hay dos formas basadas en simetría de mano izquierda-mano derecha (fig. 3.19) . Los viejos libros mencionan que esta es una forma rara a veces reportadas en la cuprita. Pero libros más recientes indican que en un estudio cristalográfico de la cuprita, esta se muestra como una posible forma hexoctaedrica. Si esto es así, entonces no se tiene ningún mineral natural que cristalice en esta forma, aunque hay laboratorios en donde los cristales crecidos con esta forma han sido reconocidos. Dos de las 3 formas restantes tienen ejes de rotación 3 2, y tienen ejes de rotoinversión 4 3, y tres planos axiales de simetría. La notación de Hermann-Mauguin es de 2/m-3. Estas formas consisten en el piritoedro y el diploide.

PIRITOEDRO (Pentagonal dodecaedro)-- Hay 12 caras pentagonales cada una de las cuales cortan en la unidad a un eje cristalográfico y cortan un segundo eje en algún múltiple de unidad, y el otro paralelo al tercer eje. Hay formas positivas y negativas, que se le designan como {h0l} y {0kl}, respectivamente. Hay varias formas piritoedricas, debido al grado de inclinación de las caras. La forma más común es el {102}, la forma positiva ( fig. 3.20) . La Pirita es el único mineral común que presenta esta forma. Es a menudo subordinada, combinada con el cubo, diploide (debajo), u octaedro.

DIPLOIDE (Didodecaedro)-- Hay 24 caras (el fig. 3.21), cada cara que corresponde a la mitad de las caras de un hexoctaedro. Ésta es una forma rara. Se debe comparar las figuras 3.20 y 3.21. El diploide se parece un piritoedro dónde dos caras se forman de cada cara pentagonal del piritoedro. Las caras resultantes son los trapezoides. Hay formas positivas y negativas, designadas como {hkl} y {khl}, respectivamente. La pirita es el único mineral común que exhibe la forma del diploide ¡Se ha llegado a la última forma de los minerales isométricos! ¡Si todavía se está a estas alturas (mentalmente y físicamente), entonces se considera que 1) se tiene poco quehacer hoy para tener el tiempo suficiente y leer este artículo entero, 2) se está haciendo esto para evitar el comienzo de un proyecto mayor, 3) se tiene un problema de salud mental y necesita un consejero, ó 4) se tiene la seriedad para aprender más acerca de la Cristalografía! Así, se escogera esta última forma, el tetartoide y terminamos todo. TETARTOIDE (Pentagono-Tritetraedro)—La notación de Hermann-Mauguin 23. esto es, 3 ejes de rotación binarios que coinciden con los ejes cristalográficos y 4 ejes diagonales ternarios de simetría rotacional. Hay 4 formas separadas en esta clase: derecho positivo {hkl}, izquierdo negativo {khl}, derecho negativo{k-hl}, e izquierdo negativo {h-kl}. Ver figura 3.22 Para la forma positiva. Cobaltita, un mineral desconocido que cristaliza en esta forma. El tetartoide puede presentarse en forma subordinada en combinación con el cubo, dodecaedro, piritoedro, tetraedro, y dodecaedro y deltoide. ¿Se recuerda el naturalista Steno del 16 siglo? Se mencionó en el artículo introductorio. Bien, se tiene información que él es el cristalográfo que más ha aportado sobre los cristales isométricos y los ángulos interfaciales de algunos de las diferentes formas. Esta información podría ayudar cuando se este considerando qué las formas comunes que se observan tienen presente complejos cristales isométricos. 

El ángulo entre dos caras contiguas del cubo es de 90 grados



El ángulo entre dos caras contiguas del octaedro es de70 grados 32 minutos.



El ángulo entre dos caras contiguas del dodecaedro es de 60 grados



El ángulo entre la cara del cubo(100) y la de un octaedro (111) es 54 grados 44 minutos.



El ángulo entre la cara del cubo(100) y la de un dodecaedro (110) es de 45 grados.



El ángulo entre un octaedro (111) y la de dodecaedro (110) es de 35 grados16 minutos.

Sistema Tetragonal

Para comenzar el análisis del sistema tetragonal se examinará primero la cruz axial comparándola con la cruz axial Isométrica, recordando que en el sistema isométrico, los tres ejes tienen la misma longitud y son perpendiculares entre sí. En el sistema tetragonal, se conserva la misma relación angular, pero varía la longitud del eje vertical, pudiendo ser más largo o más corto que los otros dos. Se puede ver que el eje c es vertical, conservando la misma orientación positiva o negativa de este eje (ver fig. 4.1 a y 4.1 b). Como la notación de HermannMauguin para el sistema tetragonal, la primera parte de la notación (4 ó –4) se refiere al eje c y la segunda o la tercera se refieren al eje 1 y 2 y son elementos de simetría diagonales en ese orden. El prisma tetragonal y las formas piramidales tienen una notación simétrica 4/m2/m2/m. Primero se considerarán los prismas tetragonales. Hay tres formas abiertas que consisten de 1er orden, 2do orden y prismas ditetragonales.

El prisma de primer orden es una forma que tiene 4 caras, que son paralelas al eje c e intersectan a los ejes al y a2 a la misma distancia (unidad).Estas caras son designadas por la letra m ( con índices Miller en la fig. 4.2a y por m en fig. 4.2c) y el símbolo de la forma es {110}. El prisma de segundo orden es esencialmente idéntico al prisma de primer orden, pero rotado con respecto al eje c donde las caras son paralelas a los ejes a (fig. 4.2b), siendo así, perpendicular al otro eje. Las caras del prisma de segundo orden se denominan como a y el símbolo de su forma es {100}. Es claro que las caras de ambos prismas son idénticas, y su designación de la letra sólo depende de cómo ellos se orientan a los dos ejes a. Cuando esas formas están combinadas (fig. 4.2c), entonces se pueden observar rápidamente sus relaciones una a una.

