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• Luis Castillo Adones

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El Arte de Mantener

Rodrigo Pascual J. [email protected] Dpto. Ing. Mec´anica, U. de Chile. Beauchef 850, Santiago, Chile. Versi´on 2.4, octubre 2003

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Apuntes del Curso Mantenci´ on de Maquinaria, ME57A Esta es una versi´ on preliminar, en constante evoluci´ on, y con numerosas faltas de ortograf´ıa y otros errores no forzados. Agradezco sus aportes. Se encuentran disponibles en http://www.cec.uchile.cl/ rpascual/me57a 2

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´Indice general I

Bases Generales y an´ alisis de fallas

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1. El mantenimiento dentro de la empresa 1.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Una funci´ on de apoyo . . . . . . . . . 1.2. Tipos de intervenci´ on de mantenci´on . . . . . 1.3. Clases de actividades . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Gesti´ on de largo plazo . . . . . . . . . . . . . 1.5. Gesti´ on de mediano plazo . . . . . . . . . . . 1.5.1. Programaci´ on de intervenciones . . . . 1.5.2. Control presupuestario . . . . . . . . . 1.6. Ejecuci´ on de intervenciones . . . . . . . . . . 1.6.1. Gesti´ on del personal de intervenci´on . 1.7. Gesti´ on de repuestos . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1. Compra de repuestos . . . . . . . . . . 1.7.2. Gesti´ on de bodega . . . . . . . . . . . 1.8. Ponderaci´ on de las actividades de mantenci´on 1.9. Estrategias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1. Mantenci´ on Pre-falla . . . . . . . . . . 1.9.2. Mantenci´ on Preventiva . . . . . . . . . 1.9.3. Mantenci´ on predictiva . . . . . . . . . 1.9.4. Mantenci´ on oportunista . . . . . . . . 1.10. Publicaciones especializadas . . . . . . . . . .

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2. Estructura de costos 2.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Costo global . . . . . . . . . . . . 2.2. Costo de intervenci´ on . . . . . . . . . . . 2.2.1. Costos por unidad de tiempo . . . 2.2.2. Costo de repuestos . . . . . . . . . 2.3. Costo de fallas . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Evaluaci´ on del costo de falla . . . 2.4. Costo de almacenamiento . . . . . . . . . 2.5. Amortizaci´ on de sobre-inversiones . . . . . 2.6. Valores referenciales . . . . . . . . . . . . 2.6.1. Para el costo de intervenci´on . . . 2.6.2. Para el costo de falla . . . . . . . . 2.6.3. Para el costo de almacenamiento . 2.7. Costos referenciales en plantas de proceso

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´INDICE GENERAL

iv

3. Costo de fallas de grupos de equipos 3.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. An´alisis del costo de falla . . . . . . . . 3.3. Categor´ıas de costos de falla . . . . . . . 3.3.1. Impacto sobre recursos asociados 3.3.2. Costo financiero de los equipos . 3.3.3. Impacto sobre el grupo . . . . . 3.3.4. Impacto de m´etodos alternativos 3.4. Estimaci´ on del costo de fallas . . . . . . 3.4.1. Impacto sobre recursos asociados 3.4.2. Costo financiero de los equipos . 3.4.3. Impacto en el nivel del servicio . 3.4.4. Impacto de m´etodos alternativos 3.5. Estudio de caso . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Formulaci´ on del modelo . . . . . 3.5.2. Simulaci´ on . . . . . . . . . . . . 3.5.3. Ejemplo num´erico . . . . . . . . 3.6. Comentarios finales . . . . . . . . . . . .

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4. An´ alisis de modos de falla 4.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Fallas primarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Fallas secundarias . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Sistemas reparables y no reparables . . . . . . . . . . . 4.3. An´alisis de modos de falla, efectos y criticidad . . . . . 4.4. Etapas del an´ alisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Establecer el alcance del an´ alisis . . . . . . . . 4.4.2. Recopilaci´ on de informaci´ on . . . . . . . . . . . 4.4.3. Preparar la lista de componentes . . . . . . . . 4.4.4. Completando las fichas . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Usos del FMECA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Estudio de caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Descripci´ on de la compa˜ nia . . . . . . . . . . . 4.6.2. Diagn´ ostico inicial del mantenimiento . . . . . 4.6.3. Datos existentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.4. An´ alisis de modos de falla, efectos y criticidad 4.7. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´ 5. Arboles de falla 5.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Construcci´ on del ´ arbol . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Reglas para construir un ´ arbol de falla . . . . . . 5.4. Evaluaci´ on del ´ arbol . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2. An´ alisis cualitativo . . . . . . . . . . . . . 5.4.3. An´ alisis cuantitativo . . . . . . . . . . . . 5.5. Dependencia entre eventos terminales . . . . . . 5.5.1. A depende de B . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2. A y B mutuamente exclusivas . . . . . . . 5.5.3. Dependencias en sistemas m´ as complejos 5.5.4. A y B con correlaci´ on perfecta . . . . . . 5.6. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1. Simplificaci´ on del ´ arbol . . . . . . . . . . 5.6.2. Sistema de refrigeraci´on . . . . . . . . . . 5.7. An´alisis de importancia . . . . . . . . . . . . . .

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´INDICE GENERAL

v

5.7.1. Medidas cuantitativas de importancia 5.7.2. Vesely-Fussell para conjuntos m´ınimos 5.7.3. Vesely-Fussell para componentes . . . 5.8. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . .

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6. Otras t´ ecnicas de an´ alisis de fallas 6.1. An´ alisis de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 6.2. Arboles de mantenimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Estudios de correlaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83 83 85 85

II

91

Modelos de confiabilidad

7. Confiabilidad y costos, una introducci´ on 7.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Modelos de programaci´on lineal y no lineal 7.3. Modelos de Markov . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . .

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8. Conceptos asociados al an´ alisis de confiabilidad 8.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Confiabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Distribuci´ on acumulada de fallas . . . . . . . . . . . 8.4. Funci´ on distribuci´ on de fallas . . . . . . . . . . . . . 8.5. Vida media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6. Tasa de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7. Disponibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8. Tiempo medio entre fallas . . . . . . . . . . . . . . . 8.9. Mantenibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9.1. Tiempo para detecci´on . . . . . . . . . . . . . 8.10. MTBF y MTTF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.11. Tasa de reparaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.12. Efecto de las condiciones ambientales y de operaci´on

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9. Leyes estad´ısticas para an´ alisis 9.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . 9.2. Distribuci´ on de Poisson . . . 9.3. Distribuci´ on Gaussiana . . . . 9.4. Distribuci´ on exponencial . . . 9.5. Distribuci´ on de Weibull . . .

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confiabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.Modelos de confiabilidad 10.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Ejemplos de uso del an´alisis de confiabilidad . 10.3. Distribuci´ on exponencial . . . . . . . . . . . . 10.4. Modelo de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.1. Estimaci´ on de par´ ametros de Weibull 10.4.2. Uso del modelo de Weibull . . . . . . 10.5. Verificaci´ on de modelos . . . . . . . . . . . . 10.5.1. Test χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.2. Test de Kolmogorov-Smirnov (KS) . . 10.6. Otros modelos de confiabilidad . . . . . . . . 10.6.1. Modelo normal . . . . . . . . . . . . . 10.6.2. Modelo log-normal . . . . . . . . . . . 10.6.3. Desgaste mec´ anico, λ(t) = at + b . . .

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´INDICE GENERAL

vi

10.6.4. Tasa de falla definida por tramos . . . . . . . . . . 10.6.5. Modelo de Dhillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.6. M´etodos gr´ aficos de estimaci´on y datos censurados 10.6.7. Otros ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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11.Modelos f´ısicos de confiabilidad 11.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Modelos covariables . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1. Modelos de fallas proporcionales . . . . 11.2.2. Modelos de localizaci´ on-escala . . . . . . 11.3. Modelos est´ aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1. Carga aleatoria y Resistencia constante 11.3.2. Carga constante y resistencia aleatoria . 11.3.3. Carga aleatoria y resistencia aleatoria . 11.4. Modelos din´ amicos . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.1. Cargas peri´ odicas . . . . . . . . . . . . . 11.4.2. Cargas aleatorias . . . . . . . . . . . . . 11.5. Modelos f´ısicos de falla . . . . . . . . . . . . . . 11.6. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . .

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149 149 149 149 152 152 153 153 153 155 156 156 158 160

12.Modelos no param´ etricos de confiabilidad 12.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Clasificaci´ on de los datos . . . . . . . . . . 12.3. M´etodos no param´etricos . . . . . . . . . 12.3.1. Datos completos no agrupados . . 12.3.2. Datos completos y agrupados . . . 12.3.3. Datos censurados no agrupados . . 12.3.4. Datos censurados y agrupados . . 12.4. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . .

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163 163 163 165 165 167 168 172 174

13.Estimaci´ on con m´ axima similitud 13.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Estimaci´ on de m´ axima similitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.1. Distribuci´ on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.2. Distribuci´ on de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.3. Distribuciones normales y lognormales . . . . . . . . . . . . . 13.3. Estimaci´ on de m´ axima similitud con datos censurados multiplemente 13.3.1. Distribuci´ on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.2. Distribuci´ on de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4. Estimaci´ on del par´ ametro de localizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . 13.5. Intervalos de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.1. Distribuci´ on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.2. Distribuci´ on exponencial de 2 par´ametros . . . . . . . . . . . 13.5.3. Distribuci´ on de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6. Estimaci´ on de par´ ametros para modelos covariables . . . . . . . . . . 13.7. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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177 177 178 179 179 180 180 181 181 182 183 183 184 185 185 188

III

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Modelos de Costos

14.Selecci´ on de estrategias de mantenimiento 14.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2. Estimaci´ on de costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.1. Mantenimiento correctivos vs preventivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191 193 193 193 193

´INDICE GENERAL

14.2.2. Mantenimiento sintom´atico . . . . 14.3. Selecci´ on de estrategia de mantenimiento 14.4. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.1. El componente . . . . . . . . . . . 14.4.2. Selecci´ on del tipo de mantenci´on . 14.5. Mejoras al modelo . . . . . . . . . . . . . 14.5.1. Considerando correcci´on por costos 14.6. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . .

vii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de intervenci´on . . . . . . . . .

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195 196 196 197 198 200 200 200

15.Inspecciones y tasa de fallas 15.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2. Costo global m´ınimo si hay detenci´on del equipo . . . . . . . . . . . 15.2.1. Modelo con tasa de fallas exponencial . . . . . . . . . . . . . 15.2.2. Modelo con tasa de fallas de Weibull . . . . . . . . . . . . . . 15.3. Costo global m´ınimo sin detenci´on de equipo . . . . . . . . . . . . . 15.4. Costo global m´ınimo bajo condiciones estacionales . . . . . . . . . . 15.5. Costo global m´ınimo considerando expl´ıcitamente ci y cf preventivos 15.6. Disponibilidad maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.7. Disponibilidad m´ axima para equipos de emergencia . . . . . . . . . . 15.8. Equipos cuya condici´ on solo es determinada tras una inspecci´on . . . 15.8.1. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.9. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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205 205 205 205 210 210 212 212 214 215 218 221 223

16.Inspecciones y evoluci´ on de defectos 16.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2. Modelo de evoluci´ on de defectos . . . . . . . . . . . . . 16.2.1. Formulaci´ on del modelo de evoluci´on de defectos 16.2.2. Estimaci´ on de par´ ametros . . . . . . . . . . . . . 16.3. Estudio de caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.1. Modelamiento de las inspecciones . . . . . . . . . 16.3.2. Estimaci´ on de la tasa de arribo de defectos . . . 16.3.3. Relajaci´ on de hip´ otesis . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.4. Modelo de Costos . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.5. Repetici´ on de resultados . . . . . . . . . . . . . . 16.4. Comparaci´ on con m´etodo de capitulo anterior . . . . . . 16.5. Modelo con inspecciones perfectas . . . . . . . . . . . . 16.5.1. Modelo de costo e indicadores . . . . . . . . . . . 16.5.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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227 227 227 229 230 231 231 231 234 235 237 238 241 241 242 245

17.Agrupamiento estacionario de intervenciones preventivas 17.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2. Formulaci´ on del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3. Estrategias de agrupamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.1. Agrupamiento indirecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.2. Agrupamiento directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.3. Agrupamiento indirecto con intervalos b´asicos multiples 17.4. Modelos del deterioro Mi (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5. Agrupamiento directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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249 249 250 251 251 252 252 253 254 257

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´INDICE GENERAL

viii

18.Reemplazo de equipos 18.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2. Reemplazo sin considerar tasa de descuento . . . . 18.3. Reemplazo considerando tasa de descuento . . . . 18.4. Modelos predictivos (sin inflaci´ on) . . . . . . . . . 18.4.1. Depreciaci´ on lineal y costo lineal . . . . . . 18.4.2. Depreciaci´ on exponencial y costo lineal . . 18.4.3. Depreciaci´ on exponencial, costo exponencial 18.5. Modelo considerando tasa de descuento . . . . . . 18.6. Programaci´ on din´ amica . . . . . . . . . . . . . . . 18.6.1. Reemplazo de equipos . . . . . . . . . . . . 18.6.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.7. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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261 261 261 261 263 264 264 264 266 267 267 268 272

19.Overhaul/reemplazo con programaci´ on din´ amica 19.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2. Overhaul ´ optimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.1. Descripci´ on del modelo . . . . . . . . . . . 19.2.2. Ejemplo num´erico . . . . . . . . . . . . . . 19.3. Costos limites para overhauls . . . . . . . . . . . . 19.3.1. Descripci´ on del modelo . . . . . . . . . . . 19.3.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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275 275 275 275 276 280 281 283 287

20.Overhaul/reemplazo con programaci´ on no lineal 20.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2. Overhaul ´ optimo tasas de fallas con crecimiento exponencial 20.2.1. Descripci´ on del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.2. Caso especial: p = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.3. Ejemplo num´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.4. Mejoras al modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3. Overhaul ´ optimo tasas de fallas con distribuci´on Weibull . . 20.3.1. Casos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3.2. Caso especial, p = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3.3. Ejemplo num´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4. Overhaul ´ optimo considerando tasa de descuento . . . . . . 20.4.1. Tasa de fallas con crecimiento exponencial . . . . . . 20.4.2. Ejemplo num´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.5. Comentarios Finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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291 291 291 291 295 295 296 299 299 300 300 301 302 302 306

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309 309 309 310 313 314 315 316 316 317 317

21.Periodos de Garant´ıa 21.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Garant´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Formulaci´ on del problema . . . . . . . . . . . . . 21.4. Modelo con distribuci´ on de Weibull . . . . . . . . 21.5. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6. Considerando 2 niveles de mantenci´on preventiva 21.6.1. Modelo de Weibull . . . . . . . . . . . . . 21.7. Modelo con costo por unidad de tiempo . . . . . 21.8. Proveedor paga solo costos de intervenci´on . . . . 21.9. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´INDICE GENERAL

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22.Gesti´ on de repuestos 22.1. Minimizaci´ on del costo global sin considerar costos de falla . 22.1.1. Mejoras al modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Minimizaci´ on del costo global (sin costo de falla), con demora 22.2.1. Intervalo fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3. Minimizaci´ on del costo global considerando el costo de falla . 22.4. Nivel ´optimo de alarma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4.1. Distribuci´ on de fallas de Poisson . . . . . . . . . . . . 22.5. Compras agrupadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.5.1. Formulaci´ on del problema . . . . . . . . . . . . . . . . 22.6. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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321 321 323 324 327 327 329 329 333 334 335

23.Redundancia y confiabilidad 23.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.1.1. Dependencia de la l´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.1.2. Estructura interna del equipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2. Conceptos probabil´ısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.1. Configuraci´ on en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.2. Configuraci´ on en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.3. Configuraci´ on mixta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.4. Redundancia pasiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.5. Redundancia activa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3. Configuraci´ on ´ optima con restricci´on de presupuesto . . . . . . . . . . . . . 23.3.1. Descripci´ on del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3.2. Ejemplo num´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.4. Configuraci´ on ´ optima con restricciones de presupuesto y seguridad . . . . . 23.4.1. Descripci´ on del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.4.2. Ejemplo num´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.5. Configuraci´ on ´ optima minimizando el costo para nivel de confiabilidad dado 23.5.1. Descripci´ on del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.5.2. Ejemplo num´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.6. Minimizaci´ on de costo global con restricci´on de confiabilidad y varias etapas 23.6.1. Modelo propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.7. Redundancia ´ optima a costo global m´ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.7.1. Descripci´ on del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.7.2. Ejemplo num´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.8. Redundancia activa con componentes sujetos a reparaci´on . . . . . . . . . . 23.8.1. Descripci´ on del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.8.2. Ejemplo num´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.9. Costo de falla y redundancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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24.Tama˜ no de Talleres y Cuadrillas 24.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2. Teor´ıa de colas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.1. Casos estudiados . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.2. Resultados de la teor´ıa de colas . . . . . . . . . 24.3. Numero ´ optimo de maquinas para demanda fluctuante 24.3.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . 24.3.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.4. Esfuerzo ´ optimo de una cuadrilla . . . . . . . . . . . . 24.4.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . 24.4.2. Descripci´ on del modelo . . . . . . . . . . . . . 24.4.3. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.5. Combinaci´ on optima de maquinas diferentes . . . . . . 24.5.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . .

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´INDICE GENERAL

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24.5.2. Descripci´ on del modelo 24.5.3. Ejemplo . . . . . . . . . 24.5.4. Comentarios . . . . . . 24.6. Comentarios finales . . . . . . .

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25.Externalizaci´ on 25.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.2. Modelo con demanda de trabajos constante y efectos de aprendizaje . . . 25.2.1. Modelo inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.2.2. Mejoras al modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.2.3. Modelo no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.2.4. Ejemplo num´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.2.5. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.3. Modelo con tasa de descuento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.3.1. Formulaci´ on del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.4. Tama˜ no de la cuadrilla cuando hay subcontratistas y demanda fluctuante 25.4.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.4.2. Descripci´ on del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.4.3. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.5. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV

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381 381 382 382 382 383 385 386 387 387 390 390 390 392 397

Planificaci´ on y gesti´ on estrat´ egica

26.Planificaci´ on de tareas 26.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . 26.2. Planificaci´ on de tiempos . . . . 26.2.1. Tareas . . . . . . . . . . 26.2.2. Tareas predecesoras . . 26.2.3. Etapas . . . . . . . . . . 26.2.4. Matriz de predecesoras . 26.2.5. Camino cr´ıtico . . . . . 26.3. Planificaci´ on de cargas . . . . . 26.3.1. Aspectos probabil´ısticos 26.4. Planificaci´ on de costos . . . . .

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27.Indicadores de gesti´ on 27.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.1.1. The maintenance function . . . . . . . . . . . 27.1.2. The theory of performance measurement . . . 27.1.3. The practice of performance measurement . . 27.2. Classifying maintenance performance measures . . . 27.3. Approaches to measuring maintenance performance . 27.3.1. A value-based performance measure . . . . . 27.3.2. The Balanced Scorecard . . . . . . . . . . . . 27.3.3. System audits . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.4. Performance analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.5. Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.5.1. Recommendations for future research . . . . 27.6. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´INDICE GENERAL

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28.Mantenimiento basado en la confiabilidad 28.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.1.1. Herramientas utilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.2. Elaboraci´ on del Plan T´ecnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.2.1. Constituci´ on de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.2.2. Etapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.2.3. Descomposici´ on de la empresa . . . . . . . . . . . . . . 28.2.4. Etapa I: Estudio de las plantas . . . . . . . . . . . . . . 28.2.5. Etapa II: An´ alisis de fallas . . . . . . . . . . . . . . . . 28.2.6. Etapa III: Elaboraci´on del plan t´ecnico . . . . . . . . . 28.2.7. Etapa IV: Optimizaci´on del plan . . . . . . . . . . . . . 28.3. Ejemplo RBM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.3.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.3.2. An´ alisis del sistema y recolecci´on de informaci´on . . . . 28.3.3. An´ alisis del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.3.4. Descripci´ on del sistema y diagrama funcional de bloques 28.3.5. Historial de los equipos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.3.6. Funciones del sistema y modos de fallas . . . . . . . . . 28.3.7. Matriz equipos-modos de falla funcional . . . . . . . . . 28.3.8. An´ alisis de criticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.3.9. Selecci´ on de tareas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.4. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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29.Mantenimiento productivo total 29.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . 29.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . 29.3. Las grandes perdidas . . . . . . 29.4. Conceptos b´ asicos . . . . . . . 29.5. Actividades esenciales . . . . . 29.6. Mantenimiento aut´ onomo . . . 29.7. Implementaci´ on . . . . . . . . . 29.8. Indicadores TPM . . . . . . . . 29.8.1. Definiciones . . . . . . . 29.8.2. Ejemplo . . . . . . . . . 29.9. Comentarios finales . . . . . . .

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V

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Ap´ endice

A. Gu´ıa para b´ usquedas bibliogr´ aficas A.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . A.2. B´ usqueda inicial . . . . . . . . . . . A.3. B´ usqueda sistem´ atica . . . . . . . . . A.4. Expansi´ on hacia ´ atras . . . . . . . . A.5. Expansi´ on hacia adelante . . . . . . A.6. Documentaci´ on de la b´ usqueda . . . A.7. Actualizaci´ on . . . . . . . . . . . . .

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B. Gu´ıa para presentaciones orales B.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2. Caracter´ısticas Espec´ıficas de la Charla T´ecnica . . B.3. Como preparar una charla t´ecnica . . . . . . . . . B.3.1. Objetivo de la Charla y Tipo de Audiencia B.3.2. Preparaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3.3. Abusos en la jerga t´ecnica . . . . . . . . . .

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´INDICE GENERAL

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B.3.4. Inicio y t´ermino . . . . . . . . . . . . B.3.5. Restricciones de tiempo . . . . . . . . B.3.6. Contacto visual y auditivo . . . . . . . B.3.7. Elementos distractores . . . . . . . . . B.3.8. Chistes y an´ecdotas . . . . . . . . . . B.3.9. Pr´ actica previa . . . . . . . . . . . . . B.3.10. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . B.4. Charla para una conferencia . . . . . . . . . . B.4.1. Restricciones de tiempo, planificaci´on B.4.2. La Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . B.4.3. Otras partes de la charla . . . . . . . . B.5. Ayudas visuales . . . . . . . . . . . . . . . . . B.5.1. Importancia y selecci´ on . . . . . . . . B.5.2. Recomendaciones generales . . . . . . B.5.3. Diapositivas . . . . . . . . . . . . . . . B.5.4. Transparencias . . . . . . . . . . . . . B.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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C. Distribuciones estad´ısticas C.0.1. Ley Chi-cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.0.2. Ley de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.0.3. Ley de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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D. Sistemas de Informaci´ on de Mantenimiento D.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.2. Necesidades a satisfacer . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.2.1. Necesidades propias a la mantenci´on . . . . . . . D.2.2. Necesidades de funciones anexas a la mantenci´on D.3. Funciones del sistema de informaci´ on . . . . . . . . . . . D.3.1. Funciones propias al personal de intervenci´on . . D.3.2. Funciones propias a planificaci´on . . . . . . . . . D.3.3. Funciones propias a la gesti´on . . . . . . . . . . . D.4. Criterios de selecci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.5. Implementaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.5.1. Establecer punto de partida . . . . . . . . . . . . D.5.2. Modelos de flujos internos y externos . . . . . . . D.5.3. Organigrama de tareas . . . . . . . . . . . . . . . D.5.4. Determinaci´ on de necesidades . . . . . . . . . . . D.5.5. Estudio de oportunidad . . . . . . . . . . . . . . D.5.6. Selecci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.6. An´alisis de las funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.6.1. Trabajos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.6.2. Gesti´ on de repuestos y compras . . . . . . . . . . D.6.3. Gesti´ on de costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.6.4. Elementos de decisi´ on . . . . . . . . . . . . . . . D.6.5. Recursos humanos . . . . . . . . . . . . . . . . .

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E. Cuestionario de evaluaci´ on de SIM E.1. Registro de equipos . . . . . . . . . . . . . . . . . E.2. Mantenimiento preventivo y predictivo . . . . . . E.3. Planeamiento de las ordenes de trabajo . . . . . E.4. Administraci´ on de las ordenes de trabajo . . . . E.5. Administraci´ on de proyectos y paradas de planta E.6. Informaci´ on general . . . . . . . . . . . . . . . . E.7. Informes de gesti´ on . . . . . . . . . . . . . . . . .

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xiii

E.8. Hardware y software de base . . . . . . . E.9. Consideraciones t´ecnicas . . . . . . . . . . E.10.Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . E.11.Flexibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . E.12.Consideraciones de implementaci´on . . . . E.13.Documentaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . E.14.Soporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.15.Antecendentes y estrategias del producto E.16.Aspectos financieros . . . . . . . . . . . . E.17.Condiciones contractuales . . . . . . . . . F. Overhaul ´ optimo con programaci´ on F.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . F.2. Descripci´ on del modelo . . . . . . . F.3. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . G. Implementaci´ on en solver AIMMS

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tiempo . . . . . . . . . . . . . . .

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infinito 513 . . . . . . . . . . 513 . . . . . . . . . . 513 . . . . . . . . . . 514 519

xiv

´INDICE GENERAL

Prefacio El curso ME57A ha sido orientado fuertemente a la investigaci´on de operaciones aplicada a la gesti´on del mantenimiento. Ello conlleva a un esfuerzo de modelamiento importante de los procesos de decisi´on que ocurren en la industria. Creemos importante el que el alumno comprenda el porqu´e la construcci´on de modelos simples pueden ser de gran apoyo para su labor y para eso, comenzaremos por definir modelo:

Un modelo es un prototipo de algo que es real. El disponer de un modelo, en nuestro caso un modelo de costos y confiabilidad, tiene una serie de ventajas para la gesti´ on: es una herramienta de aprendizaje permite establecer las relaciones e importancia de los diferentes par´ ametros en la respuesta del sistema. permite un acercamiento al problema el proceso de construcci´on del modelo permite resaltar variables que pasar´ıan desapercibidas de otra manera por la complejidad del sistema. permite filtrar aquellos par´ ametros y condiciones que tienen poca incidencia en la respuesta del sistema es un medio de discusi´ on si dos partes concuerdan en que las hip´otesis y par´ametros que se usaron para construirlo son v´ alidas y suficientes entonces los resultados ser´an aceptados por las partes; las limitaciones ser´ an discutidas es una herramienta de predicci´ on es muy f´acil realizar an´alisis de sensibilidad; lo que guiar´a el proceso de redise˜ no o mejoramiento es una poderosa herramienta de optimizaci´ on por lo anterior, un modelo puede reducir significativamente los costos de desarrollo o mantenimiento de un sistema y acelerar sustancialmente el proceso de decisi´ on; en nuestro caso, a nivel de dise˜ no o mantenimiento. Complementariamente, un ingeniero mec´anica tiene la gran ventaja de comprender o poder comprender las causas ra´ıces de los problemas t´ecnicos que afectan a los sistemas mec´anicos y que generan la necesidad de mantenimiento: las fallas. En base a lo mencionado, el curso ha sido estructurado en tres partes: en la primera se entrega el marco general del problema de costos que se enfrenta el mantenimiento. Adem´ as se estudian varias t´ecnicas de an´alisis de fallas. En la segunda parte, que representa el n´ ucleo del curso, se estudian modelos de confiabilidad combinados con modelos de costos. En la tercera parte, se ven estrategias globales tales como el mantenimiento basado en la confiabilidad, el mantenimiento productivo total. 1

´INDICE GENERAL

2

Habilidades potenciadas por el curso En julio 2001 se realiz´ o en la facultad un taller denominado The Learning Factory. En ´el se discutieron los nuevos enfoques que se deben dar a la ense˜ nanza. En particular se invit´o a un panel de ingenieros con puestos de mando en la industria nacional y se les pregunt´o cuales eran las falencias m´as comunes de los ingenieros reci´en egresados y principalmente se mencion´o (sin orden especifico): Capacidad de trabajo en equipo • Aporte cr´ıtico constructivo al grupo Dominio del ingl´es o de una segunda lengua Actitud de aprendizaje continuo Capacidad de vender y defender sus ideas Capacidad de innovar Como una forma de colaborar con estas habilidades, el curso, aparte de entregar los contenidos pertinentes incluir´ a: Un trabajo de duraci´ on semestral en equipo Trabajos de investigaci´ on bibliogr´ afica (en anexo A se entrega una gu´ıa para una b´ usqueda bibliogr´afica eficiente) Varias exposiciones de parte de los alumnos (en anexo B se entrega una gu´ıa para presentaciones orales) Si es posible, un taller corto de creatividad Por otro lado, la era de la informaci´ on en que vivimos est´a desplazando al papel como principal medio de transmisi´on de informaci´ on. El standard actual son los documentos PDF. Una forma de producirlos es a trav´es de procesadores de palabras WYSIWIG (What You See Is What You Get) o trav´es de compiladores tales como LATEX. Las ventajas principales de usar esta ultima opci´on son: el autor se concentra u ´nicamente en el contenido y no en el formateo, est´an especialmente preparados para el tipo de datos manejados constantemente en ingenier´ıa: ecuaciones, tablas, figuras. Lo anterior lograr acortar el tiempo destinado a realizar el trabajo y ayuda a mejorar la calidad de los contenidos. Este semestre las entregas de tareas e informes se har´an en formato PDF via email. El auxiliar impartir´a una clase tutorial de LATEX. Con ello se espera que los alumnos queden preparados para publicar sus memorias ME-69 en la biblioteca virtual del departamento.

Charlas y visitas Como una forma de acercamiento al medio industrial y tecnol´ogico aplicado se programan varias charlas, entre ellas: gesti´on de mantenimiento • charla sistema de informaci´ on de mantenimiento • charla m´etodos de mantenimiento sintom´atico An´alisis de fallas • sistemas expertos

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3

Consejos para las clases Les aconsejo aprovechar el disponible en la red: Impriman las presentaciones en powerpoint antes de cada clase en modo ’documento’, con 3 diapositivas por pagina Asi pueden comentarlas. Impriman los apuntes por capitulo y no el apunte completo a la vez. Frecuentemente agrego, actualizo o quito capitulos durante el semestre.

El Proyecto El proyecto (en grupos de 3 alumnos) corresponde a un 30 % de la nota del curso. Tiene por objetivo desarrollar los t´opicos que se dar´ an durante el curso para un sistema mec´anico en particular. Al final el alumno tendr´ a un conocimiento acabado (tanto t´ecnico como econ´omico sobre el equipo) y el mejor informe quedar´ a en el Web para ser usado a conveniencia por los interesados. Los equipos deben corresponder a maquinas que jueguen un rol importante en la linea de producci´on; con un grado de complejidad suficiente para realizar an´ alisis interesantes, y que sea de uso en una empresa seleccionada por ustedes. El proyecto debe incluir: principio de funcionamiento, montaje, t´ecnicas de inspecci´on disponibles, condiciones de operaci´on en la empresa donde opera. Desarrollo de un programa de mantenimiento centrado en la confiabilidad • Plan t´ecnico de mantenimiento • Plan de mantenimiento preventivo Evaluaci´on de costos asociados a mantenimiento correctivo, preventivo, predictivo An´ alisis de modos de falla, sus efectos y criticidad Desarrollo del ´ arbol de fallas Necesidades de repuestos en bodega, estudio de plazo ´optimo de reemplazo, tama˜ no ´optimo de pedido, costo de almacenamiento asociado Estudio de ahorros provocados como consecuencia del estudio, conclusiones Otros puntos relevantes Observaci´ on 1 El proyecto ser´ a evaluado por los informes escritos (70 %) y por las presentaciones realizadas en clase (30 %). En las presentaciones se evaluar´ a: calidad del contenido (30 %), calidad del material audiovisual (30 %), claridad al explicar (30 %), calidad de las respuestas (10 %). Observaci´ on 2 El proyecto considera tres presentaciones parciales y una presentaci´ on final: semana 3 semana 7 semana 13 semana 15

´INDICE GENERAL

4

Algunos consejos El proyecto ha sido evaluado en varios semestres. Se aconseja: Buscar equipos con historial de fallas y costos suficiente. Se recomienda usar empresas que dispongan de un sistema de informaci´on. Dado que el curso se centra en la minimizaci´on del costo global (y no de la seguridad) considerar equipos donde ese sea el par´ametro mas importante a considerar. Los modelos que se propondr´an en el curso se basan en una serie de hip´otesis que deben cumplirse para que el resultado sea valido. Ello obliga a verificar su cumplimiento (y estamparlo en el informe). En caso de que un modelo no represente adecuadamente la situaci´on real; sera evaluado muy positivamente la modificaci´ on del mismo por parte de los alumnos. Sean cr´ıticos y constructivos. Las conclusiones emitidas de los resultados de los an´alisis son ponderadas de manera importante en la nota. Trate siempre de evaluar los ahorros y otras consecuencias de las acciones propuestas tras los an´ alisis. Comente cada cap´ıtulo; explote sus resultados al maximo. Lleve una tabla de actividades donde registre los siguientes campos: fecha, tipo de actividad (entrevista, estudio de los apuntes para el proyecto, implementaci´on de modelos, redacci´on de informe), tiempo efectivo que requiri´ o la actividad, tiempo muerto que requiri´o la tarea (transporte, ..). Al final del proyecto haga un resumen (como anexo del proyecto ) por tipo de actividad y genere indicadores estad´ısticos. Este punto tambi´en es evaluado. Traten siempre de comparar los resultados obtenidos con la manera en que actualmente se hace en la empresa. Busque ahorros y ventajas provenientes de su trabajo. Las unidades de tiempo mas frecuentes son los dias, las semanas, los meses. El sentido practico indica usar valores enteros de estas unidades de tiempo. Por ejemplo, en caso de que un modelo les resulte en un intervalo ´ optimo de 3.8678 semanas para intervenciones preventivas, eval´ ue el aumento de la funci´ on objetivo si se hacer cada 4 semanas. Cuando usen un modelo matem´ atico, justifiquen la estimaci´on inicial de los par´ametros requeridos. En caso de incertidumbre, realizen an´alisis de sensibilidad. cuando se refieran a probabilidades o costos sean especificos; son costos de falla o de intervenci´on?; por unidad de tiempo, por intevenci´ on o por intervalo?, sobre qu´e intervalo se eval´ ua la probabilidad? en qu´e condiciones de operaci´ on?, etc. Para el caso de tablas y figuras, evitar en lo posible las capturas de pantalla. Ello hace perder la resoluci´on y dificulta la lectura;sobre todo para las tablas. Al final del proyecto, haga un abstract de no m´as de 30 lineas que resuma el trabajo y los logros del mismo.

Desaf´ıo 2003 Este a˜ no se plantea por primera vez lo que llamaremos el desaf´ıo. Consiste b´asicamente, en tomar un articulo de journal a ser propuesto por el profesor, el cual debe ser traducido e implementado. Adem´as se debe repetir el ejemplo num´erico presentado en el mismo. El desaf´ıo pretende: acercar al alumno a la actualidad en investigaci´on de operaciones orientado a mantenimiento; que realice una investigaci´ on bibliogr´ afica necesaria para alcanzar la meta; que eventualmente continue trabajando el tema con miras a su tesis de grado;

´INDICE GENERAL

5

que logre dominar las herramientas de optimizaci´on inform´aticas; que sea capaz de escribir un articulo de conferencia. Otras caracter´ısticas del desaf´ıo: es alternativo al proyecto; es posible la renuncia. Dada la posibilidad de que requiera un tiempo excesivo, se abre la posibilidad de comenzar un proyecto en forma tard´ıa (hasta la semana 8); es individual; su grado de supervisi´ on es mayor, se fijaran reuniones peri´odicas con el profesor para verificar avances; sigue el calendario de presentaciones orales del proyecto. Las desventajas del desaf´ıo frente al proyecto son: es especifico, los alcances del proyecto son mayores; es experimental, por ser la primera vez que se realiza. Conocido lo anterior, los desafiantes deben ser muy motivados, inquietos y dispuestos al aprendizaje.

Forma de evaluaci´ on El curso ser´ a evaluado con 3 controles y un examen (50 %), el proyecto/desafio (30 %) y las notas de tareas y tests (20 %). Las fechas fijadas para los controles son los viernes: semana 5 semana 10 semana 14

Contenidos del curso El curso consta de las siguientes partes: Estudio de costos T´ecnicas para an´ alisis de falla An´ alisis de confiabilidad Modelos para minimizar el costo global de mantenimiento Planificaci´ on de actividades Mantenimiento predictivo Hemos dejado en anexos, otras materias que pueden ser utlizadas durante el curso: Sistemas de informaci´ on de mantenimiento Mantenimiento centrado en la confiabilidad Mantenimiento productivo total

´INDICE GENERAL

6

Otros temas han sido dejado de lado, por la duraci´on limitada del curso: Organigrama del mantenimiento Certificaciones de calidad codificaci´ on de equipos y repuestos etc.

Bibliograf´ıa recomendada Gran parte del curso de basa en las siguientes referencias: Campbell, J.D., Jardine, A.K.S., Maintenance Excellence, Marcel Dekker, Inc., 2001. P. Lyonnet. Maintenance Planning, Methods and Mathematics. Chapman & Hall, 1991. A.K.S. Jardine. Maintenance, Replacement and Reliability. Pitman Publishing, 1973. Eppen, G.D. et al., Investigaci´ on de Operaciones, Prentice Hall, 5ta edici´on, 2000. Varios, Pratique de la Maintenance Industrielle. Dunod, 1998. R. Pascual, Gesti´ on Moderna del Mantenimiento, Apuntes del curso ME57A, U. de Chile, 2002.

Parte I

Bases Generales y an´ alisis de fallas

7

Cap´ıtulo 1

El mantenimiento dentro de la empresa 1.1.

Introducci´ on

nola de la lengua se define sem´anticamente Seg´ un el diccionario (2001) de la Real Academia Espa˜ mantenimiento como. 1. m. Efecto de mantener o mantenerse. 2. m. Conjunto de operaciones y cuidados necesarios para que instalaciones, edificios, industrias, etc., puedan seguir funcionando adecuadamente. Seg´ un la norma francesa AFNOR 60.010, mantenimiento se define como: El conjunto de acciones que permiten mantener o restablecer un bien a un estado especificado o en capacidad de asegurar un servicio determinado. Wireman [?] lo define como toda acci´ on o actividad necesaria para mantener un sistema o componentes del equipo en el estado operacional deseado o restaurarlo a dicho estado. Hay que agregar a este concepto las nociones de acciones a tomar antes del montaje de los bienes (etapa de dise˜ no) y la de la vida u ´til nominal del equipo, que determina tambi´en las acciones a tomar.

1.1.1.

Una funci´ on de apoyo

1

La funci´ on mantenci´ on cubre el conjunto de actividades que deben existir en una planta para obtener un costo global de mantenci´ on m´ınimo durante la vida prevista para los equipos. Se trata de una funci´ on de apoyo tal como las funciones: calidad seguridad recursos humanos, etc. Para optimizar la funci´ on mantenci´on es necesario situar esta funci´on en el marco de una funci´on m´as global llamada funci´ on equipos. En una planta, para producir se requiere: uno o mas productos terminados definidos; materias primas; 1 ref.

[10], 2.1.

9

CAP´ITULO 1. EL MANTENIMIENTO DENTRO DE LA EMPRESA

10

proceso de producci´ on; personal; equipos. La funci´on equipos incluye todas las actividades que conciernen los equipos. Ella se descompone en varias funciones: mantenci´on; inversiones en renovaci´ on, inversiones de productividad; mejoras de equipos; desarrollo de nuevos equipos. Estas funciones est´ an ligadas unas a otras: por su inter-dependencia econ´ omica Ejemplo 1 Si no se renuevan los equipos, los costos de mantenci´ on aumentan. por ser realizadas por el mismo grupo de personas. Ejemplo 2 Si el personal de mantenci´ on se concentra en actividades de inversi´ on, deja de lado tareas de mantenci´ on preventiva. La funci´on equipos sera bien manejada si hay un presupuesto para cada una de las funciones que la componen, y por tanto se realizan an´ alisis de necesidades para c/u de ellas. Observaci´ on 3 Es muy com´ un que la funci´ on equipos sea confundida con ”mantenci´ on” lo que hace dif´ıcil realizar an´ alisis t´ecnico-econ´ omicos.

1.2.

Tipos de intervenci´ on de mantenci´ on

Podemos clasificar las intervenciones en: 1. El equipo funciona y la producci´ on continua: rutas de mantenci´ on preventiva, inspecciones de mantenci´ on predictiva; 2. El equipo es detenido, la producci´ on continua: equipos redundantes; 3. El equipo es detenido, la producci´ on para; Los dos primeros tipos de intervenci´ on son corrientes y dan libertad de planificaci´on. El tercero es conocido como parada. Puede ser programada o no. Las intervenciones debe estar sujetas a detenciones de producci´on. Ejemplos: cambios de series, fin de semana, parada por limpieza, etc.

1.3. CLASES DE ACTIVIDADES

1.3.

11

Clases de actividades

La funci´ on mantenci´ on necesita de las siguientes actividades: Gesti´ on de a mediano y largo plazo; An´ alisis t´ecnicos a mediano y largo plazo; Ejecuci´ on de actividades; Gesti´ on de repuestos. El largo plazo es un horizonte superior a un a˜ no. El mediano plazo considera entre 1 y 12 meses. Observaci´ on 4 Para controlar una funci´ on, el agrupamiento de actividades no debe ser arbitrario, debe ser consecuente con la naturaleza del ser humano: Una persona (o grupo de personas) no puede llevar al mismo tiempo actividades de corto, mediano y largo plazo, debido a que el corto plazo (lo cotidiano) ser´ a siempre prioritario. Las actividades de mediano y largo plazo ser´ an poco o no realizadas. El perfil del personal de gesti´ on y el de an´ alisis es distinto. Observaci´ on 5 En este contexto, an´ alisis corresponde a an´ alisis t´ecnicos: an´ alisis de modos de falla, confecci´ on de procedimientos y rutas, informes de falla, an´ alisis de tiempos de reparaci´ on, etc.

1.4.

Gesti´ on de largo plazo

Las actividades estrat´egicas esenciales del largo plazo son: Definir criterios para recambio de equipos; Definir indicadores de mantenci´on; Decidir o no el uso de terceros; Repartir las actividades de mantenci´on entre los servicios; Establecer un plan de mejoramiento permanente de la funci´ on mantenci´ on (PMPM): nuevos equipos o procesos, mejorar programas preventivos, capacitaci´on, etc. Mejorar procedimientos organizacionales: describir las reglas que aseguren calidad en el servicio; para ello se implementa: 1. gesti´ on a priori : pol´ıticas de mantenci´on de equipos, preparaci´on de intervenciones, gesti´on de bodegas,etc. 2. gesti´ on a posteriori : informe de intervenci´on, bit´acora, an´ alisis t´ecnico-econ´omicos, etc. Programa de capacitaci´ on del recurso humano.

1.5.

Gesti´ on de mediano plazo

Las actividades m´ as importantes son: Programaci´ on de intervenciones en el mediano plazo Control del presupuesto

CAP´ITULO 1. EL MANTENIMIENTO DENTRO DE LA EMPRESA

12

1.5.1.

Programaci´ on de intervenciones

Las tareas de programaci´ on incluyen: Gestionar las solicitudes de intervenci´on programables; Previsi´on de cargas por equipos; Determinaci´ on de fechas y plazos de intervenci´on (lo que incluye negociar con producci´on);

1.5.2.

Control presupuestario

An´alisis de indicadores mensuales de performance; An´alisis de diferencias con respecto al presupuesto previsto: aumentar el presupuesto si la producci´on ha crecido con respecto a lo planificado; disminuci´ on del presupuesto si el uso es menor Definici´on de acciones para actualizar el plan de mejoramiento permanente de la mantenci´on (PMPM).

1.6.

Ejecuci´ on de intervenciones

Implica 3 tareas: Distribuci´ on del trabajo: • coordinar con producci´ on el momento de intervenir; • el seguimiento del avance de las intervenciones. Realizaci´on de las intervenciones • movilizaci´ on de recursos, • consignaci´ on de las instalaciones, • medidas de seguridad, • intervenci´ on misma, • transferencia del equipo a producci´on. • Rendici´ on de cuentas: el informe debe incluir: causa que origin´o la intervenci´on, descripci´on de dificultades encontradas para cumplir los plazos previstos de intervenci´on. La idea es resaltar los puntos que causan la p´erdida de eficiencia de la funci´ on mantenci´ on. Gesti´on de personal • datos para el salario (HH, bonificaciones,etc.). • Motivaci´ on del personal Observaci´ on 6 Para lograr que los informes sean eficaces es necesario: sensibilizar a los t´ecnicos sobre el inter´es de la funci´ on mantenci´ on (el argumento de falta de tiempo no es valido pues implica que no se ha notado la importancia real del informe); y que los informes sean revisados por profesionales preocupados por mejorar el servicio mantenci´ on.

´ DE REPUESTOS 1.7. GESTION

1.6.1.

13

Gesti´ on del personal de intervenci´ on

Las actividades esenciales son: Recopilaci´ on de informaci´ on para el salario (bonos); La observaci´ on de aptitudes y actitudes de cada profesional; Proposici´ on de acciones de capacitaci´on para alcanzar los niveles necesarios de preparaci´on; Comunicar a los profesionales de los resultados obtenidos en t´erminos de indicadores; con an´alisis incluido. Motivar al personal. Causas de pobre motivaci´on: salarios bajos, falta de reconocimiento, falta de objetivos, procedimientos obsoletos o incongruentes. Ejemplo 3 Pedir rapidez de reacci´ on cuando las bodegas est´ an lejanas, o no hay medios de transporte disponibles, o no hay acceso nocturno a bodega.

1.7.

Gesti´ on de repuestos

Las actividades incluyen: Compra de repuestos; Gesti´ on de bodegas; Almacenamiento de repuestos.

1.7.1.

Compra de repuestos

Actividades que incluye: Definici´ on t´ecnica de la necesidad; Estimaci´ on del plazo de entrega; B´ usqueda del mejor precio a calidad y demora similares; Coordinaci´ on con la planificaci´on a mediano plazo; Redacci´ on de programa de compras seg´ un el programa de gesti´on de largo plazo; Evaluaci´ on de calidad de los proveedores: costo, calidad, demora.

1.7.2.

Gesti´ on de bodega

Las actividades principales son: Inscripci´ on del art´ıculo en el cat´alogo de repuestos; Determinar localizaci´ on de los repuestos; Definici´ on, por art´ıculo, del modo de reaprovisionamiento,y parametros concernientes; An´ alisis de necesidades y emisi´on de solicitudes asociadas; An´ alisis de indicadores de gesti´on de stock; Elaboraci´ on de un plan de acci´on para reducir el costo global de mantenci´on.

CAP´ITULO 1. EL MANTENIMIENTO DENTRO DE LA EMPRESA

14

1.8.

Ponderaci´ on de las actividades de mantenci´ on

Evidentemente, la importancia de cada actividad en el costo global de mantenimiento es relativa. Ello depende de: Tipo de industria; Complejidad de equipos a mantener; Riesgo de costos de falla; Condiciones de utilizaci´ on de materiales. Cualquier an´ alisis que busque disminuir el costo global debe ponderar la importancia de las actividades. Ejemplo 4 Un trabajo mayor mal programado seguramente tiene consecuencias distintas a no disponer de un repuesto en bodega. Observaci´ on 7 Cada planta posee una ponderaci´ on diferente entre las actividades. Observaci´ on 8 La ponderaci´ on es cualitativa y debe ser discutida y revisada peri´ odicamente.

