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• Niko Hernandez Salinas

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DEFINICION DE FUNCION EXPONENCIAL. Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R. La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica (ver t36), por cuanto se cumple que:

Representación gráfica de varias funciones exponenciales.

Función exponencial, según el valor de la base.

Propiedades de las funciones exponenciales Para toda función exponencial de la forma f(x) = ax, se cumplen las siguientes propiedades generales: 

La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1:

f (0) = a0 = 1.



La función exponencial de 1 es siempre igual a la base:

f (1) = a1 = a. 

La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado.

f (x + x?) = ax+x? = ax × ax? = f (x) × f (x?). 

La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida por la función del sustraendo:

f (x - x?) = ax-x? = ax/ax? = f (x)/f (x?).

La función ex Un caso particularmente interesante de función exponencial es f (x) = ex. El número e, de valor 2,7182818285..., se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión: (1 + 1/n)n Cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base elegida para los logaritmos naturales o neperianos. La función ex presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su interés en las descripciones físicas y matemáticas. Una de ellas es que coincide con su propia derivada Ecuaciones exponenciales Se llama ecuación exponencial a aquella en la que la incógnita aparece como exponente. Un ejemplo de ecuación exponencial sería ax = b. Para resolver estas ecuaciones se suelen utilizar dos métodos alternativos: 

Igualación de la base: consiste en aplicar las propiedades de las potencias para lograr que en los dos miembros de la ecuación aparezca una misma base elevada a distintos exponentes:

Ax = Ay. En tales condiciones, la resolución de la ecuación proseguiría a partir de la igualdad x = y. 

Cambio de variable: consiste en sustituir todas las potencias que figuran en la ecuación por potencias de una nueva variable, convirtiendo la ecuación original en otra más fácil de resolver.

22x - 3 × 2x - 4 = 0

t2 - 3t - 4 = 0

Luego se ?deshace? el cambio de variable. Por otra parte, un sistema de ecuaciones se denomina exponencial cuando en alguna de sus ecuaciones la incógnita aparece como exponente. Para la resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales se aplican también, según convenga, los métodos de igualación de la base y de cambio de variable.

Leyes de los exponentes Las leyes de los exponentes son las que se aplican a aquel número que indica cuántas veces debe ser multiplicado por sí mismo un número base. Los exponentes también son conocidos como potencias. La potenciación es una operación matemática formada por una base (a), el exponente (m) y la potencia (b), que es el resultado de la operación. Los exponentes son usados generalmente cuando son utilizadas cantidades muy grandes, debido a que estos no son más que abreviaciones que representan la multiplicación de ese mismo número una cantidad determinada de veces. Los exponentes pueden ser tanto positivos como negativos.

Explicación de las leyes de los exponentes Como se dijo anteriormente, los exponentes son una forma abreviada que representa la multiplicación de números por sí mismos varias veces, donde el exponente solo se relaciona con el número de la izquierda. Por ejemplo: 23 = 2*2*2 = 8 En ese caso el número 2 es la base de la potencia, que será multiplicado 3 veces como lo indica el exponente, ubicado en la esquina superior derecha de la base. Existen diferentes formas de leer la expresión: 2 elevado a la 3 o también 2 elevado al cubo. Los exponentes también indican el número de veces que pueden ser divididos, y para diferenciar esta operación de la multiplicación el exponente lleva el signo menos (-) delante de sí (es negativo), lo que significa que el exponente está en el denominador de una fracción. Por ejemplo: 2– 4 = 1/ 2*2*2*2 = 1/16

Esto no debe confundirse con el caso en el que la base es negativa, ya que dependerá de si el exponente es par o impar para determinar si la potencia será positiva o negativa. Así se tiene que: – Si el exponente es par, la potencia será positiva. Por ejemplo: (-7)2 = -7 * -7 = 49. – Si el exponente es impar, la potencia será negativa. Por ejemplo: (–2)5 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32. Existe un caso especial en el cual si el exponente es igual a 0 se tiene que la potencia es igual a 1. También existe la posibilidad de que la base sea 0; en ese caso, dependiendo del exponente, la potencia será indeterminada o no. Para realizar operaciones matemáticas con los exponentes es necesario seguir varias reglas o normas que hacen más simple hallar la solución de esas operaciones.

Primera ley: potencia de exponente igual a 1 Cuando el exponente es 1, el resultado será el mismo valor de la base: a1 = a.

Ejemplos 91 = 9. 221 = 22. 8951 = 895.

Segunda ley: potencia de exponente igual a 0 Cuando el exponente es 0, si la base es distinta de cero, el resultado será :, a0 = 1.

Ejemplos 10 = 1. 3230=1. 10950 = 1.

Tercera ley: exponente negativo Como el exponte es negativo, el resultado será una fracción, donde la potencia será el denominador. Por ejemplo, si m es positivo, entonces am

=1/am.