Si cada forma está igualmente desarrollada el resultado es un prisma de ocho lados. En esta instancia se debe recordar que la forma aparente de prisma de ocho lados es la combinación de dos formas distintas. La tercera forma del prisma es el prisma ditetragonal (fig. 4.3, la forma común es {210}). Esta puede ser fácilmente confundible con la forma combinada del prisma de primer y segundo orden, sobre todo si están igualmente desarrollada. Pero vale la pena hacer una comparación de la orientación del prisma ditetragonal en los ejes a en relación a las formas combinadas. Se debe mirar hacia abajo al eje de c del prisma ditetragonal y los combinamos con los prismas tetragonal de ler y 2do orden, entonces se observará la similitud. El prisma ditetragonal {210} podría aproximarse a una forma prismática cerrada, y con las malformaciones naturales podrían ser indistinguible uno del otro. Cuando se examina la superficie natural cristalina, formas íntercrecidas y así como las orientaciones de sus estrías, podrían ser diferentes en los dos prismas de las formas combinadas, sin embargo con el prisma ditetragonal todas estas formas tienen la misma orientación. El prisma ditetragonal tiene el símbolo el (hkO). Las líneas azules que indican el eje y se proyecta adicionalmente en la cima y base de este dibujo sombreado, para que se pueda entender la perspectiva de esta forma de ocho lados " deteniendo la señal " . Otra forma es el sistema tetragonal dipirámide y, hay tres tipos de pirámides. Ellas corresponden a los tres tipos de prismas que se acaban de describir. El nombre dipirámide esta dado por una forma cerrada cuyos planos interceptan a los tres ejes (esto es verdadero en todos los cristales pero sobre todo en el isométrico).

Se puede observar en esta forma, que el eje de c corta a una longitud diferente a los ejes a, debido a que ya definimos esa forma como un octaedro en el sistema isométrico. Es así que puede cortar a una distancia más larga o más corta a lo largo del eje c que la longitud de los ejes a. Note la orientación a la cruz axial (la fig. 4.4, la forma más común {111}). Se designan las caras de la dipirámide de primer orden como en la p.

La dipirámide de segundo orden tiene la forma básica como la forma de la dipirámide de primer orden, difiriendo solamente en su orientación en la cruz axial ( fig. 4.5, la forma mas común{011}) .Las segundas caras de dipirámide de orden se designan por la letra e. El circón es un mineral maravilloso para observar las caras de la dipirámide tetragonal y del prisma tetragonal. El circón puede variar desde una forma corta y gruesa, cristales equidimensionales a casi aciculares y puede tener las mismas formas básicas. Antes de que se discuta la 3ra forma dipiramidal, es necesario observar los distintos dibujos en la Figura 4.6 para comprender la variedad de formas que pueden producirse con tetragonales simples. En figura 4.6c, las caras designadas como u representan otra dipirámide de primer orden con un ángulo diferente de intersección con el eje vertical.

Ahora la forma de tercer orden dipiramidal, la dipiramidal ditetragonal. Esta es una forma con terminación cerrada que tiene 16 caras (fig. 4.7) .Esta forma tiene una doble pirámide de 8 lados por lado de donde las 16 caras similares cortan a los tres ejes a distancias desiguales. El símbolo general es {hkl}. Esta forma es raramente dominante, pero en ocasiones es común como forma subordinada en el circón a la que se le nombra zirconoide. La Anatasa podría tener también la forma expresada. El prisma ditetragonal esta combinada con el prisma de primer orden. En la figura 4.7, a veces el prisma no se presenta, por consiguiente simplemente está la unión de las dos caras, para facilitar el trabajo se ha marcado su posición, expresándola por una flecha y la letra m.

Las siguientes formas en el sistema a considerar tienen la notación de Hermann- Mauguin -42m. Esas formas cerradas incluyen al escalenoedro tetragonal (escalenoedro rómbico) y el disfenoide ( tetraedro tetragonal). Es importante recordar que en ambas formas existe un eje de rotoinversión cuaternario. El diesfenoide tetragonal existe como una forma positiva y una forma negativa. Tiene sólo 4 caras ( fig. 4.8a). Pueden expresarse ambas

formas en un solo cristal ( fig. 4.8b) .Las caras se designan por la letra p para la forma positiva y p1 para la forma negativa. Esta forma difiere del tetraedro del sistema isométrico en el que el eje vertical no es de la misma longitud como los otros dos ejes. El único mineral común en esta clase es la calcopirita. Cualquier mineral de esta clase debe tener el ángulo interfacial muy exacto, las medidas efectuadas permiten demostrar que es el tetragonal y no el isométrico. El Escalenoedro tetragonal (fig. 4.9) es raro en si mismo, pero se expresa a menudo con otras formas en la calcopirita y estanita. Se puede derivar la forma del disfenoide del sistema, dibujando una línea desde una esquina de cada cara del diesfenoide, al centro de la línea que une las dos esquinas opuestas, formándose dos caras de la división resultante. Así, una forma disfenoidal de cuatro caras una forma de 8 caras. Una forma abierta en este sistema es la pirámide ditetragonal cuya anotación general es {hkl} (fig. 4.10). Esta forma no tiene ningún plano de simetría respecto a los 2 dos ejes horizontales. La notación de simetría es 4mm. Existen dos orientaciones de esta forma respecto al eje a existen, uno nombrado como {hhl} y el otro como {h01}. A lo largo la pirámide ditetragonal puede ser una forma abierta terminada en forma de pedión, teniendo los índices del Miller {001}. El pedión será una sola cara perpendicular al eje c que" corta " la terminación de la pirámide ditetragonal. Hay formas superiores e inferiores para la pirámide y el pedión, el superior se considera positivo y el inferior negativo (considerando la orientación del eje c). La pirámide ditetragonal se parece a la mitad de la dipirámide ditetragonal, pero un ejemplo bien formado está presente en un extremo del eje c!. Esta forma es raramente dominante y normalmente es subordinada a otro prisma común así como a formas de la dipirámide. La diaboleíta es el único mineral conocido que representa a esta clase cristalina. Es interesante hacer notar que aunque el mineral diaboleíta se describió primero en 1923, y no fue sino hasta en 1941 que los cristalógrafos comprendieron sus formas, permitiendo el reconocimiento de dicha forma. En la literatura anterior a 1941, ningún mineral se conocía de esta clase cristalina. El trapezoedro tetragonal es la próxima forma a considerar. Es una forma cerrada que consiste en 8 caras trapezoedrales las cuales corresponden a la mitad de las caras de la dipirámide ditetragonal. Su notación de simetría es 422, mientras que un eje cuaternario de rotación es paralelo al eje c y los ejes 22 forman ángulos rectos al eje Tetragonal c. No presenta centro de simetría y ningún plano de simetría. Allí existen formas de mano derecha-mano izquierda( fig. 4.11) .Sólo la fosgenita representa esta clase cristalina.

En un dibujo de la forma simple ( designadas como e en las figs.. 4.12a y 4.12b), la dipirámide tetragonal parece tener una simetría más alta que 4/m, la verdadera simetría se revela cuando se observa en un cristal real de scheelita (las caras azules en la fig. 4.12b ). Los minerales que expresan esta simetría lo hacen como formas cerradas cristalinas, aparte de la scheelita, se incluyen la powellita, fergusonita y miembros del grupo de la escapolita.

La siguiente forma es un eje -4 de rotoel eje c. Su notación cerrada de este tetraedro tetragonal)

interesante pues sólo tiene inversión que coincide con de simetría es -4. La forma disfenoide tetragonal ( el posee sólo 4 caras que son triángulos isósceles ( fig.

4.13). Sin otras formas modificando, como los pinacoides y prismas tetragonales, la forma parecerá tener dos planos de simetría verticales, es decir una simetría de –42m ( como el disfenoide que se discutió anteriormente ). Sólo se conoce el mineral cahnita como representante de esta clase. Finalmente se ha llegado a la última forma del sistema tetragonal. Aunque parece simple, por ser la última forma, tiene la simetría más baja. La pirámide tetragonal ( hemimórfica hemiedral) es una forma abierta con sólo un eje de simetría cuaternario que coincide con el eje c (fig. 4.14) .¡EI término hemimórfico suena a imaginación, pero simplemente es una manera corta de decir que aparece sólo la mitad de la forma que se observa! Ningún centro o plano de simetría existen en esta clase. Tiene formas superiores {hkl} e inferiores {hk-I}, en una relación de mano izquierda- mano derecha. Otras dos pirámides tetragonales tienen la notación de la forma general de {hhl} y {0kl}, dependiendo su orientación en la cruz axial. La wulfenita es la única especie mineral que representa a esta forma, aunque sus cristales no siempre muestran la diferencia entre las caras piramidales inferiores y superiores, para caracterizar las formas complementarias distintas. Se espera ahora, que quede entendido que simplemente estirando o acortando el eje vertical de la cruz axial del sistema isométrico, definimos el sistema tetragonal. Entonces, examinando la presencia o ausencia de varios elementos de simetría (los planos, ejes de rotación, y centro de simetría), se pueden describir todas las formas

cristalinas posibles del sistema tetragonal. Muchos cristalográfos, prefieren considerar el sistema hexagonal como el próximo a tratar porque tiene sus corolarios en el sistema tetragonal, pero se discutiría alrededor de eso y variaría la longitud de otro eje de la cruz axial y se vería que pasa con él, en el artículo 5 “el sistema ortorrómbico”.

Sistema Ortorrómbico

Se inicia esta vez examinando la cruz axial para el sistema ortorrómbico, el Sistema Tetragonal tiene la a y b de la misma longitud (a1 y a2) pero varia la longitud del eje de c. En el Sistema Ortorrómbico, las relaciones angulares son de 90 grados entre los 3 ejes, pero varía la longitud de cada eje individual. Los 3 EJES DEBEN SER DESIGUALES EN LONGITUD. Si dos son iguales, entonces, por la convención, se habla del sistema tetragonal.

En el cuadro 5,1, por conveniencia se orienta cualquier cristal de este sistema de tal modo que la longitud de c sea mayor que la longitud de a, que, por otra parte, es mayor que la longitud del eje b. Se encontrará Al examinar un cristal Ortorrómbico, se encuentra que la simetría obtenible más alta es 2-(eje binario). En una forma simple, como es la combinación de los 3 pinacoides (forma abierta), el cristal adquiere un aspecto alargado, y a menudo tabular. Éstas son formas típicas en la baritina y la celestina. Los 3 pinacoides son perpendiculares el uno al otro y la orientación de los ejes de un cristal dado es lograda generalmente por un examen del hábito y de cualquier corte evidente. En el topacio, el corte pinacoide al prominente está en el plano de los 2 ejes más cortos perpendiculares al eje más largo, así que por convención, es considerado perpendicular al eje de c. Sin embargo, se encuentra la situación donde un cristal dado exhibe un pinacoide muy prominente y el cristal es tabular en forma. En tal caso, se considera el eje de c al ángulo recto del pinacoide prominente y el cristal se orienta como en el cuadro 5,2. Esto es un aspecto muy diverso que el ejemplo del topacio, conocido en el párrafo superior. El sistema Ortorrómbico tiene 3 clases generales de la simetría, cada uno expresada por su propia notación de Hermann-Mauguin. Observese las formas señaladas por la simetría 2/m2/m2/m. Hay 3 de éstas: el pinacoide (también llamado el paraleloedron); el Prisma rombico; y la dipiramide rómbica. El pinacoide consiste en 2 caras paralelas, y pueden ocurrir en las 3 diversas orientaciones cristalográficas. Éstos son el par que interceptan el eje de c y son paralelos a las ejes de a y de b { 001 }; el par que intercepta

el eje de b y es paralelo a las ejes de a y de c { 010 }; y el par que intercepta al eje a y es paralelo a los ejes de b y de c { 100 }. Se llaman el pinacoide de c, el pinacoide de b, y un pinacoide de a, respectivamente (fig. 5,3). El Prisma rómbico, es una forma abierta, que consiste en 4 caras que sean paralelas a un eje e intercepten a los otros dos. Hay 3 de estos Prismas rómbicos y son dadas por las formas generales: { hk0 }, que es paralelo al eje c; { h0l }, que es paralelo al eje de b; y { 0kl }, que es paralelo al eje a. Cuadro 5,4 a, b, presenta los 3 Prismas rombales, cada uno conjuntamente con una forma pinacoide al correspondiente. Solamente la cara positiva del Prisma rómbico se denomina en éstos

5.4c Prisma Rombico 5.4a Prisma {110} y Pinacoide {001}

5.4b Prisma {101} Pinacoide {010}

y

{011} y Pinacoide {100}

Aquí es donde viene lo práctico de la notación general de la símbologia, estas formas fueron señaladas como macroprismas o braquiprismas, dependiendo de si h > k o macroprisma de k > h. Tiene el símbolo general { h0l } y un braquiprisma tiene el símbolo general de { hk0 }.

5.5a MacroBraqui-y 5.5b Prisma y Pinacoides Basales Pinacoides Basales

5.5c

Con el cuadro 5,5, se tienen 3 sistemas de prismas expresadas por las designaciones de la letra m, l y n, y de una cara del pinacoide señalada con a. La dipirámide rómbica es la forma tipica de esta clase de la simetría. Se simboliza por la forma general { hkl } y consiste en 8 caras triangulares, cada uno de las cuales intersecta los 3 ejes cristalográficos. Esta pirámide puede tener varios aspectos debido a la variabilidad de las longitudes axiales (figs. 5,6 a, b, c).

5.6a DipiramideRombico

5.6b

5.6c Cristal de azufre

Un número relativamente grande de minerales ortorrómbicos se encuentra con combinaciones de distintas formas. Éstos incluyen la andalucita, los miembros del grupo de la aragonita y de la baritina, la brookita, el crisoberilo, los ortopiroxenos, la goethita, la marcasita, el olivino, la sillimanita, la estibnita, el azufre, y el topacio. Se considera que son pocas las formas que tienen la simetría mm2 (llamada pirámide rómbica). El eje de rotación binario corresponde al eje cristalográfico c y los 2 planos (perpendiculares uno al otro) intersectan este eje. debido al hecho de que no existe ningún plano horizontal, las formas en la parte superior y el fondo del cristal son diferentes

(fig. 5.7a). También, debido a la carencia del plano horizontal del espejo, no existe ningún prisma, sino que por el contrario tenemos 2 domos en lugar de cada uno de los prismas (un domo que consiste en 2 caras que se intersectan, pero no tienen ninguna cara paralela correspondiente en el otro extremo del cristal). Hemimorfita (fig. 5.7b), el struvita (fig. 5.7c) o la bertrandita son ejemplos para esta clase de simetría.

5.7b Hemimorfita 5.7c Struvita

5.7a Piramide Rombica Y ahora a la clase (y el más bajo) de la simetría del sistema ortorrómbico, el diesfenoide rómbico. La forma también se ha llamado el tetraedro rombico. Tiene la notación de 222, cuya simetría es de 3 ejes de rotación (binario) que corresponden a los 3 ejes cristalográficos. Las formas son, sin embargo, enantiomorfico, es decir presente tanto a la derecha como a la izquierda (fig. 5,8). Estas formas cerradas consisten en 2 caras triangulares superiores que se alternen con 2 caras triangulares inferiores, el par de caras superiores son compensadas 90 grados con relación al par de caras inferiores. Figura 5.9 Los pinacoides y los prismas pueden también existir en esta clase. El mineral más común de esta clase cristalina es la epsomita (fig. 5,9). Observe que en el cuadro 5,9 el diesfenoide rómbico es señalado por la letra z y el prisma de la unidad por m.

Sistema Monoclínico

Considérese la cruz axial, (ejes a, b, y c), cada uno de longitud desigual, del sistema monoclínico (fig. 7.1), en el sistema monoclínico, se observa lo que pasa cuando se tiene 3 ejes de longitud desiguales y se cambia el ángulo de 90°de dos de sus ejes. Los ejes se designan como sigue: el eje inclinado es a y se dirige al espectador, el eje vertical es c, y el eje restante que es perpendicular al plano que contiene al eje a y c es b. Cuando se orienta, el eje inclinado hacia el observador, b está horizontal y c es vertical. los ejes b y c están en un mismo plano. En la Figura 7.1, el ángulo entre c y b sigue siendo de 90° y el ángulo (^) entre c y a es el que se cambiará. Se le Llamará β y se representa por la letra griega en la figura axial. Para la mayoría de los cristales del sistema monoclínico, el (^) de beta es mayor, pero en algunos casos raros, el ángulo puede ser de 90°. Cuando esto ocurre, la simetría del monoclínico no visualiza claramente la morfología. Los ejes de rotación binarios (en dirección perpendicular al plano de simetría) normalmente se toman como el eje b. Un eje está inclinado hacia el frente en la mencionada figura. Los cálculos de parámetros axiales en los sistemas cristalinos ortogonales (donde todos los ejes son perpendiculares al observador) es relativamente fácil, pero es bastante tedioso en los sistemas con uno o más ejes inclinados. Se sugiere un texto de mineralogía avanzado, Hay solo 3 clases de simetría a considerar en el Sistema Monoclínico: 2/m, m, y 2. En la clase de simetría 2/m, sin embargo, hay 2 tipos de formas, pinacoides y prismas. Recuérdese que una forma del pinacoide consiste en 2 caras paralelas (la forma abierta). El pinacoide a también se llama frontal (se llamaba el ortopinacoide), el b se llama el pinacoide lateral (se llamaba el clinopinacoide), y el c es el denominado pinacoide basal. Hay 2 pinacoides adicionales con las anotaciones de la forma generales de {h0l} y {-h0l}. La presencia de uno de estas formas no hace necesario la presencia del otro.