1.9. 2

Estrategias

Es importante fijar objetivos, nuestro primeros objetivos son: Mantener los equipos en operaci´ on, Reducir el numero de fallas

con costo global m´ınimo. La idea se gr´ afica en figura (1.2). Para llegar al punto ´ optimo, se debe seleccionar entre las estrategias de mantenci´on disponibles: Mantenci´on Preventiva, o basada en el tiempo; Mantenci´on Predictiva o basada en la condici´on de las m´aquinas; Mantenci´on Proactiva para evitar aparici´on o recurrencia; Mantenci´on Reactiva o Correctiva; que se aplica luego de aparecer una falla. Ello no implica que la reacci´ on est´e debidamente planeada (ver figura 1.3).

1.9.1.

Mantenci´ on Pre-falla

La mantenci´ on no correctiva ( preventiva, predictiva y proactiva) se aplica prioritariamente a los componentes cr´ıticos de la producci´ on. Luego de seleccionados los equipos para los cuales se realizar´a, es necesario descomponerlos en sub-componentes que sean mantenibles. Ejemplos: rodamientos, correas, engranajes, etc. La mantenci´ on preventiva es aplicada en general para componentes cuyo costo de reemplazo no son muy altos. Por su lado la mantenci´ on predictiva se realiza cuando el costo de reemplazo es superior y se disponen de t´ecnicas no destructivas capaces de establecer la condici´on del equipo. En caso de seleccionar mantenci´ on preventiva para un equipo, es necesario establecer frecuencias de cambio de piezas, lubricaci´ on, etc. Para ello se realiza un an´alisis estad´ıstico de los ciclos de vida. Las tareas a realizar deben ser descritas claramente en procedimientos y su registro debe ser llevado en reportes. Ellos formar´ a parte de la hoja de vida de cada equipo. Tal registro ayudar´a en la detecci´on de fallas en la mantenci´ on, y la evaluaci´ on de costos de mantenci´on.

1.9. ESTRATEGIAS

15

Ponderación de actividades de mantención %CGM Gestión largo plazo

10

Elaboración de presupuesto Seguimiento de gastos Redacción reportes de balance Control y análisis de imputaciones

2 1 1 1

Puesta a punto de acciones de mejoramiento Gestión de aprovechamiento de la experiencia Definción de indicadores Análisis de CIM Análisis de equipos mas caros

1 1 1 1 1

Gestión mediano plazo

16

Optimización de plan preventivo/ tareas repetitivas Gestión de medidas ante mantenimiento predictivo Gestión de prioridades de actividades

1 1 1

Análisis de modos de falla y acciones pertinentes Tratamiento y análisis de los MTTR y MTBF Análisis de costos por: Especialidad técnica de intervención por planta

1 1

por tipo de intervención por tipo de mantención por nivel de urgencia Gestion de empleo de recursos

1 1 1 1

Gestión de flexibilidad de medios Elaboración del plan de carga del personal Optimización del plan de carga Definción de puestos E valuación del personal

1 1 1 1 1

Análisis mediano plazo

6

1 1

Uso de historial y aprovechamiento de experiencia 1 E valuación de tiempos de intervención 1 Determinación de recursos humanso y materiales para cada intervención 1 Calculo de disponibilidad de cada equipo Análisis de modos de falla Mejora de procedimientos y rutas Ejecución corto plazo

Preparación de intervenciones Distribución de trabajos Recolección de solicitudes de trabajo Verificación disponibilidad de recursos Definición de repuestos necesarios Verificación disponibilidad de repuestos Supervisión de trabajos Recepción de trabajos Puesta al dia de la documentación técnica

1 1 1 60

5 5 3 3 9 5 10 8 7

Verificación de procedimientos de seguridad

5

Gestión de repuestos

8

Disponer de stocks en cantidad Disponer del valor de stocks

1 1

Definición de metodos para conservar los repuestos Gestión de reaprovisionamiento Predicción de consumos anuales Programación de compras a largo plazo Análisis ABC de consumos Estimar tamaño de lote, frecuencia optima Disponer de indicadores

0.5 1 1 0.5 1 1 1

Balance general

Gestión largo plazo Gestión mediano plazo Análisis mediano plazo Ejecución corto plazo Gestión de repuestos

10 16 6 60 8 100

Figura 1.1: Ponderaci´on de las actividades de mantenci´on

CAP´ITULO 1. EL MANTENIMIENTO DENTRO DE LA EMPRESA

16

25

Costos

20

15

10

5

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Nivel de mantención

Figura 1.2: Costos de mantenci´on y de falla

Mantención

Mantención Post-falla Mantención Correctiva

Mantención Pre-falla

Mantención Proactiva

Mantención Preventiva

Mantención Predictiva

Mantención Proactiva

Figura 1.3: Estrategias de mantenci´on

Clase Mec´ anica

Tipo Reemplazo

Regulaci´ on

Chequeo El´ectrica

Reemplazo

Regulaci´ on Chequeo

Componentes Aceite Filtros Piezas de desgaste, frenos Filtros Rodamientos Juntas Resortes Juegos/interferencias Tensi´on (correas) Presi´on bloqueos Niveles Contactos Componentes asociados a fallas t´ermicas Capacitancias Impedancias en circuitos, potenci´ometros Valores de aislaci´on Valores de capacitancia

Cuadro 1.1: Mantenci´on preventiva

1.10. PUBLICACIONES ESPECIALIZADAS

1.9.2.

17

Mantenci´ on Preventiva

Cabe mencionar que el detener un equipo para realizar las tareas anteriores puede resultar muy negativo para la funci´ on producci´ on. Comienza entonces un proceso de negociaci´on para fijar fechas para realizar mantenci´ on de este tipo.

1.9.3.

Mantenci´ on predictiva

La idea que apoya a esta estrategia es que una parte solo debe ser cambiada si muestra deterioro que pueda afectar su performance. Hay t´ecnicas que son de amplio uso en la industria actualmente vibraci´ on y ruido, temperatura, an´ alisis de aceite. Ejemplo 5 Un ejemplo de mantenci´ on proactiva es el cambio de velocidad de operaci´ on de un equipo rotatorio, tras detectarse en un an´ alisis de falla que hay una situaci´ on de resonancia.

1.9.4.

Mantenci´ on oportunista

Llamamos mantenci´ on oportunista aquella que combina la mantenci´on correctiva con la mantenci´on preventiva. Ella permite aprovechar la aparici´on de una falla y su efecto de detenci´on sobre el equipo para realizar tareas preventivas que de otra manera afectar´ıan la disponibilidad del equipo para producir e incrementar´ıan el costo global de mantenci´on. este tipo de mantenci´on es aplicable cuando la reparaci´on de un componente requiere desarmar el sistema completo, por lo que conviene combinar la reparaci´on correctiva del componente con el recambio preventivo de los componentes aleda˜ nos. Existen dos posibles variaciones de esta estrategia[18]: realizar tareas preventivas oportunistas tan pronto aparece la falla, posponer las tareas correctivas hasta el proximo overhaul programado.

1.10.

Publicaciones especializadas

Existe una larga lista de journals dedicados al tema del mantenimiento, entre ellos resaltamos: En confiabilidad, • Reliability Engineering ans System Safety • IEEE Transactions on Reliability En gesti´ on de operaciones: • Interfaces • Naval Research Logistics • European Journal of Operations Research

2 ver

refs. [8, 9].

18

CAP´ITULO 1. EL MANTENIMIENTO DENTRO DE LA EMPRESA

Fallas

Monitoreo de condición e Inspecciones

Datos de condición e historiales

Mantenimiento Correctivo

Mantenimiento Predictivo

Mantenimiento Proactivo Modelos de confaibilidad

Mantenimiento Preventivo Modelos de costos

Análisis de riesgos

Optimización del mantenimiento

Figura 1.4: Esquema del enfoque utilizado en el curso

Cap´ıtulo 2

Estructura de costos 2.1.

Introducci´ on

Como administradores de la mantenci´on una de las principales tareas ser´a minimizar los costos de mantenci´ on. Es entonces muy importante analizar cuales son sus componentes.

2.1.1.

Costo global

El costo global de mantenci´ on Cg es la suma de cuatro componentes: costos de intervenciones (Ci ); costos de fallas (Cf ); costo de almacenamiento (Ca ); amortizaci´ on de sobre-inversiones (Ai ). Cg = Ci + Cf + Ca + Ai Observaci´ on 9 Se constata que la reducci´ on de un componente del costo global implica el aumento de uno o mas de los otros componentes (acci´ on-reacci´ on). Observaci´ on 10 El costo global es medido a nivel de equipo. La suma sobre los equipos es lo que nos importa. Los equipos que mas afecten el costo global ser´ an aquellos que reciban mayor estudio y atenci´ on de parte del servicio. Ejemplo 6 Un programa preventivo excesivo implica un gran costo de intervenci´ on y de almacenamiento. Es necesario estudiar si el costo de falla baja m´ as de lo que crecieron estas componentes. Ejemplo 7 La reducci´ on de costos de almacenamiento (o del numero de piezas de repuesto disponibles en bodega) puede aumentar el costo de fallas. Ejemplo 8 Disminuir las inversiones implica costos de intervenci´ on mayores, reparaciones m´ as largas.

2.2.

Costo de intervenci´ on

El costo de intervenci´ on (Ci ) incluye los gastos relacionados con la mantenci´on preventiva y correctiva. No incluye gastos de inversi´ on, ni aquellas relacionadas directamente con la producci´on: ajustes de par´ametros de producci´ on, limpieza, etc. El costo de intervenci´on puede ser descompuesto en: Mano de obra interna o externa, 19

CAP´ITULO 2. ESTRUCTURA DE COSTOS

20

Repuestos de bodega, o comprados para una intervenci´on; Material fungible requerido para la intervenci´on; El costo de mano de obra interna se calcula con el tiempo gastado en la intervenci´on multiplicado por el costo de HH. La mano de obra externa se obtiene de la factura, o por las HH que fueron requeridas. Tanto el material fungible como la amortizaci´on de equipos y herramientas de uso general se consideran en el costo horario de intervenci´ on. Este es multiplicado por el tiempo de intervenci´on. Material fungible y la amortizaci´ on de equipos y herramientas de uso espec´ıfico son considerados aparte, tal como si fuesen repuestos.

2.2.1.

Costos por unidad de tiempo

Es importante otorgar un valor realista a los costos de intervenci´ on por unidad de tiempo ci y de horas-hombre pues influyen directamente en el costo global de mantenci´on, nuestra funci´on objetivo a minimizar. Es com´ un comparar el costo de la mano de obra interna con el de la externa. Sin embargo, los costos internos son castigados por prorrateos de costos que existen a´ un si se contrata mano de obra externa. Es necesario definir dos costos: costo de intervenci´ on por unidad de tiempo ci , que s´olo incluye gastos directos asociados a las intervenciones; costo de mantenci´ on por unidad de tiempo ci,t , considera todos los gastos asociados a mantenci´on. El costo de intervenci´ on por unidad de tiempo es: ci =

gastos directos total horas de intervenci´on

Los gastos directos s´ olo incluyen: gastos salariales; contrataci´ on de servicios; gastos en material fungible de uso general; gastos de energ´ıa ligados a la intervenci´on. El costo de mantenci´ on por unidad de tiempo ci,t es igual a: ci,t =

gastos totales de mantenci´on total horas de intervenci´on

Los gastos totales incluyen: el conjunto de gastos considerados para el costo de intervenci´on; los salarios de especialistas requeridos para la gesti´on, planificaci´on, an´alisis t´ecnicos de las intervenciones; el prorrateo de servicios tales como contabilidad, computaci´on, personal, etc.

2.3. COSTO DE FALLAS

2.2.2.

21

Costo de repuestos

A fin de realizar un an´ alisis t´ecnico-econ´omico inteligente es necesario distinguir el costo t´ecnico del costo contable: El costo t´ecnico corresponde al valor de compra de la pieza al d´ıa de su utilizaci´on. A utilizar en el costo de intervenci´ on. El costo contable corresponde al valor utilizado para valorizar el inventario contable. Por razones financieras este precio puede ser reducido por depreciaci´on. Observaci´ on 11 No se trata de hacer contabilidad, sino a realizar an´ alisis t´ecnico-econ´ omicos que permitan reducir el costo global de mantenci´ on.

2.3.

Costo de fallas

Estos costos corresponde a las p´erdidas de margen de explotaci´on debidas a un problema de mantenci´on que haya producido una reducci´ on en la tasa de producci´on de productos en buen estado. La p´erdida de margen de explotaci´on puede incluir aumento de los costos de explotaci´on o una p´erdida de negocios. Los problemas de mantenci´ on ocurren por: mantenci´ on preventiva mal definida; mantenci´ on preventiva mal ejecutada; mantenci´ on correctiva efectuada en plazos muy largos, mal ejecutada, realizada con repuestos malos o de baja calidad. Observaci´ on 12 El estudio de la frecuencia de fallas (tasa de fallas o tiempo entre fallas) y del tiempo utilizado en las reparaciones permite calificar la calidad de la mantenci´ on desde un punto de vista t´ecnico. Observaci´ on 13 No confundir falla de mantenci´ on con falla de material: Culpa nuestra, culpa del constructor o culpa de producci´ on? Definici´ on 1 El costo de falla de equipos corresponde a las perdidas de margen de explotaci´ on cuya causa es un defecto de material que provoca bajas de producci´ on de calidad aceptable. Ejemplo 9 Cuando la potencia utilizada es muy similar a la potencia instalada. Otros casos de falla de material: errores de utilizaci´ on que implican degradaci´on; A condiciones ambientales fuera de norma. Observaci´ on 14 Este tipo de costos deben ser cargados a las funciones inversi´ on, fabricaci´ on, calidad, etc.; pero no a mantenci´ on. Observaci´ on 15 El inter´es de poner en relieve los costos de falla por funci´ on y de no reagruparlos bajo el centro de costos de mantenci´ on es de poder sensibilizar al conjunto de responsables de las funciones concernientes a los sobrecostos generados y de permitirles tomar medidas correctivas eficaces. Ejemplo 10 Ingenier´ıa ha implementado un proyecto con equipos de baja calidad: baja confiabilidad, mantenibilidad pobre.

CAP´ITULO 2. ESTRUCTURA DE COSTOS

22

2.3.1.

Evaluaci´ on del costo de falla

El costo de falla puede ser calculado con la siguiente formula: Cf = ingresos no percibidos + gastos extras de producci´on + materia prima no utilizada Para explicarlo, evaluemos el Cf en 3 casos: El volumen de producci´ on programado puede ser realcanzado; El volumen de producci´ on programado no puede ser alcanzado dado que la planta opera 24 horas al d´ıa; La producci´ on no se detiene pero su calidad es degradada. En el primer caso, el costo de falla de mantenci´on corresponde a los gastos necesarios para reatrapar la producci´on p´erdida. Estos gastos son esencialmente: la energ´ıa necesaria para la producci´ on; las materias primas; los fungibles; los gastos de servicios tales como calidad, compras, mantenci´on, etc. Si la producci´ on programada no puede ser alcanzada, el costo de falla de mantenci´on corresponde a la p´erdida de ingresos menos el costo de las materias primas y productos consumibles que no fueron utilizados durante la parada. Si la producci´ on ha perdido calidad, su precio es menor que el nominal. En este caso el costo de falla de mantenci´on corresponde a la p´erdida de ingresos asociada.

2.4.

Costo de almacenamiento

Este costo representa los gastos incurridos en financiar y manejar el stock de piezas de recambio e insumos necesarios para la funci´ on mantenci´on. Incluye: El inter´es financiero del capital inmovilizado por el stock; los gastos en mano de obra dedicada a la gesti´on y manejo del stock; los costos de explotaci´ on de edificios: energ´ıa, mantenci´on; amortizaci´ on de sistemas adjuntos: montacargas, sistema inform´atico; gastos de seguro por el stock; la depreciaci´ on comercial de repuestos. Observaci´ on 16 Es importante no considerar los salarios del personal de bodega en el costo de intervenci´ on de mantenci´ on; y si hacerlo en el costo de almacenamiento de mantenci´ on. El costo de almacenamiento siempre se mide como un costo por unidad de tiempo ca (t) en funci´on del nivel de repuestos disponibles en cada instante t, luego, si se desea evaluar durante alg´ un intervalo dado T , Z T Ca (T ) = ca (t)dt 0

´ DE SOBRE-INVERSIONES 2.5. AMORTIZACION

2.5.

23

Amortizaci´ on de sobre-inversiones

Al dise˜ nar la planta, lo correcto es tomar la decisi´on de equipos que minimicen el costo global de mantenci´ on durante su ciclo de vida. Ello implica en general que se compren equipos cuyas inversiones iniciales son mayores que las de otros que cumplen las mismos requerimientos pero cuyos costos de intervenci´ on y alamcenamiento asociados se estiman menores. A fin de incluir la sobre-inversi´ on, se amortiza la diferencia sobre la vida del equipo. Asi es posible castigar en el costo global las inversiones extras requeridas para disminuir los demas componentes del costo. Por ejemplo, Considerese un equipo 1 con valor inicial X, Su costo de intervenci´ on anual es y % de X, Su ciclo de vida tiene duraci´ on T ; Luego, durante la vida del equipo, Ci,1 = XyT por otro lado, existe la alterntiva de un equipo con mayor valor, X + ∆X que hace que el anterior tenga un sobrecosto en intervenciones de z %, Luego el sobrecosto en intervenciones del equipo 1 durante su ciclo de vida es, Ci,1 z Si el sobrecosto es mayor que la inversion extra ∆X, vale la pena invertir m´as y amortizar durante el periodo T .

2.6.

Valores referenciales

A nivel de dise˜ no del departamento de mantenci´on y despues, a nivel de reingenieria de la organizaci´on es importante conocer valores de referencia para las componentes del costo global. Ello depender´a principalmente del tama˜ no de la planta, el tipo de industria, entre otros criterios. A fin de establecer valores de referencia para los costos de intervenci´on es necesario comparar nuestra empresa con otras del mismo rubro, pero de clase mundial .Podemos usar diferentes variables de comparaci´ on: valor de los equipos en planta volumen de producci´ on valor agregado

2.6.1.

Para el costo de intervenci´ on

Ci vs valor de lo equipos El valor de los equipos (Ve ) corresponde a los gastos que ser´ıan requeridos para comprar equipos que realicen las mismas funciones. No se considera, transporte, instalaci´on, puesta a punto. El Ci /Ve es uno de los indicadores m´as interesantes a fines de comparaci´on. La tabla 2.1 muestra algunos valores de referencia. Observaci´ on 17 Para interpretar correctamente el Ci /Ve se debe tomar en cuenta el numero de horas anuales que funciona el equipo. Un equipo funcionando 1000 h/a˜ no y otro similar operando 8500 h/a˜ no evidentemente no tendr´ an el mismo Ci /Ve

CAP´ITULO 2. ESTRUCTURA DE COSTOS

24

Equipo de producci´ on y tipo de uso Proceso ligero Proceso pesado Equipos de trabajos p´ ublicos Equipos ”autodestructivos” Taller de fabricaci´ on agroalimentario Taller de procesamiento agroalimentario M´aquinas herramientas Herramientas maestranza

Ci /Ve % 3.1 6.9 15 25 4.1 8.5 9.5 13.1

Desviaci´ on % 0.9 1.5 2.3 0 0.7 1.3 1.7 0.9

Nro de horas anuales 2500 7000 2000 5000 5500 5000 5000 3000

Cuadro 2.1: Valores referenciales CIM/VAN

1400 y = -222,58Ln(x) + 1590,6

Costos (Francos '95)

1200 1000 800 600 400 200 0 0

100

200

300

400

Capacidad (KTon/año) Figura 2.1: Ci /Vp en industrias quimicas (Francos/Ton) (Vp =1 Ton) Ci vs volumen de producci´ on El volumen de producci´ on (Vp ) es una medida del nivel de uso dado a los equipos. Por ejemplo: horas de operaci´on continua en equipos, toneladas en equipos qu´ımicos, siderurgia e industrias agroalimentarias. Este indicador permite: Comparar equipos o plantas similares tomando en cuenta las horas de utilizaci´on de los equipos; Recalcar que la redundancia de equipos o el sobre-equipamiento eleva los costos de intervenci´on de mantenci´on. Equipos mostrando Ci /Vp muy sobre el valor referencial indica vejez del equipo o condiciones de operaci´on dif´ıciles (ambiente, calidad de operadores). Ci vs valor agregado El valor agregado (Va ) por el equipo es un indicador muy usado aunque no toma en cuenta las condiciones de operaci´ on. El nivel de automatizaci´on puede no influenciar el Ci /Va debido a que a mayor cantidad de equipos, mayor productividad (valor agregado) pero tambi´en se incrementan el costo de intervenci´on de mantenci´ on.

2.7. COSTOS REFERENCIALES EN PLANTAS DE PROCESO

2.6.2.

25

Para el costo de falla

En este caso utilizamos como variables de comparaci´on: horas de pana/horas de funcionamiento producci´ on aceptable/capacidad nominal etc. Evitar la existencia del costo de falla es una de las paradojas de la funci´on mantenci´on debido a que tal esfuerzo implica incrementar el costo de intervenci´on. El control del costo global de mantenci´on es entonces un proceso iterativo (para niveles estables de utilizaci´on del equipo).

2.6.3.

Para el costo de almacenamiento

El indicador: costo de almacenamiento valor de inventario tiene un valor referencial en las industrias de 26.2 % con una desviaci´on media de 4.2 %. Hay que tomar en cuenta que el nivel de repuestos est´a estrechamente ligado al costo de falla de mantenci´ on y al riesgo de que se produzcan fallas. El valor de referencia medio del inventario de repuestos valor del inventario valor de los equipos varia entre 1.5 % y 2.5 % del valor (nuevo) de los equipos a mantener. El costo de almacenamiento representa entre 4 % y 6 % del Ci . Por ello no debe ser una preocupaci´on mayor en la gesti´ on del costo global de mantenci´on (vease an´alisis de Pareto).

2.7.

Costos referenciales en plantas de proceso

Tradicionalmente el int´eres acad´emico del la investigaci´on de operaciones aplicada a plantas de proceso se ha concentrado en: control de procesos, planificaci´ on y programaci´ on, control de calidad, inventario, y diagnostico de fallas. Sin embargo, los gerentes de planta se enfrentan con decisiones de mantenci´on preventiva que pueden afectar severamente la performance de la planta, por lo que el an´alisis de confiabilidad es crucial para la operaci´on global del proceso. La tabla 2.2 muestra algunos valores referenciales para plantas de proceso seg´ un varios autores. Seg´ un referencia Tan’97[2], los costos de falla de una planta qu´ımica t,´ıpica oscilan entre los 50o USD/hora hasta lso 100.000 USD/hora. Seg´ un la misma referencia una refiner´ıa media pierde 10 dias de producci´ on por a˜ no debido a fallas de equipos, con un costo de falla estimado en 20 a 30 mil USD/hora.

CAP´ITULO 2. ESTRUCTURA DE COSTOS

26

Indicador costos de intervenci´ on/ventas Dise˜ no de programas de mantenci´ on/costos de capital

Costos de intervenci´ on/presupuesto de operaciones Variabilidad en costo de operaci´ on a causa de mantenci´on Disponibilidad de dise˜ no Para una refiner´ıa t´ıpica Disponibilidad Costo de falla Fallas dominantes en refiner´ıas Bombas y compresores Hornos Tuber´ıas Columnas y reactores Intercambiadores Fallas dominantes en plantas de amon´ıaco Compresores Fugas Calderas Intercambiadores

Estimaci´on 6% 2-6 % 3-6 % 4% hasta 50 % 20-30 % ∼ 50 % 70 % 95 %

Referencia King’90[3] Grievink et King’90 Douglas’88 Grievink et Van rijn’87 Grievink et Grievink et Douglas’88

90-95 % 20-30 KUSD/h

Moore’94 Moore’94 Lees’80

33.9 %

Less’80

Cuadro 2.2: Indicadores econ´omicos y de confiabilidad para plantas qu´ımicas

al. ’93

al. ’93 al. ’93 al. ’93

Bibliograf´ıa [1] Douglas, J.M. (1988) Conceptual Desgin of Chemical Processes. Mc-Graw-Hill, New York. [2] Grievink, J.,Smit, K., Dekker, R. and van Rijn, C. (1993),Managing Reliability and Maintenance in the Process Industry. Paper presented ant Foundations of Computer Aided Process Operations, Crested Butle Resort, CO. [3] King,R.(1990) Safety in the Process Industries. Butterworth-Heinemann, Boston, MA. [4] Lees, F.P. (1980) Loss Prevention in the Process Industries I and II. Butterworth-Heinemann, Boston, MA. [5] Moore, J. (1994) World Wide Refining and Gas Processing Directory, Penn Well, Tulsa, OK. [6] Tan, J.S. and Kramer, M.A., (1997) A General Framework for Preventive Maintenance Optimization in Chemical Process Operations, Computers chem, Engng, Vol 21, No. 12, 1451-1469. [7] Van Rijn, C.F.H. (1987) A Systems Engineering Approach to Reliability, Availability, and Maintenance. Paper presented at Foundations of Computer Aided Process Operations, Park city, UT. [8] Musgrave, K. and Sulis, E., (1993) How Dome Increased Maintenance Effectiveness and Reduced Costs, CIM Bulletin 86 (970): 60-63. en ebib, llego oct03, email enviado por phd thesis ’98 [9] , Komonen, K., A cost model of industrial maintenance for profitability analysis and benchmarking, International Journal of Production Economics, 79(1), 15-31, 2002.

27

28

BIBLIOGRAF´IA

Cap´ıtulo 3

Costo de fallas de grupos de equipos 3.1.

Introducci´ on

Los costos que aparecen cuando un equipo falla pueden ser divididos en 2 grandes categor´ıas: costos de intervenci´ on correctivos • mano de obra • repuestos costos de falla Los costos de de intervenci´ on correctivos pueden ser registrados f´acilmente usando m´etodos de contabilidad cl´ asica. Por su lado, la evaluaci´on de los costos de falla se presenta como un problema dif´ıcil que solo puede ser resuelto con certeza bajo condiciones bien especiales (sencillas), como veremos mas adelante. Una estimaci´ on adecuada de los costos de falla de cada equipo puede influenciar las decisiones de mantenci´ on de 3 maneras: 1. Pueden ser usados como indicadores del efecto de las fallas sobre la producci´on1 . Ello permite la comparaci´ on entre equipos para realizar una an´alisis de criticidad (Pareto); 2. Permiten determinar la efectividad de las estrategias de mantenci´on aplicadas al estudiar su valor acumulado por periodo de control2 ; 3. Pueden ser usados en modelos de reemplazo de equipos como veremos en otros cap´ıtulos. Deben ser a˜ nadidos a los costos de operaci´on e intervenci´on para establecer la vida optima del equipo. En general, la evaluaci´ on de los costos de falla es dif´ıcil pues no se puede aplicar modelos de costos convencionales. De hecho, solo pueden ser estimados debido a la naturaleza aleatoria de las fallas y de las condiciones de demanda. Usualmente los modelos de costo definen un costo de falla por unidad de tiempo constante cf . Esta forma de evaluar el costo de falla es adecuada cuando una funci´on productiva es realizada por un sistema simple y donde la falla de un componente causa la detenci´on de la producci´on. La limitaciones inherentes a tal enfoque se har´ an patentes a continuaci´on. El modelo que presentaremos a continuaci´on est´a orientado a tareas que sean realizadas por grupos de equipos similares; por ejemplo, una flotilla de camiones de carga. El lector interesado es referido al articulo [16]. 1 Ese

es el caso si dominan claramente el costo global. NdP. ese sentido, son mejores indicadores que la disponibilidad pues este ultimo indicador no toma en cuenta el efecto sobre el costo global de mantenci´ on; el cual debe ser minimizado.NdP. 2 En

29

CAP´ITULO 3. COSTO DE FALLAS DE GRUPOS DE EQUIPOS

30

c

l

d

r

Figura 3.1: Costo de falla acumulado y sus componentes

3.2.

An´ alisis del costo de falla

Para estimar adecuadamente el costo de falla de un equipo, es necesario relacionarlo con otros que cumplan funciones similares en grupos (”molinos”, ¸camiones mina”, etc). Tal clasificaci´on permite tomar en cuenta que ante la falla de uno, otros asumen parcial o totalmente las tareas que el mismo realizaba. Adicionalmente, un equipo puede cumplir diversas funciones productivas seg´ un una serie de variables: nivel de producci´ on, estacionalidad, requerimientos de otras areas productivas ,etc. Ello obliga a definir diversos escenarios en que la falla del equipo puede ocurrir (”transporte de lingotes”, ”transporte de maquinaria”, etc.). Adem´as, podemos establecer diversas categor´ıas de costos de falla, para priorizar y facilitar el an´alisis de costos. As´ı, tenemos que para un universo de equipos dado, se aplican diversos niveles de clasificaci´on: grupo, escenarios, categor´ıas. Observaci´ on 18 Un proximo nivel de clasificaci´ on podr´ıa incluir los modos de falla de los equipos; sin embargo ello puede alargar el an´ alisis de manera importante. NdP. La habilidad para estimar los costos de falla depende de la disponibilidad de informaci´on para describir lo que ocurre cuando un equipo falla. Por tanto, es necesario definir escenarios para describir la tarea y que pasa cuando un miembro de un grupo falla. Con ello se logra enfocar el an´alisis de costos y definir marcos de referencia para describir los efectos econ´omicos de la falla. Muchos equipos realizan mas de un tipo de tarea y fallan bajo diferentes circunstancias. El tiempo (y recursos) necesarios para superarlas es generalmente diferente para cada escenario. Observaci´ on 19 Al momento de estimar los costos de falla, se ponderan y suman los diferentes escenarios.

3.3.

Categor´ıas de costos de falla

A fin de simplificar el an´alisis usaremos cuatro categor´ıas: Impacto sobre recursos asociados Costo financiero de los equipos Impacto sobre el grupo de equipos Impacto de m´etodos alternativos

´ DEL COSTO DE FALLAS 3.4. ESTIMACION

3.3.1.

31

Impacto sobre recursos asociados

Este tipo de costo aparece por el efecto que la falla de un equipo tiene en la productividad de los recursos asociados al mismo: mano de obra, otros equipos. Usualmente: aparecen r´ apidamente tras la falla, est´ an directamente relacionados con la ocurrencia de la falla y, son proporcionales al numero de fallas. Ejemplo 11 costo asociado al tiempo productivo perdido por un conductor cuyo cami´ on ha fallado Ejemplo 12 costo asociado al tiempo productivo perdido por el mec´ anico que debe atender la pana y no realizar sus trabajos programados Este tipo de costo de falla tambi´en incluye aquellos que ocurren cuando la falla de un equipo afecta la productividad de otra (que no pertenezca a su grupo, ello ser´a considerado en otra categor´ıa). Ejemplo 13 Perdida de productividad de un cami´ on de carga cuando el cargador frontal falla. Ejemplo 14 Perdida de productividad de un cargador frontal cuando el cami´ on que est´ a cargando falla.

3.3.2.

Costo financiero de los equipos

Se definen los costos financieros de los equipos como aquellos costos que pueden o deben ser cargados dado que se espera que los recursos que representan inversiones de capital en bienes productivos deben estar disponibles para operar tanto como sea posible. Se basan en el concepto de que debe existir un mecanismo de castigo que motive a los gerentes a tener los equipos disponibles cuando sea necesario. Estos costos son an´ alogos de muchas maneras a los costos de almacenamiento. Observaci´ on 20 Este costo no es considerado por la norma francesa en el costo global de mantenci´ on. Parece arbitrario cobrarlo solo cuando la maquina ha fallado. Por comparaci´ on, el costo de almacenamiento es cargado 100 % del tiempo. NdP.

3.3.3.

Impacto sobre el grupo

Est tipo de costo de falla est´ a relacionado con el grupo de equipos. Ocurre cuando uno o mas equipos del grupo falla y por tanto otros equipos deben trabajar de manera mas costosa, menos eficiente para asegurar el nivel de demanda. Ejemplo 15 La falla de un cami´ on que obliga a los restantes a trabajar sobretiempo para mantener el nivel del servicio.

3.3.4.

Impacto de m´ etodos alternativos

Este tipo de costo de falla ocurre cuando la falla de una maquina obliga a cambiar desde un m´etodo o´ptimo a otro con mayores costos de operaci´on. Ocurren normalmente solo tras un periodo extendido de falla, y frecuentemente envuelven costos adicionales asociados a movilizar recursos necesarios para el m´etodo alternativo. Ejemplo 16 Uso de veh´ıculos standard en vez de veh´ıculos adaptados a tareas especificas.

3.4.

Estimaci´ on del costo de fallas

A fin de evaluar cada una de las categor´ıas de costo de fallas antes descritas se definen procedimientos para su correcta estimaci´ on:

CAP´ITULO 3. COSTO DE FALLAS DE GRUPOS DE EQUIPOS

32

n

o

m

c

l

d

r

Figura 3.2: Impacto sobre recursos asociados

c

l

d

r

Figura 3.3: Costo financiero de los equipos

3.4.1.

Impacto sobre recursos asociados

La figura 3.2 muestra el periodo de tiempo en el cual se incurre en este tipo de costo y su evoluci´on temporal. Se ubican en alguna zona entre el cese de la operaciones normales (tc ) y el instante cuando se retorna a la situaci´ on normal de operaci´ on (tr ). En general, cada recurso asociado al equipo con falla es afectado de manera diferente y tiene un delay (intervalo [tc , tl ]) diferente. Durante este intervalo el impacto de la falla aun no es observable. Ejemplo 17 delay corto: el del chofer de un cami´ on que ha fallado. Cada uno de los recursos asociados es impactado durante el intervalo [tc , td ]. La duraci´on del impacto puede ser igual a la duraci´ on total [tc , tr ] si el replaneamiento del recurso no es posible. Por otro lado, puede ser sustancialmente mas corta que [tc , tr ] si se puede reasignar el recurso durante el periodo afectado por la falla. Como la duraci´ on y el delay es distinto para cada recurso asociado afectado, la curva acumulada de costo de falla tiene perfiles del tipo lmno. Finalmente el costo total de falla es y(d) $/falla.

3.4.2.

Costo financiero de los equipos

Son calculados de manera similar al caso anterior, tomando en cuenta el delay del impacto y su duraci´on (ver figura 3.3). Para estimarlo se requiere del costo financiero por unidad de tiempo cf,f que se obtiene a partir de la inversion inicial en el mismo.

3.4.3.

Impacto en el nivel del servicio

Los costos de falla de este tipo ocurren cuando uno o mas equipos de un grupo falla(n) y ello causa que el remanente de equipos absorba su carga de una manera mas costosa, para mantener el nivel del

´ DEL COSTO DE FALLAS 3.4. ESTIMACION

33

o

n m c

d

l

r

Figura 3.4: Costo por m´etodo alternativo servicio. El problema para cuantificar estos costos reside en los siguientes factores: 1. El nivel de demanda del servicio vs el numero de equipos disponibles para cubrirla 2. La capacidad de trabajo grupal est´a definida por la condici´on de que un numero dado de equipos estar´ a disponible en cualquier instante, de acuerdo a la disponibilidad de cada miembro del grupo. Lo anterior se revela muy complejo en general y para resolverlo se recurre a simulaciones de Monte Carlo, las que realizan los siguientes pasos: 1. Se calcula la disponibilidad Ai de cada maquina de acuerdo a Ai =

Di Di + Ni

donde Di es el tiempo que la i-esima maquina est´a detenida por fallas y Ni es el tiempo de operaci´ on de la misma. 2. Usando los valores Ai , la simulaci´on estima las probabilidades de disponer de q = 0, 1, 2, 3, ... unidades fuera de servicio y la frecuencia con que cada unidad X falla estad´ısticamente cuando hay q = 0, 1, 2, 3, ... equipos fuera de servicio. 3. Usando los resultados de la simulaci´on, se calcula la probabilidad cruzada P (X, q) de que q unidades est´en fuera de servicio cuando el equipo X ha fallado. 4. Se calcula el costo adicional por unidad de tiempo cf,s (X, q) requerido para mantener le nivel del servicio si hay q = 1, 2, 3, ..., m unidades fuera de servicio. 5. Se estiman los costos por unidad de tiempo para cada maquina X a trav´es de X cf,s (X) = P (X, q)cf,s (X, q) q

3.4.4.

Impacto de m´ etodos alternativos

Los costos de falla de esta clase aparecen cuando la falla de un equipo del grupo fuerza un cambio de m´etodo y la organizaci´ on sufre un costo de falla proporcional al costo diferencial entre los m´etodos. La evoluci´on de este tipo de costos desde la falla se muestra en figura 3.4. En este caso se nota: 1. Hay un salto vertical yl − ym justo al comenzar el uso del nuevo m´etodo en el instante tl ; representa el costo de configurar el nuevo m´etodo.

CAP´ITULO 3. COSTO DE FALLAS DE GRUPOS DE EQUIPOS

34

400 Capacidad (Toneladas)

350 300 250 200 150 100 50 0 1960

1970

1980

1990

2000

Tiempo

Figura 3.5: Evoluci´on de Capacidad 2. El costo por unidad de tiempo durante el uso del nuevo m´etodo es la diferencia entre los costos por unidad de tiempo entre el m´etodo original y el m´etodo alternativo. 3. Hay un segundo salto vertical yn − yo al final del uso del m´etodo alternativo y que refleja el costo de regresar al m´etodo original. Observaci´ on 21 Dado que los costos de movilizaci´ on y desmovilizaci´ on son variables seg´ un la severidad de las fallas; se aproxima ponderando los diferentes casos y encontrando un valor esperado para yl − ym y yn − yo .

3.5.

Estudio de caso

Durante los u ´ltimos 20 a˜ nos se ha observado una clara tendencia a incrementar la capacidad y el nivel de automatizaci´ on en los equipos mineros. Ello ha sido motivado fundamentalmente por razones de econom´ıa, pero tambi´en por la conveniencia de reducir el recurso humano en tareas tan hostiles. La figura (??) muestra la evoluci´on de la capacidad de los camiones de mina a rajo abierto en los u ´ltimos 40 a˜ nos. Se aprecia que en los u ´ltimos 30 a˜ nos ella se ha triplicado. Los equipos de mayor capacidad logran ahorro por la generaci´on de econom´ıas de escala, razones para ello son: Los costos de intervenci´ on se reducen • Las cuadrillas de mantenedores y operadores son mas peque˜ nas; Los consumos energ´eticos por tonelada de producto se reducen; Los costos de almacenamiento se reducen; • menor cantidad de repuestos en bodega Sin embargo, es posible que el costo global de mantenimiento crezca, ello es as´ı por: Equipos mas grandes y modernos tienen mayor nivel de complejidad, lo que reduce su confiabilidad y mantenibilidad; Los costos de falla pueden incrementarse sustancialmente, como veremos. Especificas a la miner´ıa subterr´ anea:

3.5. ESTUDIO DE CASO

35

• se incrementan sustancialmente los costos de ventilaci´on Actualmente varias minas de rajo abierto est´an considerando cambiar desde flotillas de camiones de 240 toneladas a nuevas con camiones de 320 (Komatsu 930E, por ejemplo) y 360 toneladas (Caterpillar 797). Proyecciones recientes muestran que para 2005 habr´an alrededor de 500 camiones de m´as de 300 toneladas en el mundo[1]. Operacionalmente una flota de 20 camiones de 360 toneladas es capaz de realizar lo mismo que una de 30 camiones de 240 toneladas (7200 Ton/ciclo). Aparentemente, el factor m´as importante en la decisi´ on es el costo de capital. Sin embargo, estudiaremos que tambi´en se deben tomar posibles incrementos en el costo global de mantenci´on, y en especifico en el costo de falla. Se estima que los costos de mantenimiento representan el 40 % de los costos totales de explotaci´on en una mina a rajo abierto[2]. Si se excluye el procesamiento, el costo de mantenimiento representa aproximadamente el 50 % del costo de extracci´on. En la mayor´ıa de las minas, cuando ocurren fallas, el sistema de despacho balancea las asignaciones a los camiones, de modo de reducir el impacto en la producci´on. En tal caso, el transporte se vuelve el cuello de botella del proceso. Sin embargo, el efecto de una falla sobre la producci´on no es monitoreado como un costo. Cuando la reducci´ on en la producci´on es importante, algunas minas tienen la suerte de disponer de contratistas para suplir el deficit de capacidad. El costo de subcontratar es usualmente cargado como un costo de operaci´ on y no como uno de mantenimiento, debido a una pana no programada. Si no se dispone de contratistas, la producci´ on se retrasa respecto de sus metas, lo que puede acarrear castigos importantes por no satisfacer las demandas contratadas. Usualmente, el costo de capital es el factor mas importante tomado en cuenta en la toma de decisi´on del cambio a camiones de otra capacidad. Sin embargo, hasta los repuestos pueden ser un factor importante a tomar en cuenta, por ejemplo, los neum´aticos de un Komatsu 930E tienen un valor de 35 KUSD/unidad. La mayor capacidad de los equipos puede incrementar el costo de almacenamiento de manera importante. Otro ejemplo de incremento de costos por mayor capacidad pueden ser las inversiones necesarias para adaptar los talleres a los nuevos camiones.

3.5.1.

Formulaci´ on del modelo

Consideremos las siguientes condiciones, La flota tiene n camiones; La tasa de falla sigue una distribuci´on exponencial con media M T BF ; El tiempo para reparaciones sigue una distribuci´on lognormal con media M T T R unidades de tiempo y desviaci´ on standard σ unidades de tiempo; Un cami´ on es reemplazado tan pronto como falla (el taller y la cuadrilla de mantenedores no es una restricci´ on); Se considera que el mantenimiento preventivo implica que un cami´on no est´a disponible para cualquier instante t; En caso de ocurrir una falla, se dispone de un contratista que puede ofrece hasta nc camiones de reemplazo; El costo de subcontratar es considerado como un costo de operaci´on y no de mantenimiento, El costo de falla por unidad de tiempo y por cami´on es cf ; El costo de intervenci´ on correctivo por unidad de tiempo y por cami´on es ci,c ; El costo global de mantenimiento por unidad de tiempo considera solo el costo de falla y el mantenimiento correctivo: cg = cf + ci,c α se define como la fracci´ on de tiempo en que la mina est´a incurriendo en costo de falla (cuando el contratista ya ha sido copado);

CAP´ITULO 3. COSTO DE FALLAS DE GRUPOS DE EQUIPOS

36

Los ingresos son iu unidades monetarias/unidad de producto; el horizonte de an´ alisis es T .

3.5.2.

Simulaci´ on

Para cada cami´ on j, • simular un vector de estado Sj (t) (figura 3.6),  1 si el equipo opera en t ∈ (0, T ) Sj (t) = 0 si est´a siendo reparado a partir de los par´ ametros para el T BF y el T T R; El mantenimiento preventivo es considerado en el n-esimo cami´on (por ejemplo), Sn (t) = 0 ∀t ∈ (0, T ) Para cada instante t, • Calcular a partir de Sj (t) el numero de camiones operando (figura 3.7): x(t) =

X

Sj (t)

j

• Calcular la estimaci´ on para el costo de falla con T

Z

[(n − nc ) − x(t)I(t)] cf,u dt

Cf (T ) = 0

donde



1 0

I(t) =

si x(t) < n − nc , t ∈ (0, T ) -

• la fracci´ on de tiempo donde existe costo de falla como RT α(T ) =

0

I(t)dt T

La probabilidad de disponer de k camiones en operaci´on (figura 3.8), RT p(x(t) = k) = donde

 Ik (t) =

3.5.3.

1 0

0

Ik (t)dt T

si x(t) = k, t ∈ (0, T ) -

Ejemplo num´ erico

Consideremos 2 flotas de camiones con la misma capacidad total (7200 toneladas/ciclo), La flota 240 posee 30 camiones de 240 toneladas; La flota 360 posee 20 camiones de 360 toneladas; El horizonte de an´ alisis es T = 1 a˜ no (24 × 365 = 8760 horas);

3.5. ESTUDIO DE CASO

37

1.5

Status operativo

1

0.5

0

-0.5

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Tiempo (horas)

Figura 3.6: Status operativo simulado para un cami´on

20

19

Nro. Equipos operativos

18

17

16

15

14

13

12

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Tiempo (horas)

Figura 3.7: Numero de equipos en operaci´on

200

CAP´ITULO 3. COSTO DE FALLAS DE GRUPOS DE EQUIPOS

38

0.4

0.35

Probabilidad

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

0

1

2

3

4

5

6

7

Nro. equipos detenidos

Figura 3.8: Probabilidad para numero de equipos disponibles El M T BF para ambos camiones es de 65 horas de operaci´on (escenario favorable para los camiones de mayor capacidad); El M T T R es de 4 horas, la desviaci´ on es de 1 hora; Un cami´on cumple en promedio 10 ciclos de carga en 3 horas; Los ingresos unitarios son de iu = 1 USD/Ton; Los costos de intervenci´ on correctivos de un cami´on de 240 Ton se estiman en 85 USD/hora de pana; para un cami´ on de 360 Ton, en 100 USD/hora de pana; El costo de falla de un cami´ on de 240 Toneladas es: cf,240 = 240Ton/ciclo ×

10 ciclos/hora × 1 USD/Ton 3

= 800 USD/hora idem, para los de 360 toneladas, cf,360 = 1200 USD/hora luego el costo global por unidad de tiempo (considerando solo mantenimiento correctivo) es cg,240 = 800 + 85 = 885 USD/hora y cg,360 = 1200 + 100 = 1300 USD/hora Para igualar capacidad de subcontrataci´ on se consideran capacidades subcontratadas iguales (720 toneladas/ciclo), nc,240 = 3 nc,360 = 2 Los resultados obtenidos (una simulaci´ on en cada caso) se muestran en tabla (3.1)3 . 3 En

Matlab , >> apuntes1(’me57a-roman00’)

3.6. COMENTARIOS FINALES

Capacidad (Ton) 240 360 360

M T BF (horas) 65 65 65 · 0,90

39

nc 3 2 2

cf (USD/hora) 885 1300 1300

Cg (MUSD/a˜ no) 0,84 1,47 1,66

α 0,08 0,10 0,11

Var.Cg ( %) − +75 % +97 %

Cuadro 3.1: Resultados Las simulaciones muestran que efectivamente el cambio a la flota de 360 toneladas podr´ıa aumentar el costo global de mantenimiento en 75 % respecto de una flota de camiones de 240 toneladas. Una reducci´on de 10 % en el MTBF de los camiones de 360 toneladas empeora aun m´as la situaci´on (incremento de 97 %). En la figura (3.8) se muestran las probabilidades de tener k camiones de 240 toneladas operando. Se observa que lo m´ as probable es tener 2 camiones fuera de servicio. El taller debe ser capaz de reparar 6 0 7 camiones al mismo tiempo para que no se produzcan atascamientos por fallas y mantenimiento preventivo. Observaci´ on 22 Se nota cierta variabilidad en los resultados de las simulaciones. Ello puede deberse principalmente a que el modelo exponencial para el M T BF genera plazos muy variables entre fallas.

3.6.

Comentarios finales

Se ha presentado un modelo para estimar la evoluci´on del costo de falla de un equipo desde el momento en que ocurre la falla hasta que se retorna a la operaci´on normal. Hemos considerado su interdependencia con otros equipos en lo que hemos denominado grupos. El costo de falla ha sido desglosado en 4 categor´ıas. Ello permite una mejor comprensi´ on y an´alisis de las perdidas en que incurre la empresa cuando un equipo falla. Debido a la diversidad de modos de falla en que un equipo puede sufrir y de la gran cantidad de escenarios en los cuales ellos pueden pasar (pues depende de la variabilidad en la demanda y del estado del resto de los equipos del grupo) el an´alisis se puede tornar extremadamente complejo y es necesario establecer un grado de profundidad de compromiso. Hemos visto como la aproximaci´ on general al costo de falla como una costo por unidad de tiempo constante cf puede ser poco representativa de la compleja realidad operacional. Adicionalmente, en este modelo se ha considerado el cargar el costo financiero de la inversi´ on en el equipo solo cuando ocurre la falla. Ello puede considerarse arbitrario si se hace la analog´ıa con el costo de almacenamiento o la depreciaci´ on de equipos. El modelo ha considerado que el ritmo de producci´on se mantiene luego no se ha incluido el termino por las demandas no satisfechas. Tambi´en hemos visto como el incremento en los costos de falla puede ser importante en el proceso de toma de decisi´ on sobre el tama˜ no ´ optimo de los camiones de rajo abierto. Otros costos, tales como el de almacenamiento o el de intervenciones preventivas no han sido modelados, pero la extensi´on del modelo propuesto debiera ser expedita. Ejemplo 18 4 Consid´erese una linea de producci´ on con 2 equipos en serie (A y B). Entre ambos se mantiene una pila del producto semi-terminado cuyo nivel de referencia es xr unidades. La linea produce a un ritmo de x˙ unidades/unidad de tiempo en estado estacionario. El tiempo medio entre fallas de A es de M T BFA . La confiabilidad de B es unitaria. El tiempo medio para reparar A es M T T RA . Un producto terminado vale p $. Los costos de intervenci´ on correctivos son cicA $/falla. Establezca un modelo para el costo global esperado durante un intervalo T (con T  M T BFA ). Siendo un modelo sencillo consideraremos que los tiempos entre fallas y los tiempos para reparar son constantes. Evaluemos primero el costo de intervenci´on correctivo. En un intervalo T suficientemente largo se esperan: T fallas n= M T BFA + M T T RA 4 control

I, 2003-II

CAP´ITULO 3. COSTO DE FALLAS DE GRUPOS DE EQUIPOS

40

luego Cic (T ) = n · cicA =

T cicA $ M T BFA + M T T RA

Para el tiempo medio entre fallas definiremos dos casos. En el primero la reparaci´on demora menos que lo que dura el pulmon representado por la pila, luego: xr M T T RA < x˙ Asumiremos adicionalemente que la pila puede alcanzar su nivel de referencia antes de que ocurra la proxima falla y que no hay costos extras por acelerar el proceso a tasas de producci´on ligeramente superiores a x. ˙ Por conveniencia definiremos una par´ametro indicador:  1 si M T T RA < xx˙r I= 0 − En caso de que las reparaciones duren m´ as de lo que dura la pila, se incurrir´a en un costo de falla proporcional al tiempo en que se detenga la l´ınea, que ser´a: xr − M T T RA unidades de tiempo x˙ luego el costo de falla para cada falla es la merma en los ingresos: x  r − M T T RA · x˙ · p $/falla x˙ como hay n fallas durante T , x  r − M T T RA · x˙ · p · n Cf (T ) = I · 0 + (1 − I) x˙ x  T r = (1 − I) − M T T RA · x˙ · p · $ x˙ M T BFA + M T T RA luego el costo global queda: Cg (T ) = Cic (T ) + Cf (T )  x   T r = cicA + (1 − I) − M T T RA · x˙ · p $ M T BFA + M T T RA x˙

(3.1)

Una segunda opci´ on es caracterizar el T T R y el T BF . Asumamos distribuciones de densidad de probabilidad fr (t) para el tiempo para reparar y f (t) para el tiempo entre fallas. Tenemos (si no hay mantenimiento preventivo): Z ∞

M T BFA =

tf (t)dt unidades de tiempo 0

como veremos en capitulo §8. Para el tiempo medio para reparar: Z ∞ M T T RA = tfr (t)dt unidades de tiempo 0

Ahora, debemos calcular la probabilidad de no superar las reservas que hay en la pila, ello es (redefiniendo el parametro I):  xr  I = P T T RA < x˙ Z xx˙r = fr (t)dt 0

con lo cual podemos evaluar mejor (3.1). Una consideraci´ on interesante a a˜ nadir a este modelo es que la pila representa un capital detenido, al cual se le podr´ıa aplicar una tasa de descuento, tal como hacemos para los repuestos, para evaluar el costo de almacenamiento. Tambien podriamos a˜ nadir un sobrecosto por unidad por acelerar el proceso y poder retomar el nivel de reserva xr .

Bibliograf´ıa [1] Fair, A., Coward, J., Oxenford and Lipsett, M., Technology Visions for Mining at Syncrude, CIM Bulletin, Vol. 92, no. 1026, 113-120. [2] Mchattie, L. and Pearcy, D., Development of an Asset Management Strategy for the Iron Ore Company of Canada, 10th CIM Maintenance Engineering Conference, Saskatchewan, Canada, 1998. [3] Roman, P.A., Daneshmend, L., Economies of Scale in Mining- Assessing Upper Bounds with Simulation, The Engineering Economist, Vol. 45, No. 4, 326-338, 2000.

41

42

BIBLIOGRAF´IA

Cap´ıtulo 4

An´ alisis de modos de falla 4.1.

Introducci´ on

Antes de seleccionar una estrategia de mantenci´on para un equipo es conveniente conocer los fen´omenos que producen su degradaci´ on y falla. Las fallas pueden ser clasificadas como: Fallas catastr´ oficas que contemplan las fallas repentinas y completas, tales como la ruptura de un componente mec´ anico o un corto circuito en un sistema el´ectrico. Es dif´ıcil observar la degradaci´on y por tanto no es posible establecer procedimientos preventivos. Fallas por cambios en par´ ametros Fen´omenos tales como • desgaste mec´ anico, • fricci´ on, • aumentos en la resistencia de componentes electr´onicos; la degradaci´on es gradual y puede ser observada directa o indirectamente. De acuerdo a la tasa de fallas, la vida de un equipo se puede dividir en tres etapas: etapa temprana, caracterizada por una tasa de falla que decrece en el tiempo; etapa madura, caracterizada por una tasa constante de fallas; ancianidad, caracterizada por una tasa creciente de fallas. (ver figura 4.1). En el contexto de la recolecci´ on de datos de falla podemos distinguir:

4.1.1.

Fallas primarias

Son el resultado de una deficiencia de un componente, cuando esta ocurre en condiciones de operaci´on dentro del rango nominal. Ejemplo 19 Ruptura de un alabe de turbina cuando la velocidad es operacional.

4.1.2.

Fallas secundarias

Son el resultado de condiciones no nominales de operaci´on. Podr´ıa no haber habido falla si las condiciones hubiesen estado en el rango de dise˜ no del componente. Condiciones que causan fallas secundarias: temperaturas anormales, sobrepresi´ on, 43

´ CAP´ITULO 4. ANALISIS DE MODOS DE FALLA

44

0 0

tiempo

Figura 4.1: Etapas de la vida de un equipo: curva de ”la ba˜ nera” sobrecarga, velocidad anormal, vibraciones ambientales excesivas, corriente excesiva, contaminaci´ on, corrosi´on. La ocurrencia de condiciones ambientales degradadas no siempre conlleva la ocurrencia de una falla secundaria. Ejemplo 20 El incremento de la temperatura sobre el rango de dise˜ no puede causar la falla de un componente solo 60 % del tiempo, o sea, la probabilidad condicional de la falla del componente cuando hay un incremento anormal de la temperatura es de 0.6. Las fallas secundarias pueden ser clasificada en varias categor´ıas: Fallas con causa com´ un En este caso la falla secundaria induce fallas en m´as de un componente. Ejemplo 21 Un terremoto puede producir cargas severas en un numero de componentes e inducir su falla. Las cat´astrofes naturales son causas usuales de este tipo: terremotos, inundaciones, huracanes, explosiones, fuego. Mal funcionamiento de otros sistemas o componentes tambi´en pueden inducir fallas en varios componentes. Ejemplo 22 Una falla del sistema de aire acondicionado produce incremento en la temperatura y fallan varios componentes electr´ onicos. Fallas propagadas En este caso la falla de un componente induce la falla de otro. Si la falla del primer componente induce fallas en m´as de un componente puede ser considerada como falla con causa com´ un.

4.2. SISTEMAS REPARABLES Y NO REPARABLES

45

Fallas por error humano Si las fallas son causadas errores humanos en la operaci´on, mantenci´on, inspecci´on. Los errores humanos en la etapa de dise˜ no, construcci´on e instalaci´on del equipo son consideradas como fallas por error humano y no deben ser consideradas como fallas primarias. Si el error conlleva la falla de varios componentes, tambi´en se puede hablar de fallas con causa com´ un.

4.2.

Sistemas reparables y no reparables

Se dice que un componente es reparable si es reparado cuando se detecta su falla. En el contexto de la ingenier´ıa de confiabilidad, el reemplazo es equivalente a la reparaci´on. Usualmente se considera que un articulo reparado es tan confiable como uno nuevo. Si no es posible reparar el componente luego de detectar su falla, se habla de componente no reparable. Ejemplo 23 Si un componente inaccesible de un avi´ on falla en vuelo, no seria posible repararlo durante el vuelo. El componente puede, por supuesto, ser reparado luego del aterrizaje, pero esto es irrelevante desde el punto de vista de la operaci´ on del avi´ on durante ese vuelo. Aun si es posible reparar un componente tras la detecci´on de su falla pero si la pol´ıtica de operaci´on/mantenci´ on fuerza a su reparaci´on hasta el pr´oximo overhaul, tal componente es considerado como no reparable.

4.3.

An´ alisis de modos de falla, efectos y criticidad

El termino modo de falla es usado para referirse a las posibles maneras en que un componente puede fallar. Un componente puede tener uno o mas modos de falla. El an´ alisis de modos de falla, efectos y criticidad (FMECA por sus siglas en ingl´es) es probablemente el m´etodo mas usado y mas efectivo de an´alisis de confiabilidad. La referencia original es la norma militar americana US MIL-STD-16291 . El FMECA considera cada modo de falla de cada componente de un sistema y comprueba sus causas y efectos. El an´ alisis responde las siguientes preguntas para cada componente del sistema en estudio: ¿Como puede fallar el componente? ¿Cuales son las consecuencias de tal falla? ¿Cual es la criticidad de las consecuencias? ¿Como puede detectarse la falla? ¿Cuales son las salvaguardias contra la falla? El estudio logra: Asegurar que todos los modos de falla concebibles y sus efectos sean comprendidos Identificar debilidades en el dise˜ no Proveer alternativas en la etapa de dise˜ no Proveer criterios para prioridades en acciones correctivas Proveer criterios para prioridades en acciones preventivas Asistir en la identificaci´ on de fallas en sistemas con anomal´ıas 1 Procedures

for Performing a Failure Mode, Effects and Criticality Analysis

´ CAP´ITULO 4. ANALISIS DE MODOS DE FALLA

46

Sistema

Fecha Hoja

Plano Función

Hecha por Aprobada por

Numero Identificación Función Identificación funcional

Modos de Fase en falla y causas que ocurre

Efectos locales

Efectos Efectos en nivel superior finales

Método de detección

de

Medidas Nivel de compensatorias severidad

Observaciones

Figura 4.2: Hoja cualitativa FMECA El FMECA es una tarea de grupo que requieren participantes e informaci´on con las siguientes cualidades: Experiencia en el campo de aplicaci´ on, Conocimiento de la estructura del sistema en estudio, Informaci´ on de fallas, Criterios para fundamentar las recomendaciones. Un an´alisis FMECA puede estar basado en los componentes de un sistema (ejemplo: picadura en rodamiento) o en funcionalidades (ejemplo: no hay feedback). El enfoque funcional se utiliza cuando no se pueden identificar componentes espec´ıficos o cuando el dise˜ no no ha sido plenamente definido. La norma militar americana provee dos m´etodos para realizar el FMECA. El m´etodo 101 (ver figura 4.2) es cualitativo, y permite resaltar los modos de falla cuyos efectos son importantes en relaci´on a severidad, detectabilidad, mantenibilidad, seguridad. El m´etodo 102 (an´ alisis de criticidad) incluye consideraciones de tasa de falla o probabilidad, nivel de criticidad). Define el numero de criticidad del modo de falla m: Cm = βαλp t donde β es la probabilidad de perdida de la funci´on P (o confiabilidad) α es la raz´on de modo de falla (para un item α = 1) λp es la tasa de fallas t es el tiempo de operaci´ on del item Definici´ on 2 El numero de criticidad del item es la suma de los n´ umeros de criticidad de modo de falla del item. Observaci´ on 23 Notese que el costo de falla asociado a un equipo va implicito por la tasa de fallas y en la confiabilidad; aunque no se pondera directamente por la duraci´ on de una falla que es distinta para cada modo de falla. Lo mismo vale para el costo de intervenci´ on.

4.4.

Etapas del an´ alisis

El FMECA es realizado por un o m´ as ingenieros que tiene conocimientos a fondo del dise˜ no del sistema y de su aplicaci´ on. Los pasos a seguir son: Establecer el alcance del an´ alisis

´ 4.4. ETAPAS DEL ANALISIS

47

Sistema

Fecha Hoja Hecha por Aprobada por

Plano Función Numero Identificación Función Identificación funcional

Modos de Fase en falla y causas que ocurre

Probabilidad Probabilidad razón de tasa de falla del efecto modo de falla de falla

α

λ

p

de

tiempo Numero Criticidad de operación de criticidad del item del modo de falla Cm

Observaciones

Figura 4.3: Hoja cuantitativa del FMECA

Nº de sistema: LHD-SHLV

Hoja Nº 1

Sistema Analizad Sistema Hidráulico

Fecha: Septiembre, 1998

Identificación Niv. Tercel Nivel

Preparado por: C.O.W

Equipo:

Revisado por:

LHD

Identificación Funciones

Modos de Fallar

Item

y causas

Efectos localesProx. Nivel

Mover Aceite

Deficit de flujo:

Bajo

hidráulico

desgaste de la

rendimiento

del estanque

bomba; aceite y

a los

filtros en mal

Bomba doble

compartimiento estado, fugas

Daño

de 1

Método de

Acciones

Clasificación

Detección

Correctivas

de gravedad

Funcionamiento Detención

Aceite

Cambiar lo

Marginal y

Se mide con

lento de

equipo

quemado u

que falla:

ocasional

flujometro,

hidráulico,

dirección

(funcionamiento oscuro,

lento

y pesado

lento y defectuo- aumento de

mecanismos

so

temperatura

para saber si

calentamiento

Ef. Finales

sellos y bomba

hay

internas y fugas

o del aceite,

de los

bamba está

en los sellos.

problemas de

compartimen

mala

packing y

tos y lentitud

sellos. Cilindros

Movimiento

Rallado o doblado Lentitud, mal

Mal

de Vastago

(mucha carga que funcionamien

Funcionamiento equipo

produce fatiga

válvula

(funcionamiento oscuro,

de dirección

lento y defectuo- aumento de

to y

desgaste, packing calentamiento y fugas internas

Detención

so)

Aceite

Cambiar

Marginal,

quemado u

packing

razonablemente probable

temperatura, lento, no mantiene presión, se cae el balde

Válvulas L y V

Obs.

Distribuir el

Desgaste

Mal

Mal

Detención

aceite hacia

ralladuras

funcionamien

funcionamiento equipo

Problema

Cambiar,

Marginal y

la

reparar

sistema

picaduras

to levante,

válvulas

(funcionamiento temperatura

rectificar

ocasional

levante y

volteo y

LyV

lento y defectuo- superficial

túnel

volteo y bajar

dirección,

o subir

aumento

so.

posibilidad de falla de la bomba por aumento de temperatura por los problemas

Figura 4.4: Hoja del equipo minero LHD

´ CAP´ITULO 4. ANALISIS DE MODOS DE FALLA

48

Recopilar la informaci´ on necesaria Preparar la lista de componentes Llenar las fichas

4.4.1.

Establecer el alcance del an´ alisis

Para establecer los alcances es necesario identificar claramente: las fronteras del sistema a estudiar, la profundidad del an´ alisis Las hojas del FMECA pueden incluir la siguiente informaci´on sobre cada falla potencial de un componente: Causa ra´ız Posibles efectos Medios de detecci´ on Salvaguardias Frecuencia Criticidad de los efectos Dependiendo de la profundidad del an´ alisis puede que varios campos no sean completados. La profundidad tambi´en depende de cuando es realizado: por ejemplo, en un dise˜ no preliminar o luego del dise˜ no final. La decisi´ on debe ser tomada caso a caso.

4.4.2.

Recopilaci´ on de informaci´ on

El primer paso es obtener toda la informaci´on disponible del dise˜ no: Especificaciones Planos Informaci´ on CAD Memorias de an´ alisis de esfuerzos Resultados experimentales Etc. Para el an´alisis de criticidad tambi´en se requiere disponer de las predicciones de confiabilidad o pueden generarse simult´ aneamente.

´ 4.4. ETAPAS DEL ANALISIS

4.4.3.

49

Preparar la lista de componentes

Antes de rellenar las fichas y detectar los modos de falla para cada componente, se deben listar todos los componentes del sistema. Se deben especificar: funciones condiciones de operaci´ on (temperatura, carga, presi´on, etc.) condiciones ambientales Se debe construir un diagrama funcional de bloques lo que permite guiar y comprender el an´alisis completo. Observaci´ on 24 Si el sistema opera en mas de una fase y las relaciones funcionales cambian o los componentes operan en forma distinta, ello debe considerarse en el an´ alisis. Tambi´en debe evaluarse el efecto de equipos redundantes. Observaci´ on 25 Un FMECA puede enfocarse en distintos puntos de vista: seguridad, ´exito de la misi´ on, disponibilidad, costo de intervenci´ on, detectabilidad de los efectos, etc. Por ejemplo un FMECA orientado a la seguridad puede dar un bajo nivel de criticidad a un componente de baja disponibilidad pero cuyos efectos no son cr´ıticos para la seguridad.

4.4.4.

Completando las fichas

Componente Se debe identificar los componentes de manera un´ıvoca. Por ejemplo: v´ alvula es insuficiente. M´as correcto es v´ alvula B2K (como en el plano). Funci´ on Muy breve, en muchos an´ alisis se omite por ser obvio. Modos de falla Las posibles formas en que un componente puede fallar: por vejez: corrosi´ on, fatiga, etc. por condiciones de operaci´ on: en autom´atico, en manual, etc. condiciones ambientales: terremoto, tornado, etc. por clase de operaci´ on: prematura, tard´ıa, deformaci´on excesiva, etc. Frecuencia de la falla Puede ser el tiempo medio entre fallas (MTBF) o alg´ un numero que pondere entre los equipos. Criticidad Usualmente se usa un sistema de ponderaci´on de acuerdo a: I: Insignificante, el efecto sobre la confiabilidad y/o disponibilidad es m´ınimo II: Menor, no afecta la seguridad pero si la confiabilidad y disponibilidad III: Mayor, no afecta la seguridad pero si la confiabilidad y disponibilidad de manera importante IV: Cr´ıtica, la seguridad es afectada

´ CAP´ITULO 4. ANALISIS DE MODOS DE FALLA

50

Figura 4.5: Diagrama del calentador de agua

4.5.

Usos del FMECA

Aparte de identificar los modos de falla y efectos: 1. Preparaci´ on de ´ arboles de decisi´ on para detectar causas de los problemas 2. Preparaci´ on de requerimientos de mantenci´on preventiva 3. Dise˜ no de auto-tests, indicadores de falla, componentes redundantes Observaci´ on 26 Existen softwares especiales para FMECA. Ejemplo: PREDICTOR, FMEA Facilitator (www.fmeca.com), . El uso de planillas de calculo es muy com´ un. Ejercicio 1 Construya un FMECA para alguno de los siguientes equipos: lavadora, sistema de frenos de un veh´ıculo, radio de transistores, otro equipo que le sea familiar. Ejercicio 2 Considere el calentador de agua mostrado en la figura. El sistema provee de agua caliente en un cierto rango de temperatura configuradas (por ejemplo entre 40 y 80o C). El agua es calentada con gas. Cuando la temperatura del agua est´ a bajo un nivel seleccionado (50 o C por ejemplo), el sensor/comparador de temperatura manda una se˜ nal al controlador para que abra la valvula de gas. Tan pronto el agua llega a la temperatura configurada, el sensor manda la se˜ nal de cierre al controlador. Cuando el agua se empieza a enfriar y el agua pasa por la temperatura fijada, el sensor/comparador vuelve a mandar la se˜ nal de abrir el paso de gas. La valvula de paso (”check valve”) a la entrada del agua fr´ıa previene flujo inverso debido a la sobrepresi´ on en el sistema de agua caliente. La valvula de seguridad est´ a configurada para abrir si la presi´ on de agua excede los 100 psi. 1. Realice un an´ alisis FMECA para al menos 4 modos de falla. 2. Priorice para definir un plan de mantenci´on.

4.6. ESTUDIO DE CASO

51

Marca Isuzu Mercedes Mitsubichi Cummin Isuzu-CJR MAN Total Edad

Dic’ 91 37 35 30 16 8 0 126 75 %5a˜ nos

Dic’94 19 0 17 0 8+33 42 119

Cuadro 4.1: Unidades de la flota

4.6.

Estudio de caso

El estudio considera la aplicaci´ on de an´alisis de modo de falla, efectos y criticidad para una flota de buses interprovinciales de Malasia. Fue realizado entre 1991 y 1995[2]. El an´alisis tambien considera el efecto de la frecuencia entre inspecciones. Ello ser´a estudiado en el capitulo §16.

4.6.1.

Descripci´ on de la compa˜ nia

Se trata de una empresa con m´as de 25 a˜ nos de operaci´on al momento de iniciar el estudio. En 1991 operaba m´ as de 125 buses. En promedio, se programaban 120 viajes interprovinciales diariamente, cubriendo en promedio unos 500 Km/viaje. y transportando alrededor de 5000 personas/d´ıa. Esto valores que no cambiaron significativamente durante el estudio, lo que no ocurrio para las marcas y las edades de los veh´ıculos, donde si hubo un cambio significativo (vertabla 26.12). La compa˜ nia empleaba alrededor de 600 personas, de las cuales un 20 % estaban relacionadas con mantenimiento.

4.6.2.

Diagn´ ostico inicial del mantenimiento

De los registros de panas en carretera, se encontraron 833 fallas en 1990, lo que equivale a 2.3 fallas/d´ıa. Cuando ocurr´ıa una falla, la mayor´ıa de las ocasiones se requer´ıa un bus y un conductor de reemplazo, y 2 mec´ anicos. La disponibilidad de buses era manejada v´ıa redundancia. Tambi´en se not´o que la disponibilidad deseada de 80 % para la flota era apenas alcanzada. Como resultado, y para alcanzar los requerimientos operacionales, se deb´ıan reprogramar buses para realizar viajes extras. La situaci´on se complicaba aun mas cuando no hab´ıan buses en stand-by. 30 % de los viajes eran realizados con retraso. La culpa era principalmente de mantenimiento pues no alcanzaba a reparar los buses a tiempo. Los costos de mantenimiento representaban 27 % de los costos de operaci´on. En 1991 se realizaban 4 tipos de actividades preventivas. Tres de ellas son consideradas como actividades livianas (A,B y C) y la ultima como pesada (D). La actividad A se realizaba diariamente y consist´ıa en una inspecci´on visual y auditiva simple al final de cada viaje diario. Duraba aproximadamente 3 minutos. La actividad B se realizaba hacia cada 8000 Km. Consist´ıa en una actividad A combinada con cambio de aceite y filtro. Duraci´ on aproximada: 15 minutos. La actividad C se realizaba cada 24000 Km. Correspond´ıa a una intervenci´on B m´as cambio de aceite en la caja de transmisi´ on y en el arb´ol trasero, y reemplazo del filtro de combustible. Duraci´on aproximada: 1 hora. La actividad D se realizaba cada 6 meses. Consist´ıa en una preparaci´on del bus para la certificaci´on t´ecnica. No exist´ıa un registro formal de intervenciones realizadas. Los trabajos t´ıpicos er´an: cambio de anillos, chequeo de sistemas de frenado, el´ectricos y de combustible; Inspecci´on de la estructura. Tiempo promedio: 2 dias. Durante el periodo del estudio se disminuyeron las frecuencias para las actividades B y C por razones tecnolog´ıas asociadas a lubricantes de mejor calidad. La actividad B se extendi´o de 8000 Km a 14000 Km, y la actividad C, desde 24000 km a 42000 km.

´ CAP´ITULO 4. ANALISIS DE MODOS DE FALLA

52

4.6.3.

Datos existentes

De las actividades de inspecci´ on diarias y de intervenci´on planificada se registraban: fecha,hora observaciones del conductor lo que quedaba registrado en la hoja del inspector y en las hojas de las actividades. No se registraban detalles del trabajo de reparaci´on realizado tras una inspecci´on, ni la edad del equipo (Km). No se hac´ıan reportes o indicadores a partir de estos registros. De las intervenciones de pana, se registraban: fecha, hora lugar identificaci´ on del bus, del conductor, de la ruta identificaci´ on del bus y del chofer de reemplazo identificaci´ on de los mec´ anicos descripci´on breve de la falla En otra forma se registraba: el trabajo realizado tiempo tomado (para calcular sobretiempos) Respecto de las actividades D, exist´ıan ordenes de trabajo para las unidades apropiadas dentro del taller. Si bien en la orden se inclu´ıan campos para identificar el bus, el tipo de trabajo, la fecha, las horas hombre empleadas; estos datos no eran completados. No se hac´ıan reportes semanales o mensuales de los datos registrados. Los registros individuales de cada veh´ıculo, que en teor´ıa inclu´ıan intervenciones preventivas, registros de inspecciones, fallas y mantenimientos mayores, exist´ıan, pero en la practica solo se registraban los cambios de neum´aticos, y el tipo de mantenimiento realizado (A-D). La situaci´on de registro y uso de los datos no es at´ıpica de pa´ıses en vias de desarrollo, donde, si los datos son registrados, aun as´ı son incompletos, inaccesibles, poco usados, y por tanto de poco valor.

4.6.4.

An´ alisis de modos de falla, efectos y criticidad

Este tipo de an´ alisis exige el registro de dato: modos de falla, causas y consecuencias; medios de prevenci´on. La recolecci´ on de datos inicio su marcha blanca en un proceso de 1 mes, primero como un m´etodo de ensayo de an´alisis, pero tambi´en como ejercicio de entrenamiento para familiarizar a los ingenieros y al staff en los conceptos y el m´etodo a ser usado. Luego se pas´o a un segundo survey, que dur´o 2 meses. Los objetivos del an´ alisis de modos de falla son: reconocer y describir la escala y la naturaleza de las fallas y ganar una visi´on general de las necesidades actuales de mantenimiento; identificar y hacer resaltar las areas de mejoras potenciales y las directivas requeridas para realizar tales mejoras. El an´alisis de modos de falla se llev´ o a cabo entre enero y febrero de 1992. Durante el estudio se registraron 123 panas, excluyendo las fallas de neum´aticos; se detectaron 212 defectos (excluyendo neum´aticos) y 674 defectos de neum´ aticos. Las figuras 4.6-4.8 identifican:

4.6. ESTUDIO DE CASO

Figura 4.6: Numero de fallas por subsistema y por causa

Figura 4.7: Costos de intervenci´on (repuestos)por subsistema y por causa

53

´ CAP´ITULO 4. ANALISIS DE MODOS DE FALLA

54

Figura 4.8: Numero de fallas por subsistema y por medio de prevenci´on componentes cr´ıticos causas mayores de falla medios posibles de prevenci´ on La figura 4.6 muestra el numero total de fallas (tanto de pana como detectadas en inspecci´on), por subsistema funcional tenemos: Sub-sistema Motor Transmisi´on Frenos Aire P acondicionado

% fallas 25 23 13 17 88

Cuadro 4.2: Porcentaje de fallas por subsistema A su vez, 75 % de las fallas de motor eran causadas por: Sub-sistema Combustible Refrigeraci´on Lubricaci´ on. P

% fallas 34 27 14 75

Cuadro 4.3: Porcentaje de fallas Subsistema Motor Las fallas de transmisi´ on eran causadas principalmente por: Las fallas de frenos: Para el sistema de refrigeraci´on,

4.6. ESTUDIO DE CASO

55

subsistema carcasa control de embrague caja reductora a ´ rbol de transmisi´on P

% fallas 29 13 14 18 78

Cuadro 4.4: Porcentaje de fallas Subsistema Transmisi´on

sub-sistema conjunto alineamiento sistema de aireaci´on P

%fallas 33 40 73

Cuadro 4.5: Porcentaje de fallas Subsistema Frenos

subsistema motor piping evaporador P

%fallas 18 39 16 73

Cuadro 4.6: Porcentaje de fallas Subsistema Refrigeraci´on

Sub-sistema Motor Transmisi´on Frenos

% panas/subsistema 45 37 53

Cuadro 4.7: Porcentaje de panas por subsistema

´ CAP´ITULO 4. ANALISIS DE MODOS DE FALLA

56

Adem´as se observa que La figura 4.6 tambi´en indica la naturaleza de las fallas. El desgaste es considerado la causa dominante de fallas. Tambi´en se encontr´ o que, excepto las fallas de ruedas, donde la causa dominante es la configuraci´on defectuosa, en todas las otros subsistemas, la causa dominante es el desgaste. Otras causas de fallas como la calidad de la conducci´ on, lubricaci´on y mal dise˜ no eran significativas, pero no dominantes. Como resultado de la no detecci´ on de fallas y la ocurrencia de panas, la compa˜ nia puede reduce su nivel de disponibilidad, incrementa sus costos de falla y acrecienta el nivel de desagrado de los consumidores. En este estudio, se registraron 2 tipos de datos: costos de intervenci´on (repuestos, horas hombre) y tiempos de reparaci´on y de inspecci´ on. El tiempo de reparaci´ on incluye: el tiempo para diagnosticar la falla, el tiempo para obtener los repuestos, y el de la reparaci´ on misma. La figura 4.7 muestra la parte del costo de intervenci´on asociado a repuestos para cada subsistema, durante el periodo del estudio. Se observa que las fallas de motor representan m´as de la mitad de los costos en repuestos. Observaci´ on 27 El estudio presentado se concentr´ o en los costos de repuestos. Un enfoque m´ as completo deber´ıa incluir los costos de mano de obra y de falla (en suma, el costo global). Sin embargo, ello puede ser muy demandante para el an´ alisis. Podemos de alguna forma asumir que los dem´ as costos son proporcionales a los de los repuestos para poder priorizar.NdP. El estudio tambi´en mostr´ o que las fallas de motor asociadas con mala conducci´on eran indicadas por rotura de pistones o del bloque. Tales fallas eran causadas principalmente por fallas en los sistemas de refrigeraci´on y lubricaci´ on. Si, de acuerdo a los ingenieros, el conductor hubiese estado alerta a los indicadores de malfuncionamiento de tales subsistemas, se podr´ıan haber evitado las fallas. La figura 4.8 muestra el numero de fallas con pana en el camino y su posible acci´on preventiva. Seg´ un la opini´ on de los ingenieros, 74 % de las fallas podr´ıan haber sido prevenidas o evitadas con un programa de mantenimiento preventivo adecuado. Ello no significa que econ´ omicamente se justifique el implementar tal programa, pero implica la posibilidad de considerar tal estrategia. La figura 4.8 indica que casi 80 % de las panas de motor (en carretera) pueden ser evitadas con mantenimiento preventivo. El an´alisis mostr´ o adem´ as que la mayor´ıa de las panas de motor eran provocadas por: v´alvulas rotas o con fugas, bombas de combustible rotas, fugas en el piping de combustible y del radiador. Para los componentes de la transmisi´ on que causan panas, se consider´o que el mantenimiento preventivo es considerado tan importante como para el motor. La mayor´ıa de los problemas de transmici´on fueron provocados por problemas asociados al desgaste del embrague y fallas en el ´ arbol de transmisi´ on. Las fallas de los pernos de rueda tambi´en pueden ser prevenidas mejorando la supervisi´on y las practicas de mantenimiento. Es sabido que estos componente fallan por excesivo o muy poco apriete de las tuercas. Al presentar estos resultados result´ o evidente que era la primera vez que se daba una vista general tan detallada de la operaci´ on de los buses. El estudio increment´o el status de los ingenieros al tomar en cuenta sus juicios y opiniones. Ello ayud´ o a crear un ambiente que estimulo y motivo al staff superior de la compa˜ nia a verse envuelto en las mejoras necesarias. Un estudio enriquecido con opiniones de m´as de 30 ingenieros se realiz´ o para asegurar que practicas podrian/deberian ser realizadas en mantenimiento preventivo y en inspecciones. Ello revel´ o un consenso importante de que las inspecciones y las reparaciones estaban siendo realizadas defectuosamente. Entre los factores discutidos destacan:

4.7. COMENTARIOS FINALES

57

tiempo inadecuados para llevar a cabo las tareas falta de supervisi´ on checklist de inspecci´ on inadecuados falta de capacitaci´ on de los mec´anicos El impacto inmediato del an´ alisis de modos de fallas fue que, teniendo identificado el subsistema, la naturaleza y las causas de las fallas, se generaron inmediatamente un conjunto de soluciones: 1. Revisi´ on de la lista de items a revisar en las inspecciones, y en el formato de la hoja de inspecci´on. La nueva hoja inclu´ıa, aparte de los items de checklist, una descripci´on de las fallas reportadas y detectadas durante la inspecci´on, acciones tomadas, nombre del inspector y de los mec´anicos. Tras cada revisi´ on, el documento es endosado por el jefe a cargo. Esto incrementa la supervisi´on y mejorar la calidad de la inspecci´on. 2. La introducci´ on de reemplazo preventivo de piezas tales como: embrague, alternador; adem´as, el reacondicionamiento peri´ odico de la unidad de acondicionamiento de aire. 3. Capacitaci´ on de los conductores en operaci´on y mantenimiento b´asico de los veh´ıculos. Los efectos de tales medidas ser´ an descritos m´as adelante.

4.7.

Comentarios finales

El FMECA se concentra en identificar las fallas posibles de los componentes. As´ı, se identifican deficiencias en el dise˜ no, que se pueden mejorar. Tambi´en se pueden recomendar programas de inspecci´on efectivos. Se puede priorizar en funci´on de frecuencia y criticidad, de modo de concentrar los esfuerzos en aquellos modos de mayor prioridad. Una limitaci´ on del FMECA es que se trata de un an´alisis de falla simple. Eso es, que cada modo de falla es considerado individualmente. Si un modo de falla es capaz por si solo de afectar el funcionamiento del sistema, ello es identificado por el FMECA. Sin embargo, particularmente en sistemas complejos, un solo modo de falla puede no afectar negativamente al sistema, pero si se combina con otro si . El FMECA no est´a adaptado para este segundo caso; y es mejor utilizar la t´ecnica del ´ arbol de fallas.

58

´ CAP´ITULO 4. ANALISIS DE MODOS DE FALLA

Bibliograf´ıa [1] C.R. Sundararajan. Guide to Reliability Engineering. Van Nostrand Reinhold, 1991. [2] P. Lyonnet. Maintenance Planning, Methods and Mathematics. Chapman & Hall, 1991. [3] P. O’connor, Practical Reliability Engineering, 3rd ed., John Wyley & Sons, 1991. [4] R.L. Post, HAZROP: an Approach to Combining HAZOP and RCM, Hydrocarbon Processing, may 2001, 69-76. [5] Desa, M.I. and Christer, A.H., Modelling in the Absence of Data: A Case Study of Fleet Maintenance in a Developing Country, Journal of the Operational Research Society, 52, 247-260, 2001.

59

60

BIBLIOGRAF´IA

Cap´ıtulo 5

´ Arboles de falla 5.1.

Introducci´ on

El an´ alisis de ´ arbol de fallas es uno de los m´etodos de m´as amplio uso en el an´alisis de confiabilidad. Es un procedimiento deductivo para determinar las diversas combinaciones de fallas a nivel componente que pueden desencadenar eventos no deseados especificados al inicio del an´alisis. Los ´arboles de falla tambi´en son usados para calcular la probabilidad de que ocurrencia del evento en estudio a partir de la probabilidad de ocurrencia de las fallas de los componentes. Para un sistema dado, se pueden hacer tantos an´ alisis como eventos no deseados se deseen estudiar. Los ´ arboles de falla pueden ser realizados desde etapas tempranas del dise˜ no; y luego ser actualizados en funci´ on del mayor conocimiento que se tenga del sistema. Luego de la puesta en marcha del sistema, los ´arboles tambi´en son utilizados para identificar las causas ra´ıces de las fallas. En la construcci´ on del ´ arbol, la falla a estudiar se denomina el evento principal. Otros eventos de falla que puedan contribuir a la ocurrencia del evento principal son identificados y ligados al mismo a trav´es de funciones l´ ogicas. Los ´ arboles terminan en eventos b´ asicos (no abre, no inicia,...). Una vez que la estructura del ´ arbol ha sido construida, el an´alisis subsiguiente toma dos formas. El an´ alisis cualitativo reduce el ´ arbol hasta obtener un conjunto m´ınimo de modos de falla para el ´arbol; para realizarlo se utiliza ´ algebra booleana. El an´ alisis cuantitativo del ´arbol de falla consiste en calcular la probabilidad de ocurrencia del evento principal a partir de la probabilidad de ocurrencia de los eventos b´asicos en un cierto intervalo T . Observaci´ on 28 Si la cantidad de eventos b´ asicos es mayor a 100 aproximadamente, el an´ alisis cuantitativo debe ser potenciado con software ad hoc.

5.2.

Construcci´ on del ´ arbol

Lo primero es seleccionar el evento principal, todo evento siguiente sera considerado en t´erminos de su efecto sobre el evento principal. Luego se identifican los eventos que pueden causar el evento principal. Existen 4 posibilidades: 1. el dispositivo no recibi´ o una se˜ nal necesaria para operar 2. el dispositivo mismo ha sufrido una falla 3. un error humano, por ejemplo no se ha operado un interruptor o no se ha instalado correctamente el dispositivo 4. ha ocurrido un evento externo que impide operar al dispositivo. Si se decide que cualquiera de los eventos identificados puede causar el evento principal, se usa el conector OR. 61

´ CAP´ITULO 5. ARBOLES DE FALLA

62

Evento principal

Breaker no opera

Conector OR Eventos básicos

Falla del Breaker

No hay señal de trip

Incendio del recinto

Posible falla externa

´ Figura 5.1: Arbol de falla de un breaker Breaker no opera

Falla del Breaker

No hay señal de trip

Contacto A cerrado

Incendio del recinto

Contacto B cerrado

Figura 5.2: Desarrollo de una rama del ´arbol Ejemplo 24 Para un breaker de un circuito, se tiene el ´ arbol de falla de figura 5.1. Una vez que se ha determinado una lista de eventos de primer nivel, debe decidirse si es necesario seguir expandiendo el ´ arbol. Tal decisi´ on puede ser influenciada por: ignorancia respecto de los modos de falla de los eventos b´asicos o deseo de limitar el nivel de detalle del an´alisis. Si se decide que una rama del ´ arbol debe ser detenida, el evento b´asico es mostrado gr´aficamente por un circulo. Ello implica que el evento es independiente de otros eventos subsecuentes. Ejemplo 25 Para el breaker del ejemplo anterior, la se˜ nal de trip (detenci´ on) es trasmitida a trav´es dos contactos Ay B (en serie). si uno o ambos operan la se˜ nal es transportada. Para que no haya se˜ nal de trip, ambos deben fallar. El evento ”No hay se˜ nal de trip” es descrita por el conector AN D (figura 5.2. Ejemplo 26 La figura 5.3 muestra el diagrama de una pinza. El ´ arbol de fallas asociado se muestra en figura 5.4.

5.3.

Reglas para construir un ´ arbol de falla

1. Identifique el evento de falla a) de que falla se trata b) cuando ocurre la falla

´ 5.3. REGLAS PARA CONSTRUIR UN ARBOL DE FALLA

63

Actuador A

Control Hidráulico A

Actuador B

Control Hidráulico B

Pinza

Figura 5.3: Diagrama de una pinza

Pinza No suelta

Falla mecanismo

Actuadores No regresan

Actuador A No regresa

Actuador A Falla en extensión

Control hidráulico A Falla en extensión

Actuador B No regresa

Actuador B Falla en extensión

´ Figura 5.4: Arbol de falla

Control hidráulico B Falla en extensión

´ CAP´ITULO 5. ARBOLES DE FALLA

64

S´ımbolo

Nombre

Descripci´ on

Rectangulo

Evento de falla, usualmente es resultado de otros eventos

Circulo

Evento de falla primario, independiente

Diamante

Evento de falla cuyas causas no han sido desarrolladas

Casa

Evento b´ asico, no es un evento de falla

OR AND

El evento de salida ocurre si uno o mas de los eventos entrada ocurre El evento salida ocurre si y solo si todos los eventos entrada ocurren

INHIBIT

El evento salida ocurre cuando X ocurre y la condici´on A se presenta

Triangulo-IN

Representa una rama del ´arbol desarrollado en otro lado

Triangulo-OUT

El ´ arbol A es una rama de un ´arbol desarrollado en otro lado

A X A

A

Cuadro 5.1: Simb´olos usados 2. Hay 2 tipos de definici´ on de falla: falla del sistema y falla de un componente a) Si se trata de una falla del sistema use la regla 3 b) Si se trata de una falla de un componente use la regla 4 3. Una falla de sistema puede usar AN D, OR e IN HIBIT (o ning´ un conector). 4. Una falla de componente siempre usa el conector OR.

5.4.

Evaluaci´ on del ´ arbol

Usando el ´algebra booleana se puede reducir el ´arbol para mostrar el evento principal como una funci´on de los eventos b´ asicos.

5.4.1.

Procedimiento

1. Dar c´odigos a los conectores y eventos b´asicos 2. Listar tipos de conectores y entradas 3. Escribir la ecuaci´ on Booleana de cada conector 4. Usar ´algebra Booleana para resolver el evento principal en t´erminos de conjuntos 5. Eliminar redundancias en los conjuntos, para que sean m´ınimos.

5.4.2.

An´ alisis cualitativo

Ejemplo 27 Si se utilizan letras min´ usculas para los conectores y letras may´ usculas para los eventos, el diagrama del ´ arbol de falla de la pinza se muestra en figura 5.5. Para los conectores se tiene (A:mecanismo falla extendido, B: actuador A falla extendido, C: control A falla en modo extendido, D:actuador B falla

´ DEL ARBOL ´ 5.4. EVALUACION

65

Pinza No suelta

a A b

c

d C

B

D

E

´ Figura 5.5: Arbol de falla de la pinza extendido, E: control B falla en modo extendido: a=A+b b = cd c=B+C d=D+E por lo que a = A + (B + C)(D + E) = A + BD + BE + CD + CE Cada uno de los t´erminos en el lado derecho es un conjunto m´ınimo. En este ejemplo los modos de falla son: (A) el mecanismo falla, (BE) el actuador A y el control B fallan, (CD) el control A y el actuado B fallan, (CE) el control A y el control B fallan.

5.4.3.

An´ alisis cuantitativo

Aqu´ı se trata de calcular la probabilidad de que ocurra el evento principal, conociendo la probabilidad de ocurrencia de los eventos b´ asicos. En el caso del conector OR (figura 5.6), P (S) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

(5.1)

Si A y B son estad´ısticamente independientes (5.1) queda P (S) = P (A) + P (B) − P (A) · P (B) en caso de que P (A), P (B) ≤ 0,1 es v´alido utilizar la aproximaci´on de peque˜ nas probabilidades, que desprecia el tercer t´ermino: P (S) = P (A) + P (B) Si hay alguna dependencia, P (S) = P (A) + P (B) − P (A) · P (B/A) y para el conector AN D (figura 5.7), P (S) = P (A) · P (B)

´ CAP´ITULO 5. ARBOLES DE FALLA

66

S

B

A

Figura 5.6: Conector OR S

A

B

Figura 5.7: Conector AN D Ejemplo 28 Calcular la probabilidad de ocurrencia para el ejemplo anterior, asumiendo: P (A) = ,01 P (B) = P (C) = P (D) = P (E) = 0,1

5.5.

Dependencia entre eventos terminales

Si hay dependencia estad´ıstica entre 2 o m´as eventos terminales de un ´arbol, ello debe ser considerado en el an´alisis; de otra manera, las probabilidades que se calculen pueden tener errores importantes. Aun en an´alisis cualitativos es importante conocer la relaci´on estad´ıstica entre los eventos que pueden inducir el evento principal.La dependencia estad´ıstica m´as com´ un son las causas comunes.

5.5.1.

A depende de B

Considere 2 componentes A y B. Sea la probabilidad de falla de A dependiente del estado de B. Si no existe tal dependencia, la falla del componente A puede ser modelada como un evento terminal cl´asico. En caso de existir, la falla de A deja de ser terminal y se modela como una evento intermedio, como se muestra en figura 5.9. N´otese que el evento terminal ”B opera” tiene usualmente una alta probabilidad de ocurrencia; adem´as, los eventos ”B opera” y ”B falla” son complementarios y mutuamente exclusivos. Si el producto de la probabilidad de ”B falla” y ”A falla cuando B ha fallado” es mucho mayor que el producto de ”B opera” y ”A falla cuando B opera”, entonces la rama derecha del ´arbol debajo del conector OR puede ser obviada, y queda el ´arbol de figura 5.10.

5.5.2.

A y B mutuamente exclusivas

Consideremos otro caso donde las fallas de A y B son mutuamente exclusivas. En ese caso, la probabilidad de que A falla cuando B ha fallado es 0. Y por tanto la rama derecha bajo el conector OR de figura 5.9 puede ser obviada, como se muestra en figura 5.11.

5.5.3.

Dependencias en sistemas m´ as complejos

Consideremos ahora el sistema mostrado en la figura 5.12. Los componentes A y B est´an en paralelo y C en serie con ellos. Tomemos en primer lugar el caso en que la fallas de cualquiera son independientes del resto. El ´arbol se muestra en figura 5.13. Se ha usado la siguiente nomenclatura:

5.5. DEPENDENCIA ENTRE EVENTOS TERMINALES

67

Pinza No suelta

a 0.05

A

b 0.4

0.01

c 0.2

d 0.2

C

B 0.1

E

D 0.1

0.1

0.1

Figura 5.8: An´alisis cuantitativo

Falla de A

Falla de A cuando B ha fallado

Fallla de B

A fallla cuando B falla

Falla de A cuando B opera

B opera

A fallla cuando B opera

Figura 5.9: Eventos dependientes

´ CAP´ITULO 5. ARBOLES DE FALLA

68

Falla de A

Falla de A cuando B ha fallado

A fallla cuando B falla

Fallla de B

´ Figura 5.10: Arbol condensado

Falla de A

Falla de A cuando B opera

B opera

A fallla cuando B opera

Figura 5.11: Fallas mutuamente exclusivas

5.5. DEPENDENCIA ENTRE EVENTOS TERMINALES

69

A C B Figura 5.12: Sistema con redundancia

S

D1

A

C

B

Figura 5.13: Eventos independientes A,B,C: falla de A,B,C respectivamente S: falla del sistema D1: evento intermediario, A y B fallan Consideremos ahora el caso en el cual la falla de A depende de B. Se utiliza la notaci´on adicional: ¯ componente B opera B: A0: falla de componente A cuando B ha fallado A”: falla de componente A cuando B opera N´otese que la pate del ´ arbol bajo A es id´entica a la figura 5.9.

5.5.4.

A y B con correlaci´ on perfecta

Se dice que dos eventos A y B est´an completamente correlacionados, osea, su correlaci´on estad´ıstica es 1, cuando A ocurre si y solo si B ocurre y adem´as B ocurre si y solo si A ocurre. Si hay dos eventos de ese tipo en el ´ arbol, podemos simplemente reemplazar B por A cada vez que B aparezca. Consid´erese un ´ arbol muy sencillo donde el evento principal est´a conectado a dos eventos b´asicos por un conector OR. Ello representa a un sistema en serie sencillo. Si suponemos que ambos eventos son independientes la probabilidad calculada del evento principal ser´a un borne superior. Si asumimos que ambos eventos est´ an 100 % correlacionados, la probabilidad calculada ser´a un borne inferior. En casos m´as complejos no se pueden emitir conclusiones generales sobre el error cometido sobre la probabilidad estimada para el evento principal.

´ CAP´ITULO 5. ARBOLES DE FALLA

70

S

D1

C

A

B

A’

B

A’’

A/B

B

A/ B

Figura 5.14: A dependiente de B

5.6. 5.6.1.

Ejemplos Simplificaci´ on del ´ arbol

Considere el ´ arbol de fallas mostrado en figura. El evento principal representa la falla del sistema. Los eventos E1, ..., E4 son estad´ısticamente independientes y representan las fallas de componentes cuyas tasas de falla son λi i=1,..,4 respectivamente. Determine la confiabilidad del sistema en t. La confiabilidad de un componente es e−λi t .

T

G1

E1

G2

E4

E1

E2

E3

Figura 5.15: ´arbol de falla Por conveniencia definamos la probabilidad de que un elemento falle como qi = 1 − e−λi t

5.6. EJEMPLOS

71

y desarrollemos el ´ arbol con algebra Booleana: T = G1 · G2 = (E1 + E4) · (E1 + E2 + E3) = E12 + E1E2 + E1E3 + E4E1 + E4E2 + E4E3 = E1 + E1E2 + E1E3 + E4E1 + E4E2 + E4E3 Por ser un evento simple, E1 es necesariamente un conjunto minimo,luego, M 1 = E1 donde Mi indica el i-esimo conjunto minimo. E1E2, E1E3 y E4E1 no son conjuntos minimos pues contienen a un conjunto minimo (E1). Los conjuntos minimos restantes son: M 2 = E4E2 M 3 = E4E3 Si usamos la aproximaci´ on de peque˜ nas probabilidades (qi < 0,1): P (T, t) = P (M 1) + P (M 2) + P (M 3) = q1 + q2 q4 + q3 q4 luego, la confiabilidad del sistema es R(T, t) = 1 − P (T, t)

5.6.2.

Sistema de refrigeraci´ on

Considere el sistema de figura 5.16. Consiste de: bomba de velocidad constante, intercambiador de calor, valvula de control, tanque, tuber´ıa. La funci´ on del sistema es suplir con suficiente refrigeraci´on al equipo principal. El evento principal en este caso es la perdida de flujo m´ınimo al intercambiador de calor. Ella puede ocurrir por falla en la l´ınea principal o por problemas en la valvula. La ruptura de la tuber´ıa es un evento primario. Ejercicio 3 Construya el ´ arbol de falla del sistema mostrado en figura 5.18. El evento principal es la no operaci´ on del motor. Razones: falla interna del motor, no llega corriente al motor. • interruptor abierto, ◦ abierto ◦ falla interna • falla interna del cableado, • falla del fusible, ◦ sobrecarga: por corto-circuito en el cableado o por falla de la fuente ◦ falla interna

´ CAP´ITULO 5. ARBOLES DE FALLA

72

Figura 5.16: Sistema de refrigeraci´on

Caudal mínimo No alcanzado

No hay flujo desde la válvula

Ruptura de la línea

Ruptura de la válvula

Bloqueo del Flujo en la válvula

No hay flujo a la válvula

Perdida de carga en la descarga de la bomba

Valvula cerrada Más alla de Flujo mínimo

Objetos extraños En el fluido

Ruptura de la línea de entrada

Partes de la bomba entran a la válvula

Bomba Con falla interna

Válvula cerrada Completamente cuando El freno falla

Freno falla Cuando la Válvula Está en posición mínima

Falla de la bomba

Caudal insuficiente a la bomba

´ Figura 5.17: Arbol de falla

fusible interruptor Motor fuente cable

Figura 5.18: Diagrama del circuito del motor

Falla de Acoplamiento De la bomba

´ 5.7. ANALISIS DE IMPORTANCIA

73

Motor no opera

Falla Interna del motor

No llega corriente Al motor

Falla interna cableado

Falla fusible

Falla interna de la fuente

Sobrecarga Falla interna fusible

Corto circuito cableado

Falla interna De la fuente

´ Figura 5.19: Arbol de fallas del motor el´ectrico

5.7.

An´ alisis de importancia

Un ´ arbol de falla cualitativo provee al analista con informaci´on acerca de como la falla del sistema puede ocurrir o como puede asegurarse la operaci´on del sistema • que combinaci´ on de fallas de componentes -eventos terminales- puede provocar la falla del sistema -evento terminal-, o • que combinaci´ on de eventos exitosos asegura la operaci´on exitosa del sistema Un ´arbol de fallas provee la probabilidad de falla del sistema -evento principal-, lo que puede ser usado para decidir si la performance del sistema (confiabilidad, disponibilidad, seguridad) es aceptable o si son necesarios algunos cambios. Un an´ alisis de importancia es u ´til para el dise˜ no de sistemas que deban alcanzar niveles pre-establecidos de confiabilidad, desarrollar estrategias de mejoramiento de la confiabilidad desarrollar programas de mantenci´on basada en la confiabilidad etc.

5.7.1.

Medidas cuantitativas de importancia

La importancia de un evento terminal con respecto al evento principal puede ser definida sobre intervalos de tiempo dados. Entre las medidas de importancia m´as conocidas se tiene:

´ CAP´ITULO 5. ARBOLES DE FALLA

74

medida de Birnbaum medida de criticidad medida de la funci´ on de mejora (upgrading) medida de Vesely-Fusell medida de Barlow-Proschan medida secuencial contributiva Observaci´ on 29 Para su calculo, estas medidas consideran que los eventos terminales son estad´ısticamente independientes y sus resultados no clasifican necesariamente los eventos o conjuntos en el mismo orden. Observaci´ on 30 Dependiendo del intervalo de tiempo considerado y la dependencia de probabilidades de los eventos b´ asicos en funci´ on del tiempo, el orden de importancia puede variar incluso para una misma medida si se consideran 2 o mas intervalos de an´ alisis. Las observaciones 29 y 30 tambi´en valen para conjuntos m´ınimos.

5.7.2.

Vesely-Fussell para conjuntos m´ınimos

La importancia del j-esimo conjunto m´ınimo en el instante t se define como P (conjunto m´ınimo j en t) P (evento principal en t) Definamos la siguiente notaci´ on: IR,j (t), medida de importancia de Vesely-Fussell del j-esimo conjunto m´ınimo con respecto a la confiabilidad del evento principal en el instante t. Seg´ un su definici´ on, se calculan seg´ un: IR,j (t) =

Fj (t) FS (t)

donde F es la probabilidad acumulada de falla en t. Las ecuaciones ?? se basan en que lo conjuntos m´ınimos sean estad´ısticamente independientes. Se asume adem´as que la probabilidad de que m´as de un conjunto m´ınimo est´e en estado de falla en el instante t es muy peque˜ na comparada a la probabilidad de solo un conjunto m´ınimo est´e en estado de falla en el instante t; lo que es razonable para la mayor´ıa de los sistemas. Una vez calculadas los indicadores de importancia, los eventos terminales pueden ser clasificados de acuerdo a su importancia, en orden descendente. Ejemplo 29 Consid´erese un ´ arbol de falla cuyo evento principal es ’falla del sistema’. Los conjuntos m´ınimos son M1 = (E1 , E2 ) M2 = (E1 , E3 ) M3 = (E3 , E4 ) Los eventos terminales son estad´ısticamente independientes. La probabilidad acumulada de falla Fi de cada evento terminal para t = 4000 horas se muestran en tabla 25.19.La probabilidad acumulada de falla del sistema es entonces Fs = 3,7 · 10−2 . Calcule el indicador de importancia de Vesely-Fusell con respecto a la confiabilidad del sistema para t = 4000 horas.

´ 5.7. ANALISIS DE IMPORTANCIA

75

Evento i 1 2 3 4

Fi 10−2 7 · 10−3 2 · 10−2 3,7 · 10−2

Cuadro 5.2: Probabilidad acumulada de falla Soluci´ on 3 La importancia de cada conjunto m´ınimo es: F1 = 0,27 Fs F2 = 0,19 = Fs F1 = = 0,54 Fs

IR,1 = IR,2 IR,1

Luego, los conjuntos m´ınimos se clasifican as´ı: M3 , M1 , M2 La importancia de cada evento terminal con respecto a la confiabilidad del sistema para t = 4000 horas es: F1 + F2 = 0,46 Fs F1 = = 0,27 Fs F2 + F3 = = 0,73 Fs F3 = = 0,54 Fs

iR,1 = iR,2 iR,3 iR,4

y la importancia de los eventos terminales se ordena as´ı: E3 , E4 , E1 , E2 Ejemplo 30 El evento principal de un ´ arbol de falla es ’falla del sistema’. Los conjuntos m´ınimos del ´rbol son a M1 M2 M3 M4

= (E1 ) = (E2 ) = (E2 , E3 ) = (E3 , E4 )

La probabilidad acumulada de falla de los eventos terminales para t = 2400 horas son: F1 F2 F3 F4

= 0,04 = 0,02 = 0,05 = 0,08

Los eventos terminales son estad´ısticamente independientes. Calcule los indicadores de importancia de Vesely-Fussell para t = 2400 horas. Soluci´ on 4 Primero calculamos F de los conjuntos m´ınimos y del sistema: Fcm1 Fcm2 Fcm3 Fcm4

= F1 = 0,04 = F2 = 0,02 = F2 · F3 = 0,001 = F3 · F4 = 0,004

´ CAP´ITULO 5. ARBOLES DE FALLA

76

F del sistema es: Fs =

X

Fcmi = 0,065

i=1,4

y ahora podemos calcular los indicadores de importancia de los eventos terminales: F1 = 0,62 Fs F2 + F3 = 0,32 = Fs F3 + F4 = 0,077 = Fs F4 = 0,06 = Fs

IR,1 = IR,2 IR,1 IR,4 que se ordenan

E1, E2 , E3 , E4 Ejemplo 31 Para el sistema descrito en el ejemplo anterior, incremente la confiabilidad (en t = 2400 horas) de cada evento terminal en 50 % y determine la reducci´ on en la probabilidad acumulada de falla del sistema para ese instante. Soluci´ on 5 Expresemos F de los conjuntos m´ınimos y del sistema en t´erminos de F de los eventos terminales: Fcm1 Fcm2 Fcm3 Fcm4

= F1 = F2 = F2 · F3 = F3 · F4 X Fs = Fcmi i=1,4

1.

En caso de que F1 se reduzca en 50 %,

F10 = 0,02

se tiene que Fs0 = 0,045 luego, la confiabilidad del sistema aument´ o en ∆Fs 0,065 − 0,045 = = 30,8 % Fs 0,065 2.

En caso de que F2 se reduzca en 50 %,

F20 = 0,01

se tiene que Fs0 = 0,0545 luego, la confiabilidad del sistema aument´ o en ∆Fs 0,065 − 0,0545 = = 16,28 % Fs 0,065 3.

En caso de que F3 se reduzca en 50 %,

F30 = 0,025

se tiene que Fs0 = 0,0625

´ 5.7. ANALISIS DE IMPORTANCIA

Componente H1 H2 H3

77

Eventos terminales/Modos de falla E1 E2 , E 3 , E 5 E4

Cuadro 5.3: Relacin componente-evento terminal Ei 1 2 3 4 5

Ai 0.46 0.07 0.53 0.74 0.11

Cuadro 5.4: Disponibilidad en t=1500 horas luego, la confiabilidad del sistema aument´ o en ∆Fs 0,065 − 0,0625 = = 3,8 % Fs 0,065 4.

En caso de que F4 se reduzca en 50 %,

F40 = 0,04

se tiene que Fs0 = 0,063 luego, la confiabilidad del sistema aument´ o en ∆Fs 0,065 − 0,063 = = 3,1 % Fs 0,065 Luego, los eventos terminales son ordenados seg´ un su importancia: E1, E2 , E3 , E4 lo que corresponde a la medida de importancia de Vesely-Fussell.

5.7.3.

Vesely-Fussell para componentes

El concepto de importancia puede ser extendido a componentes. Si cada componente solo posee un evento terminal (modo de falla) asociado, entonces la importancia del componente ser´ a id´entica a la del evento terminal. Sin embargo, hay componentes que tienen m´as de un modo de falla asociado. La medida de Vesely-Fussell para los componentes se define como: X i∗R,j (t) = iR,k (t) k

donde el ´ındice k corre sobre los eventos terminales del ´arbol. Estas ecuaciones son aplicables solo si los eventos terminales son estad´ısticamente independientes. Ejemplo 32 Un sistema consiste de 3 componentes Hi , i = 1, 3. Los eventos terminales (modo de falla) Ei est´ an asociados a los componentes Hi seg´ un se indica en tabla 5.3. Soluci´ on 6 Las medidas de importancia de Vesely-Fussell para los componentes son: i∗R,1 (t) = iR,1 (t) = 0,46 i∗R,2 (t) = iR,2 (t) + iR,3 (t) + iR,5 (t) = 0,71 i∗R,3 (t) = iR,4 (t) = 0,74

´ CAP´ITULO 5. ARBOLES DE FALLA

78

H1

H2

H3

Figura 5.20: Sistema original S

E1

E2

E3

´ Figura 5.21: Arbol de fallas de la configuraci´on original luego, en orden decreciente de importancia: H 3 , H2 , H1 Ejemplo 33 Un sistema est´ a compuesto por 3 componentes dispuestos en serie (figura 5.20). Cada componente tiene un solo modo de falla asociado. La confiabilidad de los componentes H1 , H2 , H3 (para t = 8000 horas) son R1 = 0,999, R2 = 0,96, R3 = 0,97 respectivamente. Las fallas de cada componente son estad´ısticamente independientes. El costo de a˜ nadir cualquier componente redundante es similar. Se requiere una confiabilidad del sistema de 0,995 (en t = 8000 horas). Desarrolle una nueva configuraci´ on, a˜ nadiendo componentes redundantes a cualquiera de las etapas. Soluci´ on 7 Se requiere una confiabilidad de 0.995. Cualquier configuraci´ on con redundancia es aceptable. Primero, calculamos la confiabilidad del sistema original (figura 5.20). El ´ arbol de fallas para tal configuraci´ on se muestra en figura ??. Los conjuntos m´ınimos son: M1 = E 1 M2 = E 2 M3 = E 3 La disponibilidad del sistema es Rs = 1 − (1 − 0,999) − (1 − 0,96) − (1 − 0,97) = 0,929 lo que es inferior al nivel aceptable. Las medidas de importancia de Vesely-Fussell para cada componente con respecto a la disponibilidad, para t = 8000 horas es: Fcm1 F1 = = 0,014 Fs Fs Fcm2 F2 = = = 0,56 Fs Fs Fcm3 F3 = = = 0,42 Fs Fs

i∗R,1 = i∗R,2 i∗R,3

Luego la clasificaci´ on de los componentes es H 2 , H 3 , H1

5.8. COMENTARIOS FINALES

79

H1

H2

H3

H2

H3

Figura 5.22: Sistema modificado Dado que el costo de a˜ nadir un componente redundante es similar para cualquier etapa F2∗ = F2 · F2 = 0,042 = 0,0016 donde F2∗ es la prabobilidad acumulada de falla del la etapa 2 cuando hay un equipo redundante en esa etapa. La confiabilidad del sistema modificado es: Rs0 = (1 − F1 ) + (1 − F2∗ ) + (1 − F3 ) = 3 − (0,001 + 0,0016 + 0,03) = 0,9674 lo cual es aun inaceptable. Si a˜ nadimos otro componente redundante a la etapa 3, Rs00 = (1 − F1 ) + (1 − F2∗ ) + (1 − F3∗ ) = 3 − (0,001 + 0,0016 + 0,032 ) = 0,9965 lo que es aceptable. Se recomienda un sistema como el mostrado en la figura 5.22. Observaci´ on 31 En el an´ alisis de importancia no se toman en cuenta directamente los costos sino que la confiabilidad de componentes. Luego, los resultados de un an´ alisis de importancia sirven de complemento para un an´ alisis de costos.

5.8.

Comentarios finales

La t´ecnica de an´ alisis permite ahondar tanto como se desee en las causas ra´ıces de los problemas y las interacciones que deben ocurrir para generar el evento principal. La informaci´on obtenida puede ser explotada para definir programas de mantenci´on preventiva, inspecciones, procedimientos para diagnostico r´apido, etc. Existen una variedad de paquetes orientados al manejo de ´arboles de falla. Entre ellos encontramos: FaultTree+ , http://www.isographdirect.com/ Relex Fault Tree, http://www.relexsoftware.com/ CAFTA, http://fsg.saic.com/r&r/Products/cafta/cafta.htm CARA, http://www.sydvest.com/Support/cara-sr1.htm

80

´ CAP´ITULO 5. ARBOLES DE FALLA

Bibliograf´ıa [1] N.J McCormick. Reliability and Risk Analysis. Academic Press, 1981. [2] C.R. Sundararajan. Guide to Reliability Engineering. Van Nostrand Reinhold, 1991.

81

82

BIBLIOGRAF´IA

Cap´ıtulo 6

Otras t´ ecnicas de an´ alisis de fallas 6.1.

An´ alisis de Pareto

En el siglo XIX, Villefredo Pareto realiz´o un estudio sobre la distribuci´on de la riqueza en Milan. Encontr´ o que el 20 % de las personas controla el 80 % de la riqueza. Esta l´ogica de que los pocos poseen mucho y los muchos que tienen poco ha sido aplicada en muchas situaciones y es conocida como el principio de Pareto. Como una forma de priorizar y solventar la com´ un escasez de recursos del staff de mantenci´on, se utiliza el an´ alisis de Pareto o an´ alisis ABC. Para realizarlo, se integra sobre un horizonte de tiempo dado los costos asociados a mantenci´ on, por equipo, para una lista de equipos similares. Luego se ordenan los costos en orden decreciente y se representan gr´aficamente los costos acumulados (normalizados por la suma total de costos) vs la cantidad acumulada de fallas (normalizadas respecto de su total tambi´en). El resultado usual es de la forma mostrada en figura 6.1. La curva se divide en tres zonas: A, B y C. La Zona A muestra que aproximadamente 20 % de las fallas producen el 80 % de los costos; las fallas en esta zona deben claramente ser priorizadas. En la zona B se concentran 15 % de los costos, que son producidos por el 30 % de las fallas. La zona C solo concentra 5 % de los costos producidas por el 50 % de las fallas. Estas fallas tienen la prioridad de soluci´on m´as baja. Observaci´ on 32 El an´ alisis anterior considera que las fallas son similares en costo de intervenci´ on; en general este puede variar entre falla y falla de manera importante, dependiendo de los modos de falla involucrados. Ejemplo 34 Considere un grupo de m´ aquinas en un taller que llevan el registro de fallas listado en tabla 6.1: En la tabla 6.2 se realiza el an´ alisis de Pareto. Los resultados indican que las m´ aquinas 11, 10, 1, 8, 9 y 3 concentran el 79 % de las horas de detenci´ on, lo que implica su priorizaci´ on en las tareas de mantenci´ on. Las siguientes decisiones de mantenci´on deben ser tomadas: 1. Los componentes que componen la zona A deben recibir los mayores esfuerzos de mantenci´on: un programa de mantenci´ on preventiva, monitorio de su condici´on, nivel adecuado de stock de repuestos. 2. Un esfuerzo menor ser´ a concentrado en las m´aquinas pertenecientes al grupo B. 3. Los elementos del grupo C no requieren mantenci´on preventiva hasta una nueva evaluaci´on. Observaci´ on 33 El an´ alisis ABC tambi´en es muy usado como criterio para los niveles de repuestos en bodega. Observaci´ on 34 N´ otese la necesidad de registrar informaci´ on de costos y fallas por equipo. 83

´ ´ CAP´ITULO 6. OTRAS TECNICAS DE ANALISIS DE FALLAS

84

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Horas parada 100 32 50 19 4 30 40 80 55 150 160 5 10 20

Nro. de fallas 4 15 4 14 3 8 12 2 3 5 4 3 8 8

Cuadro 6.1: Registro de Fallas

Ci 160 150 100 80 55 50 40 32 30 20 19 10 5 4 755

Fi 4 5 4 2 3 4 12 15 8 8 14 8 3 3 93

P

Ci 160 310 410 490 545 595 635 667 697 717 736 746 751 755

P

Fi 4 9 13 15 18 22 34 49 57 65 79 87 90 93

1 CT

P

Ci 21 % 41 % 54 % 65 % 72 % 79 % 84 % 88 % 92 % 95 % 97 % 99 % 99 % 100 %

1 FT

P

Fi 4% 10 % 14 % 16 % 19 % 24 % 37 % 53 % 61 % 70 % 85 % 94 % 97 % 100 %

Cuadro 6.2: An´alisis de Pareto

Horas de detención

i 11 10 1 8 9 3 7 2 6 14 4 13 12 5 P

100% 80% 60% 40% 20% 0% 0%

20%

40%

60%

80%

Nro. fallas

Figura 6.1: Curva de Pareto

100%

´ 6.2. ARBOLES DE MANTENIMIENTO

85

Acción correctiva

Prueba

Paso

Verificación

Figura 6.2: Elemento del ´arbol Chequear pala

Pala no opera

bien

Verificar mangueras

mal

Detectar fugas bien

bien

Verificar válvula de presión

Verificar pala

mal Localizar falla

Cambiar magueras

mal Reparar

Verificar motor hidráulico mal

Verificar Reparar o cambiar

Reparar o cambiar

Verificar

Verificar

Verificar

´ Figura 6.3: Arbol de mantenimiento

6.2.

´ Arboles de mantenimiento

Como resultado de un ´ arbol de fallas se puede construir un ´arbol de mantenimiento para cada equipo y modo de falla. Los ´ arboles de mantenimiento son herramientas de ayuda para la diagnosis de fallas. De ellos se obtienen la lista ordenada de chequeos a realizar para identificar la falla. Un ejemplo se aprecia en figura 6.3. Observaci´ on 35 A fin de cumplir bien su rol, es necesario que los rombos del ´ arbol sean espec´ıficos, asociados a variables que puedan ser cuantificadas. Para ello es conveniente el uso de check-lists, donde se tomen valores (temperaturas, presiones, niveles de vibraci´ on,etc) o escalas de valores (bajo, medio, alto, ..). Observaci´ on 36 El orden de las tareas en el ´ arbol de mantenci´ on sigue una secuencia l´ ogica que sigue el orden de montaje/desmontaje del equipo (o el costo de intervenci´ on asociado). No coincide en general con el an´ alisis de importancia.

6.3.

Estudios de correlaci´ on

Cuando la causa de una falla no es evidente es u ´til realizar estudios de correlaci´on que relacionen eventos sospechosos de ser causa de fallas.

´ ´ CAP´ITULO 6. OTRAS TECNICAS DE ANALISIS DE FALLAS

86

Nro. Hoist 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Nro. Fallas 12 10 17 15 2 2 18 9 7 1 1

Carga total anual 12,5 14 20 17 6 4 25 12 8 2 1

Cuadro 6.3: Fallas y niveles de carga por mquina Ejercicio 4 Existe alguna relaci´ on entre el numero de fallas y el tiempo de operaci´ on?... el nivel de carga? ...la puesta en marcha de otro proceso? Matem´aticamente la correlaci´ on se mide con el coeficiente de correlaci´on ρ, que se define: ρ=

E ([x − E(x)] [y − E(y)]) σ x σy

donde x e y tienen distribuciones normales. En la practica se usa la aproximaci´on: P 2 2 (xi − x ¯) (yi − y¯) q q ρˆ = P P 2 2 (xi − x ¯) (yi − y¯) que toma valores en [−1, 1]. Si las variables no tienen distribuci´ on normal se puede aplicar el coeficiente de correlaci´on de Spearman. El cual consiste en: 1. Ordenar los pares los valores xi y los valores yi de menor a mayor, 2. Asignar un peso wi a cada valor de xi , empezando con 1 por el menor valor e incrementando en 1. Si dos o mas valores son iguales se asigna un valor de peso promedio; 3. Hacer los mismo para cada valor de yi ; 4. Para cada par (xi , yi ) se calcula la diferencia di entre el peso wi de xi y el de yi ; 5. Se calcula: ρs = 1 −

n3

6 X 2 di −n

donde n corresponde al numero de pares. ρs toma valores en el intervalo [−1, 1]. 6. Es posible que ρs tome valores altos aun si las variables no tienen correlaci´on. Para verificar esto se realiza un test Student. Si α es un nivel de probabilidad seleccionado, la hip´otesis de que ρs = 0 se rechaza para1 : t > t(n − 2, 1 − α) Si n > 10: ρ2S

t = (n − 2) p

1 − ρ2S

´ 6.3. ESTUDIOS DE CORRELACION

87

Nro. Hoist 10 11 5 6 9 8 2 1 4 3 7

Nro. Fallas (xi ) 1 1 2 2 7 9 10 12 15 17 18

wi 1,5 1,5 3,5 3,5 5 6 7 8 9 10 11

Cuadro 6.4: Pesos asignados a cada mquina

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x 12 10 17 15 2 2 18 9 7 1 1

y 12,5 14 20 17 6 4 25 12 8 2 1

wx 8 7 10 9 3,5 3,5 11 6 5 1,5 1,5

wy 7 8 10 9 4 3 11 6 5 2 1

d 1 −1 0 0 −0,5 0,5 0 0 0 −0,5 0,5

Cuadro 6.5: Pesos asignados

´ ´ CAP´ITULO 6. OTRAS TECNICAS DE ANALISIS DE FALLAS

88

Ejemplo 35 Reordenando para los xi : Y se hace similarmente para la carga total anual (yi ). La tabla queda: Entonces ρs = 0,986. El test de Student confirma que la correlaci´ on entre numero de fallas y la carga es efectivamente alta. Por ejemplo para : 0,9862 = 52,5 > t(9, 1 − α) para todo α 1 − 0,9862

t = (11 − 2) p

1 ver

tabla de Student en ref. [9].

Bibliograf´ıa [1] Hu, Hui and Golosinski, Tad S. Modelling Failure Pattern of a Mining Truck with a Decision Tree Algorithm. Mineral Resources Engineering,Vol. 11(3),271, 2002.

89

90

BIBLIOGRAF´IA

Parte II

Modelos de confiabilidad

91

Cap´ıtulo 7

Confiabilidad y costos, una introducci´ on 7.1.

Introducci´ on

En esta parte del curso veremos una serie de modelos de confiabilidad y costos aplicados al mantenimiento. Comenzaremos en este capitulo por entregar una visi´on general de las t´ecnicas utilizadas actualmente para optimizar la gesti´ on del mantenimiento. Tan solo para el problema de programaci´on de tareas preventivas, existe un gran numero de problemas de optimizaci´ on posibles, ello, por varias razones: Existen muchas posibles configuraciones de componentes en un sistema. La inter-dependencia econ´ omica que exista entre ellos en t´erminos de costos de falla y de intervenci´on puede hacer conveniente su agrupamiento en lo que hemos llamado mantenci´ on oportunista; Existen diferentes modelos estoc´asticos para medir la efectividad de las tareas de mantenimiento. Por ejemplo, algunos modelos consideran que tras un overhaul o intervenci´on preventiva el equipo queda tan bueno como nuevo. En el otro extremo, otros modelos consideran,en general, que una reparaci´ on tan solo regresa el componente a su condici´on de operaci´on justo antes de que ocurriese la falla. Se habla entonces de que el equipo queda tan bueno como antes. En general, cada tarea de mantenci´ on estar´ a entre ambos extremos y hablamos de mantenimiento imperfecto; Existen diferentes escenarios de producci´on en los cuales las fallas pueden ocurrir, afectando la estimaci´ on del costo de falla; La flexibilidad (o la falta de ella) del sistema para continuar ofreciendo el servicio ante una falla tambi´en afecta los costos de falla. Una condici´on importante es la redundancia de equipos. La bibliograf´ıa reciente puede ser clasificada en 2 grandes grupos: m´etodos basados en minimizaci´on de funciones objetivos a partir de m´etodos de programaci´ on lineal y no lineal; m´etodos basados en modelos de Markov. A continuaci´ on veremos una descripci´on breve de ambos grupos.

7.2.

Modelos de programaci´ on lineal y no lineal

La idea b´ asica de esta clase de m´etodos es expresar una funci´on objetivo como una funci´on de las variables de decision, y usar t´ecnicas de optimizaci´on standard para variables continuas y/o discretas. 93

94

´ CAP´ITULO 7. CONFIABILIDAD Y COSTOS, UNA INTRODUCCION

0.4 0.35 0.3

f(t) 0.25 0.2 0.15

F(t)

0.1 0.05

t

Tp

Figura 7.1: Tiempo esperado para fallar Consideremos por ejemplo la siguiente situaci´on: se dispone de un componente cuya tasa de fallas crece monot´onicamente en el tiempo. Existen 2 tipos de tareas de mantenci´on posibles: correctiva o preventiva. Ambas restauran el equipo a una condici´ on como nuevo. El problema es determinar el mejor programa preventivo para el componente sobre un horizonte de tiempo infinito. En otras palabras, el problema es encontrar el intervalo de tiempo ´ optimo Tp entre intervenciones preventivas. Sobre un horizonte de tiempo infinito, y sin considerar el valor del dinero en el tiempo, el costo promedio por unidad de tiempo es una funci´on objetivo apropiada. Es posible calcular el costo por unidad de tiempo como una funci´ on de la funci´on de densidad de probabilidad f (t) o de la probabilidad acumulada de falla F (t) asociada a la falla del componente, el costo de correctivo de una reparaci´on (Cc ) considerando costo de falla y de intervenci´ on-, el costo preventivo de una intervenci´on (Cp ) -considerando el costo de intervenci´ on mas el posible costo de falla asociado- y el tiempo medio de intervenci´on preventivo o correctivo-, ∆tm : cg (Tp ) =  R Tp

Cc F (Tp ) + Cp [1 − F (Tp )]  F (Tp ) + Tp [1 − F (Tp )] + ∆tm

tf (t)dt 0 F (Tp )

= R Tp 0

Cc F (Tp ) + Cp [1 − F (Tp )] tf (t)dt + Tp [1 − F (Tp )] + ∆tm

El numerador es el costo esperado para una intervenci´on y se calcula como la suma de los costos de mantenci´on, ponderados por sus probabilidades de ocurrencia. Tras cualquier intervenci´on, la pr´oxima intervenci´on tiene una probabilidad F (t) de ser correctiva y una probabilidad [1 − F (Tp )] de ser preventiva. El denominador corresponde al valor esperado de tiempo entre intervenciones, el cual es la suma del intervalo esperado hasta la proxima intervenci´on mas el tiempo esperado para realizarla. La duraci´on de un ciclo sin falla es Tp (con probabilidad R = 1 − F ) y la de un ciclo con falla es (ver figura 7.1) R Tp 0

tf (t)dt F (Tp )

con probabilidad de ocurrencia F . Siendo que hemos expresado la funci´ on objetivo expl´ıcitamente en t´erminos de la variable de decisi´on Tp podemos a˜ nadir la restricci´ on l´ ogica Tp > 0

´ LINEAL Y NO LINEAL 7.2. MODELOS DE PROGRAMACION

95

y resolver el problema a trav´es de alg´ un m´etodo standard de programaci´on no lineal. Las hip´otesis consideradas en este modelo son: 1. El estado del componente es binario (operando o con falla); 2. la tasa de fallas solo depende del tiempo desde la ultima intervenci´on; 3. la tasa de falla es monot´ onica creciente con el tiempo; 4. el costo por unidad de tiempo es el u ´nico objetivo; 5. los costos pueden ser estimados o conocidos hasta el nivel del componente; 6. no hay restricciones acerca de cuando pueden realizarse las intervenciones preventivas; 7. solo existen intervenciones correctivas y preventivas 8. ambos tipos de intervenci´on dejan al componente como nuevo; 9. el horizonte de an´ alisis es infinito; 10. no se considera el valor del dinero en el tiempo. Aparecen varias posibles modificaciones a este modelo al relajar una o mas de la hip´otesis anteriores. sin embargo, los problemas se pueden tornar mucho mas complejos de resolver. Consideremos por ejemplo: si el estado del componente no es binario. Los componentes puede mostrar mas de un estado de falla. Un ejemplo t´ıpico es la degradaci´on gradual de la funcionalidad. En tal caso se requiere un modelo de la performance del componente en el tiempo, as´ı como un modelo de como la performance del componente afecta econ´ omicamente a la planta. Si la tasa de fallas no es funci´ on exclusiva del tiempo. La tasa de fallas tambi´en puede ser dependiente de variables continuas (desgaste, temperatura, presi´on, etc.) o de variables discretas (ocurrencia de eventos tales como numero de partidas o detenciones, numero de perturbaciones, etc.). En tal caso el programa preventivo puede ser definido como una funci´on del tiempo, y de variables de condici´ on y/o operaci´ on, por ejemplo. Si la frecuencia de fallas no es monot´ onica creciente con el tiempo. El intervalo entre intervenciones preventivas Tp es optimizado cuando el gradiente de los costos correctivos por unidad de tiempo iguala al gradiente de los costos preventivos por unidad de tiempo. Si la tasa de fallas no es monot´onicamente creciente, tal condici´on se alcanzar´a para varios puntos en el tiempo. Luego, la funci´on objetivo puede tener varios m´ınimos locales. Si el costo no es el u ´ nico objetivo. Aparte de los costos existen otros objetivos posibles para definir un programa preventivo. Por ejemplo, la seguridad es un objetivo si la combinaci´on de fallas puede ocasionar un evento peligroso. Tambi´en se puede considerar la maximizaci´on de la disponibilidad del equipo. En caso de disponer de multiples objetivos es conveniente construir una funci´on objetivo que combine cada objetivo. Si los costos no pueden ser estimados o conocidos al nivel del componente. En algunos sistemas industriales, la producci´ on no es una funci´on directa de la disponibilidad de los componentes. En este caso, aquellos componentes que pueden limitar la producci´on son los llamados cuellos de botella, y en general es necesario recurrir a simulaciones de Monte Carlo para estimar los costos de falla esperados. Si existen otras clases de intervenciones posibles. Si es posible realizar monitoreo de condiciones, es posible realizar la intervenci´on preventiva justo antes de que el equipo falle. Ello puede ser incluido en el modelo presentado anteriormente. Sin embargo, si se considera el mantenimiento oportunista, el objetivo puede ser diferente. El costo global por unidad de tiempo ser´a entonces una funci´on del costo de mantenimiento oportunista, la aparici´on de oportunidades, y las variables de decisi´on que controlen cuando realizar intervenciones oportunistas. Por ejemplo, se puede especificar una edad critica To a partir de la cual se realiza mantenimiento oportunista.

96

´ CAP´ITULO 7. CONFIABILIDAD Y COSTOS, UNA INTRODUCCION

Si el componente no queda como nuevo tras una intervenci´ on correctiva o preventiva. Si una intervenci´ on preventiva solo logra que el equipo funcione tal como antes de ser intervenidos (en t´erminos de tasa de fallas o confiabilidad), entonces ella no debe ser realizada, dado que no tiene efectos para reducir la aparici´ on de fallas. Si la intervenci´on no logra dejar el equipo como nuevo, entonces el problema puede incluir varios tipos de intervenciones correctivas y preventivas que son parametrizadas como intermedias entre dejar el equipo como antes o dejarlo como nuevo. Si el horizonte de an´ alisis es finito. La hip´otesis de que el horizonte de an´alisis sea infinito permite que el objetivo sea el costo esperado por unidad de tiempo. Si el intervalo esperado entre 2 intervenciones no es significativo frente al horizonte de an´alisis, entonces es necesario evaluar todas las posibles combinaciones y frecuencias de eventos correctivos y preventivos para calcular la funci´on objetivo de manera exacta. Si se considera el valor del dinero en el tiempo. Si los costos de falla e intervenci´on son variables en el tiempo, entonces no se puede usar el costo global por unidad de tiempo como objetivo. Es necesario disponer de modelos con tasa de descuento. Dado que la optimizaci´ on del mantenimiento es mucho m´as d´ıficil cuando se relajan las condiciones anteriores, se pueden usa t´ecnicas aproximadas para estimar la funci´on objetivo. Una posibilidad es el uso de modelos de Markov; presentados a continuaci´on.

7.3.

Modelos de Markov

Un modelo de Markov es una representaci´on gr´afica que consiste de nodos ( o estados) y de arcos (o transiciones entre estados). La hip´otesis crucial en un modelo de Markov es que el sistema est´a completamente especificado por los nodos, y que la historia pasada del sistema es irrelevante para las transiciones futuras. As´ı, el envejecimiento puede ser representado al discretizar la vida del componente en estados separados y estimando las probabilidades de transici´ on entre ellos. Intervenciones que dejen el equipo como nuevo pueden ser representadas por una transici´ on al primer estado discretizado (ejemplos de estos modelos ser´an vistos en §18 y §19, por ejemplo. Existen dos tipos de modelos de Markov: en tiempo continuo y en tiempo discreto. En un modelo de Markov con tiempo continuo la derivada del vector de estado s es de la forma s0 = M∗c s

(7.1)

donde M∗c es la matriz de tasa de transici´ on. Un modelo de Markov de este tipo puede ser resuelto para cualquier instante t, dadas las condiciones iniciales. La soluci´ on de estado estacionario est´a dada por la condici´on s0 = 0 puede ser encontrada sin usar las condiciones iniciales. Para resolver un problema de optimizaci´on de mantenimiento, la funci´ on objetivo (costo global por unidad de tiempo) es expresada como una funci´on de la soluci´on estacionaria o de la trayectoria en el tiempo. Por ejemplo, los costos pueden sera acumulados para transiciones que representen intervenciones de mantenimiento. En un modelo de Markov en tiempo discreto, el vector de estado en el proximo incremento de tiempo st+1 est´a expresado por st+1 = M∗d st (7.2) La soluci´on estacionaria de (7.2) considera la b´ usqueda del estado st tal que st = M∗d st Gertsbakh’77[1] entrega una lista de problemas de optimizaci´on de mantenci´on resueltos con modelos de Markov. Este tipo de modelos provee una representaci´on simple que permite estimar la funci´on objetivo

7.4. COMENTARIOS FINALES

97

como una funci´ on de las variables de decisi´on sin tener que realizar simulaciones de Monte Carlo o integraciones multiples sobre todos los eventos posibles (horizonte finito de an´alisis). Se pueden plantear modelos de Markov aun si algunas de las hip´otesis antes listadas son relajadas. Por ejemplo, cuando la tasa de fallas es una funci´on de otras variables aparte del tiempo, los estados de un componente pueden ser representados por un vector de estados con n variables. Los modelos de Markov son utiles para representar los estados de un componente cuando existen estados intermedios de falla (funcionalidad degradada) o diferente niveles o tipos de intervenciones de mantenimiento (entre dejar como nuevo o como antes de la intervenci´on). Adem´as, se pueden evaluar las ecuaciones (7.1) y (7.2) sin necesidad de que el horizonte de an´alisis sea infinito, y cuando los costos son funci´on del tiempo, ellos pueden ser acumulados como una funci´on de los estados y transiciones del modelo. Cuando se considera mantenimiento oportunista, se a˜ nade complejidad al an´alisis dado que la falla de un componente provee oportunidades de mantenimiento preventivo para otros. Como existen interacciones econ´omicas entre los componentes, el modelo de Markov requiere la definici´on de estados representando las n dimensiones de las vidas de los componentes. Sin embargo, con n vidas de componentes divididas en d instantes discretos, la soluci´ on estacionaria del modelo (con dn estados) requiere guardar d2n elementos de M para los c´ alculos matriciales. Cuando el numero de componentes crece, la memoria del computador se vuelve una limitaci´ on. Adicionalmente, el tiempo de resoluci´on crece proporcionalmente a d3n . Lo anterior descarta a los modelos de Markov como herramientas practicas para el mantenimiento oportunista[2].

7.4.

Comentarios finales

Hemos tratado de dar una visi´ on general de las metodolog´ıas aplicadas en la investigaci´on de operaciones aplicada al mantenimiento. A continuaci´on profundizaremos en conceptos m´as profundos, necesarios para la buena comprensi´ on y an´ alisis.

98

´ CAP´ITULO 7. CONFIABILIDAD Y COSTOS, UNA INTRODUCCION

Bibliograf´ıa [1] Gertsbakh, I.B., (1977) Models of Preventive Maintenance. Elsevier, New york. [2] Tan, J.S. and Kramer (1997), M.A., A General Framework for Preventive Maintenance Optimization in Chemical Process Operations, Computers Chem. Engng., Vol.21, No. 12, pp. 1451-1469. [3] Zheng,X. and Fard,N. (1991) A Maintenance Policy for Repairable Systems based om Opportunistic Failure-rate Tolerance. IEEE Trans. Reliab. 40, 237-244.

99

100

BIBLIOGRAF´IA

Cap´ıtulo 8

Conceptos asociados al an´ alisis de confiabilidad 8.1.

Introducci´ on

El dise˜ no de un programa eficiente de mantenimiento (en t´erminos de su costo global) implica la comprensi´on de los fen´ omenos de falla de los equipos. Dado que las fallas de los equipos son eventos aleatorios, estudiaremos conceptos y modelos estad´ısticos que nos permitan controlar y mejorar la confiabilidad, y con ello los costos. La mayor dificultad que enfrentaremos ser´a el alto grado de incertidumbre de los estudios y los efectos de condiciones cambiantes ambientales y de operaci´on en el comportamiento de los equipos.

8.2.

Confiabilidad

La Confiabilidad de un componente en el instante t, R(t), es la probabilidad de que un item no falle en el intervalo (0, t), dado que era nuevo o como nuevo en el instante t = 0. Un componente puede diferentes confiabilidades, asociadas a diferentes funciones. Considere N componentes supuestamente id´enticos, todos nuevos o como nuevos en t = 0. Sea N − n el numero de componentes que falla en [0, t]. Se tiene que: R(t) =

8.3.

n(t) N

Distribuci´ on acumulada de fallas

La distribuci´ on acumulada de falla F (t) se define como la probabilidad de que un item falle en el intervalo (0, t). Entonces: R(t) + F (t) = 1 y F (t) =

8.4.

N − n(t) N

Funci´ on distribuci´ on de fallas

La funci´ on distribuci´ on de fallas f (t) se define como la probabilidad de que un item que no ha fallado en el intervalo (0, t) falle en el intervalo (t, t + dt). f (t) =

dF (t) dt

101

102

´ CAP´ITULO 8. CONCEPTOS ASOCIADOS AL ANALISIS DE CONFIABILIDAD

t (Kciclos) 0 10 20 30 40 50

n(t) 100 80 55 20 5 0

Cuadro 8.1: Datos t (Kciclos) 0 10 20 30 40 50

8.5.

n(t) 100 80 55 20 5 0

R(t) 1.00 0.80 0.55 0.20 0.05 0.00

Vida media

La vida media de un componente no reparable es el valor de tiempo esperado para que el componente falle. Tambi´en es conocido como el tiempo medio para fallar, o M T T F por sus sigla en ingl´es. Z ∞ MTTF = R(t)dt (8.1) 0

8.6.

Tasa de falla

La tasa de falla λ(t) se define como probabilidad de que se produzca una falla del sistema o componente en el intervalo (t, t + dt). Se mide en fallas por unidad de tiempo. Podemos definir tasa de falla de un intervalo [t1 , t2 ], λ(t) =

R(t1 ) − R(t2 ) R(t1 )(t2 − t1 )

o una tasa de falla instant´ anea (en ingl´es, hazard rate),   R(t) − R(t + ∆t) f (t) λ(t) = l´ım = 4t→0 R(t)∆t R(t) Tambi´en se define la tasa de fallas como el numero de fallas por unidad de tiempo en el instante t dividido por el numero de componentes operando en el instante t:   n(t) − n(t + ∆t) λ(t) = l´ım 4t→0 n(t)∆t

8.7.

Disponibilidad

La funci´on Disponibilidad A(t) se define como la probabilidad de que un componente est´e en su estado normal en el instante t, siendo que estaba nuevo o como nuevo en t = 0 [3]. Ejemplo 36 En t = 0, se pusieron en servicio 100 componentes no reparables. En tabla 18.4, se lista el numero de componentes en buen estado para varios instantes. Calcule la confiabilidad para t = 0, 10, 20, 30, 40 y 50 Kciclos y el M T T F .

8.8. TIEMPO MEDIO ENTRE FALLAS

103

Soluci´ on 8 Para integrar, consideramos la ecuaci´ on 8.1 y la regla de integraci´ on trapezoidal,   1,0 0,0 M T T F = 10 + (0,80 + 0,55 + 0,20 + 0,05) + 2 2 = 21 Kciclos El la etapa temprana la tasa de falla decrece con el tiempo, esto ocurre as´ı porque algunos de los componentes del sistema ven´ıan defectuosos de fabrica, o tras el montaje. Para reducirla es necesario: Establecer una etapa de marcha blanca, para que los componentes defectuosos fallen y sean reemplazados; Aplicar ensayos no destructivos rigurosos. Durante la madurez: Los sistemas el´ectricos tienen λ(t) constante, no hay desgaste; Los sistemas mec´ anicos incrementan levemente su λ(t) en el tiempo. Durante esta etapa se aplica mantenci´on preventiva. En la ”vejez” del equipo la degradaci´on es importante; y las inspecciones frecuentes son necesarias. Ello implica la puesta a punto de un programa de mantenci´on sintom´atica. Seg´ un lo anterior es importante tener un estimado de la curva de vida de los equipos. Obviamente ello implica una gran cantidad de informaci´on, dificil de obtener. No es posible encontrar la curva para equipos de tecnolog´ıa reciente. Sin embargo, en algunos casos se muestra muy u ´til en definir estrategias de mantenci´ on, aun disponiendo de poca informaci´on.

8.8.

Tiempo medio entre fallas

Un indicador u ´til es el tiempo medio entre fallas (MTBF); o en otras palabras, el tiempo promedio en que el equipo no falla. Matem´ aticamente ello corresponde a la esperanza de t (t siendo el tiempo entre 2 fallas), dada la funci´ on de distribuci´ on f (t) (8.4): Z M T BF = E(t) =

∞

tf (t)dt 0

lo que tambi´en puede ser escrito (integrando por partes): Z M T BF =

∞

R(t)dt

(8.2)

0

Ejemplo 37 Consid´erese un componente con una funci´ on confiabilidad linealmente decreciente. La confiabilidad es 1 en t = 0 y de 0 en t = 10000 horas. Calcule su MTBF. Soluci´ on 9 La funci´ on confiabilidad puede ser expresada como:  1 − 10−4 t para t < 10000 R(t) = 0 en otro caso Usando la ecuaci´ on 8.2, Z M T BF = 0

∞

(1 − 10−4 t)dt = 5000 horas

´ CAP´ITULO 8. CONCEPTOS ASOCIADOS AL ANALISIS DE CONFIABILIDAD

104

8.9.

Mantenibilidad

El tiempo en que un equipo no est´ a operativo es la suma de varios procesos: tiempo para detectar la falla; tiempo consumido en diagnosticar el problema; tiempo consumido en intervenir el equipo; • • • • • • •

preparaci´ on localizaci´ on de la falla; desmontaje; obtenci´ on de piezas y herramientas; reparaci´on misma; ajuste y calibraci´ on; montaje;

tiempo consumido en controlar la calidad de la intervenci´on. Evidentemente existen diversos factores que afectan la duraci´on total de la reparaci´on. Entre ellos se cuentan: Factores asociados al dise˜ no: • complejidad del equipo; • manejabilidad de los componentes (peso, dimensiones, accesibilidad, herramientas necesarias,...); • facilidad de desmontaje y montaje Factores asociados al recurso humano: • capacitaci´ on; • direcci´ on; • disponibilidad; Factores asociados a la organizaci´ on; • • • •

eficiencia de la bodega; log´ıstica de la instalaciones y servicios grado de centralizaci´ on de las tareas; disponibilidad de documentaci´ on: planos, standards, etc.

En vista del gran numero de factores que afectan el tiempo total de intervenci´on, es conveniente definir mantenibilidad M (t) como la probabilidad de que la intervenci´on se realize en un intervalo de duraci´on t, luego Zt M (t) = f (t)dt 0

donde f (t) es la funci´ on densidad de probabilidad para el tiempo de reparaci´on T T R. En forma similar a la confiabilidad, el valor esperado o Mean Time To Repair se calcula como: Z∞ M T T R = tf (t)dt 0

Para representar a la mantenibilidad podemos usar las mismas distribuciones empleadas para la confiabilidad. Una muy usada es la log-normal; ello se justifica pues el T T R se puede modelar en muchos casos como la suma de una distribuci´ on exponencial con otra normal. Tal suma es bien representada por una distribuci´on exponencial[?].

8.10. MTBF Y MTTF

105

Comp. A falla 1 falla 2

T

TTR

Comp. B falla 1

T

Comp. C falla 1 falla 2

T

TTR T Horizonte unidades

time to repair tiempo inicio falla 100 horas

40.1 83

1.5 3.8 TTR

41.4

1.3 TTR

40.6 82

1.1 1.5

Figura 8.1: Historial

8.9.1.

Tiempo para detecci´ on

El tiempo de detecci´ on se define como la duraci´on entre el instante en que el equipo falla hasta en instante en que la falla es detectada. Hay componentes cuyas fallas no son detectadas inmediatamente; por ejemplo, una bomba en standby puede fallar estando en su fase standby y por tanto la falla no ser´a detectada hasta la pr´ oxima mantenci´on preventiva. Consid´erese un componente cuya falla es detectada solo durante la mantenci´on preventiva. Sea el intervalo de este tipo de mantenci´ on Tmp . En este caso el tiempo de detecci´on es estimado en Tmp /2; este valor es aceptable en el an´ alisis de confiabilidad si: Tmp ≤

8.10.

M T BF 10

MTBF y MTTF

El tiempo medio para falla (M T T F por sus siglas en ingl´es) se define como es el tiempo esperado en el cual el componente falla siendo que est´a nuevo o como nuevo en t = 0. De su definici´on: M T BF = M T T F + M T T R

8.11.

Tasa de reparaci´ on

Definici´ on 10 La tasa de reparaci´ on m(t), se define como la probabilidad por unidad de tiempo de que el componente sea reparado en el tiempo t siendo que el componente ha fallado en t = 0 y no ha sido reparado en [0, t). Ejemplo 38 En figura 8.1 se muestra el historial de fallas de 3 componentes en un periodo de estudio de 100 d´ıas. Los tres componentes estaban ”como nuevos” en el instante t = 0. Calcule el MTTF, MTTR y la tasa de reparaci´ on. Soluci´ on 11 En este caso, MTTF =

40,1 + (83 − 40,1 − 1,5) + 41,4 + 40,6 + (82 − 40,6 − 1,5) = 40,76 5

El MTTR se obtiene a partir de: MTTR =

1,5 + 0,8 + 1,3 + 1,1 + 1,5 = 1,24 horas 5

106

´ CAP´ITULO 8. CONCEPTOS ASOCIADOS AL ANALISIS DE CONFIABILIDAD

4 3 .5 3

m (t)

2 .5 2 1 .5 1 0 .5 0

0

0 .5

1 tie m p o (t)

1 .5

2

Figura 8.2: Estimaci´on de m(t) La tasa de reparaci´ on es calculada a partir de su definici´ on (10). Sup´ ongase que se consideren intervalos de tiempo dt = 0,25 horas. Si t en este caso se inicia al comenzar la reparaci´ on, en t = 0,75 ninguno de los 5 componentes pero en [0.75,1) se ha reparado 1 luego m(0,75) =

1/5 = 0,8 0,25

En t = 1 quedan 4 por reparar y en [1,1.25) se repara 1 m(1) =

1/4 =1 0,25

En t = 1,25 quedan 3 por reparar y en [1.25,1.5) se repara 1 m(1,5) =

1/3 = 1,33 ,25

En t = 1,5 quedan 2 por reparar y en [1.5,1.75) se reparan ambos m(1,75) =

2/2 =4 ,25

Siguiendo para varios valores, se construye la curva ’+’ en figura ??. Si se cambia dt = 0,5 se construye la curva ’o’. Observaci´ on 37 N´ otese que las estimaciones para m(t) difieren de manera importante. Para definir un valor aceptable se debe buscar la convergencia de las curvas entre 2 valores dt de prueba. Si la convergencia aun no se logra se sigue bajando el valor. En el ejemplo anterior se podr´ıa evaluar con dt = 0,125

8.12.

Efecto de las condiciones ambientales y de operaci´ on

La tasa de falla es una funci´on sensible a las condiciones de operaci´on. Por ejemplo la tasa de falla de una correa de ventilador puede depender de la velocidad del mismo. Cuando se usan las tasas de falla para el an´alisis de confiabilidad se debe tener cuidado en usar datos obtenidos para condiciones similares ( sino id´enticas) ambientales y de operaci´ on. Ejemplo 39 Un componente que opera t1 horas bajo condiciones correspondientes a la tasa de falla λ1 y luego t2 horas con P las condiciones correspondientes a las tasa de falla λ2 , etc. La confiabilidad del componente para t = ti : P R(t) = e− λi ti (8.3)

´ 8.12. EFECTO DE LAS CONDICIONES AMBIENTALES Y DE OPERACION

107

Ejemplo 40 La tasa de fallas de un equipo stand-by no es la misma del equipo en operaci´ on. Conociendo los par´ ametros, la ecuaci´ on 8.3 es valida.

108

´ CAP´ITULO 8. CONCEPTOS ASOCIADOS AL ANALISIS DE CONFIABILIDAD

Bibliograf´ıa [1] C.R. Sundararajan. Guide to Reliability Engineering.Van Nostrand Reinhold, 1991. [2] Baldin, A., Furlanetto, L., Roversi, A., Turco, F., Manual de Mantenimiento de Instalaciones Industriales, Editorial Gustavo Gili, S.A., Barcelona,1982. [3] P. Lyonnet. Maintenance Planning, Methods and Mathematics. Chapman & Hall, 1991.

109

110

BIBLIOGRAF´IA

Cap´ıtulo 9

Leyes estad´ısticas para an´ alisis de confiabilidad 9.1.

Introducci´ on

En este capitulo presentamos brevemente varios tipos de distribuci´on utilizados en an´alisis de confiabilidad. Si usted esta familiarizado con conceptos tales como densidad de probabilidad, probabilidad acumulada o valor esperado puede pasar al capitulo siguiente. Las distribuciones se pueden clasificar seg´ un describan eventos discretos (numero de fallas..) o continuos (medidas de cantidades f´ısicas tales como las masa, ...)

9.2.

Distribuci´ on de Poisson

Esta ley describe el numero de ocurrencias de eventos aleatorios. Si el promedio de eventos en un intervalo de tiempo es conocido, la ley entrega la probabilidad de que k eventos ocurran en el intervalo. Est´a descrita por: mk P (x = k) = e−m k! donde m = E(x) = σ 2 (x) (not´ese la igualdad entre la media y la varianza). De lo anterior, k X mj P (x ≤ k) = e−m j! j=1 Ejemplo 41 Cual es la probabilidad de que una m´ aquina no falle durante un d´ıa si en promedio se producen 10 fallas en una semana laboral (5 d´ıas)? m = 10/5 = 2 20 = 0,135 0!

P (x = 0) = e−2

9.3.

Distribuci´ on Gaussiana

la densidad de probabilidad est´ a dada por: 

1 f (x) = √ e σ 2π 111

−(x−m)2 2σ 2



112

´ CAP´ITULO 9. LEYES ESTAD´ISTICAS PARA ANALISIS DE CONFIABILIDAD

Figura 9.1: Distribuci´on normal donde m y σ 2 corresponden a la media y la varianza respectivamente. Por tanto: Z k F (x) = P (x 6 k) = f (x)dx −∞

Observaci´ on 38 Not´ese que no hay restricciones en el valor de x. Observaci´ on 39 F (x) debe ser evaluado num´ericamente o usando tablas que consideran el cambio de variable u = x−m σ . Observaci´ on 40 Debido a la sim´etria F (−u) = 1 − F (u) Ejemplo 42 Los valores permisibles para una resistencia est´ an en el rango [420, 720] horas. Si la media es de 600 y la desviaci´ on standard es de 120, cual es la probabilidad de que una resistencia est´e en ese rango? m = 600 σ = 120 420 − 600 u1 = = −1,5 120 720 − 600 u2 = =1 120 De tablas F (1) = 0,8413 F (−1,5) = 1 − F (1,5) = 1 − 0,9332 = ,0668 Entonces, P (420 ≤ x ≤ 720) = ,8413 − ,0668 = 0,7745 o en Maple: >simplify(int(1/sqrt(2*pi)*exp(-u^2/2),u=-1..1.5));

´ EXPONENCIAL 9.4. DISTRIBUCION

113

1

R(t) R0 λ(t) Tp

Tiempo Figura 9.2: Tasa de fallas cuasi-constante

9.4.

Distribuci´ on exponencial

Tal como la ley de Poisson, esta distribuci´on describe la probabilidad de un numero dado de eventos en un intervalo. La funci´ on de densidad de probabilidad es: f (x) = λe−λx para x > 0 con E(x) = 1/λ, σ 2 = 1/λ2 . Y: Z F (x) = P (x 6 x0 ) =

x0

f (x)dx = 1 − e−λx

0

En aplicaciones de fiabilidad, λ es la tasa de ocurrencia de fallas por unidad de tiempo y 1/λ corresponde al tiempo medio entre fallas (MTBF). Ejemplo 43 La tasa media de falla de un cierto componente es de una falla cada 10000 h; cual es la probabilidad de que falle entre las 200 y 300 horas de operaci´ on? F (300) − F (200) = e−0,002 − e−0,003 = ,001 Este tipo de distribuci´ on es muy usada en an´alisis de confiabilidad por 2 razones: Los c´ alculos se simplifican bastante en comparaci´on con otros tipos de poblaci´on; se trata de una distribuci´ on t´ıpica de sistemas donde los fen´omenos son puramente casuales; esos es, donde las causas de las fallas son exclusivamente accidentales y su aparici´on es independiente de la edad del equipo. Lo anterior se expresa en jerga estad´ıstica diciendo el el equipo no tiene memoria; vale decir, su comportamiento es independiente de su historia anterior. En general, cuando un elemento cumple una cierta edad, la tasa de fallas empieza a crecer r´apidamente (desgaste). Para evitar lo anterior (el incremento de costo de fallas), se deben acrecentar los esfuerzos en mantenci´ on preventiva, disminuyendo los plazos entre intervenciones preventivas y/o inspecciones. Para ver el efecto de tales medidas, veamos como son afectadas las curvas de tasas de falla y confiabilidad. En figura 9.2, se observa como un mantenimiento programado con un intervalo Tp (de modo que la confiabilidad se mantenga sobre un nivel basal R0 ) logra mantener la tasa de fallas constante durante un largo periodo de tiempo. Luego, la distribuci´on exponencial se adapta bien para este sistema, para estas condiciones de mantenci´ on.

114

´ CAP´ITULO 9. LEYES ESTAD´ISTICAS PARA ANALISIS DE CONFIABILIDAD

λ2 λm λ1

λ(t) Tp

Tiempo Figura 9.3: Tasa de fallas creciente

λ λi λ2 λ1

λ(t)

Tiempo Figura 9.4: Tasa de fallas compuesta

Consideremos a continuaci´ on la situaci´ on mostrada en figura 9.3. En este caso la tasa de fallas oscila entre los valores λ1 y λ2 . Como una primera aproximaci´on y a fin de simplificar los calculos, podemos considerar el valor promedio para los calculos de confiabilidad:

λm =

λ 1 + λ2 2

Otro caso en el que se puede considerar una tasa de fallas constante considera un sistema complejo con varios componentes y modos de fallas asociados. Si los componentes poseen tasas de fallas constante, la tasa de fallas compuesta del equipo tambi´en ser´a constante. Ello tambi´en puede considerarse as´ı cuando ellas son variables en el tiempo, como se ilustra en figura 9.4 y seg´ un la formula:

λ(t) =

X i

λi (t)

´ DE WEIBULL 9.5. DISTRIBUCION

9.5.

115

Distribuci´ on de Weibull

Esta distribuci´ on es usada en studios de confiabilidad, especialmente de sistemas mec´anicos. Tiene la ventaja de ser muy flexible, y adaptable a una variedad de observaciones experimentales. f (x) =

β η



x−γ η

β−1

e−(

x−γ η

β

)

donde x − y ≥ 0; β es el par´ ametro de forma; η es el par´ ametro de escala; γ es el par´ ametro de localizaci´ on. β

x−γ F (x) = 1 − e( η )   1 E(x) = γ + ηΓ 1 + β      1 2 − Γ2 1 + σ2 = η2 Γ 1 + β β

116

´ CAP´ITULO 9. LEYES ESTAD´ISTICAS PARA ANALISIS DE CONFIABILIDAD

Cap´ıtulo 10

Modelos de confiabilidad 10.1.

Introducci´ on

Las maquinas y sus componentes fallan inevitablemente en alg´ un momento. Uno de los desaf´ıos importantes de la ingenier´ıa de la confiabilidad es predecir cuando ocurrir´a la falla. Para ello, aprovechamos los datos hist´oricos del mismo equipo o de otros equipos similares, operando en circunstancias similares. Aunque algunas fallas de componentes pueden ser bien modeladas por la distribuci´on normal, ella es muy restrictiva para la mayor´ıa de las circunstancias que aparecen en mantenci´on. Por ejemplo, ella es sim´etrica respecto de la media y los tiempos de falla en general muestran una distribuci´on no sim´etrica. Lo ultimo es f´ acilmente representado en una distribuci´on de Weibull. La figura (10.1) representa la tasa de falla a medida que el equipo envejece en funci´on del par´ametro β de la distribuci´ on de Weibull. Si β es mayor que 1, la tasa de fallas se incrementa en el tiempo y se debe identificar en que punto es econ´omicamente conveniente el reemplazo. Para hacer eso, se combina la curva de confiabilidad (figura 10.2) con los costos asociados a reemplazo y reparaci´on (como veremos en los cap´ıtulos §18, 19). Si la tasa de fallas es constante (β = 1), la distribuci´on exponencial es m´as simple de evaluar. Si la tasa de fallas es decreciente (β < 1) es (en general) m´as conveniente esperar a que el componente falle. Es importante observar que en los modelos de confiabilidad que se presentan a continuaci´on se considera que tras cada falla (con su reparaci´on o reemplazo correspondiente) o tras cada intervenci´on preventiva, el equipo vuelve a tener maxima confiabilidad y se considera como nuevo. Luego, la edad del equipo (t) vuelve a correr desde 0 (figura xx).

10.2.

Ejemplos de uso del an´ alisis de confiabilidad

1. Se detecta que un componente ha fallado varias veces en un intervalo dado, Se establece el numero esperado de fallas durante el proximo intervalo para fijar el tama˜ no de las cuadrillas; Se establece un programa ´optimo de los repuestos requeridos para las reparaciones pronosticadas, 2. Estimar plazos ´ optimos entre overhauls para minimizar el costo global esperado; 3. Estimar redundancia optima de equipos en una linea con componentes cuello de botella; 4. Corregir plazos entre mantenciones preventivas propuestas por el fabricante en funci´on de las condiciones de operaci´ on y mantenci´ on locales; 5. Estimar periodos ´ optimos para reemplazo de equipos; 117

CAP´ITULO 10. MODELOS DE CONFIABILIDAD

118

6. Determinar instantes ´ optimos para intervenciones preventivas conociendo el valor de los datos de condici´on del equipo.

10.3.

Distribuci´ on exponencial

La distribuci´on exponencial se aplica cuando la tasa de fallas es constante y tiene la ventaja de ser muy simple de aplicar. En la vida real, los componentes electr´onicos tienen una tasa de falla constante λ(t) = λ, por lo que: Rt R(t) = e− 0 λdu = e−λt y usando la ecuaci´ on 8.2:

∞

Z

e−λt dt =

M T BF = 0

1 λ

Ejemplo 44 Si λ = 2E − 6 fallas/hora, a las 500 horas: R(500) = e−2E−6·500 = 0,999 1 = 50000 horas M T BF = 2E − 6

10.4.

Modelo de Weibull

Entre las ventajas del modelo de Weibull sobre otros se cuenta: su flexibilidad otras modelos son casos especiales (exponencial, normal,..); el peque˜ no tama˜ no de la muestra necesario para convergir a par´ametros precisos. Existen varios clases de modelos de Weibull: de dos par´ ametros; de tres par´ ametros (vista a continuaci´on); de cinco par´ ametros (Bi-Weibull).

R(t) = e−(

t−γ η

β

)

(10.1) t−γ η

β

F (t) = 1 − R(t) = 1 − e−( )  β−1 t−γ β β t−γ f (t) = e−( η ) η η

β es el par´ ametro de forma (adimensional); η es el par´ametro de escala o tiempo caracter´ıstico (en unidades de tiempo); γ es el par´ametro de localizaci´ on (en unidades de tiempo).  β−1 f (t) β t−γ = R(t) η η   1 M T BF = γ + ηΓ 1 + β λ(t) =

(10.2) (10.3)

Observaci´ on 41 Para el caso γ = 0, β = 1 la ley de Weibull se reduce a la ley exponencial con par´ ametro λ = η1 . Para β > 3 la ley converge hacia la distribuci´ on normal. Observaci´ on 42 El tiempo caracter´ıstico η representa la duraci´ on esperado en 63.2 % de los casos.

10.4. MODELO DE WEIBULL

119

η=2 1.6

1.4

β=3

1.2

λ

1

0.8

β=1

0.6

0.4

β =.5

0.2

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

tie m p o

Figura 10.1: tasa de fallas seg´ un Weibull, β = 0,5, 1, 3, η = 2, γ = 0

1 0 .9 0 .8

C o nfia b ilid a d

0 .7 0 .6 0 .5 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1 0

0

0 .5

1 tie m p o

1 .5

2

Figura 10.2: Confiabilidad en la distribuci´on de Weibull, β = 0,5, 1, 3, η = 1, γ = 0

CAP´ITULO 10. MODELOS DE CONFIABILIDAD

120

10.4.1.

Estimaci´ on de par´ ametros de Weibull

M´ etodo Gr´ afico,γ = 0 Para aplicar la ley se deben estimar los 3 par´ametros. Para ello se utiliza el m´etodo gr´afico Allen Plait. Se utiliza(ba) una hoja especial (papel Weibull) que usa las siguientes escalas

X = ln t

(10.4) 

Y = ln ln



1 . 1 − F (t)

(10.5)

γ = 0 es equivalente a que el origen del tiempo para la ley es el mismo que el de las observaciones (y al modelo de Weibull de 2 par´ ametros): β

1 − F (t) = e−( η ) t

por lo que:  ln ln

 1 = β ln t − β ln η 1 − F (t) y = ax − b

h

i

con y = ln ln 1−F1 (t) , a = β, b = β ln η Una distribuci´ on de Weibull con γ = 0 traza una recta en un gr´afico de Weibull. Al trazar tal recta se estiman los par´ ametros faltantes. Cuando γ > 0 los datos del gr´ afico de Weibull ya no mostraran una recta como en el caso anterior sino una curva con una as´ıntota vertical (ver figura ??). El corte de la as´ıntota con el eje del tiempo indica el valor de γ. Como el valor obtenido es estimado, el proceso se hace iterativamente corrigiendo la escala de tiempo de modo que t(i+1) = t(i) − γ (i) Observaci´ on 43 Si tras tres iteraciones no se divisa una l´ınea recta, la distribuci´ on no es Weibull. Aplicaci´ on practica 1. Obtener n observaciones de tiempos de vida o tiempos sin falla experimentalmente; 2. Estimar la funci´ on de densidad: f (i) =

1 n+1

3. Estimar la funci´ on de distribuci´ on con el m´etodo de rangos medianos si la poblaci´on es peque˜ na: F (i) =

i − 0,3 n + 0,4

o por el m´etodo de rangos medios: F (i) =

i n+1

4. Tabular datos (ti , F (i)); Ejemplo 45 Un grupo de rodamientos tuvieron las siguientes duraciones: 801 312 402 205 671 1150 940 495 570 Se desea conocer la confiabilidad para una vida de 600 horas y el MTBF. Primero se reordenan en orden ascendiente:

10.4. MODELO DE WEIBULL

121

Rango i 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Vida (h) 205 312 402 495 570 671 801 940 1150

F (i) % 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Cuadro 10.1: Datos del problema

1

0.5

log(log(1/(1-F)))

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5 5.2

5.4

5.6

5.8

6

6.2 log t

6.4

Figura 10.3:

>> >> >> >> >> >>

t=[205 312 402 495 570 671 801 940 1150]; F=.1:.1:.9; X=log(t); Y=log(log(1./(1-F))); P=polyfit(X,Y,1); beta=P(1)

beta = 1.7918 >> eta=exp(P(2)/(-P(1))) eta = 715.9655 >> >> >> >>

Y2=polyval(P,X); plot(X,Y,’+’,X,Y2) xlabel(’log t’) ylabel(’log(log(1/(1-F)))’)

6.6

6.8

7

7.2

CAP´ITULO 10. MODELOS DE CONFIABILIDAD

122

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

V ida 2175 2800 3300 3800 4250 4650 5250 5840 6300 6700 7150 7800 8500 9200 10500 11000 12600 14000 15800

F (i)( %) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95

Cuadro 10.2: Datos del ejercicio

M T BF = ηΓ(1 + 1/β) = 716 · Γ(1 + 1/1,79) = 636,9 horas En Maple: >MTBF=716*GAMMA(1+1/1.79) Ejemplo 46 Estime los par´ ametros del modelo de Weibull si se han observado las vidas de componentes mostradas en la tabla 10.2. Ejercicio 5 Los siguientes tiempos de operaci´ on libre de fallas se registran: 150, 700, 1000, 1400, 1600, 2000, 2150, 2350, 2500, 2650, 2750, 2950, 3050, 3150:100:3450, 3600:100:5000, 5200:200:5600, 5700, 6000, 6200, 6600 Estime los par´ ametros de Weibull, el MTBF y la confiabilidad para t = M T BF . Ejemplo 47 Un ejemplo de aplicaci´ on en la industria minera se puede encontrar en referencia [17].

10.4.2.

Uso del modelo de Weibull

Un estudio para establecer los par´ ametros de Weibull nos permite estimar una expresi´on de su tasa de fallas y de su funci´ on de confiabilidad. Esta ultima permite establecer tiempos entre inspecciones al fijar niveles basales de confiabilidad. El valor de β nos muestra en que parte de la curva de la ba˜ nera se encuentra el equipo para un modo de falla dado. Si β < 1 puede ser rentable reducir el programa preventivo. En caso contrario, probablemente es m´as rentable crear o aumentar tal programa.

10.5.

Verificaci´ on de modelos

Para derivar la ley que describe la confiabilidad de los equipos, tomamos un conjunto de observaciones y proponemos la hip´ otesis de que ellas obedecen alguna ley en particular (log-normal, exponencial, Weibull,..). Luego obtenemos los par´ ametros asociados a tal ley. La calidad del proceso anterior debe ser verificada. Para ello primero aceptamos que al imponer una ley dada se incurre en alg´ un error, pero queremos que el riesgo de que ello ocurra sea menor: definimos como medida el nivel de confianza α, ´ osea la probabilidad de que el modelo sea err´oneo.

´ DE MODELOS 10.5. VERIFICACION

123

γ =0 1.5

1

0.5

log(log(1/(1-F)))

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-3 7.5

8

8.5

9

9.5

10

log t

Figura 10.4: Ajuste de Weibull para γ = 0, norma del residuo 0.49, β = 1,94, η = 8499

0.3

0.28

norma del vector residuo

0.26

0.24

0.22

0.2

0.18

0.16

0.14

0.12 800

900

1000

1100

1200

γ

1300

1400

Figura 10.5: Estudio de sensibilidad

γ =1280 1.5

1

0.5

log(log(1/(1-F)))

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-3 6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10

log t

Figura 10.6: Ajuste de Weibull para γ = 1280, normal del residuo 0.13, β = 1,45, η = 7053

CAP´ITULO 10. MODELOS DE CONFIABILIDAD

124

10.5.1.

Test χ2

Para usar este test se debe disponer de al menos n = 50 observaciones. Si es el caso se sigue el siguiente proceso: 1. Se agrupan las observaciones. Debe haber al menos 5 observaciones en cada grupo. Los intervalos para definir los grupos no son necesariamente de la misma longitud. 2. El test se basa en las diferencias en las diferencias entre el numero de observaciones en cada grupo y el numero que es predicho por la ley seleccionada. El criterio se define por la cantidad: E=

r 2 X (ni − n · pi ) i=1

n · pi

donde r es el numero de grupos ni es el numero de observaciones en el i-esimo grupo P n es el numero total de observaciones (n = i ni ) pi probabilidad, de acuerdo a la ley, de que una observaci´on pertenezca al i-esimo grupo Observaci´ on 44 n · pi es el numero de observaciones exceptuadas del i-esimo grupo, seg´ un la ley propuesta. E tiene una distribuci´ on χ2 con υ grados de libertad: υ =r−k−1 donde k = 1 para la ley exponencial, k = 2 para la ley normal, k = 3 para la ley de Weibull Se tiene entonces que
P E ≥ χ2υ,1−α = 1 − α y la hip´otesis de que las observaciones siguen la ley propuesta es rechazada si E > χ2υ,1−α Ejemplo 48 Supongase que para un grupo de equipos similares se han observado los siguientes T BF : i 1 2 3 4 5 6

TBF (horas) 0-500 500-1000 1000-1500 1500-2000 2000-2500 2500-3000 P

ni 7 8 9 10 12 8 54

Cuadro 10.3: Grupos definidos para el test Hicimos la hip´ otesis de que la confiabilidad de los equipos sigue una ley exponencial. El ajuste dio una tasa de fallas λ = 1/1600 fallas/hora. Se desea realizar un test con nivel de confianza α = 0,05. De acuerdo a la ley propuesta, t R(t) = e− 1600

´ DE MODELOS 10.5. VERIFICACION

125

Figura 10.7: Tabla del test La probabilidad de que una observaci´ on caiga en los grupos definidos en la tabla 10.3 es pi = R(ti ) − R(ti+1 ) Seg´ un las observaciones n = 54 con los datos anteriores se construye la siguiente tabla: i 1 2 3 4 5 6

TBF (horas) 0-500 500-1000 1000-1500 1500-2000 2000-2500 2500-3000

ni 7 8 9 10 12 8 n = 54

pi 500 e− 1600 500 e− 1600 1000 e− 1600 1500 e− 1600 2000 e− 1600 2500 e− 1600

−1 1000 − e− 1600 1500 − e− 1600 2000 − e− 1600 2500 − e− 1600 3000 − e− 1600

n · pi 14.5 10.8 7.8 5.7 4.2 3.0

Cuadro 10.4: Test de aceptacin Se tiene que υ =6−1−1=4 La tabla χ2 entrega χ24,0,95 = 9,49 o en Matlab:

>>chi2inv(0.95,4) ans = 9.4877

n − n · pi -7.5 -2.6 1.2 4.3 7.8 5.0

(n−n·pi )2 n·pi

3.9 0.6 0.2 3.2 14.5 8.3 E = 31,0

CAP´ITULO 10. MODELOS DE CONFIABILIDAD

126

Dado que E > χ24,0,95 se rechaza la hip´ otesis de que la ley exponencial con λ = 1/1600 represente las observaciones.

10.5.2.

Test de Kolmogorov-Smirnov (KS)

El siguiente test se puede aplicar para cualquier numero de observaciones n. sin embargo, si n es grande es mejor agrupar las observaciones y usar el test χ2 . El test se basa en comparar la verdadera funci0on de distribuci´on con la dada por la ley propuesta; ac´a se usa los valores absolutos de las diferencias entre punto y punto. Sea F (t) la verdadera distribuci´ on y F (t) la distribuci´on propuesta. La discrepancia para ti es: Dni = F(t) − F (t) F(t) puede ser estimado por el m´etodo de las rangos medios F(t) =

i n+1

Puede demostrarse que la distribuci´ on de Dn = m´ax(Dni ) depende solo de n; y se puede escribir:   p m´ ax |F(t) − F (t)| < Dn,α ≤ 1 − α i

Ejemplo 49 Un equipo tiene los siguientes tiempos entre fallas (en d´ıas): 23,16,56,71,4,25,51,30 Se puede asumir que la poblaci´ on sigue una distribuci´ on Gaussiana con media 34 y desviaci´ on standard 22, con α = 5 %? Para encontrar F(t) se puede normalizar e ir a la tabla de la distribuci´ on normalizada, por ejemplo:   4 − 34 p(t < 4) = p = 0,086 22 En Excel =DISTR.NORM.ESTAND((4-34)/22)} ti 4 16 23 25 30 51 56 71

F (t) 0.086 0.200 0.308 0.345 0.425 0.779 0.841 0.955

F(t) 1 9 2 9 3 9 4 9 5 9 6 9 7 9 8 9

max

Dni 0.025 0.022 0.025 0.099 0.127 0.112 0.063 0.065 0,127

Cuadro 10.5: Ejemplo test Kolmogorov-Smirnov Seg´ un la tabla Dn = 0,127 El valor de Dn,α para n = 8, α = 0,05 es D8,0,05 = 0,457 y se acepta la hip´ otesis.

´ DE MODELOS 10.5. VERIFICACION

127

Figura 10.8: Distribuci´on Kolmogorov-Smirnov

1 .4

P ro b a b ilid a d a c umula d a d e fa lla

1 .2 1 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2 0 -0.2 -0.4

0

10

20

30

40 tie m p o

50

60

70

Figura 10.9: Test Kolmogorov-Smirnov

80

CAP´ITULO 10. MODELOS DE CONFIABILIDAD

128

ti

205 312 402 495 570 671 801 940 1150

Fhip

Fre a l

0.10 0.20 0.30 0.40 0.49 0.59 0.71 0.80 0.90

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90

Di

0.001 0.002 -0.001 0.003 -0.014 -0.011 0.005 0.004 0.003 max

Abs(Di)

0.001 0.002 0.001 0.003 0.014 0.011 0.005 0.004 0.003 0.014

Figura 10.10: Test KS i 1 2 3 4 5 6 7

TBF(hrs) 24.5 35.5 38.5 39.5 42.5 57.5 62.5

Cuadro 10.6: Tiempo entre fallas Ejemplo 50 Para el ejercicio 45 descrito anteriormente, Siendo que hay 9 observaciones y para α = 0,05 D9,0,05 = 0,432 y se acepta la hip´ otesis. Ejemplo 51 1 El tiempo entre falla de un cierto componente ha sido registrado en la tabla 10.7. 1. Ajuste un modelo estad´ıstico adecuado 2. Compruebe su modelo con un nivel de confianza de 5 %. 3. Calcule MTBF 4. Puede utilizarse de manera valida la distribuci´on exponencial? Justifique. Soluci´ on 12 El promedio de los TBF es 42.93. Si asumimos una distribuci´ on exponencial, la tasa de fallas es 1 λ= = 0,0232 fallas/hora 42,93 Para comprobar, realizaremos el test KS. y comprobamos en la tabla KS para D7,0,05 D7,0,05 = 0,486 > 0,31 por lo que se acepta la hip´ otesis.

´ DE MODELOS 10.5. VERIFICACION

i 1 2 3 4 5 6 7

TBF(hrs) 24.5 35.5 38.5 39.5 42.5 57.5 62.5

129

F 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8

Fλ=0,0232 1 − e−0,0232·24,5 1 − e−0,0232·35,5 = 1 − e−0,0232·38,5 1 − e−0,0232·39,5 1 − e−0,0232·42,5 1 − e−0,0232·57,5 1 − e−0,0232·62,5 Dn

−0,31 −0,31 −0,21 -0.10 0.00 0.01 0.11 0.31

Cuadro 10.7: Tiempo entre fallas

Tiempo entre fallas (h) 400 140 300 220 440 530 620 710 850 1200 1000

Indice de la falla 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Cuadro 10.8: Registro de la mquina 1

Tiempo entre fallas (h) 400 230 330 720 635

Indice de la falla 1 2 3 4 5

Cuadro 10.9: Registro de la maquina 2

CAP´ITULO 10. MODELOS DE CONFIABILIDAD

130

Ejemplo 52 2 Los historiales de fallas de dos maquinas se muestra en tablas 10.8 y 10.9. Asuma una ley de distribuci´ on de Weibull, 1.

Estime los par´ ametros

2.

Calcule el MTBF

3.

Realice un test de confianza para un nivel de confianza dado

4.

Establezca plazos entre mantenciones preventivas para asegurar una confiabilidad de al menos 95 %.

Soluci´ on 13 El listing Matlab para la maquina 1 se muestra a continuaci´ on:

>>t=sort([400 140 300 220 440 530 620 710 850 1200 1000]) >>F=[1:length(t)]/(length(t)+1) >>X=log(t); >>Y=log(log(1./(1-F))); >>P=polyfit(X,Y,1); >>beta=P(1) >>eta=exp(P(2)/(-P(1))) >>Y2=polyval(P,X); >>plot(X,Y,’+’,X,Y2) >>xlabel(’log t’) >>ylabel(’log(log(1/(1-F)))’) >>MTBF=eta*gamma(1+1/beta) lo que arroja los siguientes valores: β η M T BF δm´ax

= 1,54 = 677 = 609 = 0,0254

dado que δKS (n = 11, α = ,05) = 0,39 se acepta la hip´ otesis. El ajuste es mostrado en figura 10.11. Para la maquina 2, los par´ ametros estimados son: β η M T BF δm´ax

= 1,86 = 544 = 483 = 0,069

Dado que δKS (n = 5, α = ,05) = 0,565 se acepta la hip´ otesis. El ajuste es mostrado en figura 10.12. Ejemplo 53 3 Se han registrado los siguientes TTR (horas) para un cierto modo de falla de un equipo: 186, 510, 290, 360, 395, 630, 250. 1.

Se ajustan a una distribuci´ on de Weibull? Si es as´ı, encuentre los par´ ametros y realice un test de confianza apropiado.

2.

Calcule el MTTR.

1 control

2 me57a , semestre II-2001 2002-I 3 de control 2, semestre 2002-2. 2 examen

´ DE MODELOS 10.5. VERIFICACION

131

1

0.5

log(log(1/(1−F)))

0

−0.5

−1

−1.5

−2

−2.5 4.5

5

5.5

6 log t

6.5

7

7.5

Figura 10.11: Ajuste de Weibull

1

0.5

log(log(1/(1−F)))

0

−0.5

−1

−1.5

−2 5.4

5.6

5.8

6

6.2

6.4

log t

Figura 10.12: Ajuste de Weibull

6.6

6.8

CAP´ITULO 10. MODELOS DE CONFIABILIDAD

132

Indice 1 2 3 4 5 6 7

TBF 24h 35 38 39 42 57 62

F 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8

F 24 1 − e− 42 35 1 − e− 42 38 1 − e− 42 39 1 − e− 42 42 1 − e− 42 57 1 − e− 42 62 1 − e− 42

= 0,435 = 0,566 = 0,596 = 0,605 = 0,632 = 0,743 = 0,771

kF − Fk 0,310 0,316 0,224 0,105 0,007 0,007 0,103

Cuadro 10.10: Historial de fallas 3.

Calcule la probabilidad de que una reparaci´ on se realice en 200 horas? Al realizar un ajuste de Weibull con γ = 0, se obtiene: β = 2,24 η = 430 horas

Evaluando ecuaci´ on (10.3), M T T R = 381 horas Seg´ un ecuaci´ on (10.1), 2,24

p(t ≤ 200) = 1 − e−( 481 ) = 13,19 % 200

Ejemplo 54 4 El historial de un tipo de componentes no reparables se muestra en tabla 23.3. Se ha ajustado la siguiente probabilidad acumulada de falla (1 pto) t

F (t) = 1 − e− 42 ¿Puede aceptarse con un nivel de confianza de 95 %? Eval´ ue el test que considere mas conveniente y establezca conclusiones. Debido al bajo numero de muestras, se decide realizar un test KS. El valor m´aximo de kF − Fk es 0.316. Al chequear en la tabla KS para n = 7, α = 0,05 es D7,0,05 = 0,486 por tanto se acepta la hip´ otesis.

10.6.

Otros modelos de confiabilidad

10.6.1.

Modelo normal

Para la distribuci´ on normal,  Fi = Φ

ti − µ σ

= Φ (zi ) la funci´on inversa puede ser escrita como: zi = Φ−1 (Fi ) 1 µ = ti − σ σ 4 examen

2002-II.



10.6. OTROS MODELOS DE CONFIABILIDAD

133

o sea zi es lineal en t. Al graficar los pares (ti ,zi ) se debe observar una recta. Las estimaciones para los parametros se obtienen de la mejor recta y = ax + b con y i = zi xi = ti seg´ un minimos cuadrados, y 1 b µ = −aˆ σ a =− b

σ ˆ=

Ejemplo 55 Se registraron los siguientes TTF para un conjunto de rodamientos: 68.0, 75.5 83.0, 80.3, 87.7, 77.6, 71.1, 81.9, 87.4, 69.6, 78.0, 77.8, 88.4, 78.2, 71.4, 80.2, 85.6, 98.3, 74.3, 74.6. Estime los par´ ametros de la distribuci´ on a partir del m´etodo gr´ afico. Compare resultados con el m´etodo de muestreo usualmente usado. El gr´ afico (10.13) muestra los resultados. En este caso: a = −9,815 b = 0,124 luego 1 = 8,09 0,124 µ = 8,09 (9,815) = 79,44

σ ˆ=

lo que es comparable a los valores obtenidos a partir de las formulas usuales: σ ˆ = 7,48 µ = 8,09 (9,815) = 79,45

10.6.2.

Modelo log-normal

La funci´ on distribuci´ on de fallas se describe en §?? es: f (t) =

 2 1 1 1 ln t − m √ exp − ,t≥0 2 σ σ 2π t

y Z R(t) = 1 − F (t) con F (t) =

t

f (u)du 0

donde m y σ corresponden a la media y a la desviaci´on standard de del tiempo en que fallan pero luego de aplicar el logaritmo natural.Haciendo un cambio de variables:   ln t − ln t¯ F (t) = Φ (10.6) σ   1 t =Φ ln σ t¯

CAP´ITULO 10. MODELOS DE CONFIABILIDAD

134

A B C D 1 t_i F_i z_i 2 i 1 68,0 0,034 -1,821 3 2 69,6 0,083 -1,383 4 3 71,1 0,132 -1,115 5 4 71,4 0,181 -0,910 6 5 74,3 0,230 -0,738 7 6 74,6 0,279 -0,585 8 7 75,5 0,328 -0,444 9 8 77,6 0,377 -0,312 10 9 77,8 0,426 -0,185 11 10 78,0 0,475 -0,061 12 11 78,2 0,525 0,061 13 12 80,2 0,574 0,185 14 13 80,3 0,623 0,312 15 14 81,9 0,672 0,444 16 15 83,0 0,721 0,585 17 16 85,6 0,770 0,738 18 17 87,4 0,819 0,910 19 18 87,7 0,868 1,115 20 19 88,4 0,917 1,383 21 20 98,3 0,966 1,821 22

E

F

G

H

2,00 y = 0,1239x - 9,8427 R2 = 0,9572

1,50 1,00

z_i

0,50 0,00 60,0 -0,50

70,0

80,0

90,0

-1,00 -1,50 -2,00 tiempo (10^2 horas)

Figura 10.13: Resultados

1 µ=1, σ=.5 µ=0, σ=1 µ=0, σ=.1

0.9 0.8 0.7

R

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

1

I

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tiempo

Figura 10.14: Confiabilidad en la funci´on log-normal

100,0

10.6. OTROS MODELOS DE CONFIABILIDAD

135

donde Φ (x) es la funci´ on de Gauss normalizada.   1 M T BF = exp t¯ + σ 2 2 Para estimar los par´ ametros de una distribuci´on tambi´en podemos usar el m´etodo gr´afico. Seg´ un ecuaci´on (10.6), al aplicar la funci´ on inversa: zi = Φ−1 (Fi ) =

1 1 ln ti − ln t¯ σ σ

luego, si se grafican los pares (ln ti , zi ) se debe observar una recta. Usamos: xi = ln ti y i = zi y ajustamos la mejor recta: y = ax + b de la que se obtienen los par´ ametros para la distribuci´on: σ ˆ=

1 b

y t¯ = e−ˆσa Ejemplo 56 La vida de un barra de direcci´ on de un autom´ ovil tiene una distribuci´ on log-normal con vida media e5 horas. La desviaci´ on standard en el gr´ afico semilogar´ıtmico es 1.4. Calcular la confiabilidad a las 300 horas y el MTBF. De acuerdo a los datos: ln t¯ = 5, σ = 1,4.   ln 300 − 5 R(300) = 1 − Φ = 1 − Φ(0,502) = 0,308 1,4 2 1 M T BF = e(5+ 2 1,4 ) = 395 horas Ejemplo 57 5 Los resortes de compresi´ on de los amortiguadores de impacto de un veh´ıculo siguen una distribuci´ on log-normal con par´ ametros ln t¯ = 7 y σ = 2. El tiempo se mide en horas de operaci´ on. 1.

Cual debe ser el periodo entre reemplazos si se desea una confiabilidad minima de 90 %?

2.

Cual es el MTBF?

 R(t) = 1 − Φ

ln t − 7 2



entonces Φ (x) = 0,1 luego x = −1,282 y ln t − 7 = −1,282 2 t = e−1,282·2+7 = 84,4 5 de

control 2, semestre 2002-II.

= 0,9

CAP´ITULO 10. MODELOS DE CONFIABILIDAD

136

D E z_i ln(t_i) -1,900 3,784 -1,478 3,852 -1,223 3,978 -1,029 4,091 -0,868 4,121 -0,727 4,344 -0,599 4,366 -0,480 4,440 -0,368 4,601 -0,260 4,613 -0,155 4,629 -0,051 4,650 0,051 4,721 0,155 4,805 0,260 4,808 0,368 4,933 0,480 5,019 0,599 5,023 0,727 5,227 0,868 5,364 1,029 5,385 1,223 5,406 1,478 5,439 1,900 6,211

F

G

H

I

J

3,00 y = 1,6045x - 7,6087 R2 = 0,9696

2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 z

A B C t_i F(t_i) 1 i 1 44,0 0,029 2 2 47,1 0,070 3 3 53,4 0,111 4 4 59,8 0,152 5 5 61,6 0,193 6 6 77,0 0,234 7 7 78,7 0,275 8 8 84,8 0,316 9 9 99,6 0,357 10 11 10 100,8 0,398 12 11 102,4 0,439 13 12 104,6 0,480 14 13 112,3 0,520 15 14 122,1 0,561 16 15 122,5 0,602 17 16 138,8 0,643 18 17 151,3 0,684 19 18 151,9 0,725 20 19 186,2 0,766 21 20 213,5 0,807 22 21 218,2 0,848 23 22 222,8 0,889 24 23 230,1 0,930 25 24 498,4 0,971

0,00 3,50 -0,50

4,00

4,50

5,00

5,50

6,00

6,50

-1,00 -1,50 -2,00 -2,50 ln(t)

Figura 10.15: Datos ordenados y resultados para el tiempo medio entre fallas,   1 M T BF = exp 7 + 22 2 = 8103 Ejemplo 58 Se desea verificar que los tiempos de reparaci´ on de una bomba siguen una distribuci´ on lognormal. Se registraron 24 reparaciones (minutos). Los datos ordenados y los resultados se muestran en figura (10.15). Tenemos: a = −7,60 b = 1,60 luego 1 = 0,625 b t¯ = e−0,625(−7,60) = 115,6 (min)

σ ˆ=

10.6.3.

Desgaste mec´ anico, λ(t) = at + b R(t) = e−

Rt 0

(at+b)du

2

= e−( 2 at 1

+bt)

y Z M T BF =

∞

2

e−( 2 at 1

+bt)

dt

0

la cual puede ser evaluada num´ericamente. En la practica real, lo com´ un es ensayar un numero de modelos para verificar que tan bien se ajustan a la curva estimada de λ.

10.6. OTROS MODELOS DE CONFIABILIDAD

137

a+λ

¸ (t)

θ

λ

0 0

tb

tiempo

t b + tu

Figura 10.16: tasa de fallas definida por tramos lineales Ejemplo 59 Si b = 2 · 10−6 fallas/h y a = 10−7 fallas/h2 , Calcule la confiabilidad a las 500 horas, y el MTBF.:    1 2 R(t) = exp − (1E − 7) 500 + (2E − 6) 500 = 0,9866 2 en Maple: >>MTBF:=int(exp(-(.5*1e-7*t^2+2e-6*t)),t=0..infinity);} MTBF:=3943.406298

10.6.4.

Tasa de falla definida por tramos

Si la tasa de fallas durante la infancia y la vejez del equipo pueden ser aproximada por funciones lineales, y constante durante la madurez (figura 10.16),  para 0 ≤ t ≤ tb  1 − bt + λ λ para tb ≤ t ≤ tu λ(t) =  c(t − tb − tu ) para t > tb + tu donde a b c = tan θ

tb =

La confiabilidad en este caso est´ a dada por:  t2  e−(a+λ)t−b 2  tb R(t) = e−λt+a 2   − c (t−tb −tu )2 +λt+a tb 2 e 2

10.6.5.

para 0 ≤ t ≤ tb para tb ≤ t ≤ tu para t > tb + tu

Modelo de Dhillon

Dhillon ([3]) propone el siguiente modelo para la curva de la ba˜ nera: λ(t) =

1 1 kAt− 2 + (1 − k)bebt 2

CAP´ITULO 10. MODELOS DE CONFIABILIDAD

138

0.9 0.8 0.7

λ (t)

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

2

4

6

8

10

tiempo

Figura 10.17: Curva de Dhillon para A = 0,3, k = 0,5, b = 0,15 C

D

E

F

G

censura n' delta_i i(t_i) F_i' 1,00 1,00 0,03 1,00 2,00 0,08 1,00 3,00 0,13 s 16 1,06 4,06 0,18 5,12 0,24 6,18 0,29 s 12 1,14 7,32 0,34 8,46 0,40 9,60 0,46 s 8 1,27 10,86 0,52 12,13 0,58 13,40 0,64 14,67 0,70 15,93 0,77 s 2 s 1 2,53 18,47 0,89

H y

I

J

x -3,35 -2,44 -1,95

4,95 5,97 5,99

-1,59 -1,31 -1,08

6,14 6,14 6,21

K

L

M

2,0 y = 2,533x - 16,646 2 R = 0,8481

1,0

0,0 4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

-1,0

-0,86 -0,67 -0,50

6,33 6,33 6,36

-0,32 -0,14 0,03 0,20 0,37

6,37 6,42 6,53 6,56 6,57

0,79

6,64

y

A B 20 1 n= t_i 2 i 1 141 3 2 391 4 3 399 5 4 410 6 5 463 7 6 465 8 7 497 9 8 501 10 9 559 11 12 10 563 13 11 579 14 12 580 15 13 586 16 14 616 17 15 683 18 16 707 19 17 713 20 18 742 21 19 755 22 20 764

-2,0

-3,0

-4,0

-5,0 x

Figura 10.18: Ejemplo Weibull con datos censurados cuya funci´on confiabilidad es: −1 2

R(t) = e−kAt

10.6.6.

−(1−k)b(ebt −1)

M´ etodos gr´ aficos de estimaci´ on y datos censurados

Cuando los datos incluyen informaci´ on de falla a censurar, se deben ajustar las probabilidades acumuladas Fi de acuerdo al m´etodo de ajuste de rangos visto en §12.3.3. El enfoque es ilustrado con el siguiente ejemplo. Una vez calculados los rangos ajustados iti se estima Fi seg´ un el m´etodo de los rangos medianos: it − 0,3 Fi = i n + 0,4 Ejemplo 60 Se han puesto a prueba 20 motores. Las instantes de falla (ordenados) se muestran en el gr´ afico (10.18). Las unidades de tiempo son ciclos, donde un ciclo corresponde a una partida de un motor, aceleraci´ on al m´ aximo y detenci´ on. Las unidades censuradas corresponden a otros modos de falla. Se desea probar una distribuci´ on de Weibull. Los resultados muestran que el par´ ametro de forma estimado es β = 2,53

10.6.7.

Otros ejemplos

Ejemplo 61 Se recolectaron datos de falla de 5 equipos similares en una planta. El primer equipo fue seguido durante 2800 horas en modo standby y 400 horas en operaci´ on; el segundo equipo fue seguido por

10.6. OTROS MODELOS DE CONFIABILIDAD

Equipo 1 2 3 4 5 total fallas

139

Horas de seguimiento Stand-by Operación 2800 400 300 2500 2700 700 2500 800 0 3100 7

12

Figura 10.19: Resumen datos de falla

300 horas en modo standby y 2500 horas en operaci´ on; el tercer equipo fue seguido por 2700 horas en modo standby y 700 horas en operaci´ on; el cuarto equipo fue seguido por 2500 en modo standby y 800 horas en operaci´ on; el quinto equipo fue seguido en 3100 horas de operaci´ on. Se observaron 7 falla en modo standby y 12 fallas en operaci´ on. Calcule las tasa de fallas de los equipos.

total horas standby = 2800 + 300 + 2700 + 2500 + 0 = 8300 nro de fallas en modo standby = 7 7 tasa de fallas en modo standby = 8300 = 8,4E − 4 fallas/hora total horas operaci´ on = 400 + 2500 + 700 + 800 + 3100 = 7500 nro de fallas en operaci´ on = 12 12 tasa de fallas en operaci´ on = 7500 = 1,6E − 3 fallas/hora 7 + 12 tasa de falla global = 8300 + 7500 = 1,2E − 3 fallas/hora 8,4E − 4 + 1,6E − 3 tasa de falla promedio = 2 = 1,2E − 3 fallas/hora Observaci´ on 45 N´ otese que la tasa de falla global y la tasa de falla promedio no son necesariamente id´enticas. Si se est´ a interesado en usar un solo valor, la tasa promedio es m´ as usada.

Ejemplo 62 La tasa de falla puede ser calculada para cada tipo de falla si hay datos suficientes. Se recolectaron datos de falla de cuatro equipos similares en una planta qu´ımica, por 2500 horas c/u. Se observaron 40 fallas. De ellas, 25 son fallas primarias y 15 son fallas secundarias. Calcule las tasas de falla.

CAP´ITULO 10. MODELOS DE CONFIABILIDAD

140

Soluci´ on 14 total horas = 4 × 2500 = 10000 nro total de fallas = 40 40 tasa de falla global = = 4E − 3 fallas/hora 10000 nro de fallas primarias = 25 25 tasa de fallas primarias = = 2,5E − 3fallas/hora 10000 nro de fallas secundarias = 15 15 tasa de fallas secundarias = = 1,5E − 3fallas/hora 10000 on desde que Ejemplo 63 6 Un equipo ha registrado el historial de fallas siguiente (en horas de operaci´ se instal´ o): 180, 1190, 1710, 2050, 2790, 3290, 3960. 1.

a) Ajuste un modelo de Weibull. Realice un test KS. b) Se realizaron mantenciones preventivas en los instantes 0, 600, 1200, etc. Se considera que las intervenciones dejan el equipo como nuevo. Ajuste un modelo de Weibull que considere el efecto del mantenimiento preventivo. Realice el test KS. c) Compare los par´ ametros para ambos modelos. Comente (2.5 ptos). d ) Cual modelo utilizar´ıa para la Selecci´ on de estrategias de mantenci´ on. Justifique.

Soluci´ on 15 El primer modelo (figura (10.20) considera que el mantenimiento preventivo es m´ınimo y el mantenimiento corrrectivo es perfecto. En tal caso la confiabilidad regresa a un valor unitario tras cada falla y decae paulatinamente hasta la proxima falla. Los par´ ametros de Weibull se determinan a partir del TBF. Los par´ ametros resultantes son β1 = 2, 41 η1 = 721 horas Este modelo no es apropiado en este caso pues se ha especificado que el mantenimiento preventivo regresa al equipo a su estado inicial. Dada la buena calidad del ajuste de recta se omite el test de Kolmogorov-Smirnov y la estimaci´ on del par´ ametro de localizaci´ on γ. La hoja Excel est´ a disponible en http://www.cec.uchile.cl/ rpascual/me57a/control2-2003-I.xls . El segundo modelo considera que las reparaciones son m´ınimas y que el mantenimiento preventivo es perfecto (figura 10.21). En este caso la confiabilidad es unitaria tr´ as cada intervenci´ on preventiva. El tiempo a considerar es aquel entre la ultima intervenci´ on preventiva y la falla. Los par´ ametros obtenidos son: β2 = 2, 02 η2 = 435 horas Dada la buena calidad del ajuste de recta se omite el test de Kolmogorov-Smirnov y la estimaci´ on de γ. El tercer modelo considera que ambos tipos de eventos (correctivos y preventivos) llevan el equipo a su condici´ on inicial. En tal caso la confiabilidad es unitaria tr´ as cada evento y decae hasta que ocurre una falla o es intervenido. El tiempo a considerar para la estimaci´ on de par´ ametros de Weibull es el tiempo entre eventos (T BE) (figuras 10.22 y 10.23 respectivamente). Dado que para γ = 0 se observa una as´ıntota horizontal se optimiz´ o con el solver de Excel para maximizar el coeficiente de correlaci´ on del ajuste de recta, al variar γ. El valor ´ optimo es γ = −74 horas de operaci´ on, y β3 = 1, 80 η3 = 432 horas 6 control

2, 2003-I.

10.7. COMENTARIOS FINALES

A B C D E F G H I J Control 2 me57a 2003-I modelo 1 no considera m. preventivas datos n=6 t_i (dias) TBF TBF 180 i ordenado F_i X=log(t_i) Y=ln(ln(1/(1-F_i)) 1190 1010 1 340 0,14 5,83 -1,87 beta 1710 520 2 500 0,29 6,21 -1,09 eta 2050 340 3 520 0,43 6,25 -0,58 2790 740 4 670 0,57 6,51 -0,17 3290 500 5 740 0,71 6,61 0,23 3960 670 6 1010 0,86 6,92 0,67

1,00 0,50

Y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

141

0,00 -0,505,50

K

2,41 721,20

y = 2,4099x - 15,864 2 R = 0,9675

6,00

6,50

7,00

-1,00 -1,50 -2,00 -2,50 X

Figura 10.20: Modelo I, no considera M. preventiva El modelo del capitulo Selecci´ on de estrategias de mantenci´on (§ 14) considera el tercer modelo propuesto.

10.7.

Comentarios finales

Hemos visto una serie de distribuciones param´etricas para la estimaci´on de la confiabilidad. En particular nos hemos concentrado sobre la distribuci´on de Weibull. As´ı mismo hemos visto como estimar los par´ametros de la distribuciones asumidas y como verificar su validez con los test χ2 y de KolmogorovSmirnov. El uso de las distribuciones vistas para la minimizaci´on del costo global de mantenimiento y la maximizaci´ on de la disponibilidad ser´a visto en pr´oximos cap´ıtulos.

142

CAP´ITULO 10. MODELOS DE CONFIABILIDAD

A B C D E F G H I J K 1 Modelo 2 considera MP 2 M. preventiva T(mp,falla) 3 datos TTF F_i X Y 4 t_i (dias) t_i 0 i ordenado 5 180 600 180 1 180 0,14 5,19 -1,87 6 1190 1200 590 2 250 0,29 5,52 -1,09 7 1710 1800 510 3 290 0,43 5,67 -0,58 beta 8 2050 2400 250 4 390 0,57 5,97 -0,17 eta 9 2790 3000 390 5 510 0,71 6,23 0,23 10 3290 3600 290 6 590 0,86 6,38 0,67 11 3960 12 13 1,00 14 y = 2,025x - 12,27 15 0,50 R2 = 0,9824 16 0,00 17 5,50 6,00 6,50 -0,505,00 18 19 -1,00 20 -1,50 21 -2,00 22 23 24

Figura 10.21: Modelo I, considera M. preventiva

L

2,02 434,53

10.7. COMENTARIOS FINALES

H

I

X

Y

2,30 4,50 5,19 5,35 5,52 5,67 5,74 5,86 5,89 5,97 6,04 6,23 6,38

-2,60 -1,87 -1,42 -1,09 -0,82 -0,58 -0,37 -0,17 0,03 0,23 0,43 0,67 0,97

J

K

L

gamma beta eta

0,00

coef. Corr

0,89

6,00

Y

A B C D E F G considera MP perfecta, MC perfecta 1 Modelo 2 M. preventiva Eventos 3 datos t_i t_i TBE TBE F_i 4 t_i (dias) i ordenado 5 180 0 0 180 1 10,0 0,07 6 1190 600 180 420 2 90,0 0,14 7 1710 1200 600 590 3 180,0 0,21 8 2050 1800 1190 10 4 210,0 0,29 9 2790 2400 1200 510 5 250,0 0,36 10 3290 3000 1710 90 6 290,0 0,43 11 3960 3600 1800 250 7 310,0 0,50 12 2050 350 8 350,0 0,57 13 2400 390 9 360,0 0,64 14 2790 210 10 390,0 0,71 15 3000 290 11 420,0 0,79 16 3290 310 12 510,0 0,86 17 3600 360 13 590,0 0,93 18 3960 19 20 21 1,50 22 1,00 y = 0,875x - 5,2613 23 0,50 R2 = 0,7979 0,00 24 3,00 4,00 5,00 -0,502,00 25 -1,00 26 -1,50 27 -2,00 28 -2,50 29 -3,00 30 -3,50 31 X 32 33

143

Figura 10.22: Modelo III, considera intervenciones preventivas y correctivas perfectas (γ = 0 horas

CAP´ITULO 10. MODELOS DE CONFIABILIDAD

144

H

I

X

Y

4,43 5,10 5,54 5,65 5,52 5,90 5,95 6,05 5,89 6,14 6,20 6,37 6,50

-2,60 -1,87 -1,42 -1,09 -0,82 -0,58 -0,37 -0,17 0,03 0,23 0,43 0,67 0,97

J

K

gamma beta eta

coef. Corr

L

-74,25 1,80 431,67

0,97

6,40

Y

A B C D E F G considera MP perfecta, MC perfecta 1 Modelo 2 M. preventiva Eventos 3 datos t_i t_i TBE TBE F_i 4 t_i (dias) i ordenado 5 180 0 0 180 1 84,2 0,07 6 1190 600 180 420 2 164,2 0,14 7 1710 1200 600 590 3 254,2 0,21 8 2050 1800 1190 10 4 284,2 0,29 9 2790 2400 1200 510 5 250,0 0,36 10 3290 3000 1710 90 6 364,2 0,43 11 3960 3600 1800 250 7 384,2 0,50 12 2050 350 8 424,2 0,57 13 2400 390 9 360,0 0,64 14 2790 210 10 464,2 0,71 15 3000 290 11 494,2 0,79 16 3290 310 12 584,2 0,86 17 3600 360 13 664,2 0,93 18 3960 19 20 21 1,50 y = 1,8038x - 10,947 22 1,00 R2 = 0,9354 23 0,50 0,00 24 4,90 5,40 5,90 -0,504,40 25 -1,00 26 -1,50 27 -2,00 28 -2,50 29 -3,00 30 -3,50 31 X 32 33

Figura 10.23: Modelo III, considera intervenciones preventivas y correctivas perfectas (γ = −74 horas

1

0.9

0.8

Confiabilidad

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

tiempo (horas)

Figura 10.24: Modelo III, Confiabilidad

10.7. COMENTARIOS FINALES

145

1

0.9

0.8

Confiabilidad

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

tiempo (horas)

Figura 10.25: Modelo II, Confiabilidad

1 0.9 0.8

Confiabilidad

0.7

III

0.6 0.5 0.4 0.3

II

0.2

I 0.1 0

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

tiempo (horas)

Figura 10.26: Modelos I-III, Confiabilidad

-3

7

x 10

I II III

Tasa de fallas (fallas/hora)

6

5

4

3

2

1

0

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

tiempo (horas)

Figura 10.27: Tasas de falla estimadas

1000

146

CAP´ITULO 10. MODELOS DE CONFIABILIDAD

Bibliograf´ıa [1] Ebeling, C.E., An Introduction to Reliability and Maintainability Engineering, Ch. 15, McGraw-Hill, 1997. [2] P. Lyonnet., Maintenance Planning, Methods and Mathematics. Chapman & Hall, 1991. [3] C.R. Sundararajan.Guide to Reliability Engineering. Van Nostrand Reinhold, 1991.

147

148

BIBLIOGRAF´IA

Cap´ıtulo 11

Modelos f´ısicos de confiabilidad 11.1.

Introducci´ on

Los cap´ıtulos anteriores se concentraron en el desarrollo de modelos de confiabilidad en los cuales la confiabilidad del componente o sistema era considerada una funci´on exclusiva del tiempo. En muchas aplicaciones otros factores pueden tambi´en ser relevantes. Por ejemplo, la falla de un componente puede ser dependiente del nivel de carga, o temperatura, con el que opera. Ejemplo 64 La resistencia y consecuentemente la confiabilidad de una viga de concreto reforzado puede depender de las impurezas encontradas en el agua y en otros materiales de la mezcla. En general, un modelo mas preciso de confiabilidad puede ser obtenido si se consideran variables ambientales u operacionales asociadas. Los modelos covariables incorporan estos factores adicionales en la distribuci´ on de fallas al expresar los par´ametros que las definen como funciones de estos factores.

11.2.

Modelos covariables

Nuestro inter´es es desarrollar distribuciones de falla que incluyan uno o mas covariables o variables explicatorias. Para ello, nos basamos en las distribuciones vista antes, de una manera obvia. El enfoque es definir uno o mas de los par´ ametros de la distribuci´on como una funci´ on de las variables explicatorias. En general, si α es un par´ ametro de la distribuci´on seleccionada, entonces dejaremos que α = α(x) donde x es el vector de covariables. Un covariable puede ser un voltaje, corriente, temperatura, humedad, u otras medidas ambientales o de carga. Debe existir alguna correlaci´on entre los covariables y el par´ametro, aunque no es necesario que sea una relaci´on de causalidad.

11.2.1.

Modelos de fallas proporcionales

Los modelos que tienen la propiedad de que las tasas de fallas individuales son proporcionales entre si, son conocidos como modelos de fallas proporcionales. Caso exponencial En este caso, el modelo covariable mas simple esta dado por λ(x) =

k X i=0

149

ai xi

150

CAP´ITULO 11. MODELOS F´ISICOS DE CONFIABILIDAD

donde los valores ai son par´ ametros desconocidos a ser determinados y por convenci´on, x0 = 1 Como vemos, la tasa de falla no depende del tiempo. Otras formas funcionales pueden ser asumidas. Por ejemplo, podemos considerar que los covariables afectan la tasa de falla multiplicativamente: λ(x) =

k Y

ai xi

i=0

lo que ha mostrado buena correlaci´ on con los datos observados. Ejemplo 65 La referencia [1] provee el siguiente modelo par la predicci´ on de la tasa de falla de rodamientos: 2,36  0,54    y  Ae ν0 c1 0,67 Mb la Cw λ(x) = λb ls 0,006 ν1 60 Mf donde λb es un valor de referencia asociado al tipo de rodamiento; la carga radial real; lb carga radial de dise˜ no; y 3.33 para rodamientos de rodillos, 3.0 para rodamientos de bolas; Ae error angular de alineaci´ on ν0 viscocidad de dise˜ no del lubricante; ν1 viscocidad real; C1 nivel de contaminaci´ on del lubricante; Mb esfuerzo m´ aximo admisible del material; Mf esfuerzo real; Cw factor de contaminaci´ on del agua en el lubricante  1 + 460x para x < 0,002 Cw = 2,023 + 1,029x − 0,0647x2 − x es el porcentaje de agua presente en el aceite. Una forma popular del modelo multiplicativo es de la forma λ(x) =

k Y

eai xi

i=0 Pk

=e

i=0

ai xi

Este modelo asegura que λ(x) > 0 y adem´as es lineal si se toma el logaritmo de λ(x). Tenemos adem´ as que independientemente del modelo exponencial que utilicemos: R(t) = e−λ(x)t Ejemplo 66 Un enfoque popular en la industria aeroespacial para estimar los costos de ciclo de vida y las tasas de falla o tiempos medios entre fallas es usar ecuaciones param´etricas. Ellas relacionan el M T T F a una o m´ as variables asociadas con las fallas. Ejemplos de variables usadas son: el peso del componente (como una forma de expresar su complejidad) o el area del componente (como una forma de expresar el numero de partes que incluye). El siguiente es un modelo para el tiempo medio entre intervenciones preventivas (M T BM ) obtenidos de datos sobre 33 aeronaves en un periodo de 2 a˜ nos: √ M T BM = 34,104 + 0,0009853W − 0,31223 W donde W es el peso del motor (libras) y el M T BM est´ a en horas de vuelo.

11.2. MODELOS COVARIABLES

151

Caso Weibull En este caso es com´ un asumir que solo la vida caracter´ıstica η es dependiente de los covariables. Si tomamos un modelo multiplicativo: P η(x) = e ai xi tenemos

β

R(x, t) = e−( η(x) ) t

adem´ as, λ(x, t) = =

βtβ−1 η(x)β βtβ−1 P

e


ai xi β

La raz´on entre 2 tasas de fallas con vectores de covariables distintos es:  β λ(x1 , t) η(x2 ) = λ(x2 , t) η(x1 ) que no depende del tiempo y es por tanto un modelo de fallas proporcionales. Lo anterior sugiere que una forma general de la tasa de fallas puede ser λ(x, t) = λ0 (t)g(x) con g(x) =

k X

ai xi

i=1

donde λ0 (t) es una tasa de fallas de referencia (para g(x) = 1). Ejemplo 67 Un motor de corriente alterna se ha modelado con una distribuci´ on de Weibull con par´ ametro de forma β = 1,5. Ensayos de confiabilidad han mostrado que la vida carater´ıstica (en horas de operaci´ on) depende de la carga de operaci´ on seg´ un: η(x) = e23,2−0,34x Encuentre la vida de dise˜ no para una confiabilidad de 95 % para un motor que sufre una carga x = 115. Si la carga es reducida a 100, en cuanto aumentar´ a la vida del equipo? Soluci´ on 16 η(115) = e23,2−0,34(115) = 2416,3 hr 0,6667

t0,95 = 2416,3 (− ln 0,95) = 333 hr

η(100) = e23,2−0,34(100) = 18, 034 hr 0,6667

t0,95 = 18, 034 (− ln 0,95) = 2489 hr

O sea una disminuci´ on de (1-100/115)100=13 % en la carga aumenta la vida del equipo en 18033/333=54 veces!

CAP´ITULO 11. MODELOS F´ISICOS DE CONFIABILIDAD

152

11.2.2.

Modelos de localizaci´ on-escala

Otra familia de modelos covariables es referida como la de modelos de localizaci´on-escala, que se obtienen parametrizar la media seg´ un k X µ(x) = ai xi i=0

Caso lognormal En este caso R(t) = 1 − Φ

ln t −

Pk

i=0 ai xi s

!

Ejemplo 68 El T T F (horas de operaci´ on) de un conector el´ectrico sigue una distribuci´ on lognormal con par´ ametro de forma s = 0,73. Las fallas est´ an relacionadas con la temperatura de operaci´ on y el numero de contactos. Se ha estimado el siguiente modelo covariable: T T F (x) = −3,86 + 0,1213x1 + 0,2886x2 donde x1 es la temperatura de operaci´ on en grados centigrados y x2 es el numero de contactos. Un conector de un PC operar´ a a 80o C y tiene 16 pines. Su confiabilidad a las 5000 horas de uso ser´ a: T T F (80, 16) = −0,386 + 0,1213 (80) + 0,2886 (16) 10,46 y  R(5000) = 1 − Φ

11.3.

ln 5000 − 10,46 0,73



Modelos est´ aticos

En muchas situaciones no es apropiado asumir que la confiabilidad es una funci´on del tiempo. Esta secci´on considera una carga aplicada a un sistema durante un periodo relativamente corto de tiempo. Una falla ocurre si la carga excede la resistencia del sistema. La resistencia del sistema es la maxima carga que el sistema puede soportar sin fallar. Por tanto, la confiabilidad es vista de una manera est´atica (no dependiente del tiempo). Las cargas pueden ser el´ectricas, t´ermicas, qu´ımicas o mec´anicas. Ejemplo 69 Trenes de aterrizaje de aeronaves durante un aterrizaje, cohetes durante su lanzamiento, un edificio soportando un hurac´ an. Los modelos est´ aticos manejan el caso cuando una carga instant´anea o (cuasi-instant´anea) es aplicada al sistema. Para cuantificar la carga y la resistencia, definamos una variable aleatoria x que represente la carga aplicada al sistema. Sea fx (x) la funci´ on densidad de probabilidad, y sea y la variable aleatorio representando la capacidad del sistema de modos que fy (y) sea su funci´on densidad de probabilidad. La probabilidad de que la carga no exceda el valor x0 est´a dada por: Z x0 P (x ≤ x0 ) = Fx (x0 ) = fx (x)dx 0

y la probabilida de que la capacidad no exceda el valor y0 est´a dada por Z y0 P (y ≤ y0 ) = Fy (y0 ) = fy (y)dy 0

´ 11.3. MODELOS ESTATICOS

11.3.1.

153

Carga aleatoria y Resistencia constante

Si la resistencia del sistema es una constante conocida k y la carga es una variable aleatoria, entonces la confiabilidad (est´ atica) del sistema puede ser definida como la probabilidad de que la carga no supere la resistencia. Eso es, Z k R= fx (x)dx = Fx (k) 0

Ejemplo 70 La carga ejercida sobre un motor tiene la siguiente funci´ on de densidad de probabilidad:  x2 para 0 ≤ x ≤ 15 Lbf 1125 fx (x) = 0 Y se ha estimado a trav´es de ensayos de laboratorio que la base del motor tiene una tolerancia fija de 14 Lbf. Luego, su confiabilidad est´ atica es R = P (x ≤ 14) Z 14 2 x = dx 1125 0 = 0,813

11.3.2.

Carga constante y resistencia aleatoria

Si la carga es un valor constante conocido s y la resistencia es una variable aleatoria, la confiabilidad es la probabilidad dde que la resistencia exceda la carga fija, o sea: R = P (y ≥ s) Z ∞ = fy (y)dy s

Ejemplo 71 La resistencia de un nuevo superpegamento sigue una distribuci´ on aleatoria que depende de las mezcla de compuestos usados en el proceso de manufactura.  10 para y ≥ 10 Lbf y2 fy (y) = 0 Si se aplica una carga de 12 Lbf, cual es la confiabilidad? R = P (y ≥ 12) Z ∞ 10 = dy 2 12 y = 0,833

11.3.3.

Carga aleatoria y resistencia aleatoria

Si ambos son aleatorios, la confiabilidad es la confiabilidad de que la carga sea menor que la resistencia (o equivalentemente, que la resistencia sea superior a la carga). Sin embargo, para calcular la confiabilidad, se debe resolver la siguiente integral doble: R = P (x ≤ y)  Z ∞ Z y = fx (x)dx fy (y)dy Zs ∞ s = Fx (y)fy (y)dy s

CAP´ITULO 11. MODELOS F´ISICOS DE CONFIABILIDAD

154

y como R(y) = Fx (y) se tiene que Z

∞

R=

R(y)fy (y)dy

(11.1)

0

La confiabilidad depende de la regi´ on de las dos curvas en las cuales las colas se traslapan, o interfieren una con la otra. Por esta raz´ on el an´ alisis de carga vs resistencia es tambi´en conocido como teor´ıa de interferencia. Ejemplo 72 Sea 1 50

 fx (x) =  fy (y) =

para 0 ≤ x ≤ 50 -

0 0,0008y 0

para 0 ≤ y ≤ 50 -

entonces  Ry

1 dx 0 50

Fx (y) =

1 

=

y 50

1

para 0 ≤ y ≤ 50 -

para 0 ≤ y ≤ 50 -

Entonces Z

50

y 0,0008ydy + 50 0 = 0,667

Z

∞

R=

1(0)dy 50

Caso exponencial En este caso, fx (x) =

1 − µx e x µx

fy (y) =

1 − µyy e µy

tras usar (25.18), se obtiene: R=

1 1 + µµxy

La figura (11.1) muestra la confiabilidad vs la raz´on µµxy . Se observa que para obtener valores razonables se requiere µx 1 ≤ µy 10

Caso normal En este caso, 

 µ − µ y x  R = Φ q σx2 + σy2

´ 11.4. MODELOS DINAMICOS

155

1 0.95 0.9 0.85

R

0.8 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

µx/µy

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 11.1: Confiabilidad vs µx /µy Ejemplo 73 Si la carga sigue una distribuci´ on normal con media 10.3 y desviaci´ on standard 2.1, y la resistencia sigue una distribuci´ on normal con media 25.8 y desviaci´ on standard 8.2, determine la confiabilidad del sistema. ! 25,8 − 10,3 R=Φ p 2,12 + 8,22 = 0,966 Caso lognormal Aqu´ı, 

 m ln mxy  R = Φ q s2x + s2y Ejemplo 74 Una estructura tiene una capacidad para soportar terremotos que sigue una distribuci´ on lognormal con valor mediano 8.1 en la escala de Richter y par´ ametros de forma sy = 0,07. Hist´ oricamente, la magnitud de los terremotos en esta regi´ on sigue una distribuci´ on lognormal con valor mediano 5.5 y sx = 0,15. La confiabilidad est´ atica de la estructura para un terremoto es: ! ln 8,1 5,5 R=Φ p 0,152 + 0,072 = 0,99

11.4.

Modelos din´ amicos

Si una carga es aplicada repetidamente en el tiempo sobre un sistema, entonces, bajo ciertas condiciones, se puede estimar la confiabilidad din´ amica. Se discutir´an dos casos. En el primero la carga es aplicada peri´ odicamente al sistema. En el segundo caso, la carga es aplicada en intervalos aleatorios que siguen una distribuci´ on de Poisson. En ambos casos se asumir´a que ni la resistencia ni la carga son funciones del tiempo (proceso estacionario). Ello excluye situaciones donde el envejecimiento y el desgaste son relevantes.

CAP´ITULO 11. MODELOS F´ISICOS DE CONFIABILIDAD

156

11.4.1.

Cargas peri´ odicas

Asumamos que la carga es aplicada n veces (ciclos) en los instantes t1 , t2 , ..,tn , y que la carga tiene una distribuci´on con funci´ on densidad de probabilidad fx (x). por su lado, la resistencia del sistema tiene una funci´on densidad de probabilidad fy (y). Sean xi e yi la carga y la resistencia en el i-esimo ciclo. Tras n ciclos la confiabilidad Rn est´ a dada por: Rn = P (x1 < y1 , ..., xn < yn ) = P (x1 < y1 ) · ... · P (xn < yn ) si asumimos que las cargas y la resistencia son independientes en cada ciclo. Si las distribuciones de x e y son id´enticas para cada ciclo (proceso estacionario), entonces P (xi < yi ) = R donde R es la confiabilidad est´ atica para la aplicaci´on de una sola carga. Luego: Rn = R n Ejemplo 75 La resistencia a la ruptura de una viga de soporte tiene par´ ametros de Weibull η = 1200 Lbf y β = 2,1, Se usan 4 vigas para soportar una estructura que carga las vigas con 100 Lbf c/u. Cual es la confiabilidad de la estructura? 2,1

100 R4 = e−4( 200 ) = 0,9785

Si los instantes en que se aplica la carga son constantes y conocidos, la confiabilidad din´amica puede ser estimada a partir de R(t) = Rn para tn ≤ t ≤ tn+1 con t0 = 0 En caso de que la aplicaci´ on de las cargas sea peri´odica con intervalo ∆t, t

R(t) = R ∆t Ejemplo 76 Una estructura est´ a dise˜ nada para soportar una fuerza de 10 KLbf. Para probarlo, se aplica una fuerza con un cilindro hidr´ aulico que ejerce una fuerza con distribuci´ on exponencial con media 1 KLbf. Si el cilindro act´ ua cada 2 minutos, cual es la confiabilidad de completar un turno de 8 horas? R = 1 − e−10/1 y  8/(2/60) R(8) = 1 − e−10/1 = 0,9891

11.4.2.

Cargas aleatorias

Si las cargas son aplicadas aleatoriamente en el tiempo de modo que el numero de aplicaciones siga una distribuci´on de Poisson, entonces −αt n e Pn (t) = (αt) n!

´ 11.4. MODELOS DINAMICOS

157

con n = 0, 1, 2, ... Pn es la probabilidad de que ocurran n aplicaciones de la carga durante el intervalo (0, t); α es el numero medio de aplicaciones por unidad de tiempo, luego αt es el numero medio de aplicaciones durante el intervalo (0, t). La confiabilidad puede ser encontrada a partir de ∞ X

R(t) =

Rn Pn (t)

n=0 ∞ X

  −αt n e = R (αt) n! n=0  ∞ n X (αtR) −αt =e n! n=0 pero sabemos que

n

∞ X xn = ex n! n=0

luego R(t) = e−(1−R)αt Ejemplo 77 Una estructura est´ a dise˜ nada para soportar vientos de hasta 120 mph. Las r´ afagas de un hurac´ an siguen una distribuci´ on normal con media 86 mph y una desviaci´ on standard de 9 mph. En la regi´ on, los huracanes ocurren con una frecuencia que sigue una distribuci´ on de Poisson con media 2 huracanes/a˜ no. Obtenga una expresi´ on para la confiabilidad. Soluci´ on 17 Siguiendo la ecuaci´ on (??),  R=Φ

120 − 86 9



= 0,99992 y R(t) = e−(0,00008)2t Si se desea una confiabilidad de 0.99, esta estructura de este tipo durar´ıa, ln 0,99 −0,00016 = 62,8 a˜ nos

t=

Cargas fijas aleatorias y Resistencia Se obtiene un resultado diferente si se obtienen aleatoriamente la carga y la resistencia una vez y luego se fijan para cada ciclo. En el caso se ciclos aleatorios (Poisson), R(t) =

∞ X

Rn Pn (t)

n=0

= P0 (t) + R

∞ X n=0

dado que R0 = 1

Pn (t)

CAP´ITULO 11. MODELOS F´ISICOS DE CONFIABILIDAD

158

y Rn = R para n = 1, 2, ... y sabiendo que

∞ X

Pi (t) = 1

i=0

luego R(t) = P0 (t) + R(1 − P0 (t)) Como P0 (t) = e−αt para un proceso Poissoniano, R(t) = e−αt + R(1 − e−αt ) = R + (1 − R)e−αt Ejemplo 78 Una valvula de protecci´ on tiene una resistencia con media 3700 Lbf. La carga est´ a distribuida exponencialmente con media 740 Lbf. Una vez aplicada, la carga permanecer´ a constante. Se realizan procedimientos de emergencia 1 vez por a˜ no. Calcule la confiabilidad al a˜ no de operaci´ on. Soluci´ on 18 Tenemos µx 740 = µy 3700 = 0,2 luego 1 1 + 0,2 = 0,83

R=

y R(t) = 0,83 + 0,17e−t con t en a˜ nos. Al cabo de un a˜ no, R(1) = 0,892

11.5.

Modelos f´ısicos de falla

Hasta ahora, hemos tratado la ocurrencia de fallas como un proceso aleatorio. Este enfoque es aplicado por nuestra falta de conocimiento sobre los procesos f´ısicos que resultan en la falla. Como consecuencia, debemos desarrollar modelos estad´ısticos. De la recolecci´on y an´alisis de datos de falla, podemos estimar los par´ametros usados en tales modelos. Dada la naturaleza estad´ıstica del modelo, las estimaciones de confiabilidad son validas para la poblaci´ on pero dicen poco sobre un individuo. De hecho, si las fallas siguen una distribuci´ on exponencial (o casi cualquier otra), entonces el T T F de una falla puede ser cualquier instante t ≥ 0. Tras un largo numero de eventos de falla se puede observar el patron exponencial. Por tanto, tras un largo numero de fallas somos capaces de hacer buenas predicciones de confiabilidad. Una segunda limitaci´on de usar modelos estad´ısticos es que no consideran el efecto de cargas y condiciones ambientales individuales. Los modelos covariables manejan esta situaci´on hasta cierto punto, aun as´ı siguen siendo modelos estad´ısticos desarrollados a partir de muestras sobre una poblaci´on. Un enfoque alternativo est´ a representado por los modelos basados en la f´ısica de la falla. Ellos son modelos matem´ aticos, usualmente determin´ısticos, basados en los mecanismo de falla y la causa ra´ız de

11.5. MODELOS F´ISICOS DE FALLA

159

las fallas. Una falla no es vista como un evento estoc´astico. En vez, se estima un tiempo para falla para cada modo de falla basados en las condiciones de operaci´on, propiedades del material, la geometr´ıa, etc. Los tiempos estimados para cada modo son ordenados y el mas proximo es el T T F estimado para el componente. Las desventajas de este tipo de enfoque es que los modelos son muy espec´ıficos al mecanismo de falla. Se requiere de una comprensi´ on profunda del fen´omeno; un nivel importante de informaci´on experimental, an´ alisis ingenieril para derivar las ecuaciones. Como resultado, el numero de modelos disponibles es muy limitado. Aunque no existe un enfoque bien definido para desarrollar un modelo f´ısico, se pueden identificar varios pasos: 1. Identificar modos de falla y mecanismos; 2. Construir modelos matem´ aticos; 3. Estimar la confiabilidad para las condiciones de operaci´on y ambientales presentes y para las caracter´ısticas dadas de los componentes; 4. Determinar la vida de servicio; 5. Redise˜ nar para incrementar la vida de servicio de dise˜ no. Mecanismos que han sido modelados: fatiga fricci´ on corrosion contaminaci´ on esfuerzo mec´ anico Ejemplo 79 Andrade (1914) propuso la siguiente relaci´ on emp´ırica para medir la deformaci´ on como una funci´ on del tiempo y de la temperatura sometido a esfuerzo constante, resultando eventualmente en fractura:   √ 3 ε = ε0 1 + β t ekt donde ε deformaci´ on en el instante t ε0 deformaci´ on inicial β, k constantes Si εm´ax es la deformaci´ on de fractura, este modelo permite estimar la vida de dise˜ no con respecto al creep. Ejemplo 80 La vida u ´til de las herramientas de corte, puede ser modelada por la geometr´ıa y las caracter´ısticas operacionales del corte, as´ı como la dureza del material. Se pueden identificar varios modos de falla incluyendo fractura, deformaci´ on pl´ astica, desgaste gradual. Respecto de este ultimo modo de falla, F. Taylor (1907) propuso el siguiente modelo: m

t= donde t vida de la herramienta en minutos; Bbn dureza Brinell; v velocidad de corte en pies/minuto; f pulgadas/diente; d profundidad de corte en pulgadas;

c (Bbn ) v α f β dγ

160

CAP´ITULO 11. MODELOS F´ISICOS DE CONFIABILIDAD

c, m, α, β, γ constantes determinadas emp´ıricamente. Usualmente α>β>γ>m lo que indica que la vida de la herramienta es m´ as sensible a la velocidad de corte, luego el feed, la profundidad de corte, y finalmente la dureza del material. Consid´erese el siguiente caso: f = 0,02 pulg/rev d = 0,0011 pulg v = 40 pies/min Bbn = 180 A partir de un ajuste por m´ınimos cuadrados de datos obtenidos en ensayos de laboratorio se lleg´ o al siguiente modelo: 1,54 0,023 (180) t = 7,1 = 186 min 40 0,024,53 0,00112,1

11.6.

Comentarios finales

Tanto los modelos covariables como los modelos basados en la f´ısica de la falla estiman la confiabilidad a partir de condiciones medibles experimentalmente. Sin embargo, existen diferencias importantes entre ambos enfoques. Los modelos covariables retienen expl´ıcitamente una distribuci´on de falla preseleccionada; cuyos par´ametros son determinados a partir de los covariables. Los modelos basados en la f´ısica de la falla tratan el tiempo para falla como una variable determin´ıstica, aunque en algunas aplicaciones se debe interpretar como un valor medio. Los modelos covariables no son modelos f´ısicos y no muestran necesariamente causa y efecto, aun si los covariables pueden expresar la causalidad asociada a la falla. Los modelos f´ısicos, por su lado, tratan de capturar las variables causales relevantes y sus interrrelaciones para modelar el mecanismo de falla. Los modelos covariables generalmente no incluyen constantes f´ısicas, como si lo hacen los modelos f´ısicos. Ambos tipos de modelos est´an basados en datos experimentales, y ambos usan t´ecnicas de m´ınimos cuadrados para estimar sus par´ametros.

Bibliograf´ıa [1] Ploe, R.J., Skewis, W.H., Handbook of Reliability Prediction Procedures for Mechanical Equipment, David Taylor Research Center, Bethesda, Maryland,1990. [2] Ebeling, C.E., An Introduction to Reliability and Maintainability Engineering, Ch. 7, McGraw-Hill, 1997. [3] Andrade, E.N. da C., The flow in Metals under Large Constant Stress, Proceedings of the Royal Society, Vol. 90A, 1914, pp. 329-342.

161

162

BIBLIOGRAF´IA

Cap´ıtulo 12

Modelos no param´ etricos de confiabilidad 12.1.

Introducci´ on

Existen dos enfoques generales para ajustar distribuciones de confiabilidad a los datos de falla. El primero, y usualmente el preferido, consiste en ajustar una distribuci´on general (Weibull, normal, lognormal, etc.) . El segundo consiste en obtener, directamente de los datos, una funci´on de confiabilidad o una tasa de fallas emp´ırica. Este segundo enfoque ser´a visto en este capitulo.

12.2.

Clasificaci´ on de los datos

La observaci´ on de los instantes de falla pueden ser representados por los valores t1 , t2 ,...,tn , donde ti representa el tiempo de falla de la i-esima unidad. Por convenci´on los datos ser´an ordenados de modo que: t1 ≤ t2 ≤ ... ≤ tn Los datos de falla pueden ser clasificados de varias maneras, datos de operaci´ on vs datos de laboratorio; datos agrupados vs datos desagrupados; muestreos grandes vs muestreos peque˜ nos; datos completos vs datos censurados Un problema com´ un al generar datos de falla es la censura. Ocurre censura cuando los datos son incompletos porque se han detenido componentes antes de su falla o porque el ensayo es terminado antes de que fallen todas las unidades. Una unidad es removida, por ejemplo, cuando ella falla por otros modos de falla y no por el que est´ a siendo investigado. Se puede categorizar la censura seg´ un: 1. datos censurados una vez. Todas las unidades tienen el mismo intervalo de ensayo, y el ensayo se concluye antes de que fallen todas las unidades. a) Censurados a la izquierda. Los instantes en que ocurren las fallas solo son conocidos tras un cierto intervalo especificado. b) Censurados a la derecha. Los instantes en que ocurren las fallas son conocidos hasta un cierto instante especificado. 1) Censura tipo I: El ensayo es terminado despu´es de un intervalo fijo de tiempo, t∗ . 163

164

´ CAP´ITULO 12. MODELOS NO PARAMETRICOS DE CONFIABILIDAD

x Unidad

x x x Tiempo

Figura 12.1: Sin censura x x Unidad

x x o o Tiempo

Figura 12.2: Censura tipo II 2) Censura tipo II: El ensayo es terminado despu´es de que ha ocurrido un numero fijo de fallas, r. El intervalo de ensayo es tr , el tiempo en que ocurri´o la r-esima falla. 2. datos censurados multiples veces. Los intervalos de ensayo o de operaci´on difieren entre las unidades censuradas. Las unidades censuradas son removidas en varios instantes de la muestra, o las unidades han iniciado su servicio en diferentes instantes. Las figuras (12.1-12.3) comparan gr´ aficamente los intervalos de operaci´on de cada unidad ensayada para varios tipos de censura. La figura (12.1) muestra que todas las unidades operan hasta su falla. La figura (12.2) implica que el ensayo termin´ o tras ocurrir la cuarta falla (censura tipo II). La figura (12.3) es un ejemplo de censura multiple. dos unidades han sido removidas antes de la falla y las dem´as, hasta que ocurri´o la falla. La recolecci´ on y an´ alisis por modo de falla resultar´a en censura multiple dado que las unidades son removidas de una muestra particular dependiendo de la naturaleza de su falla. Datos en donde no se han censurado unidades son referidos como completos. La censura introduce dificultades adicionales al an´ alisis estad´ıstico de las fallas. Ignorar las unidades censuradas en el an´alisis puede eliminar informaci´ on valiosa e influenciar los resultados. Por ejemplo si las unidades que quedan en operaci´on en un ensayo tipo I son censuradas, solo las unidades mas d´ebiles (aquellas que fallaron primero) ser´an tratadas en el an´ alisis y la confiabilidad del componente ser´a subestimada.

x Unidad

o x o x Tiempo

Figura 12.3: Censura multiple

´ ´ 12.3. METODOS NO PARAMETRICOS

12.3.

165

M´ etodos no param´ etricos

El objetivo de este tipo de m´etodos es derivar, directamente de los datos de falla, la distribuci´on de falla, la funci´ on confiabilidad, y la tasa de fallas. Se aplican cuando ninguna distribuci´on te´orica se ajusta adecuadamente a los datos.

12.3.1.

Datos completos no agrupados

Dado que los instantes de falla est´an ordenados en orden creciente, ti ≤ ti+1 se tiene que en el instante ti quedan n − i unidades operando. Por tanto, una estimaci´on posible para la funci´on de confiabilidad, R(t), es simplemente la fracci´on de unidades operando en cada instante. o sea ˆ i) = n − i R(t n

(12.1)

sin embargo, la ecuaci´ on (12.1) implica que el valor estimado para la distribuci´on acumulada de falla es ˆ i) Fˆ (ti ) = 1 − R(t i = n

(12.2)

por tanto, Fˆ (tn ) = 1 y existe una posibilidad nula de que hayan unidades operando para t > tn . Como es poco probable que alguna muestra incluya el tiempo de supervivencia m´as largo, la ecuaci´on (12.1) tiende a subestimar la confiabilidad. Adem´ as, es razonable esperar que las primeras y las ultimas observaciones, en promedio, tengan la misma distancia con respecto al 0 % y 100 % de posibilidad, respectivamente (simetr´ıa). Una mejor estimaci´ on de F (t) es i Fˆ (ti ) = (12.3) n+1 luego i n+1 n+i−1 = n+1

ˆ i) = 1 − R(t

(12.4)

Una forma alternativa de estimar la confiabilidad es usar la mediana1 . Ella es preferida a veces pues un grado de asimetr´ıa para valores de i cercanos a 0 y a n.Las posiciones la distribuci´ on de (12.3) tiene alg´ medianas son funciones tanto de n como de i, y deben ser calculada num´ericamente (existen tablas). Tambi´en se puede aproximar por la formula: i − 0,3 Fˆ (ti ) = n + 0,4

(12.5)

Si los tama˜ nos de muestra son relativamente grandes ambas aproximaciones son muy similares. Las figuras (12.4) y (12.5) comparan las aproximaciones para F y su desviaci´on con respecto al m´etodo de las medianas, respectivamente, para n = 8. Una vez obtenida una aproximaci´on para R, se puede aproximar la funci´on densidad de probabilidad por ˆ i+1 ) − R(t ˆ i) R(t fˆ(t) = − ti+1 − ti 1 = (ti+1 − ti ) (n + 1) 1 La

mediana es el valor de t que divide al histograma en dos partes de igual area.

(12.6)

´ CAP´ITULO 12. MODELOS NO PARAMETRICOS DE CONFIABILIDAD

166

1 0.9 0.8 0.7

F(i)

0.6 0.5 i/n i/(n+1) Mediana (i-0.3)/(n+0.4)

0.4 0.3 0.2 0.1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

7

8

i

Figura 12.4: Aproximaciones para F

0.1 i/n i/(n+1) (i-0.3)/(n+0.4)

0.08

Desv.c/r a mediana

0.06

0.04

0.02

0

-0.02

-0.04

1

2

3

4

5

6

i

Figura 12.5: Desviaciones en F con respecto a la mediana

´ ´ 12.3. METODOS NO PARAMETRICOS

167

con ti ≤ t ≤ ti+1 y λ(t) = =

fˆ(t) ˆ R(t)

(12.7)

1 (ti+1 − ti ) (n + 1 − i)

Ejercicio 6 Como parte de la demostraci´ on de mantenibilidad de una nueva maquina empaquetadora se realizaron varias pruebas que arrojaron los siguientes resultados en horas: 5, 6.2, 2.3, 3.5, 2.7, 8.9, 5.4, 4.6. Estime la distribuci´ on acumulada para el TTR. Si el MTTR debe ser de 4 horas, y se deben completar 90 % de la reparaciones antes de las 8 horas, se est´ a alcanzando la mantenibilidad deseada?

12.3.2.

Datos completos y agrupados

Los instantes de falla que han sido organizados en intervalos de tiempo, son referidos como datos agrupados. Sean n1 , n2 ,...,nk , el numero de unidades que operan tras los instantes t1 , t2 ,...,tk , respectivamente. Una estimaci´ on para R(t) es ˆ i ) = ni R(t n donde n es el numero de unidades operando al inicio del test. Dada la larga cantidad de datos, es impr´actico el uso de los datos considerados individualmente, como vimos antes. Por tanto: ˆ i+1 ) − R(t ˆ i) R(t fˆ(t) = − ti+1 − ti 1 = (ti+1 − ti ) n y fˆ(t) ˆ R(t) ni − ni+1 = (ti+1 − ti ) ni

λ(t) =

para ti ≤ t ≤ ti+1 Para estimar el M T T F usamos el punto medio de cada intervalo. Eso es: _

MTTF = donde

k−1 X

ni − ni+1 t¯i n i=0

ti+1 − ti t¯i = 2

y t0 = 0 n0 = n Ejemplo 81 Se observan 70 compresores en intervalos de 5 meses, con el siguiente numero de fallas: 3, 7, 8, 9, 13, 18, 12. Estime R(t), f (t) y λ(t) y determine el MTTF.

´ CAP´ITULO 12. MODELOS NO PARAMETRICOS DE CONFIABILIDAD

168

i 0 1 2 3 4 5 6 7

t(meses) 0 5 10 15 20 25 30 35

ni − ni−1 0 3 7 8 9 13 18 12

ni 70 67 60 52 43 30 12 0

R 1.000 0.957 0.857 0.743 0.614 0.429 0.171 0.000

f 0.0086 0.0200 0.0229 0.0257 0.0371 0.0514 0.0343

λ 0.0086 0.0209 0.0267 0.0346 0.0605 0.1200 0.2000

Cuadro 12.1: Datos y resultados

1 0.9 0.8 0.7

R

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

5

10

15

20

25

30

35

Tiempo (meses)

Figura 12.6: Confiabilidad estimada Por ejemplo,

70 − 3 = 0,957 70 67 − 60 f (t = 5) = = 0,0200 (10 − 5)70 R(t = 5) =

λ(t = 5) =

67 − 60 = 0,0209 (10 − 5)67

2,5 · 3 + ... + 32,5 · 12 70 = 21,36

MTTF =

La figura (12.6) muestra la curva estimada para la confiabilidad.

