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ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL MAT-103 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS

SEGUNDO PARCIAL AUX.DOC. MENDOZA QUISPE LUIS ALFREDO GRUPO :B

a  b  a 1. Determine si el conjunto de matrices de la forma  , con la b  a  b adición matricial y la multiplicación por un escalar es un espacio vectorial Resp. Es un Espacio Vectorial 2. Sea V un espacio Vectorial de matrices 2x2 sobre “R” y “W” consta de todas las matrices tal que A2  A Determine si W es un sub espacio de V Resp. W no es un Sub espacio de V 3. Analizar si los polinomios a0  a1 x  a2 x  a3 x  .......  an x para los que 2

3

n

a0  0 son sub espacios de P3 Resp. Es un sub espacio de P3 y el sub

 1  (a) BaseW U   0, 0, ,1  ; Dim  BaseW U   1 2   Resp.

 3 1    (b) BaseW U   , 2, 0, 0  ,  2, 0,1, 0  ,  1, 0, , 2   ; Dim  BaseW U   3 2     2 5. Para que valores de “ a ”el polinomio p  x  será una combinación lineal de u  x  , v  x  y w  x  Si: p  x   ax3  3x 2  3x  2 , u  x   3x3  3 ,

v  x   3x3  3 , w  x   7 x3  4 x

Resp. a 

81 20

1 INGENIERIA UMSA

(b)W  U

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4. Dados los sub espacios de R4 espacio Hallar una Base y Dimensión para: (a)W U

6. Escriba v  t   t 2  4t  3 como combinación lineal de p1  t   t 2  2t  5 ,

p2  t   2t 2  3t y p3  t   t  3 Resp. v  t   3 p1  t   2 p2  t   4 p3  t  7. Dado el espacio vectorial de los polinomios de grado 2º, determinar el valor de la constante “ k ” de modo que el conjunto “S” sea:

S   k  1 t 2  t  1, kt  2, 2t  k

(a)linealmente independiente (b)linealmente dependiente. Resp. (a) k  1, k  2  k  2 (b) k  1, k  2  k  2 1   8. Hallar el valor de " " para que M    pertenezca al subespacio 1 1   1  2 0 1     generado por: A   y B Resp.   3    1  1 2 2     9. Determinar “r” y “t” de modo que los vectores u   1, 2, 3,9  ; v   2, 2, 4,3 y w   3, 5, r , t  , sean linealmente independiente: Resp. r  8  t  10.

33 33 33 ,r  8t  ,r  8t  2 2 2

Hallar  de modo que el conjunto de vectores S  w1 , w2 , w3  se

linealmente independiente sus vectores como combinación lineal de w1  u1  u2  u3 V  u1 , u2 , u3  linealmente independiente. w2  u1   u2  3u3 w1  2u1  u2   u3

Resp.   R

11. Indique si el siguiente conjunto es base para P2 : 1  x  4 x 2 ,1  3x  2 x 2 ,1  3x  2 x 2 Resp. NO ES BASE 12. Hallar una base y dimensión del espacio solución del sistema forma por x  3 y  z  0, x  3 y  z  0 y x  3 y  z  0





BF  1, 2,3, 7  0,1,1,3 , DimBF  2; Bc 

14.

 2,3,1, 3

T

 0, 4, 2,1

T

, DimB  2 c

Dados los Sub Espacios S y T en el espacio Vectorial P2definido por:

S  ax 2  bx  c / a  3b  2c  0 y T  ax 2  bx  c / 3a  2b  c  0 se

pide hallar S T y demostrar que también es un Sub Espacio en P2 Resp. S  T ES UN Sub Espacio en P2

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la dimensión de las bases. Resp.

2 INGENIERIA UMSA

Resp. Base   7.  1.4  , Dim  Base   1 13. Encuentre bases para los espacios de filas y columnas generados por los vectores: u1   2, 0, 2, 2  , u 2   3, 4, 1, 9  , u 3  1, 2,3, 7  y u 4   3,1, 2, 0  , además

15. Hallar un vector x tal que los conjuntos de vectores de R3generen el mismo sub espacio vectorial:





S   3, 2, 1 ,  5,6,3 ,  8, 4, 4  y T  1,10,1 , x

Resp. x   0, 7,1 16.

En R3 se consideran los Sub Espacios: Hallar una Base y Dimensión para: U ,W ,U  W y U  W Resp.

BaseU  1, 0, 2  ,  0,1, 1 Dim  BaseU   2

Basew   2, 0,1 ,  2,1, 0  Dim  Basew   2

BaseU W  1, 0, 0  ,  1, 1, 0  ,  0, 0,1 Dim  BaseU W   3

BaseU W   2,1,0  Dim  BaseU W   1

17. Para los siguientes Sub Espacios, estudiar si son iguales y en caso de no serlo, determinar si uno esta incluido en el otro:

W1   x, y, z, t   R 4 / x  y  z  t  0  2 x  z  t  0  W2   2,3, 1, 2   R 4 Resp. (a)Si dos Sub Espacios son iguales las Dimensiones deben ser

iguales, en nuestro caso  Dim W1   Dim W2   W1  W2 (b) Para ver si esta incluido en el otro un elemento del conjunto debe satisfacer la condición del otro Sub Espacio,(no esta incluido) W1  W2 18.

Hallar una base para W1  W2 y la dimensión de W1  W2 si:

W1   x, y, z   R3 / 2 x  y  z  0 y W2   x, y, z   R3 / x  3 y  z  0  3 5   , Dim W2  W1   3  4 4 

Calcular Dim W1  W2   W3 W4   si

W1   x, y, z   R3 / 2 y  z  4 x , W2   x, y, z   R3 / 2x  2z  y W3   x, y, z   R3 / x  5 z  4 y y W4   x, y, z   R 3 / x  3 y  3z Resp. Dim W1  W2   W3  W4    2 20. Sean los Sub Espacios en R4 S  generado por el conjunto

 x, y, z, u  / 2 x  y  2 z  u  0 y T

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19.

3 INGENIERIA UMSA

Resp. Base W2  W1   1, ,

1, 1, 1, 1 ,  1,1, 1, 1 , 1, 1, 3, 3 ,  2, 2, 4, 4  , se pide encontrar una base y dimensión para (a) S  T , (b) S  T Resp. (a) BaseS T  (b) BaseS T  21.

1, 1,1,1 Dim  Base   1 S T

 2, 1, 0, 2 ,  0,1, 0, 1 ,  0, 0, 2,1 ,  0, 0,1,1





Para el producto interior A; B  Tr B A Hallar: T

Dim  BaseS T   4 El ángulo entre

 1 1   1 1  ;  Resp.   30º  1 1  0 1 22.

En el Espacio Vectorial de los polinomios de grado 2 se define el Sub





Espacio L  at  bt  c / 3a  2b  2c  0 , se pide encontrar un base 2

ortonormal para el mencionado Sub Espacio. Utilice el producto interior definido por:

p  t  , q  t   p  t  q  t   p 1 q 1  p  1 , q  1

1  1  2t 2  3t  , 6t 2  30t  39    7371  26 

Resp. BaseL   23.

2  3 a  c

Hallar una base y dimensión para el Sub Espacio ortogonal a las matrices

1  1 1  ;  Utilice el producto interior definido por: 2   2 1 b e f  ;   ae  2bf  dh d g h

 2 7   1 2   ;    Dim  B   2  3 0   0 3   U ;V  u1v1  2u2v2  u3v3 , Dado el producto interior definido en R3 por: Resp. B  

24.

donde U   u1 , u2 , u3  , V   v1 , v2 , v3  ,se pide ortonormalizar la base para el Sub Espacio en R3 generado por el conjunto de vectores: 

1  1   1,0, 4  ;  12,17,3 731  17 

4 INGENIERIA UMSA

1,0, 4 ;  0,1,3  B

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Resp. B 

 1, 2, 2 , 1, 1,1 ,  0,1,3