Estos 3 pinacoides juntos forman el prisma diametral (fig. 7.2) que es el análogo del cubo en el sistema isométrico, Primero obsérvese un dibujo para mostrarlo donde se ubica el plano de simetría y la orientación de los ejes binarios (2) (fig. 7.3). Como se describió anteriormente, el eje de b es uno los 3 ejes de rotación.

Los prismas con 4 cuatro caras tienen la forma general {hkl). Un prisma monoclínico se muestra en la Figura 7.4. La forma general puede ocurrir como dos prismas independientes {hkl} y {hkl}. Hay también {0kl} y {hk0} los prismas. El {0kl} el prisma corta el b y c el es paralelo al eje a.

En las figuras 7.5a, b, y c son las formas comunes para la ortoclasa y 7.5d son una forma común para selenita (el yeso). Muchos minerales comunes cristalizan en esta clase de simetría, incluso la azurita, clinopiroxenos y grupos de los clinoanfiboles, datolita, epidota, yeso, malaquita, ortoclasa, rejalgar, titanita, espodumeno, y talco.

La segunda clase de simetría del sistema monoclínico es m y representa un

solo del plano vertical (010) eso incluye los c y un eje cristalográfico. Un domo es la forma general {hkl} en esta clase (fig. 7.6) y es una figura de 2 caras que es simétrico por un plano de simetría. Hay 2 posibles orientaciones del domo, {hkl} y {- hkl). La forma {010} es un pinacoide, pero todas las caras en el otro lado del plano son pediones. Éstos incluyen {100}, {- 100}, {00-1), y { h0l}. Sólo 2 minerales raros, la hilgardita y clinohedrita, cristalizan en esta clase.

La tercera clase de simetría del sistema monoclínico es 2 y representa un eje binario(2) de rotación que coincide con el eje cristalográfico b. La figura 7.7 representa a la forma general {hkl} es un esfenoide o diedro. Puesto que no se tiene ningún plano de simetría que coincida con los ejes a-c y con el eje b que es polar, en la clase de simetría binaria, se tienen diferentes formas presentes en las partes opuestas de b. El pinacoide {010} de 2/m se vuelven 2 pediones, {0l0} y {0-10}. Igualmente, el esfenoide {0kl}, {hk0} y {hkl} los prismas de 2/m cambian en pares de mano derecha e izquierda (enantiomórfico).

Sistema Triclínico

En esta figura, se observa que los 3 ejes (a, b, y c) todos son desiguales en longitud y que no hay ángulos axiales de 90°. En el sistema monoclínico, por lo menos se tenían a y b perpendicularmente, pero aquí se ha perdido incluso eso! Obsérvese que el ángulo β todavía está entre los ejes a y c, pero ahora se tienen los 2 ángulos adicionales a definir, ni uno ni otro son iguales a 90 grados. Un ángulo se llama α y se define como el ángulo entre los ejes c y b y el segundo es γ que ahora se define como el ángulo entre a y b, existen algunas convenciones o reglas validadas a seguir para orientar un cristal triclínico. Recuérdese, en la orientación de cualquier cristal, se está determinando la posición de los 3 cristalográficos. Así pues, las reglas son: 1) la zona más pronunciada debe ser vertical y por lo tanto el eje en esta zona se convierte en c; 2) { los 001}forma (pinacoide básico) deben inclinarse adelante y a la derecha; y 3) las dos formas selectas en la zona vertical, una será {100 } y la otra será { 010 }. Ahora, la dirección de un eje es determinada por la intersección de { 101 } y { 001 } y la dirección del eje de b es determinada por la intersección de { 100 } y { 001 }. Una vez que se haga esto, un eje debe ser más corto que el eje b de modo que se cumpla la convención c < a < b. las distancias axiales y los 3 ángulos, alfa, beta, y gama, se puede calcular solamente con dificultad considerable. Como en el sistema monoclínico, la longitud del eje b se define como unidad (1). En el sistema triclínico, se tienen dos clases de la simetría. El primer a considerar es el -1 (notación de Hermann-Mauguin). En esta clase, hay un eje -1 de la simetría, el equivalente de un centro de la simetría o de inversión. El cuadro 8,2 muestra un pinacoide triclínico (o el paraleloedro). Esta clase se llama la clase pinacoidal después de que su forma general { hkl }.Todas las formas pinacoides presentes y por lo tanto consiste en caras paralelas e idénticas.

Cuando se orienta un cristal triclínico, los índices de Miller del pinacoide determinan su posición. Hay 3 pinacoides. Recuérdese que los pinacoides para intersecar un eje y ser paralelos a los otros 2 (en sistemas de 3 ejes). Se comienza a mirando la simetría -1. Éste es el eje de la rotoinversión, que se puede ver igual que un centro de simetría. El cuadro 8,3 muestra un pinacoide triclínico, también llamado un paraleloedro. Esta clase se le denomina clase pinacoidal, debido a su forma {hkl }. Con la simetría -1, todas las formas son pinacoides así que consisten en 2 caras paralelas idénticas. Una vez que se orienta un cristal triclínico, los índices de Miller del pinacoide establecen su posición. Figure 8.3 pinacoides triclínicos, o paraleloedro

Hay 3 tipos generales de pinacoides: los que intersecan solamente un eje cristalográfico, los que intersecan 2 ejes, y los que intersecan a los 3 ejes. El primer tipo de pinacoides { 100 }, { 010 }, y { 001 }. { 100 } es el pinacoide delantero e intersecta al eje a, { 010 } es el pinacoide de la cara b e intersecta al eje b, y { 001 } es la cara c o el pinacoide básico que intersecta al eje c.