Ejemplos – 3-1 = 1/ 3. – 6-2 = 1 / 62 = 1/36. – 8-3 = 1/ 83 = 1/512.

Cuarta ley: multiplicación de potencias con base igual Para multiplicar potencias donde las bases son iguales y diferentes de 0, la base se mantiene y los exponentes son sumados: am * an = am+n.

Ejemplos – 44* 43 = 44+3 = 47 – 81 * 84 = 81+4 = 85 – 22 * 29 = 22+9 = 211

Quinta ley: división de potencias con base igual Para dividir potencias en las cuales las bases son iguales y diferentes de 0, se mantiene la base y los exponentes se restan como sigue: am / an = am-n.

Ejemplos – 92 / 91 = 9

(2 – 1)

– 615 / 610 = 6

= 91.

(15 – 10)

– 4912 / 496 = 49

= 65.

(12 – 6)

= 496.

Sexta ley: multiplicación de potencias con base diferente En esta ley se tiene lo contrario a lo expresado en la cuarta; es decir, si se tienen bases diferentes pero con iguales exponentes, se multiplican las bases y se mantiene el exponente: am * bm = (a*b) m.

Ejemplos – 102 * 202 = (10

*

20)2 = 2002.

– 4511* 911 = (45*9)11 = 40511.

Otra forma de representar esta ley es cuando una multiplicación se encuentra elevada a una potencia. Así, el exponente va a pertenecer a cada uno de los términos: (a*b)m=am*bm.

Ejemplos – (5*8)4 = 54* 84 = 404. – (23 * 7)6 = 236* 76 = 1616.

Séptima ley: división de potencias con base diferente Si se tienen bases diferentes pero con iguales exponentes se dividen las bases y se mantiene el exponente: am / bm = (a / b)m.

Ejemplos – 303 / 23 = (30/2)3 = 153. – 4404 / 804 = (440/80)4 = 5,54. De igual forma, cuando una división se encuentra elevada a una potencia, el exponente va a pertenecer en cada uno de los términos: (a / b) m = am /bm.

Ejemplos – (8/4)8 = 88 / 48 = 28. – (25/5)2 = 252 / 52 = 52. Existe el caso en que el exponente es negativo. Entonces, para que sea positivo el valor del numerador se invierte con el del denominador, de la siguiente manera:

– (a / b)-n = (b / a )n = bn / an. – (4/5)

-9

= ( 5 / 4) 9 = 59 / 44.

Octava ley: potencia de una potencia Cuando se tiene una potencia que esta elevada a otra potencia —es decir, dos exponentes a la vez—, la base se mantiene y los exponentes se multiplican: (am)n=am*n.

Ejemplos – (83)2 = 8

(3*2)

– (139)3 = 13

= 86.

(9*3)

= 1327.

– (23810)12 = 238(10 * 12) = 238120.

Novena ley: exponente fraccionario Si la potencia tiene como exponente una fracción, esta es resuelta al transformarla en una raíz n–ésima, donde el numerador se mantiene como exponente y el denominador representa el índice de la raíz:



ASINTOTAS En matemática, se le llama asíntota de la gráfica de una función a una recta a la que se aproxima continuamente la gráfica de tal función; es decir que la distancia entre las dos tiende a ser cero (0), a medida que se extienden indefinidamente. O que ambas presentan un comportamiento asintótico. Generalmente, las funciones racionales tienen comportamiento asintótico.

Las asíntotas ayudan a la representación de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican su comportamiento a largo plazo. En tanto que líneas rectas, la ecuación de una asíntota es simplemente la de una recta, y su expresión analítica dependerá de la elección del sistema de referencias (y = m•x + b en coordenadas cartesianas). Si bien suelen representarse en un mismo sistema de coordenadas, las asíntotas no forman parte de la expresión analítica de la función, por lo que -en numerosos ejemplos- no están incluidas explícitamente dentro de la gráfica, o bien se las indica con una línea punteada. En muchos casos, las asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas, es decir que sus ecuaciones en coordenadas cartesianas serán: x = 0, y = 0. Se distinguen tres tipos:

-Asíntotas verticales: rectas perpendiculares al eje de las abscisas, de ecuación x = constante. -Asíntotas horizontales: rectas perpendiculares al eje de las ordenadas, de ecuación y = constante. -Asíntotas oblicuas: si no son paralelas o perpendiculares a los ejes, de ecuación y = m•x + b.

Las ramas de la función tienen asíntotas.

Los ejes son las asíntotas.

Las ramas de la función tienen asíntotas.