12.3.3.

Datos censurados no agrupados

Consid´erese que se ensayan n unidades hasta que ocurran r fallas. Para datos censurados a la derecha, las estimaciones de R(t), f (t) y λ(t) pueden ser calculadas a partir de las ecuaciones (12.4), (12.6) y (12.7). La curva de confiabilidad estimada est´a truncada a la derecha en el instante en el que termina el test. En este caso, el ajuste de una distribuci´on te´orica puede proveer una imagen mas completa del proceso de falla al lado derecho de la distribuci´on.

´ ´ 12.3. METODOS NO PARAMETRICOS

169

Para datos censurados de manera multiple, ti representar´a el instante de una falla y t+ a un i representar´ instante de censura. Se asumir´ a que la vida de las unidades censuradas sigue la misma distribuci´on que aquellas que no lo han sido. Ambos tipos de instantes son ordenados de menor a mayor en un solo vector de eventos. Estimado del producto limite Siguiendo el trabajo de Lewis[2], una estimaci´on posible sin censura es: R(ti−1 ) =

n+2−i n+1

por lo que ˆ i ) = n + 1 − i R(t ˆ i−1 ) R(t n+2−i Si en vez de ocurrir una censura en vez de una falla en ti , la confiabilidad no debe cambiar, luego ˆ + ) = R(t ˆ i−1 ) R(t i Sea

 δi =

1 0

si la falla ocurre en ti si se censura en ti

entonces 

n+1−i n+2−i ˆ i−1 ) = αi R(t

ˆ i) = R(t

δi

ˆ i−1 ) R(t

con valor inicial, ˆ R(0) =1 Las estimaciones para f (t) y λ(t) pueden ser obtenidas de (12.6) y (12.7) respectivamente, usando solo los los instantes correspondientes a fallas. Ejemplo 82 Se han registrado los siguientes instantes de fallas y censuras en un grupos de 10 alabes de turbina; 150,340+ , 560,800, 1130+ , 1720, 4210+ , 5230, 6890. La censura fue resultado de otros modos de falla no relacionados con fatiga o desgaste. Determine una curva de Confiabilidad emp´ırica. La figura (12.7) muestra la curva de confiabilidad obtenida con el modelo de Lewis y se superpone una donde se han excluido exprofeso los puntos censurados y se ha usado la ecuaci´on (12.3). Se observa como efectivamente el no considerar los datos censurados implica una subestimaci´on de la confiabilidad. Estimador de Kaplan-Meier Un m´etodo popular para obtener una funci´on de confiabilidad emp´ırica es el m´etodo de KaplanMeier., el cual es equivalente a la ecuaci´on (12.1) si los datos est´an completos. Sean tj los instantes de falla (ordenados) y nj el numero de unidades operando justo antes de la j-esima falla. Asumiendo que los instantes de censura no coinciden con los de falla, el m´etodo propone:  Y  1 ˆ R(t) = 1− nj j:tj ≤t

y ˆ =1 R(t) para 0 ≤ t ≤ t1

´ CAP´ITULO 12. MODELOS NO PARAMETRICOS DE CONFIABILIDAD

170

1 Lewis'87 excluyendo censurados 0.9

0.8

0.7

R

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

Tiempo (horas op.)

Figura 12.7: Confiabilidad estimada   ˆ std R

i

tj

nj

1 − 1/nj

ˆ i + 0) R(t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

150 340+ 560 800 1130+ 1720 2470+ 4210+ 5230 6890

10

9/10

R(150) =

8 7

7/8 6/7

R(560) = 78 0,9 = 0,788 R(800) = 67 0,788 = 0,675

0,134 0,155

5

4/5

R(1720) = 45 0,675 = 0,54

0,173

2 1

1/2 0

R(5230) = 12 0,54 = 0,27 R(6890) = 0

0,210

9 10 1

= 0,9

0,095

Cuadro 12.2: M´etodo de Kaplan Meier El m´etodo adem´ as provee una estimaci´ on para la desviaci´ on standard de la confiabilidad estimada: v uX 1 u std [R(t)] = t nj (nj − 1) j:tj ≤t

Ejemplo 83 Usando los datos del ejemplo (82) y considerando R(ti + 0) como la confiabilidad justo despu´es de la i−esima falla, estime la confiabilidad con el m´etodo de Kaplan-Meier. La tabla (12.2) muestra los valores estimados para la confiabilidad y su desviaci´ on standard. La figura (12.8) muestra una comparaci´ on de los valores estimados de R.

M´ etodo de los rangos ajustados Un m´etodo alternativo para estimar R(t) con datos censurados multiplemente hace uso de la ecuaci´on (12.5), ajustando el orden de la i − esima falla, en caso necesario, par a tomar en cuenta los instantes de censura ocurridos antes de la misma. Como la unidad censurada tiene alguna probabilidad de falla antes o despu´es de la proxima(s) falla(s), ello influenciar´a el rango de las fallas subsecuentes. Por ejemplo, suponga que se obtuvieron los siguientes datos: 50, 80+ , 160. Entonces, la primera falla tendr´a rango i = 1; sin embargo, la segunda falla podr´ıa tener rango i = 2 si la unidad censurada fallase despu´es de

´ ´ 12.3. METODOS NO PARAMETRICOS

171

1 Lewis'87 Kaplan-Meier Rangos ajustados

0.9 0.8 0.7

R

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

Tiempo (horas op.)

Figura 12.8: Confiabilidad estimada las 160 horas. Por tanto, la segunda unidad fallada recibir´a un rango entre 2 y 3, siguiendo la formula, que considera todas las posibles posiciones relativas de la unidad censurada: ∆i =

(n + 1) − iti−1 1 + n0

donde n es el numero total de unidades operando; n0 es el numero de unidades despu´es de la unidad censurada siendo calculada; iti−1 es el rango de la falla ocurrida en el instante i − 1. El incremento de rango es recalculado para la proxima falla que haya tras una censura. Su rango ajustado es: iti = iti−1 + ∆i y ˆ = iti − 0,3 R(t) n + 0,4 Ejemplo 84 si aplicamos el m´etodo al ejemplo ((82),

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ti 150 340+ 560 800 1130+ 1720 2470+ 4210+ 5230 6890

∆i 1 11−1 1+8

= 1,11

iti

ˆ i) = 1 − R(t 0,933

1 + 1,11 = 2,11 2,11 + 1,11 = 3,22

0,826 0,719

11−3,22 1+5

= 1,30

3,22 + 1,30 = 4,52

0,594

11−4,52 1+2

= 2,16

4,52 + 2,16 = 6,68 6,68 + 2,16 = 8,84

0,387 0,179

Cuadro 12.3: Rangos ajustados

iti −0,3 n+0,4

´ CAP´ITULO 12. MODELOS NO PARAMETRICOS DE CONFIABILIDAD

172

El gr´afico (12.8) muestra resultados comparativos. Se aprecia que la estimaci´on es muy similar a la del m´etodo de Lewis. El m´etodo ser´ a usado para mejorar la estimaci´on de los par´ametros de Weibull por el m´etodo gr´afico. Ejemplo 85 La censura se utiliza cuando se observan los instantes de falla de un sistema contiene 2 o mas componentes en serie. Cuando el sistema falla, un componente a˜ nadir´ a un instante de falla para ese componente y un instante de censura para el resto de componentes. Por ejemplo, se han observado las siguientes instantes de falla para un sistema con 3 componentes en serie, con 10 equipos operando hasta fallar:

Equipo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Componente que fall´o C1 C2 C1 C1 C3 C2 C1 C1 C3 C1

Instante de falla (h) 352 521 177 67 411 125 139 587 211 379

Cuadro 12.4: Datos del ejemplo Para estimar la confiabilidad del componente 1, las fallas de los componentes 2 y 3 son tratadas como datos censurados. Por tanto, tras ordenar los instantes de falla por rango, la estimaci´ on de Lewis, queda: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ti 67 125+ 139 177 211+ 352 379 411+ 521+ 587

ˆ i) R(t 0,909 0,808 0,707 0,589 0,471

0,235

Cuadro 12.5: Resultados

12.3.4.

Datos censurados y agrupados

Los datos censurados y agrupados pueden ser analizados en una tabla de vida. Este tipo de tablas sumariza la informaci´ on de supervivencia de las unidades sujetas a falla. Ellas han sido usadas en investigaci´on medica para estimar la probabilidad de supervivencia de pacientes con ciertas enfermedades y que han recibido tratamientos u operaciones quir´ urgicas. Asumamos que los instantes de falla o censura han sido agrupados en k + 1 intervalos de la forma (ti−1 , ti ) con i = 1, 2, .., k + 1, donde t0 = 0 y tk+1 = ∞. Los intervalos no requieren ser de la misma duraci´on. Sean: Fi el numero de fallas en el i − esimo intervalo; Ci numero de datos censurados en el i−esimo intervalo;

´ ´ 12.3. METODOS NO PARAMETRICOS

173

Hi el numero de unidades en riesgo en el instante ti−1 , Hi = Hi−1 − Fi−1 − Ci−1 Hi0 el numero de unidades ajustado al riesgo de que los instantes de censura ocurran uniformemente sobre el intervalo: Ci Hi0 = Hi − 2 entonces, la probabilidad condicional de una falla dado que se ha sobrevivido hasta ti−1 , Fi 0 Hi luego, la probabilidad condicional de sobrevivir al intervalo es pi = 1 −

Fi 0 Hi

ˆ i de una unidad de sobrevivir el i − esimo intervalo puede ser escrita como La confiabilidad R ˆ i = pi R ˆ i−1 R Ejemplo 86 Construya una tabla de vida para los motores de una flota de 200 aviones (monomotor) que tienen el historial mostrado en tabla. Los datos censurados representan aquellos aviones que tuvieron otros modos de falla. a˜ no 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1900

nro de fallas 5 10 12 8 10 15 9 8 4 3

numero de datos censurados 0 1 5 2 0 6 3 1 0 1

Cuadro 12.6: Historial de la flota La soluci´ on es: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fi 5 10 12 8 10 15 9 8 4 3

Ci 0 1 5 2 0 6 3 1 0 1

Hi 200 195 184 167 157 147 126 114 105 101

Hi0 200 194,5 181,5 166 157 144 124,5 113,5 105 100,5

pi 0,975 0,949 0,934 0,952 0,936 0,896 0,928 0,930 0,962 0,970

Cuadro 12.7: Resultados

Ri 0,975 0,925 0,864 0,822 0,770 0,690 0,640 0,595 0,572 0,555

´ CAP´ITULO 12. MODELOS NO PARAMETRICOS DE CONFIABILIDAD

174

1

0.9

R

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4 1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

Año

Figura 12.9: Confiabilidad estimada Una aproximaci´ on para la desviaci´ on standard de la confiabilidad estimada es: v u i u X 1 − pk ˆ i ) = tR ˆi std(R Hk0 pk k=1

12.4.

Comentarios finales

Hemos visto una serie de m´etodos no param´etricos para estimar la confiabilidad y la tasa de fallas. Este tipo de m´etodos es preferido cuando el ajuste de una distribuci´on te´orica general (Weibull, normal,...) no es aceptable. Hemos definido censura de datos de falla y hemos clasificado los datos de falla seg´ un est´en censurados por otros modos de falla o por mantenimiento preventivo y en caso de ser un numero importante, si est´an agrupados o no. Ello mejora la estimaci´ on de la confiabilidad cuando los registros de falla consideran varios modos de falla o instantes en los cuales se realizaron tareas preventivas. El an´alisis se ha concentrado en componentes no reparables (MTTF) sin embargo su extensi´on a componentes reparables es directa. Ejercicio 7 Un secador el´ectrico tiene 2 modos de falla - uno con el subsistema motor (modo de falla 1) y el otro con el subsistema calefactor (modo de falla 2). Se han registrado las siguientes fallas en un test de 1500 horas aplicado a 9 maquinas: Maquina 1 2 3 4 5 6 7 8 9

t 250 780 673 891 190 1020 no fall´o 922 432

modo de falla 1 1 2 1 2 1 1 2

Cuadro 12.8: Datos

Bibliograf´ıa [1] Ebeling, C.E., An Introduction to Reliability and Maintainability Engineering, Ch. 12, McGraw-Hill, 1997. [2] Lewis, E.E., Introduction to Reliability Engineering, John Wiley & Sons, New York, 1987.

175

176

BIBLIOGRAF´IA

Cap´ıtulo 13

Estimaci´ on con m´ axima similitud 13.1.

Introducci´ on

Aunque los m´etodos gr´ aficos ya vistos para la estimaci´on de par´ametros son f´aciles de usar; ello no implica que sean los mejores o los preferidos. Esto es especialmente cierto para los test de validaci´on basados en el estimador de m´ axima similitud. El concepto de m´axima similitud sera ilustrado en primer lugar con un ejemplo. Luego veremos definiciones generales, y finalmente su aplicaci´on a modelos de confiabilidad cl´ asicos. Ejemplo 87 Sea x una variable discreta que representa el numero de ensayos requeridos para obtener la primera falla. Si asumimos que la probabilidad de una falla permanece constante (p) y que cada ensayo es independiente, entonces x −1 P (x = x0 ) = f (x0 ) = (1 − p) 0 p con x = 1, 2, 3, ... x −1

O sea es la probabilidad de x0 − 1 ensayos exitosos (con probabilidad (1 − p) 0 ) seguido por una falla (con probabilidad p). Si x1 , x2 ,..., xn representa una muestra de tama˜ no n de esta distribuci´ on, se tiene que fx1 ,...,xn (x1 , x2 , ..., xn ) =

n Y

f (xi )

(13.1)

i=1 Pn

= pn (1 − p)

i=1 (xi −1)

La ecuaci´ on (13.1) es llamada funci´ on de similitud y representa la probabilidad de obtener la muestra observada. Dado que la ecuaci´ on (13.1) contiene el par´ametro desconocido p, y deseamos encontrar el valor del mismo que sea consistente con la muestra observada. Si se encuentra una valor que maximice la funci´ on de similitud, este tambi´en maximizar´a la posibilidad la probabilidad de encontrar la muestra observada. Por tanto, deseamos resolver el siguiente problema: Pn

m´ax g(p) = pn (1 − p)

i=1 (xi −1)

0≤p≤1

Podemos encontrar el m´ aximo de una funci´on al encontrar el punto donde la primera derivada es cero. Ello se hace m´ as f´ acil si se usa el logaritmo de la funci´on de similitud, o ( n ) Y m´ ax ln g(p) = ln f (xi ) i=1

" = n ln p +

n X i=1

177

# (xi − 1) ln(1 − p)

´ CON MAXIMA ´ CAP´ITULO 13. ESTIMACION SIMILITUD

178

tomando la derivada e igualando a cero, n − p o

Pn

(xi − 1) =0 1−p

i=1

n pˆ = Pn

i=1

(13.2)

xi

Por tanto, el valor de pˆ obtenido a partir de (13.2) es el estimador de m´axima similitud para esta distribuci´on (que es denominada geom´etrica). Ejemplo 88 Se registraron los siguientes numero de representan los ciclos de operaci´ on de un equipo que fallo y detuvo la linea de producci´ on: 5,8,2,10,7,1,2,5. Por tanto, la variable aleatoria de int´eres, x, es el numero de ciclos de operaci´ on necesarios para obtener una falla. En este caso: n pˆ = Pn

i=1

xi

8 40 = 0,2 =

luego, P (x = x0 ) = 0,8x0 −1 0,2 La media de esta distribuci´ on es 1/p. Luego, 40/8 = 5 es el numero medio de ciclos de operaci´ on hasta que ocurre una falla. La probabilidad de que ocurra una falla en el tercer ciclo es P (3) = 0,83−1 0,2 = 0,128

13.2.

Estimaci´ on de m´ axima similitud

En general, para encontrar el estimador de m´axima similitud de una distribuci´on con datos completos, se debe encontrar el m´ aximo de la siguiente funci´on de similitud con respecto a los par´ametros T desconocidos θ = {θ1 , θ2 , ..., θk } : n Y L(θ) = f (ti |θ) i=1

El objetivo es encontrar los valores de los estimadores de θ que logran que la funci´on L sea lo m´as grandes posible para valores dados de t1 , t2 , ...,tn . Dada forma multiplicativa de L, el m´aximo de logaritmo de L es usualmente un problema mas f´ acil de resolver (se torna lineal). En general, la condiciones necesarias para encontrar el estimador se obtiene al igual a cero el gradiente de logaritmo de L con respecto al vector de par´ametros θ. Si hay datos censurados a la derecha (tipo I), se modifica la funci´on de similitud a L(θ) =

r Y

n−r

f (ti |θ) [R(t∗ )]

i=1

donde r es el numero de fallas; n es le numero de unidades en riesgo de falla; t∗ es la duraci´ on del test. n−r El factor [R(t∗ )] es la probabilidad de que n − r unidades censuradas no fallen antes de que finalice el test. Para datos censurados tipo II, se reemplaza t∗ por tr .

´ DE MAXIMA ´ 13.2. ESTIMACION SIMILITUD

13.2.1.

179

Distribuci´ on exponencial

Tanto para datos completos como censurados, el estimador de m´axima similitud para el par´ ametro λ est´a dado por: r λ= T donde r es el numero de fallas, y T se define seg´ un el tipo de test: Para datos sin censura, n X T = ti i=1

Para censura tipo I: T =

r X

ti + (n − r) t∗

i=1

Para censura tipo II, T =

r X

ti + (n − r) tr

i=1

Obtengamos por ejemplo, el estimador con censura tipo II: La funci´ on densidad de probabilidad es: f (ti ) = λe−λti con i = 1, .., r donde los valores ti est´ an ordenados en forma creciente. La probabilidad de que n − r unidades superen tr es
n−r P (ti > tr para todo i > r) = e−λtr luego, la funci´ on de similitud es: L(θ) =

r Y

λe−λti e−λtr


n−r

i=1 P r −λ ri=1 ti −λ(n−r)tr

=λ e y el logaritmo de L,

ln L(θ) = r ln λ − λ

r X

ti − λ (n − r) tr

i=1

derivando, r

r X − ti − λ (n − r) tr = 0 λ i=1 Resolviendo para λ,

r r = T t − λ (n − r) t r i=1 i

ˆ = Pr λ

13.2.2.

Distribuci´ on de Weibull

El estimador de m´ axima similitud para una distribuci´on de Weibull de 2 par´ametros puede ser calculado num´ericamente. Tanto para datos completos como censurados, el valor estimado del par´ametro de forma β, es encontrado al resolver la siguiente ecuaci´on: Pr g(β) =

β i=1 ti ln ti Pr β i=1 ti

+ (n − r) tβs ln ts + (n − r) tβs

r

−

1 1X − ln ti = 0 β r i=1

180

´ CON MAXIMA ´ CAP´ITULO 13. ESTIMACION SIMILITUD

donde   1 t∗ ts =  tr

para datos completos para censura tipo 1 para censura tipo II

disponiendo de una estimaci´ on para β, la vida caracter´ıstica η es obtenida a partir de v u u1 β η= t r

r X

! tβi

+ (n −

r) tβs

i=1

Un valor inicial para el proceso iterativo se puede obtener a partir del m´etodo gr´afico. Ejemplo 89 Estime, usando m´ axima similitud, los valores para los par´ ametros de la distribuci´ on de Weibull asociados a los datos de falla: 25.1, 73.9, 75.5, 88.5, 95.5, 112.2, 113.6, 138.5, 139.8, 150.3, 151.9, 156.8, 164.5, 218, 403.1.

13.2.3.

Distribuciones normales y lognormales

La obtenci´on del estimador puede ser revisada en referencia [4], por ejemplo. Sus valores son: Pn

i=1 ti

µ ˆ=

n (n − 1)s2 σ ˆ2 = n donde

Pn

2 i=1 ti

2

s =

− nˆ µ2 n−1

Para la distribuci´ on lognormal, se aplica nuevamente la relaci´on utilizada para la distribuci´on normal. En este caso, Pn ln ti µ ˆ = i=1 n entonces t¯ = eµˆ s

Pn

i=1

sˆ =

2

(ln ti − µ ˆ) n

Ejemplo 90 Usando los datos del problema (??) obtenga estimaciones de m´ axima similitud para los par´ ametros.

13.3.

Estimaci´ on de m´ axima similitud con datos censurados multiplemente

Cuando la censura es multiple, la funci´on de similitud debe ser modificada para reflejar el hecho de que en los instantes censurados, no ocurrieron fallas. Para ello, se define la funci´on de similitud de la siguiente manera: Y Y
L(θ) = f (ti ; θ) R t+ i ;θ i∈F

i∈C

donde F es el conjunto de indices no censurados, y C incluye los indices censurados.

´ DE MAXIMA ´ 13.3. ESTIMACION SIMILITUD CON DATOS CENSURADOS MULTIPLEMENTE181

13.3.1.

Distribuci´ on exponencial

En este caso, Y

L (λ) =

Y

λr e−λti

i∈F

+

e−λti

i∈C

r −λ

=λ e

P

i∈F

ti −λ

e

P

i∈C

t+ i

donde r es el numero total de fallas. Tomando el logaritmo, X X ln L (λ) = r ln λ − λ ti − λ t+ i i∈F

derivando e igualando a cero,

i∈C

X r X − ti − t+ i =0 λ i∈F

luego

i∈C

r P + i∈F ti + i∈C ti

ˆ=P λ

resultado que confirma que para una distribuci´on exponencial se puede estimar la tasa de fallas a partir del numero total de fallas dividido por el tiempo total.

13.3.2.

Distribuci´ on de Weibull

Siguiendo los desarrollos de Nelson [5], la estimaci´on del par´ametro de forma β implica la soluci´on del problema no lineal: X ln ti X β X 1 1 = ti ln ti − (13.3) β r β ti i∈F

i∈F +C

i∈F +C

Obtenida la estimaci´ on de β, v u X β u ti β η= t r

(13.4)

i∈F +C

Ejemplo 91 Se pusieron 15 unidades para una prueba de 500 horas. Se registraron los siguientes instantes de falla: 34, 136, 145+ , 154, 189, 200+ , 286, 287, 334, 353, 380+ . Encuentre estimaci´ on para par´ ametros exponencial y de Weibull. Para el caso exponencial: T = 34 + 136 + 145 + 154 + 189 + 200 + 286+ 287 + 334 + 353 + 380 + 4 · 500 = 4498 y fallar´ on 8 unidades, luego: ˆ= λ

8 fallas/hora 4498

Para la estimaci´ on de Weibull, se asigna un tiempo de censura de 500 horas para las unidades que no fallaron. El lado izquiedo de la ecuaci´ on (13.3) es 5.21385. La iteraci´ on resulta en β = 1,43 Usando (13.4), η = 491

´ CON MAXIMA ´ CAP´ITULO 13. ESTIMACION SIMILITUD

A B C D ti F 2 i X 3 1 101 0,056 4,62 4 2 172 0,098 5,15 5 3 184 0,141 5,21 6 4 274 0,184 5,61 7 5 378 0,226 5,93 8 6 704 0,269 6,56 9 7 1423 0,312 7,26 10 8 2213 0,355 7,70 11 9 2965 0,397 7,99 12 10 5208 0,440 8,56 13 11 5879 0,483 8,68 14 12 6336 0,526 8,75 15 13 6428 0,568 8,77 16 14 6630 0,611 8,80 17 15 7563 0,654 8,93 18 16 10435 0,697 9,25 19 17 30138 0,739 10,31 20 18 30580 0,782 10,33 21 19 38265 0,825 10,55 22 20 47413 0,868 10,77 23 21 81607 0,910 11,31 24 22 158007 0,953 11,97 25 23 182958 0,996 12,12

E F Y 2,00 -2,86 -2,27 -1,88 1,00 -1,59 -1,36 -1,16 0,00 -0,98 4,00 -0,83 -1,00 -0,68 -0,54 -0,42 -2,00 -0,29 -0,17 -0,06 -3,00 0,06 0,18 -4,00 0,30 0,42 0,55 0,70 0,88 1,12 beta 1,70 eta

G

H

I

y = 0,4967x - 4,6144 2 R = 0,9662

6,00

8,00

10,00

12,00

Y

182

X

0,497 10830

Figura 13.1: Datos y resultados preliminares

13.4.

Estimaci´ on del par´ ametro de localizaci´ on

Cuando la gr´ afica de Weibull muestra curvaturas en vez de rectas, es una indicaci´on de que existe una denominada vida garantizada o vida minima. Para obtener una recta, es necesario restar la vida minima γ, definiendo: t0i = ti − γ La estimaci´ on de m´ axima similitud para γ no est´a bien definida. Un borne superior para γ es t1 , el instante de la primera falla. El m´etodo gr´ afico ofrece la posibilidad de iterar sobre este par´ametro para obtener la mejor recta posible. Otra posibilidad es utilizar el trabajo presentado en referencia [2]: γˆ =

t1 tn − t2j t1 + tn − 2tj

donde j = np y  p=

0.5 0.8829n−0,3437

para dist. lognormal para dist. Weibull

(13.5)

Para una distribuci´ on exponencial es mejor utilizar[2]: γˆ = 2t1 − t2 Tambi´en es posible que γˆ sea negativo. Esto puede suceder, por ejemplo, se desgasta antes de entrar en servicio (en la bodega por ejemplo). Por otro lado, el control de calidad y las inspecciones tienden a weed out los modos de falla que aparecen durante la infancia. Los avances en ingenier´ıa as´ı como en los materiales pueden generar un γˆ positivo. Ejemplo 92 Se han observado los instantes de falla que se muestran en gr´ afica 13.11 . Donde adem´ as se muestran las estimaciones obtenidas por m´ınimos cuadrados, que entregan los par´ ametros de Weibull 1 Los

datos fueron generados a partir de una distribuci´ on con β = 0,4, η = 104 , t0 = 100[1].

13.5. INTERVALOS DE CONFIANZA

183

(seg´ un referencia [1]): βˆ = 0, 517 ηˆ = 13948 Una estimaci´ on para p se calcula a partir de la ecuaci´ on (13.5): p = 0,8829 (23) = 0,3

−0,3437

luego j = round (0,3 · 23) =7 y 101 · 182958 − 14232 101 + 182958 − 2 · 1423 = 91,3

γˆ =

tras realizar la correcci´ on se obtiene (por m´ınimos cuadrados): βˆ = 0,45 ηˆ = 13079

13.5.

Intervalos de confianza

Para determinar la precisi´ on con la cual el m´etodo de m´axima similitud estima los par´ametros de la distribuci´ on seleccionada. Para ello se construyen intervalos de confianza. Un intervalo de confianza provee un rango de valores en donde existe un alto grado de confianza en que el par´ametro verdadero est´e incluido.

13.5.1.

Distribuci´ on exponencial

Un intervalo de confianza de 100 (1 − α) % para el M T T F est´a dado por: M T T FL = M T T FU = donde

 k=

2 (r + 1) 2r

2T χ2α/2,k 2T χ21−α/2,2r

censura tipo I censura tipo II y datos completos

T es el tiempo total del test; r es el numero de fallas; χ2 es el valor de la tabla χ2 con el nivel de confianza deseado y los grados de libertad indicados. Un intervalo de confianza para la confiabilidad para alg´ un instante t est´a dado por: e−t/M T T FL ≤ R(t) ≤ e−t/M T T FU Alternativamente, la vida de dise˜ no Tr , o aquella que toman las unidades para alcanzar un nivel de confiabilidad R es: −M T T FL ln R ≤ Tr ≤ −M T T FU ln R

´ CON MAXIMA ´ CAP´ITULO 13. ESTIMACION SIMILITUD

184

Ejemplo 93 Se ensayaron 30 unidades hasta que se observaron 20 fallas. Se registraron los siguientes tiempos de falla: 50.1, 20.9, 31.1, 96.5, 36.3, 99.1, 42.6, 84.9, 6.2, 32.0, 30.4, 87.7, 14.2, 4.6, 2.5, 1.8, 11.5, 84.6, 88.6, 10.7. Un intervalo de confianza del 90 % para el MTTF de la distribuci´ on exponencial para datos con censura tipo II con n = 30 y r = 20 es: T = 50,1 + 20,9 + ... + 10,7 + (30 − 20) 99,1 = 1827,3 χ20,975,40 χ20,025,40

= 24,433 = 59,342

2 (1827,3) = 61,58 59,342 2 (1827,3) M T T FU = = 149,58 24,433 M T T FL =

Para un tiempo de operaci´ on de t0 = 10 horas, e−10/61,58 ≤ R(t) ≤ e−10/149,58 0,850 ≤ R(t) ≤ 0,935 Para una confiabilidad R = 0,95, −61,58 ln 0,95 ≤ tr ≤ −149,58 ln 0,95 3,16 ≤ tr ≤ 7,67

13.5.2.

Distribuci´ on exponencial de 2 par´ ametros

En caso de existir una vida minima garantizada,  1 R(t) = e−(t−γ)/M T T F

t≤γ t≥γ

y las estimaciones para los par´ ametros son: Pr

i=1 ti

MTTF =

γ = t1 −

+ (n − r) ts − nt1 r MTTF n

donde  ts =

t∗ tr

censura tipo I censura tipo II

Los intervalos de confianza para M T T F , γ y R est´an definidos por: M T T FL =

2 (r − 1) 2 (r − 1) MTTF ≤ MTTF ≤ 2 M T T F = M T T FU 2 χα/2,2r−2 χ1−α/2,2r−2 γL = t1 −

MTTF Fα,2,2r−2 ≤ γ ≤ t1 n

y e−(t−γ)/M T T FL ≤ R(t) ≤ e−(t−γ)/M T T FU donde

h i Fα,2,2r−2 = (r − 1) α−1/(r−1) − 1

´ DE PARAMETROS ´ 13.6. ESTIMACION PARA MODELOS COVARIABLES

13.5.3.

185

Distribuci´ on de Weibull

Para obtener intervalos de confianza para la distribuci´on de Weibull se requiere el uso de t´ecnicas num´ericas o tablas especiales. Para tama˜ nos de muestra grande con datos completos, se pueden usar las expresiones[?]: ˆ −0,78zα/2 / βe ηˆe−1,05zα/2 /(β

√

√

n

n)

ˆ 0,78zα/2 / ≤ β ≤ βe

√

n

≤ η ≤ ηˆe−1,05zα/2 /(β

√

n)

donde βˆ y ηˆ son valores estimados de m´ axima similitud; zα/2 es la desviaci´ on normal standard. Ejemplo 94 De las 15 fallas del ejemplo 89, y usando las siguientes valroes estimados: βˆ = 1,806 ηˆ = 158,65 Obtenga los intervalos de confianza para 90 %. Tenemos, n = 15 z0,05 = 1,645 luego, 1,297 ≤ β ≤ 2,52 124,1 ≤ η ≤ 203,3 La referencia [3] presenta intervalos de confianza para datos censurados.

13.6.

Estimaci´ on de par´ ametros para modelos covariables

En general, las estimaciones de m´axima similitud para los par´ametros de los modelos covariables, implica resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Ilustraremos este tipo de estimaci´on con un modelo covariable exponencial donde Pk λ = e i=0 ai xi donde x0 = 1 y se desea estimar el valor de los par´ametros ai . Si los datos est´an completos: L(a) =

n Y

Pk

e

i=0

ai xij −tj

e

Pk

i=0

ai xij

j=1

donde xij es el valor del i-esimo covariable asociado a la j-esima falla. La funci´on logar´ıtmica de similitud es ( k ) n X X P − k a x i ij i=0 ln L(a) = ai xij − tj e j=1

i=0

y el set de ecuaciones a resolver es: n

n

X Pk ∂ ln L X = xij − tj xij e− i=0 ai xij = 0 ∂ai j=1 j=1

´ CON MAXIMA ´ CAP´ITULO 13. ESTIMACION SIMILITUD

186

con i = 0, 1, ..., k Un estimador menos eficiente pero computacionalmente m´ as simple es obtenido al usar m´ınimos cuadrados. Para desarrollarlo, se escribe la funci´ on de confiabilidad en t´erminos de los covariables: Pk

R(t) = e−t exp( o

i=0

Pk

− ln R = te

i=0

ai xi )

ai xi

y tomando nuevamente el logaritmo, ln (− ln R(t)) = ln t +

k X

ai xi

i=0

La cual es una hiperrecta en (ln t, ln (− ln R(t))) a ser estimada. Se puede emplear un enfoque similar para la distribuci´on de Weibull si el logaritmo de la vida caracter´ıstica es una funci´ on lineal de uno o mas covariables. La funci´on confiabilidad es escrita como !β −

R(t) = e

t Pk exp a x i=0 i i

(

)

luego 

1 ln ln 1 − F (t)

 = β ln t − β

k X

ai xij

(13.6)

i=0

donde los puntos de la hiperrecta son definidos por los pares    1 ln ti , ln ln 1 − F (ti ) Observaci´ on 46 En el modelo covariable presentado, se considera que el valor de los covariables son constantes en el tiempo para cada unidad ensayada. La variaci´ on se produce entre unidades. Ejemplo 95 Se registraron los datos mostrados en figura (13.2) de un ensayo de confiabilidad en donde el covariable es una carga medida (Volts). Asuma que la vida caracter´ıstica es una funci´ on de la carga aplicada. Para obtener los par´ ametros se construy´ o el sistema sobredeterminado Ax = b que representa a la ecuaci´ on (13.6) para cada punto, con    β  βa0 p=   βa1   1 b = ln ln 1 − F(tj ) y cada fila de A, 

ln t

−1 x1j



Los resultados obtenidos son:    0,4903  −4,2125 p=   0,0075

´ DE PARAMETROS ´ 13.6. ESTIMACION PARA MODELOS COVARIABLES

A

B

C

t_i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

D

x_0i

4,7 7,5 10,3 20,5 141,6 166 209,1 324,1 551,3 3125 4671 5049 5220 9658

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

E

x_1i F 160 160 160 160 120 120 120 120 100 90 100 100 90 90

F

G

ln(t_i) 0,049 0,118 0,188 0,257 0,326 0,396 0,465 0,535 0,604 0,674 0,743 0,813 0,882 0,951

1,548 2,015 2,332 3,020 4,953 5,112 5,343 5,781 6,312 8,047 8,449 8,527 8,560 9,176

Figura 13.2: Datos y resultados preliminares

1.5

1

0.5

0

-0.5

A*x

1 2 i 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

-1

-1.5

-2

-2.5

-3 -3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

187

1.5

y

Figura 13.3: Ajuste por m´ınimos cuadrados

ln(ln(1/(1-F))) -2,999 -2,074 -1,572 -1,214 -0,929 -0,685 -0,468 -0,268 -0,076 0,113 0,307 0,515 0,759 1,107

188

´ CON MAXIMA ´ CAP´ITULO 13. ESTIMACION SIMILITUD

luego β = 0,490 a0 = 8,59 a1 = −0,02 entonces ηˆ =

k X

ai xi

i=0

= 8,59 − 0,02x

13.7.

Comentarios finales

En este capitulo hemos tratado la estimaci´on de los par´ametros de la distrubici´on a partir del m´etodo ´ se presenta como una alternativa al m´etodo de m´ınimos cuadrados ya visto de m´axima similitud. El anteriormente. Adem´ as hemos establecido intervalos de confianza para las estimaciones. Varios de los modelos desarrollados est´ an disponibles en Web en la planilla Excel ebeling15.xls.

Bibliograf´ıa [1] Ebeling, C.E., An Introduction to Reliability and Maintainability Engineering, Ch. 15, McGraw-Hill, 1997. [2] Muralidhar, K.H., and Zanakis, S., A Simple Minimum-Bias Percentile Estimator of the Location Parameter for the Gamma, Weibull and Lognormal Distributions, Decision Sciences, Vol. 23, No. 4, pp 862-879, 1992. [3] Lawless, J.F., Statistical Models and Methods for Lifetime Data, John Wiley & Sons, New York, 1982. [4] Ross, S.M., Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists, John Wyley & Sons, New York, 1987. [5] Nelson, W., Applied Lide Data Analysis, John Wyley & Sons, New York, 1982.

189

190

BIBLIOGRAF´IA

Parte III

Modelos de Costos

191

Cap´ıtulo 14

Selecci´ on de estrategias de mantenimiento 14.1.

Introducci´ on

La reducci´ on de costos de mantenci´on al disminuir los repuestos ha hecho que los sistemas de producci´on sean mas vulnerables a riesgos. Ello implica que las fallas con detenci´on de equipo deben ser reducidas lo mas posible. La mantenci´on es vital en este aspecto y ha llegado a ser un sector clave de la producci´ on. Tras de d´ecadas de mantenci´on correctiva, el mantenimiento preventivo ha emergido, pero sus costos se mantienen altos, dado que las componentes son reemplazados, en general, antes del fin de su vida u ´til. Hoy en d´ıa, muchas compa˜ n´ıas han cambiado establecido programas de mantenimiento predictivo. Sin embargo, sus costos pueden ser altos, mientras que su impacto econ´omico puede ser dif´ıcil de predecir. Este capitulo ofrece un procedimiento para ayudar en la toma de decisi´on. Permite a la compa˜ nia seleccionar el m´etodo de mantenci´ on m´as apropiado, o calcular la inversi´on m´axima permisible, de modo que la eventual implementaci´ on de una pol´ıtica de mantenci´on predictiva sea la opci´on m´as econ´omica. El criterio de decisi´ on es el costo global de mantenimiento. La confiabilidad de los componentes es calculada de acuerdo a la ley de Weibull, para calcular la probabilidad de una falla. La toma de decisi´ on considera tres alternativas de mantenimiento: correctivo, preventivo y predictivo. Los sistemas en los cuales la seguridad de las personas es un tema importante son excluidos del an´alisis. El m´etodo es aplicado a una situaci´on industrial.

14.2.

Estimaci´ on de costos

Para los c´ alculos se consideran dos tipos de costo. Los gastos del servicio de mantenci´on han sido agrupados bajo costos de intervenci´ on/intervenci´ on Ci . Esto incluye los costos de repuestos, insumos, y del personal requerido para la reparaci´on de equipos, o para el reemplazo de componentes en mal estado. Las consecuencias de una parada sobre la producci´on son considerados en el costo de falla/falla Cf . Este costo incluye la detenci´ on de la maquinaria, demoras en la producci´on, desorganizaci´on de la producci´on. El valor exacto de los par´ ametros mencionados es algunas veces dif´ıcil de obtener; sin embargo, el an´alisis de los datos provenientes de un sistema inform´atico de gesti´on de mantenci´on bien implementado permite una evaluaci´ on suficientemente aproximada[7].

14.2.1.

Mantenimiento correctivos vs preventivo

Si el costo de una intervenci´ on (por intervenci´on) es Ci , y el costo de falla (por falla) es Cf , Boucly [2] propone un m´etodo de comparaci´on entre los costos de mantenimiento correctivo y mantenimiento preventivo. Si la confiabilidad de un componente sigue la distribuci´on de Weibull: R(t) = e−(

t−γ η

193

β

) = e−xβ

(14.1)

194

´ DE ESTRATEGIAS DE MANTENIMIENTO CAP´ITULO 14. SELECCION

donde t es el tiempo transcurrido desde que el equipo est´a como nuevo con respecto a este modo de falla (o sea, tras una mantenci´ on preventiva. Las reparaciones dejan al equipo tal como antes de que ocurriese la falla); β, η, γ son los par´ ametros de Weibull y x es el tiempo normalizado con respecto a la vida caracter´ıstica η: x=

t−γ η

Observaci´ on 47 Este modelo considera que cualquier intervenci´ on (correctiva o preventiva) es perfecta, vale decir, dejar al equipo como nuevo. Ello puede ser exagerado, sobre todo en largo plazo. El tiempo t se define entonces como el tiempo transcurrido desde la ultima intervenci´ on. Los par´ ametros de Weibull se calculan a partir del tiempo entre intervenciones, lo que coincide con el tiempo entre fallas, solo si no se han realizado mantenimientos preventivos desde la ultima falla. N dP . Si se decide hacer mantenimiento correctivo, se tiene que cg,c (Ts ) =

Ci + Cf M T BF

lo que queda en terminos de xs : cg,c (xs ) =

Ci + Cf Γ (1 + 1/β)

y para mantenimiento preventivo realizado cada Ts unidades de tiempo, existen dos tipos de ciclos posibles uno sin falla, cuya probabilidad de ocurrencia es R(Ts ), costo esperado Ci y duraci´on Ts . En caso de ocurrir una falla antes de Ts (con probabilidad F = 1 − R(Ts )) el costo ser´a Ci + Cf y el ciclo tendr´a una duraci´ on esperada R Ts tf (t)dt 0 1 − R(Ts ) luego tenemos que cg,p (Ts ) =

Ci R(Ts ) + (Ci + Cf ) [1 − R(Ts )] Ts R(Ts ) +

R Ts

tf (t)dt 1−R(Ts )

0

[1 − R(Ts )]

Simplicando y aplicando el cambio de variable, cg,p (xs ) =

Ci + Cf [1 − R(Ts )] R xs R(x)dx 0

la raz´on entre el costo global esperado de mantenimiento preventivo por unidad de tiempo cg,p y el costo global de mantenimiento correctivo cg,c est´ a dada por1 : cg,p 1 + [1 − R (xs )] r Γ (1 + 1/β) R xs (xs , r, β) = cg,c 1+r R(x)dx 0

(14.2)

donde r=

Cf Ci

es la raz´on entre el costo de falla y el costo de intervenci´on para una falla, y Cf = cf · M T T R donde cf es el costo de falla por unidad de tiempo y M T T R es el tiempo medio para reparar. 1 Notese que se ha asumido que el costo de intervenci´ on por mantenci´ on preventiva es igual al costo de intervenci´ on por mantenci´ on correctiva. Discutible. N dP .

´ DE COSTOS 14.2. ESTIMACION

195

1.5

r=1

C /C

c

1

pr

r=2

0.5

r=5 r=10 r=20 r=100

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

X

s

Figura 14.1:

cg,p cg,c

para β = 3,0, y varios r

Γ (1 + 1/β) es el tiempo medio entre fallas (MTBF) -normalizado por x-, Ts − γ η donde Ts es el periodo entre intervenciones preventivas. La raz´ on 14.2 es una funci´ on del tiempo normalizado xs y de dos par´ametros: la raz´on r y del coeficiente β. El estudio de esta funci´on muestra que en algunos casos un m´ınimo bajo 1 es encontrado. En tales casos se encuentra que el valor que el periodo ´optimo de reemplazo es: xs =

Ts∗ = ηx∗s + γ donde x∗s representa al periodo ´ optimo entre intervenciones. c Como ejemplo se muestra un estudio de cg,p vs xs para β = 3 y varios valores de r. g,c

14.2.2.

Mantenimiento sintom´ atico

El mantenimiento sintom´ atico trata de evitar fallas repentinas midiendo los s´ıntomas observables sobre el componente. Si se usa la hip´ otesis de que el seguimiento de las variables de condici´on es perfecto, el costo de falla ya no se aplica2 . Solo permanecen los costos de intervenci´on, al cual se debe agregar el costo del inspecci´ on o monitoreo. El costo de intervenci´on predictivo puede ser resultado de una sola inversi´on, o costos repetidos. La inversi´on corresponde a la adquisici´on de equipos, al costo de capacitar al personal para el an´ alisis. Los gastos repetidos corresponden al pago de servicios de medici´on y an´alisis. Estos costos pueden ser expresados como un costo de intervenci´on de mantenimiento sintom´atico Cs por cada ciclo de intervenci´ on preventiva. Si se utiliza mantenimiento sintom´atico, el periodo entre dos intervenciones preventivas es aproximadamente el tiempo medio entre fallas M T BF . Si las inspecciones son hechas sin detener la producci´ on su costo global esperado por unidad de tiempo es: cg,s =

Ci + Cs M T BF

(14.3)

Si las inspecciones requieren la detenci´on del equipo, se debe a˜ nadir el costo de falla asociado Cf,s (calculado por cada ciclo entre intervenciones preventivas): Cs0 (Ts ≈ M T BF ) = Cp + Cf,s y similarmente al caso anterior cg,s = 2 Asumiendo

que no hay detenci´ on por inspecci´ on. NdP.

Ci + Cs 0 M T BF

´ DE ESTRATEGIAS DE MANTENIMIENTO CAP´ITULO 14. SELECCION

196

1.5

1

p

C /C

c

r=5

r=10

0.5

r=20

r=100 0 0

10

20

30 Razon S/I

40

50

60

Figura 14.2: cg,s /cg,c varios r Si todas las fallas repentinas con detenci´on no son evitadas, se evaluar´a el riesgo de detenci´on como una probabilidad de no detecci´on α. Esta probabilidad solo puede ser estimada por experiencia. As´ı, debemos a˜ nadir el costo de falla (para cada ciclo entre intervenciones preventivas): 00 Cg,s (Ts ≈ M T BF ) = Cs + αCf

En este caso: cg,s =

14.3.

Ci + Cs00 M T BF

Selecci´ on de estrategia de mantenimiento

Para ser interesante desde un punto de vista econ´omico, el mantenimiento predictivo debe tener un costo inferior a los otros tipos de mantenimiento. Se pueden comparar calculando la raz´on entre el costo global de mantenimiento predictivo por unidad de tiempo cg,s y mantenimiento correctivo cg,c . Para ser c m´as barata que la preventiva debe ser inferior a cg,p . g,c Seg´ un ecuaciones 14.3, Ci + Cs M T BF Ci + Cs 1 + Cs /Ci cg,p = = = cg,s M T BF Ci + Cf Ci + Cf 1+r c

vs la raz´on Cs /Ci para varios valores de r. En figura 14.1, se muestra un estudio de cg,s g,c Este gr´afico puede ser usado para dos prop´ositos: si el costo de intervenci´ on de inspecciones Cs es conocido, entonces sabremos si cg,p cg,c ,

cg,s cg,c

es inferior a

si Cs es desconocido, se puede conocer el costo m´aximo admisible Cs∗ que garantice la rentabilidad de un proyecto para hacer mantenimiento sintom´atico. El diagrama 14.3 muestra el procedimiento a seguir para tomar una decisi´on.

14.4.

Ejemplo

Se considera una empresa de hornos. Las m´aquinas a analizar son las prensas de corte. La compa˜ nia dispone de 6 con una capacidad entre 200 y 450 T. Estas m´aquinas pueden operar en serie o en paralelo (aut´onomas). Dado que est´ an al principio de la l´ınea, son consideradas cr´ıticas para la producci´on. La pol´ıtica de la empresa apunta hacia la reducci´on de niveles de repuestos.

14.4. EJEMPLO

197

Datos:Ci,Cf

Procedimiento

equipo reparable?

no

si Estimar β,γ,η

Calcular

cg,p/cg,c cg,s/cg,c

no

cg,s/cg,c >-normpdf(-2)+5*normcdf(-2)

3−5 1 2

2

)

 + 5Φ

3−5 1



CAP´ITULO 15. INSPECCIONES Y TASA DE FALLAS

218

ti A(ti )

1 0.80

2 0.89

3 0.92

4 0.90

5 0.84

6 0.74

Cuadro 15.2: Disponibilidad esperada 1 2 3 4 5 6

A Parámetros mu sigma Ti Tr

B 5 1 0,25 0,5

C Funciones x R(t_i) phi(t_i) integral PHI(t_i)

D

E Variable -1,740 t_i 0,959 Objetivo 0,088 Disponibilidad 0,117 0,041

F 3,260 0,919

Figura 15.6: Implementaci´on en hoja de calculo ans = 0.0598

 R(3) = 1 − Φ

3−5 1

 = 0,98

En Matlab: >>1-normcdf(-2) ans= 0.9772

3 · 0,98 + 0,06 3 + 0,25 + 0,5 [1 − 0,98] = 0,92

A(3) =

Una forma pr´ actica de implementar este m´etodo es a trav´es de EXCEL. En figura 15.6 se muestran los par´ametros, las variables calculadas y la funci´on objetivo. Gracias al uso del solver de optimizaci´on es muy sencillo obtener el m´ aximo (figura 15.7). Se puede bajar de la Web [aqu´ı] . Observaci´ on 59 La hip´ otesis crucial de este modelo es que se considera que el equipo es tan bueno como nuevo si pasa la inspecci´ on o es reparado. Si tal hip´ otesis no es realista y la tasa de fallas es creciente es mejor aumentar la frecuencia a medida que el equipo envejece, lo que ser´ a tratado en la pr´ oxima secci´ on.