Todas estas formas están determinados por la convención basada en la parte positiva del eje. El segundo tipo de pinacoide se llama { 0kl }, { h0l }, y los pinacoides { hk0 }, respectivamente. El pinacoide { 0kl } es paralelo a un eje y por lo tanto interseca los ejes b y c. Puede ser positivo { 0kl } o el negativo { 0-kl }. El pinacoide { h0l } es paralelo al eje b e intersecta los ejes a y c. Puede ser positivo { h0l } o negativo { - h0l }. Finalmente, pinacoide{ hk0 } es paralelo al eje c e intersecta los ejes a y b. Puede ser positivo { hk0 } o negativo { h-k0 }. El tercer tipo de pinacoide es { hkl }. Existen el derecho positivo { hkl }, izquierdo positivo { hkl }, el derecho negativo { - hkl }, y la izquierdo negativo { h-kl }. cada uno de estas formas de 2 caras y puede existir independientemente de las otras. El cuadro 8,3 muestra algunas de las formas pinacoidales en esta clase. Un buen número de minerales cristalizan en la clase -1 incluyendo pectolita, microclina, y wollastonita y las plagioclasas. La segunda clase de simetría del sistema triclínico es el 1, que es equivalente a ninguna simetría! Es una sola cara llamada un pedión y la clase se llama clase pedial { hkl }. Porque la forma consiste en una sola cara, cada pedión o monoedro hace una reflejo de sí mismo. Es raro el mineral que cristaliza en esta clase, la axinita es un ejemplo. Ahora que se ha terminado la discusión de los sistemas cristalinos y de sus lazos geométricos y de la simetría.

Sistema Hexagonal

Es el único sistema cristalino que posee 4 ejes cristalográficos. Encontramos que los índices de Miller realmente deben ser los índices de Bravais, pero comúnmente quizá por falta de costumbre, todavía se les llama índices de Miller. Como hay 4 ejes, hay 4 letras o números en la notación.

Las formas del Sistema Hexagonal están definidas por las relaciones de la cruz axial. Los ejes hexagonales (fig. 6.1) consisten en 4 ejes, 3 de la misma longitud y en el mismo plano, los cuales fueron propuestos por Bravais. Estos 3 ejes, denominados a1 , a2, y a3 tienen una relación angular de 120 grados (entre los extremos positivos). En ángulo recto (ángulo normal según las matemáticas) se encuentra el eje c cuya longitud puede variar. Es importante a su vez, notar la orientación de los 4 ejes y sus extremos positivo y negativo. Si se observa verticalmente (desde la parte superior del eje c), los ejes dividen un círculo en 6 partes del igual y la notación axial se lee (iniciando con un +) como +,-,+,-,+, -. Los extremos se alternan positivo y negativo. Nombrando los índices de cualquier cara, con cuatro números debe darse. En la notación de simetría de Hermann - Mauguin, el primer número se refiere al eje principal de simetría que es coincidente con c en este caso. El segundo y tercero símbolo, si se presentan, se refieren a los elementos de simetría paralelos y normal a los ejes cristalográficos a1, a2 y a3, respectivamente.

Basado en cuanto a su simetría, se dice que el Sistema Hexagonal presenta dos divisiones fundamentales. Existen siete posibles clases, todos los que contienen ejes de simetría senaria, en la división Hexagonal y cinco posibles clases, todos los que contienen ejes ternarios, en la división Trigonal. El símbolo general usado para cualquier forma en el Sistema Hexagonal es {hk -il}. La relación angular de las tres ejes horizontales (a1, el a2, y a3) muestran que la suma algebraica de los índices h, k, i, es igual a 0.

División Hexagonal La Normal o la clase Dipiramidal dihexagonal tiene un eje de simetría senario que coincide con el eje cristalográfico c o eje vertical. También tiene 6 ejes binarios horizontales, 3 que corresponden a los 3 tres ejes cristalográficos horizontales y 3 que bisectan a los ángulos entre los ejes. La notación de Hermann - Mauguin es 6/m2/m2/m. Para comprobar lo anterior, es necesario el uso de la figura 6.2a y 6.2b qué muestra los elementos de simetría de esta clase, asociado con los ejes y planos de simetría.

Elementos de simetría rotacionales

Planos de Simetría

Hay 7 formas posibles que pueden presentarse en la clase Dipiramidal Dihexagonal: Forma 1. Base o pinacoide basal 2. Prisma de primer orden 3. Prisma de segundo orden 4. Prisma dihexagonal 5.Pirámide de primer orden 6. Pirámide de segundo orden 7. Dipiramidal dihexagonal

Numero de caras 2 6 6 12 12 12 24

Índices de Miller (0001) (10-10) (11-20) (hk-i0) ejemplo: (21-30) (h0-hl) ejemplo: (10-11), (20-21) (hh2hl) ejemplo: (11-22) (hk-il) ejemplo: (21-31)

Ver las figuras 6.3 hasta 6.8 (abajo) para las formas referidas.

Forma abierta abierta abierta abierta cerrada cerrada cerrada

Prisma hexagonal de primer orden y Pinacoide c

Dipirámide hexagonal de primer orden

Prisma hexagonal de segundo orden y Pinacoide c

Dipirámide hexagonal de segundo orden

Prisma Dihexagonal y Pinacoide c

Dipirámide dihexagonal

Las dos caras de la base, o el pinacoide basal, es normal al eje c y al observador, y generalmente se denota por la letra cursiva c. Sus índices del Miller son (0001) y (000-1). Los primeros y segundos prismas del orden no pueden distinguirse entre si, cuando cada uno aparece como un prisma hexagonal regular con un ángulo interfacial de 60 grados, pero cuando se observa hacia abajo el eje c, como en la figura 6.9, las relaciones de las dos formas y los ejes a son rápidamente visualizadas. Correspondiendo a los 3 tipos de prismas son 3 tipos de pirámides. Se puede notar que en las figuras 6.6 y 6.7 de la página anterior la forma similar, pero se diferencia en la relación angular en los ejes horizontales. La dipirámide dihexagonal es una doble pirámide de 12 lados (figura 6.8). La primera pirámide del orden se etiqueta la p. La segunda pirámide del orden se etiqueta s. La dipirámide del dihexagonal se etiqueta v.