Propiedades de funciones exponenciales Las funciones exponenciales son las funciones que tienen la variable independiente x en el exponente, es decir, son de la forma:

Las características generales de las funciones exponenciales son: 1) El dominio de una función exponencial es R. 2) Su recorrido es (0, +∞) . 3) Son funciones continuas. 4) Como a0 = 1 , la función siempre pasa por el punto (0, 1). La función corta el eje Y en el punto (0, 1) y no corta el eje X. 5) Como a1 = a , la función siempre pasa por el punto (1, a). 6) Si a > 1 la función es creciente. Si 0 < a < 1 la función es decreciente. 7) Son siempre cóncavas. 8) El eje X es una asíntota horizontal. 

Si a > 1 : Al elevar un número mayor que 1 a cantidades negativas cada vez más grandes, el valor de la potencia se acerca a cero, por tanto : Cuando x → - ∞ , entonces a x → 0

Si 0 < a < 1 : Ocurre lo contrario que en el caso anterior : Cuando x → + ∞ , encontes a x → 0

Ejemplo de funciones exponenciales:

1) Dominio: El dominio de las funciones exponenciales es R. Dom(f) = Dom(g) = R . 2) Recorrido: El recorrido de las funciones exponenciales es (0, + ∞) . Im(f) = Im(g) = (0, + ∞) . 3) Puntos de corte: f(0) = 20 = 1 , el punto de corte con el eje Y es (0, 1). g(0) = - 20 = 1 , el punto de corte con el eje Y es (0, 1). La funciones f(x) y g(x) no cortan al eje X.

4) Crecimiento y decrecimiento: La función f(x) es creciente ya que a > 1 . La función g(x) es decreciente ya que 0 < a < 1 . 5) Concavidad y convexidad: Las funciones f(x) y g(x) son cóncavas. 6) Asíntotas: Las funciones f(x) y g(x) tienen una asíntota en el eje X.

7) Tabla de valores:

Resumen de las propiedades de la función exponencial ex

1

La función exponencial es la inversa de la logarítmica: y = ex ⇔ x = Ln y

La función y = ex tiene por dominio R y por recorrido y > 0

2

3

La función dominio.

4

y = ex es continua, creciente e inyectiva en todo su

La función y = ex es cóncava hacia arriba en todo su dominio.

5

Ejemplo de funciones exponenciales: f(x) = ex 1) Dominio: El dominio de las funciones exponenciales es R. Dom(f) = R .

2) Recorrido: El recorrido de las funciones exponenciales es (0, + ∞) . Im(f) = (0, + ∞) .

3) Puntos de corte: f(0) = e0 = 1 , el punto de corte con el eje Y es (0, 1). La función f(x) no corta al eje X. 4) Crecimiento y decrecimiento: La función f(x) es creciente ya que e > 1 .

5) Concavidad y convexidad: Las función f(x) es cóncava. 6) Asíntotas: Las función f(x) tiene una asíntota en el eje X. 7) Tabla de valores:

EL NUMERO e ¿Cuá es el valor del número e? Al igual que π, el número e es un número irracional del cual no podemos conocer su valor exacto porque tiene infinitas cifras decimales. Casi todo el mundo acepta que fue Euler el primero en probar que e es irracional. Hasta 10 cifras decimales el valor de e es 2’7182818284… e es un número real poco llamativo; sus cifras no se repiten de una forma periódica, es decir, no siguen ninguna pauta. ¿Por qué este número tan peculiar es más importante que, por ejemplo, otros números decimales como 2’1569 o 3’3267 Cómo calcular el número e Tu mismo puedes hacerlo. Sólo tienes que disfrazar los números que le preceden de la siguiente fórmula:

El antepasado más lejano de nuestro protagonista es el número 2, que se obtiene sustituyendo n por 1 en la fórmula anterior y operando:

Vamos a acercarnos un poco más. Sigue el patrón. Fíjate que el denominador de la fracción coincide con el exponente de la potencia.

Los matemáticos siempre dispuestos a llevar las cosas al límite, definen a e así:

Con la ayuda de una calculadora puedes aproximarte al número e. Para n=1.000.000 obtendrás que e=2’71828 … En contra de lo que podría parecer, por mucho que avances en esta sucesión, todos los números se estabilizan en torno a un número menor que 2’72 Puedes continuar indefinidamente aumentando el denominador y el exponente. El límite de la sucesión sería un número que tiene infinitas cifras, nuestro número e. Por que se llama numero e El ilustre Leonhard Euler, el matemático más prolífico de todos los tiempos, usa en 1727 la notación e en relación con la teoría de los logaritmos. La coincidencia entre la primera letra de su apellido y el nombre de nuestro número es mera casualidad. Es probable que e ni siquiera venga de “exponencial” sino que sea simplemente la vocal que sigue de la a, la cual Euler ya estaba usando en su trabajo. En 1748 Euler llegó a calcular su valor con 23 decimales utilizando series infinitas como esta: