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14 de Diciembre de 2014 12:00

Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior Francisco Salazar1 * William Pumasunta2 * Abstract ´ ´ de ecuaciones diferenciales de En este trabajo principalmente se estudian distintos metodos para la resolucion orden superior especialmente las de orden 2, ayudandonos de los temas aprendidos en unidades anteriores y la teor´ıa impartida en el aula de clase. Keywords 1 Departamento de Ciencias Exactas, Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE, Sangolqu´ı, Ecuador * [email protected] * @hotmail.com

´ 1. Introduccon 1.1 Tipos especiales de ecuaciones lineales y no lineales de segundo orden resueltas mediante reduccion a un sistema de dos ecuaciones de primer orden Una ecuaci´on diferencial de segundo orden es una expresi´on matem´atica en la que se relaciona una funci´on con sus derivadas primera y segunda. Es decir, una expresi´on del tipo F(x, y, y0 , y00 ) = 0 La ecuaci´on anterior se dice escrita en forma normal cuando tenemos: y00 = f (x, y, y0 )

´ de orden 1.2 Reduccion Este m´etodo consiste en reducir el problema de resolver una ecuaci´on diferencial de segundo orden a un problema de resolver una o m´as ecuaciones diferenciales de primer orden. Casos a considerar. 1.3 Ecuaciones no lineales de segundo orden donde x e y’ no aparecen Este tipo de ecuaciones se pueden representar asi: y00 = f (y) Este tipo de ecuaci´on diferencial se puede reducir utilizando la siguiente sustituci´on: dy dx

= u,

du dx

= f (y)

1.4 Ecuaciones no lineales de segundo orden donde y no aparece Este tipo de ecuaciones se pueden representar asi: y00 = f (x, y0 ) Este tipo de ecuaci´on diferencial se puede reducir utilizando la siguiente sustituci´on: dy dx

= u,

du dx

= xu2

Luego de esta sustituci´on resolvemos la ecuaci´on lineal de primer orden que resulta.

Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior — 2/??

1.5 Ecuaciones no lineales de segundo orden donde x no aparece Este tipo de ecuaciones se pueden representar asi: y00 = f (y, y0 ) Este tipo de ecuaci´on diferencial se puede reducir utilizando la siguiente sustituci´on: y00

u = y0 = du dy u Luego de esto resolvemos la ecuaci´on no lineal de primer grado resultante.

2. Problemas de aplicaciones Problema 2.1 y00 + [ f (x) − 1]y0 − f (x)y = 0 ; y1 = ex Soluci´on y2 = ex

R eR −[ f (x)−1]dx dx e2x R

y2 = ex e−x− R

f (x)dx dx R

y = C1ex +C2ex e−x− R

f (x)dx dx

Problema 2.2 x2 y00 − xy0 + y = x ; y1 = x Soluci´on x dx R 2 y2 = x e xx2 = x ln | x | R

y = C1x +C2x ln | x | +y p   x x ln | x | w= =x 1 1 + ln | x |   0 x ln | x | w1 = = − ln | x | x−1 1 + ln | x |   x 0 w2 = =1 1 x−1 u1 =

R w1 w

dx =

R − ln|x| x

dx =

u2 =

R 1 x dx = ln(x)

yp =

−2ln(x)2 x + xln(x)2 2

−ln(x)2 2

= 2x ln(x)2

y = C1x +C2xln(x) + 2x ln(x)2 Problema 2.3 x2 y00 + xy0 − 4y = x3 ; y1 = x2

Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior — 3/??

Soluci´on y2 = x2

1 x x4

R

dx =

−x−2 4

y = C1x2 +C2x−2 + y p  2  x x−2 w= = −4x−1 2x −2x−3   0 x−2 w1 = = −x−1 x −2x−3  2  x 0 w2 = = x3 2x x −1 x −4 x

dx = 14 x

u1 =

R

u2 =

R x3 x5 −4 dx = − 20

yp =

1 3 1 3 4 x − 20 x

x

= 15 x3

y = C1x2 +C2x−2 + 51 x3 Problema 2.4 2x2 y00 + 3xy0 − y =

1 x

Soluci´on dx R e −3x 2x2 y2 = x dx = − 23 x−1 x R

1 2

1

y = C1x 2 +C2x−1 + y p " # 1 3 x2 x−1 w = 1 −1 = − 23 x− 2 −2 2 −x 2x u1 =

R 2 −3 1 2 dx = − 4 x− 2 3x 9

u2 =

R

5

x− 2 3

− 23 x− 2

dx = 23 ln(x)

1

y = C1x 2 +C2x−1 + 13 x−1 ln(x) Problema 2.5
y00 + x2 − 1 y0 − x2 y = 0 ; y1 = ex Soluci´oR n x y2 = ex

R e

− 2 dx x e2x

x3

dx = ex e− 3 −x dx R

x3

y = C1ex +C2ex e−x− 3 dx R

Problema 2.6

Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior — 4/??

x2 y00 + xy0 − y = 1 ; y1 = x Soluci´on y2 = x

R x−1 dx = − 1 x2

2x

y = C1x +C2x−1 + y p   x x−1 w= = −2x−1 1 −x−2   0 x−1 w1 = = −x−3 x−2 −x−2   x 0 w2 = = x−1 1 x−2 1 1 x − 2x x = −1 y p = − 2x

y = C1x +C2x−1 − 1

Problema 2.7 x2 y00 − xy0 + y = x ; y1 = x Soluci´on y2 = x

R e

R x dx

x2

= x ln | x |

x2

y = C1x +C2x ln | x | +y p   x x ln | x | w= =x 1 1 + ln | x |   0 x ln | x | w1 = = − ln | x | x−1 1 + ln | x |   x 0 w2 = =1 1 x−1 R − ln|x|

u1 =

R w1

u2 =

R 1 x dx = ln(x)

yp =

−2ln(x)2 x + xln(x)2 2

w

dx =

x

dx =

−ln(x)2 2

= 2x ln(x)2

y = C1x +C2xln(x) + 2x ln(x)2 Problema 2.8 y00 = 2yy0 Soluci´on y0 = u ; y00 = du = 2ydy

du dy u

Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior — 5/??

2

u = 2 y2 +C1 dy dx

= y2 +C1

dy y2 +C1

= x +C2 y
C1 = x +C2

1 C1

arctan

y C1

= tan (C1x +C1C2)

y = C1 tan [C1 (x +C2)]

Problema 2.9 yy00 = (y0 )2 − 1 Soluci´on 2 uy du dy = u − 1 u du u2 −1 1 2 ln

=

dy y


u2 − 1 = ln (y) +C1

p u = ± y2C1 + 1 dy y2C1+1

√

x +C2 =

R

x +C2 =

1 C1

sinh−1

y 1 C1

yC1 = sinh (xC1 +C2)

Problema 2.10 xy00 − y0 = x2 Soluci´on u0 − ux = x u = w (x) u (x) w=e v=

R

− 1x dx

=x

R x x dx = x +C1

u = x2 + xC1 y=

x3 3

+C1x2 +C2

Problema 2.11 r¨ = − rk2

Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior — 6/??

Soluci´on y00 = − yk2 dy dx

= u ; u0 = − yk2 = f (y)

2uu0 = 2u f (y) u2 = −2k

R dy y2

p u = ± 2ky−1 +C1 √ dy +C2 2ky−1 +C1 Rq r t= 2k+rC1 dr +C2 x=

R

Problema 2.12 y00 = 2ky3 Soluci´on dy dx

= u ; u0 = 2ky3 = f (y)

2uu0 = 4uky3 u2 = ky4 +C1 dy dx

p = ± ky4 +C1

x=

R

dy ky4 +C1

√

+C2

Problema 2.13 r¨ =

h2 r3

− rk2

Soluci´ on 2 u0 = h y−ky 3 hR 2 i R u2 = 2 hy3 dy − yk2 dy q 2 u = − hy2 + 2k y +C1 x= t

dy

R r

C1y2 +2ky−h2 y2

1 = C2 ± C1

√ C1r2 + 2kr − h2 ±

Problema 2.14 yy00 − 3 (y0 )2 = 0 Soluci´on

+C2 k

  q k C1r2 −2kr−h2 3 ln r + C1 + C1

C1 2

Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior — 7/??

2 yu du dy − 3u = 0

u du = 3y dy u2 ln (u) = 3ln (y) +C1 u = C1y3 R dy C1y3

R

= dx

y−2 = C1x +C2 Problema 2.15
1 + x2 y00 + 2x (y0 + 1) = 0 Soluci´on 2 2x u0 + 1+x 2 u = − 1+x2 u = w (x) v (x) R

v (x) = e w (x) =

− 2x 2 dx 1+x

2x R − 1+x 2 1 x2 +1


−1 = x2 + 1

dx = −x2 +C1

2

u = − x2x+1 + x2C1 +1 y = arctan (x)C1 − x +C2 Problema 2.16 y00 = y0 ey ; y (3) = 0 ; y0 (3) = 1 Soluci´on y u du dy = ue

ln (u) = ln (C1ey ) dy y dx C1e 1 y − C1 e = x +C2

y = ln (−C1x −C2)   C2 = −1 − 3C1 −2C1 −C2 = 0 C1 = −1 ; C2 = −4 y = ln (x − 4) Problema 2.17

Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior — 8/??

2y00 = ey ; y (0) = 0 ; y0 (0) = 1 Soluci´on 2u0 = ey u= 1 C1

e

√ C1ey

R −y e 2 dy = x +C2

−y 2

=

C1x+C2 2

C2 = 2 ; C1 = −1 y

e2 =

2 −x+2

Problema 2.18 xy00 − y0 = x2 Soluci´on u0 − 1x u = x u = x2 +C1x y=

x3 3

2

+C1 x2 +C2

0 = 31 +C1 +C2 C1 = −C2 − 13 y=

x3 3

− x2 + 23

3. Conclusiones References [1]

M. Tenenbaum - H. Pollard, Ordinary Differential Equations, Harper - Row, 1985

[2]

J. V. Becerril, Ecuaciones Diferenciales T´ecnicas de soluci´on y aplicaciones. Primera edici´on,Universidad Aut´onoma Metropolitana Unidad Azcapotzalco, 2004