Estas formas aunque parezcan relativamente simples algunos de ellas se combina en un solo cristal, en este punto, se debe de tener especial atención. Se pueden tener algunas de las mismas formas, incluso a ángulos diferentes, así las dos pirámides de primer orden pueden denominarse las pirámides del orden p y u, respectivamente. Vea figura 6.10 de un cristal del berilo que tiene todas estas formas desplegadas. La molibdenita y la pirrotita también cristalizan en esta clase. El ditrigonal

dipiramidal

{hk - il} tiene un eje senario de rotoinversión que es escogido como c. Se debe notar que los ejes -6 son equivalentes a un eje -3 de rotación normal a un plano de simetría. Tres ejes de simetría, cortan al eje vertical y son perpendiculares a las 3 ejes cristalográficos horizontales. Existen también 3 ejes binarios horizontales en los planos de simetría verticales, Herman - Mauguin es -6m2. Esta clase es una forma de doce, seis en la cara superior y seis caras en la parte inferior del plano de simetría que queda en el a1-a2-a3 plano axial. La figura 6.11a es la dipirámide ditrigonal que se forma y la figura 6.11b representa un dibujo de benitoita, el único mineral que se ha descrito en esta clase. La clase Hemimórfica (Piramide dihexagonal). Esta clase difiere de las clases discutidas anteriormente en que no tiene ningún plano horizontal de simetría y ningún eje horizontal de simetría. No presenta centro de simetría. Por consiguiente, la notación de Hermann - Mauguin es 6mm. La geometría de los prismas presenta el mismo comportamiento. El plano basal es un pedión (recuerde que un pedión difiere de un pinacoide en que es una sola cara) y las pirámides positivas y negativas de los 3 tipos. La diferencia puede notarse rápidamente en un dibujo de la forma de esta clase ( fig. 6.12) cuando se comparó con la figura 6.8 (dos páginas atrás).

Algunos minerales como zincita, wurtzita, y greenockita que son de esta clase (figs. 6.13a, b, & c).

En la clase Trapezoedral Hexagonal, los ejes de simetría están igual que la clase normal (la clase dipirámidal dihexagonal que se discute inicialmente en esta sección), pero los planos de simetría y el centro de simetría no están presentes. La notación de Hermann - Mauguin es 622. Dos formas enantiomórficas (la imagen espejo) están presentes, cada uno presenta 12 caras trapezoidales (figura 6.14). Otras formas, incluso los pinacoides, prismas hexagonales, dipiramides, y prismas dihexagonales, pueden estar presentes. Se conocen sólo 2 minerales que representan a esta clase cristalina: cuarzo beta y kalsilita. La clase Dipiramidal Hexagonal (figura 6.15) tienen sólo un eje vertical senario de rotación y un plano de simetría perpendicular a el. La notación de Hermann - Mauguin es 6/m. Cuando esta forma se presenta sola, parece poseer la simetría más alta. Sin embargo, en la combinación con otras formas revela su baja simetría. Las formas generales de esta clase son los dipirámides hexagonales positivas y negativas. Estas formas poseen 12 caras, 6 superiores y 6 inferiores, y corresponden en posición a la mitad de las caras de una dipirámide dihexagonal. Otras formas presentes puede incluir pinacoides y prismas. Los minerales principales que tienden a cristalizar en esta clase son los del grupo del apatito. La Dipirámide trigonal posee un eje senario de roto-inversión , la notación de Hermann - Mauguin de -6. Esto es equivalente de tener un eje 3 y un plano de simetría normal a él (3/m). Ver figura 6.16. Matemáticamente, esta clase puede existir, pero hasta la fecha no, se conoce ningún mineral que cristalice en esta clase.

En la clase de la Pirámide hexagonal, el eje vertical es un eje 6. Ninguna otra simetría está presente en este sistema. La figura 6.17 es la pirámide hexagonal. Las formas de esta clase son similares a aquéllas de la Dipirámide Hexagonal (anteriormente discutidas), pero porque no se presenta ningún plano de simetría horizontal? a diferencia de esto, están presentes en la parte superior e inferior del cristal. La pirámide hexagonal tiene cuatro ejes senarios presentes y sus formas son :superior positivo, superior negativo, inferior positivo, inferior negativo. Pediones, pirámides hexagonales y prismas pueden estar presentes. Sólo raramente se presentan plenamente desarrolladas. La nefelina es la representante más común de esta clase.

División Trigonal

Hasta ahora se ha trabajado a través de las primeras 7 clases en el Sistema Hexagonal, todos que tienen algún grado de simetría senaria (6). Ahora, toca mirar la División Trigonal del Sistema Hexagonal. Aquí, se observa que la simetría ternaría (3) gobierna en esta división. Hay que recordar que los prismas son formas abiertas. En la división trigonal hay dos juegos distintos de prismas que están involucrados. El primero se llama el prisma trigonal y consiste en caras de igual tamaño, las cuales son paralelas al eje cristalográfico c y forma un prisma de 3 lados iguales. Se puede pensar en la División Trigonal como la mitad de las caras del el prisma hexagonal de primer orden. De hecho, la luz normal refractada 60 grados en un prisma de vidrio, se ha usado en muchos talleres de laboratorio de física, de esta manera está limitada en el extremo por el pinacoide c. Allí existe un prisma de segundo orden y que da la apariencia general del de primer orden, pero cuando otras formas trigonales están presentes en la terminación de otra manera que el pinacoide c, los dos prismas pueden distinguirse rápidamente, uno del otro. El prisma de segundo orden se gira 60 grados sobre el eje de c cuando se compara con el prisma de primer orden.

El segundo prisma es el ditrigonal, y es una forma abierta. Esta forma consiste en 6 caras verticales arregladas en conjuntos de 2 caras. Por consiguiente los bordes alternos son de diferente carácter; sobre todo es notable cuando se observa hacia abajo el eje c. Los diferentes ángulos entre los 3 conjuntos de caras, distinguen esta cara del prisma hexagonal de primer orden. Las estriaciones en la parte izquierda de la figura son típicos para los cristales trigonales naturales, como la turmalina. En el dibujo, en el eje c están los pinacoides y en m las caras del prisma. Se cree que estas formas son bastantes simples y no es necesario algún dibujo para explicarlos, pero si se busca en la figura 6.23 (abajo) las formas de la turmalina. Ellos se dan la anotación del prisma normal de m y a.

La clase escalenoedrica hexagonal. Lo primero en considerar en esas formas es la simetría - 3 2/m en la notación de Hermann - Mauguin. Hay dos formas principales en esta clase: el romboedro y el escalenoedro hexagonal.

En esta clase, los ejes de rotoinversión -3 son coincidentes con el eje vertical (c) y los tres ejes binarios 2 corresponden a las tres ejes horizontales ( a1, a2,y a3). La forma general {hkil} del escalenoedro hexagonal (figura 6.19), la diferencia primaria en el romboedro es una forma romboedral , es decir, hay 3 caras romboedrales anteriores y 3 caras debajo del centro del cristal. En un escalenoedro, cada una de las caras del romboedro se convierten en 2 triángulos escalenos dividiendo el romboedro de las esquinas por una línea. Sin embargo, se encuentran 6 caras en la parte superior y 6 en la parte inferior. El escalenoedro que es una forma de 12 caras. Estas formas se ilustran en la figura 6.20. Con esta forma, usted puede tener ambos, positivo {h0 - hl} y negativo {0h - hl} las formas para el romboedro...

y formas positiva {hk-il} y negativa

{kh-il} para el escalenoedro. Las figuras complicadas, el romboedro y escalenoedro, como formas, a menudo se combinan con las formas presentes, en las clases de simetría hexagonales más complicadas. Así, se pueden encontrarlas en combinación con los prismas hexagonales, dipirámides hexagonales, y formas del pinacoides. La calcita es la más común, bien cristalizada, y mineral coleccionable en estas formas. Ver la figura 6.21 algunas formas de la cristalización de calcita. Varios

minerales, como la chabazita y el corindón, normalmente muestran las combinaciones de la forma.

En los últimos 3 dibujos en la figura 6.21, hay que nombrar las caras presentes. Ya se han nombrado las primeras 5 figuras. La próxima clase de cristal a considerar es la Pirámide Ditrigonal. El eje vertical es un eje ternario de rotación(3) y tres planos de simetría que cortan este eje. La notación Hermann - Mauguin es 3m, 3 que se refieren al eje vertical y m que se refiere a los tres planos normales a los tres ejes horizontales (el a1,a2,a3). Estos 3 planos de simetría cortan al eje vertical 3. La forma general {hk-il} es una Pirámide Ditrigonal. Hay 4 formas posibles de pirámides ditrigonales cuyos índices son {hk-il}, {kh-il}, {hk-i-l}, y {kh-i-l}. Las formas son similares a la forma escalenoedrica hexagonal pero tienen solo la mitad de las caras, observándose la ausencia de ejes binarios de rotación. Como los cristales, tienen formas diferentes en la parte superior en su parte superior así como en su base. La figura 6.22 muestra la pirámide ditrigonal. La figura 6.23 muestra 2 cristales de turmalina el mineral más común que se cristaliza en esta clase la cual despliega simetría de 3m. Esta forma puede combinarse con pediones, Prismas hexagonal y Piramides, Pirámides trigonales, Prismas trigonales prismas, y Prismas ditrigonal algunas veces formas interesantes y complicadas.

Se ha llegado al trapezoedro trigonal. Las 4 direcciones axiales están ocupadas por los ejes de rotación. El eje vertical es un eje ternario (3) y los 3 planos horizontales tienen la simetría de un eje binario(2). Esto es similar a la clase -32/m (escalenoedro hexagonal), pero los planos de simetría están ausentes. Hay 4 trapezoedros trigonales, cada uno compuestos de 6 caras trapezoidales. Sus índices de Miller son: {hk - il}, {i-k - hl}, { kh - il}, y {- ki - hl}. Estas formas corresponden a 2 pares enantiomórficos, cada uno con una forma derecha y una forma izquierda (un par ilustra la figura 6.24).

Otras formas que pueden estar presentes incluyen pinacoides, prismas trigonales, prismas hexagonales, prismas ditrigonales, y romboedros. El cuarzo es el mineral más común que cristaliza en esta clase, pero raramente la cara trapezohedral se forma. Cuando, es una cuestión simple para determinar si el cristal es de forma derecha o izquierda (figura 6.25). El cinabrio también cristaliza en esta clase. La clase Romboedrica tiene un eje ternario(-3) de rotoinversion que es equivalente a un eje ternario(3) y un centro de simetría. La forma general es {hk - il} y la notación Hermann - Mauguin es -3. Esta forma es engañosa porque a menos que en otras formas estén presentes, su verdadera simetría no estará clara. El pinacoide {0001} y los prismas hexagonales pueden estar presentes. Dolomita e ilmenita son la mayoría de los minerales comúnes que cristalizan en esta clase. Ver la figura 6.26. La Pirámide trigonal tiene uno eje un eje ternario de rotación(3). Ver figura 6.27. Hay, sin embargo, 8 pirámides trigonales cuya forma general es {hk - il, cuatro arriba y cuatro abajo. Cada uno de éstos corresponde a 3 caras de la Dipirámide Dihexagonal (ya se discutió anteriormente). Además de esto, es posible que puede haber pirámides trigonales en la parte superior, independientes, de las pirámides abajo de. Sólo cuando Pirámides trigonales están en combinación entre si es cuando la combinación revela la verdadera simetría.

Aparece sólo un mineral, una especie rara llamada gratonita, que pertenece a esta clase no se ha estudiado suficientemente por los cristalógrafos.

Todos los cristales en el sistema Hexagonal se orientan por el extremo negativo del eje a3 (ver la figura 6.1 de nuevo) se considera que es 0 grados para propósitos de ploteo Esto es importante cuando se mira la distribución de las formas del romboedro y determinan si ellos son positivos o negativos.