15.8.

Equipos cuya condici´ on solo es determinada tras una inspecci´ on

Los equipos utilizados para producci´ on pueden fallar tambi´en logrando productos fuera de tolerancia. En este caso, solo es posible determinar el estado de la m´aquina al inspeccionar la calidad de los productos. Cuando se detecta tal falla, el equipo es reparado y queda ”como nuevo”4 , para recomenzar un nuevo ciclo de producci´ on. El problema es determinar el programa ´optimo de inspecciones que minimicen el costo global por unidad de tiempo asociado a: 4 con

lo que t vuelve a 0.

´ SOLO ES DETERMINADA TRAS UNA INSPECCION ´ 15.8. EQUIPOS CUYA CONDICION

219

Figura 15.7: Uso del modulo de optimizaci´on de Excel falla

reparación Tr

x1

x2

xn

Xn+1 tn+2

Xn+2

Ciclo de operación

Figura 15.8: Ciclo de operaci´on inspecciones, mantenimientos correctivos y no detecci´ on de falla. Sean: 1. f (t) es la funci´ on densidad de probabilidad de fallas del equipo 2. Ci,i es el costo de una inspecci´on ($) 3. cf es el costo de falla por unidad de tiempo ($/ut) asociado a una falla no detectada del equipo: a) productos desechados por mala calidad b) costo de reprocesar productos fuera de tolerancia c) producci´ on perdida 4. Ci,r es el costo de intervenci´ on de una reparaci´on mas el costo de falla asociado, cf Tr ($) 5. Tr es el tiempo medio requerido para una reparaci´on 6. La pol´ıtica de inspecci´ on consiste en realizar inspecciones en los instantes ti hasta que una falla sea detectada (v´ease por ejemplo la ilustraci´on 15.8). Los intervalos entre inspecciones no son necesariamente constantes pues pueden reducirse en la medida que la tasa de fallas aumente. 7. El objetivo es determinar el programa de inspecci´on ´optimo para minimizar el costo global por unidad de tiempo.

CAP´ITULO 15. INSPECCIONES Y TASA DE FALLAS

220

El costo global por unidad de tiempo cg es funci´on de los tiempo en que se realice inspecci´on: cg = cg (t1 , t2 , t3 , ...) La falla del equipo puede ocurrir en cualquier instante de cada intervalo (ti , ti+1 ). Si por ejemplo la falla ocurre en el instante t en (0, t1 ), el costo del ciclo incluye el costo de una inspecci´on, el costo de falla durante el tiempo en que no se ha detectado la falla y el costo de la reparaci´on: Ci,i + cf · (t1 − t) + Ci,r cuyo valor esperado es t1

Z

[1 · Ci,i + cf · (t1 − t) + Ci,r ] f (t)dt 0

Si la falla ocurre en (t1 , t2 ), en el instante t, el costo del ciclo ser´ıa 2 · Ci,i + cf · (t2 − t) + Ci,r y el valor esperado ser´ıa Z

t2

[2 · Ci,i + cf · (x2 − t) + Ci,r ] f (t)dt t1

Similarmente, los costos y probabilidades de todos los ciclos posibles pueden ser determinado como Z t1 [1 · Ci,i + cf · (t1 − t) + Ci,r ] f (t)dt+ = 0 Z t2 [2 · Ci,i + cf · (t2 − t) + Ci,r ] f (t)dt+ t1 t3

Z

[3 · Ci,i + cf · (t3 − t) + Ci,r ] f (t)dt+ t2

... O en forma general el costo global esperado Cgc de un ciclo cuando se consideran hasta K inspecciones es(v´ease figura 15.8):

Cgc (tK ) =

K Z X k=0

tk+1

[(k + 1) · Ci,i + cf · (tk+1 − t) + Ci,r ] f (t)dt

tk

= Ci,r +

K X

Ck

(15.12)

k=0

con Z

tk+1

[(k + 1) · Ci,i + cf · (tk+1 − t)] f (t)dt

Ck = tk

Z

tk+1

= [(k + 1) · Ci,i + cf · tk+1 ]

Z

tk+1

f (t)dt − cf tk

tf (t)dt tk

y tK = {t1 , ..., tK+1 } Observaci´ on 60 El termino Ci,r en (22.8) se logra separar si se cumple que Z

tK+1

f (t)dt ≈ 1 t0

´ SOLO ES DETERMINADA TRAS UNA INSPECCION ´ 15.8. EQUIPOS CUYA CONDICION

221

De una manera similar la duraci´ on esperada del ciclo Tgc si se consideran hasta K inspecciones es Tgc (tK ) =

K Z X

tk+1

[t + (tk+1 − t) + Tr ] f (t)dt

tk

k=0

= M T BF + Tr +

K X

Tk

k=0

con tk+1

Z

Z

tk+1

f (t)dt −

Tk = tk+1

tf (t)dt

tk

tk

t0 = 0 Finalmente, cg (tK ) =

Ci,r +

PK

Ck PK

k=0

M T BF + Tr +

k=0

Tk

(15.13)

La ecuaci´ on (15.13) representa un problema matem´atico que relaciona el programa de inspecci´on tK al costo total por unidad de tiempo cg . El programa ´optimo de tiempos tK se puede resolver tomando la derivada de cg con respecto a tk , para todo k, igualando a cero y resolviendo el sistema de ecuaciones. Tambi´en se puede plantear como un problema de programaci´on lineal. Observaci´ on 61 al plantear el problema de optimizaci´ on se debe a˜ nadir la restricci´ on (NdP): tk+1 − tk ≥ 0

15.8.1.

Procedimiento

Se propone (ref. [6], §5.5.3): El procedimiento define la funci´ on residuo ε: ¯ K ) − C(t ¯ K) ε(cg,k−1 , tK ) = cg,k−1 L(t

(15.14)

donde cg,k−1 representa una estimaci´ on inicial del costo m´ınimo cg o un valor de cg obtenido en una iteraci´on anterior. Se puede demostrar que el programa que minimiza ε, minimiza cg . A continuaci´ on, los pasos a seguir: 1. k = 0, seleccionar valor inicial cg,0 , 2. Seleccionar valor inicial para t1 , 3. Generar un programa t1 , t2 , t3 , .. usando la relaci´on de recurrencia ti+1 = ti +

F (ti ) − F (ti+1 ) ci,i − f (ti ) cf − cg,k−1

4. Calcular ε(Ck−1 , tK ) con la ecuaci´on (15.14) 5. Repetir los pasos 2 a 4 con diferentes valores de t1 hasta obtener εm´ın 6. Repetir pasos 1-5 con diferentes valores de hasta obtener εm´ın = 0, k = k + 1, Un procedimiento para ajustar cg,k−1 hasta que sea id´entico con el costo m´ınimo puede ser obtenido de: cg,k = cg,k−1 −

εm´ın ¯ L

CAP´ITULO 15. INSPECCIONES Y TASA DE FALLAS

222

i 1 2 3 4

xi 947 1442 1889 2313

∆xi 947 495 447 424

Cuadro 15.3: Resultados Ejemplo 103 Para un equipo se asume una distribuci´ on Gamma con par´ ametro γ = 3 y media µ. Definiendo µ = 1000 horas, Ci,i = 150 U SD, cf = 3U SD/hora, Ci,r = 2000U SD el programa ´ optimo de inspecciones (los 4 primeros puntos) es Ejemplo 104 La detenci´ on no programada de un cierto equipo reduce los ingresos de una compa˜ nia en 400 USD/hora. Al realizar una inspecci´ on cada dos meses se producen en promedio 2 fallas/semana. La HH de inspecci´ on se ha valorado en 50 USD. La HH de mantenci´ on correctiva en 25 USD. Ambas tareas requieren de 1 solo hombre. La inspecci´ on no requiere que el equipo sea detenido y requiere de 1 hora. La reparaci´ on demora 3 horas en promedio. 1. Estime un periodo ´ optimo entre inspecciones que minimice el costo global asociado. 2. Calcule el costo global asociado al programa de inspecci´on. De secci´on 15.3, λ(f ) f λ(f ) + ci,r + ci,i · cg (f ) = cf µ µ i s   i cf + ci,r f∗ = k µ ci,i Reconociendo t´erminos y usando la hora como unidad de tiempo: M T T I = 1/i = 1h M T T R = 1/µ = 3h cf = 400 USD/h ci,i = 50 USD/h ci,r = 25 USD/h Considerando que el equipo trabaja 100 % del tiempo,   1 2 λ f= = fallas/h 2 · 30 · 24 7 · 24 Asumiendo que la tasa de fallas es una funci´on inversamente proporcional al numero de inspecciones por unidad de tiempo, k λ= f luego k=

1 2 = 8,2 · 10−6 2 · 30 · 24 7 · 24

y evaluando s ∗

f =

8,2 ·

10−6

 ·3

400 + 25 50

 = 0,0145 inspecciones/hora

lo que equivale a f ∗ = 0,0145 · 30 · 24 ' 10 inspecciones/mes

15.9. COMENTARIOS FINALES

223

la tasa de fallas ´ optima k f∗ 8,2 · 10−6 = 5,65 · 10−4 fallas/hora = 0,0145

λ(f ∗ ) =

y el costo global por unidad de tiempo cg (f ∗ ) = 400 · 3 · 5,65 · 10−4 + 25 · 3 · 5,65 · 10−4 + 50 · 0,0145 = 0,68 + 0,04 + 0,73 = 1,45 USD/h

15.9.

Comentarios finales

Hemos presentado varios modelos para optimizar la frecuencia de inspecciones a fin de maximizar la disponibilidad, minimizar el costo global. Se han considerado condiciones estacionarias para minimizar el costo por unidad de tiempo; adem´as se han tratado casos especiales tales como los de equipos en standby y equipos para los cuales la falla es solo detectable a trav´es de una inspecci´on; como es el caso de aquellas maquinas en las cuales el control de calidad de los productos permite establecer si el equipo opera aceptablemente. Los primeros modelos implican las estimaci´on de la relaci´on funcional entre la tasa de fallas y la frecuencia de las inspecciones. Ello puede dificultar el uso del modelo pues se requiere un historial suficientemente rico.

224

CAP´ITULO 15. INSPECCIONES Y TASA DE FALLAS

Bibliograf´ıa [1] A.K.S. Jardine.Maintenance, Replacement and Reliability. Ch.5, Pitman Publishing, 1973. [2] P. Lyonnet. Maintenance Planning, Methods and Mathematics. Chapman & Hall, 1991.

225

226

BIBLIOGRAF´IA

Cap´ıtulo 16

Inspecciones y evoluci´ on de defectos 16.1.

Introducci´ on

En este capitulo describiremos un modelo para evaluar el impacto de las inspecciones sobre el numero esperado de fallas. El m´etodo que presentaremos considera el modelamiento estad´ıstico del proceso por el cual un defecto inicial se convierte en falla. Difiere del ya introducido en capitulo §15 donde se modelaba directamente la influencia de la frecuencia entre inspecciones sobre la tasa de fallas a partir de an´alisis de sensibilidad. Como ejemplo de aplicaci´ on presentamos un estudio realizado en una l´ınea interprovincial de buses. El ejemplo (ya estudiado en §4.6) tambi´en sirve para ver la aplicaci´on practica de un estudio de modos de fallas, efectos y criticidad. El enfoque ha sido aplicado tambi´en a otros tipos de casos: plantas industriales, flotas de veh´ıculos, estructuras civiles, equipo hospitalario, planta de acero, etc. Aqu´ı se de presenta un resumen general de: practicas aplicadas tanto en operaciones como en mantenimiento al iniciar el estudio; el modelamiento desarrollado; resultados y recomendaciones hechas.

16.2.

Modelo de evoluci´ on de defectos

Observaci´ on 62 Hemos traducido libremente esta clase de modelo como de evoluci´on de defectos. En ´ıngles es ”Delay-Time Modelling”. N dP . Consid´erese una maquina sujeta a una posible falla. Definimos falla como una pana o un evento catastr´ ofico, tras la cual el sistema no es utilizable hasta que sea reparado o reemplazado. Tambi´en puede tratarse de un deterioro que obligue a realizar una reparaci´on inmediata. Complementariamente, definimos el mantenimiento preventivo como el conjunto de actividades realizadas a intervalos regulares, cuya intenci´on es reducir o eliminar el numero de fallas que ocurren, o reducir las consecuencias de una falla en t´erminos de no disponibilidad o de costo operativo. Existen una variedad de modelos de mantenimiento preventivo en la literatura, entre ello el modelo de evoluci´ on de defectos, introducido por Christer[6]. El m´etodo hace uso de los datos hist´oricos disponibles y de m´etodos estad´ısticos. El objetivo de los modelos de mantenimiento es presentar resultados de inter´es a la gerencia como funci´ones de las variables de decisi´ on. Por ejemplo, si una actividad de mantenimiento preventivo es realizada cada T unidades de tiempo, y el costo de falla fuere dominante, la tarea ser´ıa estimar la no disponibilidad del sistema en funci´on de T. Tambi´en podr´ıa ser una funci´on de la calidad de las intervenciones realizadas. 227

´ DE DEFECTOS CAP´ITULO 16. INSPECCIONES Y EVOLUCION

Falla

Inicio defecto

Reemplazo/overhaul

228

tiempo Figura 16.1: Efecto de las inspecciones de un componente/modo de falla

Figura 16.2: Efecto de las inspecciones de varios componentes/modos de falla El concepto de demora para la falla o simplemente demora es central para nuestro modelo de mantenimiento preventivo. Una falla es vista como un proceso en dos etapas. Primero, en alg´ un instante tu un componente del sistema puede ser observado como defectuoso, y el componente defectuoso subsecuentemente falla tras un cierto intervalo Th . El mantenimiento preventivo en este caso, consiste primeramente en una inspecci´ on que resulta en un reemplazo o reparaci´on potencial de los componentes defectuosos. Observaci´ on 63 El origen del tiempo es generalmente el instante en que el componente es reemplazado. NdP. Observaci´ on 64 Aqu´ı, incluimos el mantenimiento predictivo (asociado a la inspecci´ on) dentro del concepto de mantenimiento preventivo (intervenir el equipo antes de la falla). Anteriormente, hab´ıamos definido el mantenimiento preventivo como aquel que se realiza a intervalos regulares. Podr´ıa decirse que esta definici´ on de mantenimiento preventivo est´ a m´ as cercana a la del mantenimiento predictivo en el sentido de que no es solo el tiempo el que define las intervenciones preventivas sino que adem´ as la condici´ on medida en los equipos a trav´es de alguna variable que represente el estado del componente. NdP. La figura 16.1 muestra como las inspecciones previenen las fallas de un componente. Los c´ırculos abiertos representan el instante de origen de los defectos, las l´ıneas verticales representan las inspecciones. El tercer defecto se origin´ o pero fue detectado en una inspecci´on (y reemplazado o reparado) y no deriv´o en una falla. La figura 16.2 muestra como las inspecciones previenen las fallas cuando el sistema posee varios componentes sujetos a falla. Si las inspecciones son peri´odicas (b), se han logrado evitar las fallas potenciales 2,4,5,8. Ambas figuras ilustran el rol fundamental del concepto de demora. Con ´el se pueden fijar frecuencias ´optimas para las inspecciones en funci´ on de su costo de intervenci´on y de fallas asociados, por ejemplo. Observaci´ on 65 Las definiciones de falla y defecto a usar deben estar basadas en juicios pr´ acticos, idealmente en t´erminos objetivos (cuantitativos). El modelo descrito tiene dos fases: desde bueno hasta la

´ DE DEFECTOS 16.2. MODELO DE EVOLUCION

229

aparici´ on de defecto, desde defectuoso hasta que ocurre la falla. Es posible definir mas fases, por ejemplo: estado incipiente de defecto, estado medio, estado avanzado, falla. La practica ha mostrado que con 2 fases es m´ as que suficiente. NdP.

16.2.1.

Formulaci´ on del modelo de evoluci´ on de defectos

Hemos clasificado las hip´ otesis en varios conjuntos: Conjunto A 1. La falla es detectable tan pronto como ocurre y sin la necesidad de una inspecci´on (contracaso: equipos en standby); 2. Un sistema que ha fallado debe ser reparado para ser usable; 3. Antes de ocurrir la falla, un componente pasa por un estado defectuoso; 4. Si un componente tiene un defecto, ello solo puede ser establecido por una inspecci´on. Conjunto B

Otras hip´ otesis adicionales son:

1. El u ´nico efecto de una intervenci´on preventiva gatillada por una inspecci´on es el reemplazo del componente defectuoso; 2. la inspecci´ on y el posible reemplazo son llevados a cabo en serie; 3. las inspecciones tienen intervalos fijos; 4. todo componente defectuoso inspeccionado es reparado; 5. el tiempo para inspeccionar o para reparar es despreciable; 6. no hay falsos positivos, eso es: si no hay defecto entonces no se determinar´a que si existe un defecto; 7. un defecto tiene una probabilidad β de ser observado; β es constante en el tiempo; 8. el intervalo Th de una falla es independiente de su instante de origen tu ; 9. Los costos de falla y de intervenci´on son constantes y no estoc´asticos. Conjunto C 1. Cada componente solo tiene un modo de falla; 2. las funciones densidad de probabilidad f y g (asociadas a Th y tu respectivamente se modelan como distribuciones exponencial o de Weibull; 3. la edad del sistema, siendo distinta a la edad del componente, no influye sobre g y f ; 4. las reparaciones dejan al componente como nuevo; 5. los componentes cr´ıticos de un sistema son considerados independientes (la falla de uno no acarrea la falla de otro); 6. si se modela un grupo de maquinas, se considera que ellas son similares en calidad y en condiciones de operaci´ on. Otras hip´ otesis usadas cuando se modelan grupos de componentes: 1. El numero de componentes del equipo es grande y la probabilidad de que falle un componente es baja, de modo que la tasa de arribo de defectos se puede modela como un proceso Poissoniano no homog´eneo (NHPP )

´ DE DEFECTOS CAP´ITULO 16. INSPECCIONES Y EVOLUCION

230

0.7

Curva real (desconocida) Curva subjetiva

0.6

b(T)

0.5

0.4

b*

0.3

0.2

0.1

0

0

0.2

0.4

0.6

T*

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

T

Figura 16.3: Estimaci´on de probabilidad con el modelo 2. la reparaci´ on de defectos es lo suficientemente buena como para que un componente reparado pase a defectuoso nuevamente es muy peque˜ na. Esta ultima hip´ otesis es requerida para no comprometer el modelo NHPP asumido. (Por ejemplo, las reparaciones imperfectas pueden causar una concentraci´on de ocurrencia de defectos). El conjunto de hip´ otesis A es necesario para hablar de un modelo de evoluci´on de defectos. Los otros conjuntos pueden ser agregados o relajados en funci´on de la aplicaci´on especifica.

16.2.2.

Estimaci´ on de par´ ametros

Se desea que el modelo sea consistente con los datos objetivos y con los datos subjetivos disponibles. Los datos objetivos deben ser cercanos a los valores predichos por el modelos, eso es: el numero de defectos encontrados, los instantes de ocurrencia de las fallas. La informaci´ on subjetiva es obtenida a trav´es de un cuestionario completado por los ingenieros, cuando se encuentra un defecto en una inspecci´ on o cuando un componente falla. Las preguntas claves son: ¿hace cuanto tiempo (Thla ) podr´ıa haberse observado la falla en una inspecci´on? ¿Si no se reparase el defecto, cuanto tiempo se puede postergar antes de que ocurra la falla (Thml )? Tras una inspecci´ on, la estimaci´ on subjetiva de Th es: Th = Thla + Thml idem tras una falla (Thml = 0). Si la inspecci´on identifica un repuesto en el instante t, entonces tu = t − Thla El modelo puede ser ajustado (calibrado) usando la situaci´on conocida o de status quo. Consid´erese que la variable de decisi´ on es el periodo entre inspecciones T , y que la probabilidad de que un defecto se convierta en falla es b(T ). La curva inferior en la figura 16.3 indica un estimaci´on basado en g(tu ) y f (Th ). Esta curva debe pasar por el punto observado b∗ correspondiente al periodo usado actualmente,

16.3. ESTUDIO DE CASO

231

T ∗ . El problema es revisar (ajustar) f (Th ), tal vez g(tu ), y tambi´en la eficacia de la inspecci´on β, de modo que la curva b(T ) pase por el punto (T ∗ , b∗ ). El m´etodo m´ as simple para tal ajuste es introducir un par´ametro de escala para la estimaci´on subjetiva de f (Th ). Se ha observado [7] que la estimaci´on de f (Th ) a partir de informaci´on subjetiva tiende a subestimar tu y a sobreestimar Th . En referencia [3] se propone un m´etodo basado en el uso de informaci´on objetiva y el criterio de informaci´ on de Akaike para estimar los par´ametros del modelo. Otros trabajos usan la t´ecnica de maxima similitud (vista aqu´ı en §13).

16.3.

Estudio de caso

Retomamos el ejemplo de la flota de buses ya presentado en §4.6.

16.3.1.

Modelamiento de las inspecciones

El modelamiento fue necesario para estimar los ahorros provocados por las inspecciones y as´ı fijar una frecuencia ´ optima. Para ello se emple´o el m´etodo de evoluci´ on de defectos[2]. Tambi´en se modificaron 3 inspecciones especificas: Inspecci´ on del conductor (A) El operador es capaz de detectar fallas a trav´es de los indicadores presentes en su panel, ruidos, etc. Para algunos modos de falla un operador funciona como un sistema de monitoreo continuo. Inspecci´ on simple (B) Un mec´anico chequea defectos con inspecci´on visual, auditiva y al tacto; sin intervenir ning´ un componente especifico. Inspecci´ on compleja (C) En este caso se intervienen sobre ciertos componentes para efectos de inspecci´ on. Se presumi´ o que una falla puede ser detectada en un estado mucho m´as incipiente por una inspecci´on compleja que por una inspecci´ on liviana o por una inspecci´on del operador. Del mismo modo, se presume que una falla puede ser detectada antes (o al mismo tiempo) por una inspecci´on liviana que por una del conductor. Durante el estudio se logr´ o modelar la funci´on de probabilidad acumulada de la demora de tiempo para cada tipo de inspecci´ on (figura 16.4). Se observa que hay una tendencia a incrementar la demora de tiempo a medida que la profundidad de la inspecci´on crece.

16.3.2.

Estimaci´ on de la tasa de arribo de defectos

La secci´ on anterior se concentr´ o en estimar la distribuci´on de Th . Otro punto importante en el modelo es investigar la tasa de arribos de los defectos λd . En el caso de disponer informaci´ on insuficiente es com´ un asumir que la tasa de arribos de defectos es un proceso Poissoniano que puede ser homog´eneo o no homog´eneo. En caso de ser homog´eneo, podemos esperar que la tasa de arribos sea constante en el tiempo. El estudio del historial confirm´o efectivamente que la tasa de fallas se acercaba bastante a una exponencial. La tasa de arribo de defectos es estimada entonces: N λd = T donde N es el numero total de de aver´ıas detectadas y fallas observadas durante el periodo T . Durante el intervalo del estudio se estim´ o una tasa de arribos de 0.09 eventos/d´ıa/bus. Observaci´ on 66 La referencia [2] reporta que el estudio subestim´ o la tasa de arribos pues algunas reparaciones en carretera no fueron registradas.

´ DE DEFECTOS CAP´ITULO 16. INSPECCIONES Y EVOLUCION

232

1 C B A

0.9 0.8 0.7

F(Th)

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

2

4

6

8

10

12

14

Th (dias)

Figura 16.4: Probabilidad acumulada estimada para la demora El modelo Teniendo estimaciones para la tasa de arribo de defectos y de la probabilidad acumulada del delay es posible modelar el proceso de inspecci´ on. Se desea estudiar el efecto de la frecuencia de inspecciones sobre la tasa de fallas. En especifico, la verificaci´on se realiza para inspecciones livianas. Se toman en cuenta las siguientes hip´ otesis de trabajo: 1. Los buses son inspeccionados cada T unidades de tiempo; 2. Las inspecciones son imperfectas con una probabilidad β de que un defecto presente sea identificado y corregido durante la inspecci´ on; 3. Los defectos aparecen seg´ un un proceso homog´eneo de Poisson, con tasa de arribos λd ; 4. El tiempo de demora Th de un defecto es aleatorio y es independiente del tiempo inicial tu . Su funci´on densidad de probabilidad es f (t) y la probabilidad acumulada es F (t); 5. Una falla (en carretera) implica una pana. Las fallas son reparadas tan pronto ocurren; 6. Los buses (y su operaci´ on) son id´enticos. Observaci´ on 67 La hip´ otesis (6) se hace para hacer el an´ alisis sobre la flota completa. Se podr´ıa hacer por sub-flotas en funci´ on de su marca. modelo, nivel de operaci´ on, nivel de inspecci´ on, etc. La probabilidad de que un defecto se convierta en falla es: Z b(T, β) = 1 − 0

∞ T X

β n−1 (1 − β) R (nT − u) du T n=1

(16.1)

con R(t) = 1 − F (t) Entonces, el numero esperado de fallas λ para un intervalo de tiempo Ti es λ(T, β, λd ) = Ti λd b(T, β)

(16.2)

16.3. ESTUDIO DE CASO

233

Inspeccion liviana, λd=0.09

30

β=0.3 β=1

25

fallas/año/bus

20

15

10

5

0

0

1

2

3

4

5

6

7

Tiempo entre inspecciones (T)

Figura 16.5: Numero esperado de fallas/bus/a˜ no Observaci´ on 68 Una extension interesante al modelo seria considerar la superposici´ on de 2 o mas inspecciones con diferentes intervalos entre ellas y poder evaluar la probabilidad de que un defecto se convierta en falla b. La figura (16.5) compara el numero esperado de fallas/bus/a˜ no (para β = 0,3, 1, λd = 0,09) con el valor promedio observado. Es obvio que la situaci´on real est´a por debajo de la mejor situaci´on (curva con β = 1) lo que apunta a que la tasa de arribos ha sido efectivamente subestimada y es necesario revisar la estimaci´ on de la probabilidad acumulada de Th . A fin de corregir las estimaci´on se introduce un tiempo corregido: Th0 = αTh + tw donde α es un par´ ametro de escala y tw es un par´ametro de corrimiento. Con ello, la funci´on de probabilidad acumulada de la demora es:  0 Th F α y (16.1) se reescribe como Z b(T, β, α) = 1 −

∞ T X

0

   β nT − u n−1 (1 − β) 1−F du T α n=1

(16.3)

consecuentemente, λ(T, β, λd ) = Ti λd b(T, β, α)

(16.4)

igualando (16.4) a la situaci´ on actual λ0 (punto + en gr´afico 16.5) en que se realizan inspecciones cada T0 unidades de tiempo y la probabilidad de detecci´on es β0 , se puede estimar el valor de α. En nuestro caso T0 λ0 λd Ti

= 1 d´ıa = 4,86 fallas/a˜ no/bus = 0,09 defectos/dia/bus = 1 a˜ no

y β es estudiado en el intervalo (0,3, 0,7). Los resultados se muestran en la figura (16.6). La elecci´ on de β0 ser´ a discutida posteriormente.

´ DE DEFECTOS CAP´ITULO 16. INSPECCIONES Y EVOLUCION

alpha

234

8 7 6 5 4 3 2 1 0 0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

beta

Figura 16.6: Estimaci´on de α 6 5 alpha

4 3 2 1 0 0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

beta

Figura 16.7: Estimaci´on de α considerando γ

16.3.3.

Relajaci´ on de hip´ otesis

Se ha asumido que una falla en carretera implica una pana del bus. Algunas fallas pueden no derivar en panas del equipo. Por ejemplo, la falla de un faro en un turno nocturno, o de los dos faros en un turno diurno, o la falla del limpiaparabrisas en verano. El estudio mostr´o que 18 % de las fallas no derivaron en panas del equipo. Consecuentemente, el modelo de ecuaci´on (16.2) sobreestima el numero esperado de fallas por intervalo. De lo anterior, corregimos el modelo introduciendo la probabilidad de que una falla se convierta en pana γ: λ(T, β, λd , γ) = Ti λd γb(T, β) (16.5) en nuestro caso γ = 1 − 0,18 = 0,82 luego, ajustamos en modelo con λ(T0 , β, λd , γ) = λ0 (T0 ) lo que nos permite mejorar la estimaci´ on de α (ver gr´afico 16.7). Como se aprecia, α es sensible tanto a β como a γ. La apreciaci´ on de los ingenieros de mantenimiento es que β puede estar en alg´ un valor en el intervalo (0,3, 0,4). Para estimar α consideraremos/asumiremos: Los valores observados de λ0 para los a˜ nos 1990 y 1993; que α es constante en ambos a˜ nos,

16.3. ESTUDIO DE CASO

235

12 β=0.3 β=0.4 β=0.5 10

fallas/año/bus

8

6

4

2

0

0

1

2

3

4

α 5

6

7

8

9

10

Figura 16.8: Numero esperado de fallas en funci´on de α y β

que β ha podido cambiar (gracias a esfuerzos para mejorar las inspecciones) que la demora de tiempo es constante; que las inspecciones livianas siempre fueron diarias (T0 = 1 dia). Observando la figura (16.8), vemos que para valores de α justo por debajo de 4.0 las curvas λ(T0 , β, λd , γ) pasan por los puntos λ0 de los a˜ nos ’90 y ’93 para valores de β de 0.3 y 0.4 respectivamente. Dadas las mejoras en las inspecciones es l´ ogico pensar que β pudo estar en el rango (0,4, 0,5) en 1994. Disponiendo de las estimaciones para β, α, λd , γ es posible determinar los efectos de cambiar la frecuencia de las inspecciones (T0 ), mejorar la calidad de las inspecciones (β), la influencia de γ sobre el numero esperado de fallas por intervalo Ti . La primera observaci´ on es que λ es monot´onicamente creciente con T . Ello implica que las inspecciones diarias son adecuadas (aunque no hemos considerado el tema costos de intervenci´on asociados).

16.3.4.

Modelo de Costos

Otro posible uso del modelo es la estimaci´on de los costos de la flota o la disponibilidad de la misma. Por ejemplo, el costo global por bus durante un intervalo Ti en funci´on del intervalo entre inspecciones T es Cg (T, Ti ) =

Ti ci + Ti λd cr + cb λ(T, β, λd , γ, Ti ) T

donde ci es el costo de intervenci´ on de una inspecci´on (solo la inspecci´on); cr es el costo promedio de intervenci´on correctiva de un defecto encontrado en una inspecci´on; cb es el costo promedio de falla mas el costo de intervenci´on correctiva de una falla.

´ DE DEFECTOS CAP´ITULO 16. INSPECCIONES Y EVOLUCION

236

4

4

x 10

β=0.3 β=1

3.8

Costo global USD/año/bus

3.6 3.4 3.2 3 2.8 2.6 2.4 2.2 2

0

1

2

3

4

5

6

Tiempo entre inspecciones (T en dias)

Figura 16.9: Costo esperado global/bus/a˜ no La figura (16.9) muestra Cg en funci´ on de T para α = 3,36 λd = 0,09 γ = 0,82 ci = 10M $ cr = 500M $ cb − cr = 100 ci β = 0,45,1 Se observa que para una inspecci´ on diaria se podr´ıa reducir los costos operativos hasta en 20 % si las inspecciones fuesen perfectas. En Maple:

> restart; > alpha:=3.36;lambda:=0.09;gamma1:=0.82; > c_i:=10;c_r:=500;phi:=100;beta1:=0.45;beta2:=0.99;theta:=0.342; > fd := fopen("c:/matlabr12/work/test.txt", WRITE); > for T from 0.1 by .05 to 6.5 do b1:=1-int(sum(beta1/T*(1-beta1)^(n-1)*exp(-theta/alpha*(n*T-u)),n=1..200),u=0..T); B1:=365*lambda*gamma1*b1; b2:=1-int(sum(beta2/T*(1-beta2)^(n-1)*exp(-theta/alpha*(n*T-u)),n=1..200),u=0..T); B2:=365*lambda*gamma1*b2; C1:=c_i*(365/T+c_r/c_i*365*lambda+phi*B1); C2:=c_i*(365/T+c_r/c_i*365*lambda+phi*B2); fprintf(fd, " %g %g %g \n",T,C1,C2); end do; fclose(fd);

Los resultados fueron graficados en Matlab.

16.3. ESTUDIO DE CASO

237

A B C D E 1 R ln R F* 2 T_h F 0 0 1 0 0 3 2 0,65 0,35 -1,05 0,5 4 5 0,85 0,15 -1,90 0,82 5 8 0,93 0,07 -2,66 0,94 6 11 0,98 0,02 -3,91 0,98 7 14 0,99 0,01 -4,61 0,99 8 9 10 11 12

F

G

log(R)

0 -1 0

H

I

5

10

15

-2 -3 -4

y = -0,3424x 2 R = 0,9847

-5 -6 T_h (días)

Figura 16.10: Ajuste de θ

16.3.5.

Repetici´ on de resultados

A fin de verificar los resultados mostrados en la referencia fuente, primero modelaremos F con una distribuci´ on exponencial: F (t, θ) = 1 − e−θt Para estimar el par´ ametro θ hacemos un ajuste de curva a partir de los datos mostrados en gr´afico 16.4, como se muestra en figura 16.10. Usamos la ecuaci´ on lineal: log(1 − Fi ) = log(Ri ) = −θti El ajuste de m´ınimos cuadrados entrega un valor θ = 0,342 luego F (Th ) = 1 − e−0,3424Th Ello nos permite evaluar las ecuaciones (16.3) y (16.5) respectivamente: ∞ T X

Z b(T, β, α) = 1 − 0

β n−1 (1 − β) R T n=1



nT − u α

λ(T, β, λd , γ) = Ti λd γb(T, β)

 du

(16.6)

(16.7)

con λd = 0,09 β = 0,3 α=1 γ=1 Ti = 365 queda Z b(T ) = 1 − 0

∞ T X

0,3 n−1 −( 0,342 0,7 e 3,36 nT ) du T n=1

(16.8)

La integraci´ on se realiz´ o en Maple 7 usando 200 elementos de la suma, para acelerar los c´alculos:

´ DE DEFECTOS CAP´ITULO 16. INSPECCIONES Y EVOLUCION

238

1 0,8 F

0,6 0,4 0,2 0 0

2

5

8

11

Th (días)

14 Ajustado Estimado

Figura 16.11: Funci´on F ajustada vs estimada > > > >

restart;beta:=.3;theta:=0.342;alpha:=1; b:=1-int(sum(beta/T*(1-beta)^(n-1)*exp(-theta/alpha*(n*T-u)),n=1..200),u=0..T); B:=365*0.09*1*b; plot (B,T=0..7);

El numero esperado de fallas λ se muestra en figura 16.12. La cual es muy similar a la mostrada en el paper (figura 16.5). Se uso β = 0,99 para el calculo de la curva con inspecci´on perfecta. Observaci´ on 69 No se logra justificar que b no sea 1 cuando β = 1 (lo que implica λ constante en la figura 16.5). N dP.

16.4.

Comparaci´ on con m´ etodo de capitulo anterior

En el capitulo anterior, en vez de modelar F , se estima directamente la influencia de la frecuencia de inspecciones f sobre la tasa de fallas (que en este capitulo hemos denominado λ -fallas/bus/a˜ no-): λ = λ(f ) Recordemos que, 1 T El objetivo aqu´ı, es verificar la calidad del ajuste hiperb´olico empleado en ese capitulo para este caso. El gr´afico 16.13 es similar a la figura 16.5 pero en t´erminos de f (en vez de T ). Tras realizar los ajustes para la curva β = 0,3, se superponen las curvas ajustadas por m´ınimos cuadrados: k λ(f ) = f y λ(f ) = λ0 e−κf f=

Como se observa, el ajuste hiperb´ olico es p´esimo. Por su lado, el ajuste exponencial est´a bastante cercano al propuesto por el modelo de evoluci´ on de defectos. Adem´as entrega una estimaci´on para la tasa de fallas en caso de que no se realicen inspecciones (λ0 ).

´ CON METODO ´ 16.4. COMPARACION DE CAPITULO ANTERIOR

239

Inspeccion liviana, λd=0.09

30

β=0.3 β=1

25

fallas/año/bus

20

15

10

5

0

0

1

2

3

4

5

6

7

Tiempo entre inspecciones (T)

Figura 16.12: Funci´on B para γ = 1, α = 1

40 β=0.3 β=1 Ajuste hiperbola β=0.3 Ajuste exponencial β=0.3

35

30

fallas/año/bus

25

20

15

10

5

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Frecuencia de inspecciones (n inspecciones/dia)

Figura 16.13: Comparaci´on de m´etodos

1.8

2

´ DE DEFECTOS CAP´ITULO 16. INSPECCIONES Y EVOLUCION

240

Ejercicio 8 Eval´ ue la frecuencia ´ optima que entrega el modelo del capitulo anterior con λ(f ) = 30,2e−0,57f fallas/bus/a˜ no con f inpecciones/d´ıa. Una contribuci´ on significativa del estudio es el cambio de cultura desde la gesti´on intuitiva a una gesti´on m´as racional y objetiva. En este sentido, los consultores recomendaron la implementaci´on de un sistema de informaci´ on de mantenimiento. Sin embargo, los autores [2] acusan a la gerencia de no explotar los modelos adecuadamente. Por ejemplo, la empresa tom´ o en 1996 la decisi´on de cambiar los revisiones pesadas cada 6 meses por un overhaul cada 3 a˜ nos. Tras 3 a˜ nos, se detuvo esta practica pues los costos de intervenci´on eran excesivos y se introdujo otra estrategia orientada al reemplazo de componentes espec´ıficos. Otra vez, esta decisi´on fue tomada sin construir un modelo. Se podr´ıa argumentar que las mejoras observadas en λ0 en el tiempo son en gran parte producto del reemplazo de buses viejos por nuevos. Ello se descart´o con un an´alisis por subflotas como se ve en cuadro (16.1).

Cuadro 16.1: Numero promedio de fallas/bus/a˜ no/marca

16.5.

Modelo con inspecciones perfectas

En esta secci´ on aplicaremos los conceptos de demora de tiempo para determinar el programa de inspecciones ´optimas de las cajas de cambio de la flota de buses ya vista. Antes del estudio, se aplicaba una estrategia correctiva para las cajas: cada vez que una caja fallaba, ella era retirada del bus y llevada al taller para ser reparada. La caja removida era reemplazada por otra del mismo tipo, en caso de haber unidades disponibles. Cada bus adem´as era inspeccionado una vez por mes para asegurar la seguridad del mismo. En caso de descubrir defectos, se interven´ıa el componente asociado. La inspecci´ on no detectaba fallas de la caja de cambios. A fin de reducir el costo global de mantenimiento y mejorar la imagen de la empresa frente a los usuarios, la gerencia orden´ o un estudio para determinar un esquema de mantenimiento preventivo/predictivo optimizado. El estudio se concentra en el modelo de caja de mayor presencia en la flota. Asumiremos que la funci´on densidad de probabilidad f (Th ) que caracteriza a las cajas es de tipo Weibull, cuyos par´ ametros han sido estimados subjetivamente a trav´es de cuestionarios completados por los mantenedores. Supongamos que aparece un defecto en alg´ un instante del periodo (0, T ). La probabilidad de que el defecto aparezca en el intervalo (Th , Th + ∆Th ) es f (Th ) ∆Th Este defecto llegar˜ na a ser una falla si el defecto se origina antes del instante T − Th , de otra manera el defecto ser´a detectado en la inspecci´ on y se realizar´a una intervenci´on preventiva.

16.5. MODELO CON INSPECCIONES PERFECTAS

241

Si asumimos que los defectos de las cajas de cambio siguen un proceso de Poisson homog´eneo, la probabilidad de que un defecto aparezca antes de T − Th , dado que un defecto va a aparecer, es igual a T − Th T Luego, la probabilidad de que el defecto se convierta en falla en (Th , Th + ∆Th ) es T − Th f (Th ) ∆Th T Si sumamos todos los posibles Th , podemos calcular la probabilidad de que un defecto se convierta en falla (sobre el intervalo (0, T )): Z T T − Th b(T ) = f (Th ) dTh T 0

16.5.1.

Modelo de costo e indicadores

Consideremos: la inspecci´ on detiene el equipo por un intervalo Ti , El tiempo medio para reparar es Tr La tasa de arribo de defectos es λ defectos por unidad de tiempo El costo de intervenci´ on de una inspecci´on es Ci,i El costo de una intervenci´ on preventiva es Ci,p ; El costo de una intervenci´ on correctiva es Ci,c ; Los costos de falla para cada tipo de intervenci´on son: Cf,p = cf Tr Cf,c = cf Tr Cf,i = cf Ti donde cf es el costo de falla por unidad de tiempo. Tenemos entonces que la disponibilidad esperada en funci´on del intervalo entre inspecciones T es A(T ) = 1 − (λb(T )Tr + Ti )

T T + Ti

y el costo global esperado por unidad de tiempo queda: cg (T ) =

16.5.2.

λT ([Ci,c + Cf,c ] b(T ) + [Ci,p + Cf,p ] [1 − b(T )]) + [Ci,i + Cf,p ] T + Ti

Ejemplo

Los par´ ametros de Weibull estimados son: β = 1,34 η = 46,9 dias tenemos, β f (Th ) = η



Th η

β−1

 β T − ηh

e

´ DE DEFECTOS CAP´ITULO 16. INSPECCIONES Y EVOLUCION

242

Parametro Ti λ Tr Cg,c = Ci,c + Cf,c Cg,p = Ci,p + Cf,p Cg,i = Ci,i + Cf,p

Valor estimado 1 16

0,839 5 23 18,4 1,9

unidad dias defectos/dia dias KUSD/falla KUSD/intervenci´on KUSD/inspecci´on

Cuadro 16.2: Parametros del modelo

-3

7

x 10

6

(T-t)/T*f(t)

5

4

3

2

1

0

0

1

2

3

4

5

tiempo (dias)

Figura 16.14:

T −t T f (t)

con T = 6, β = 1,34, η = 46,9

6

16.6. CONCLUSIONES

243

16.4 16.3

Costo global (KUSD/dia)

16.2 16.1 16 15.9 15.8 15.7 15.6 15.5 15.4

0

5

10

15

20

25

T (dias)

Figura 16.15: Costo global esperado por unidad de tiempo adem´as, El gr´ afico 16.15 muestra la funci´ on cuya integral es la probabilidad b. El gr´afico 16.16 muestra el estudio param´etrico que permite establecer el intervalo ´optimo entre inspecciones: T ∗ = 6 dias La disponibilidad correspondiente es entonces, A(T ∗ ) = 0,884 La figura 16.17 muestra la disponibilidad en funci´on del intervalo entre inspecciones. Efectivamente, la condici´ on de costo global m´ınimo no coincide con la de disponibilidad maxima. La sensibilidad de b al intervalo entre inspecciones es mostrada en figura 16.18. El listing en Maple: > > > > > > > > > >

T_i:=0.0625;lambda:=0.839;T_r:=5;C_gc:=23;C_gp:=18.4;C_gi:=1.92; beta:=1.34;eta:=46.9; f:=beta/eta*(t/eta)^(beta-1)*exp((-(t/eta)^beta));T:=1; fd := fopen("c:/matlabr12/work/test.txt", WRITE); for T from .2 by .2 to 28 do b:=evalf(Int((T-t)/T*f,t=0..T)); c_g:=(lambda*T*(C_gc*b+C_gp*(1-b))+C_gi)/(T+T_i); A:=1-(lambda*b*T_r+T_i)*T/(T+T_i); fprintf(fd, " %g %g %g %g\n",T,b,c_g,A); end do;fclose(fd); el postprocesamiento se realiz´ o en Matlab.

16.6.

Conclusiones

Hemos presentado un modelo que permite modelar el efecto de las inspecciones en el numero esperado de fallas/unidad de tiempo.

´ DE DEFECTOS CAP´ITULO 16. INSPECCIONES Y EVOLUCION

244

1

0.9

0.8

Disponibilidad

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

5

10

15

20

25

30

T (dias)

Figura 16.16: Disponibilidad esperada

0.2 0.18 0.16

probabilidad b

0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0

0

5

10

15

20

T (dias)

Figura 16.17: Probabilidad b

25

16.6. CONCLUSIONES

245

Hemos visto que la estimaci´on de los par´ametros α, β se dificulta por la inter-dependencia y por la falta de datos (λ0 ). A pesar de lo anterior, se han logrado estimar rangos validos para los par´ametros. El m´etodo de evoluci´ on de defectos se presenta como una alternativa al ya visto en el capitulo anterior. Tiene la ventaja de no requerir obligatoriamente de un an´alisis de sensibilidad para estimar los par´ ametros. Pero, obliga a estimar la probabilidad acumulada de que un defecto se convierta en falla (F ).

246

´ DE DEFECTOS CAP´ITULO 16. INSPECCIONES Y EVOLUCION

Bibliograf´ıa [1] Christer, A.H. and Whitelaw, J., 1983, An operational Research Approach to Breakdown Maintenance: Problem Recognition, J. Op. Res. Soc, 34:1041-1052. [2] Desa, M.I. and Christer, A.H., Modelling in the Absence of Data: A Case Study of Fleet Maintenance in a Developing Country, Journal of the Operational Research Society (2001), 52,247-260. [3] Baker, R.D. and Wang, W., Estimating the Delay-Time Distribution of Faults in Repairable Machinery from Failure Data, IMA Journal of Mathematics Applied in Business and Industry, 3, pp 259-281, 1992. [4] Baker, R.D. and Wang, W., Developing and Testing the Delay-Time Model, Journal of the Operations Research Society, Vol. 44, No. 4, pp. 361-374, 1993. [5] Baker, R.D. and Christer, A.H., Review of Delay-Time OR Modelling of Engineering Aspects of Maintenance, European Journal of Operational Research, 73, pp 407-422, 1994. [6] Christer, A.H., Modelling Inspection Policies for Building Maintenance, Journal of the Operational Research Society, 33, pp 723-732,1982. [7] Christer,A.H. and Redmond, D,F., A Recent Mathematical Development in Maintenance Theory, IMA Journal of Mathematics Applied in Bussiness and Industry, 2, pp 97-108, 1990. [8] Wang, W., subjective Estimation of the Delay Time Distribution in Maintenance Modelling, European Journal of Operational Research, 99, 516-529, 1997. [9] Leung, F. and Kit-Leung, M., Using delay-time analysis to study the maintenance problem of gearboxes, International Journal of Operations & Production Management, 16(12), 98-105,1996.

247

248

BIBLIOGRAF´IA

Cap´ıtulo 17

Agrupamiento estacionario de intervenciones preventivas 17.1.

Introducci´ on

Los modelos de agrupamiento de actividades pueden ser divididos en 3 grupos, seg´ un su naturaleza: mantenimiento correctivo, mantenimiento preventivo, y mantenimiento oportunista. En el primer caso, los componentes son mantenidos tras su falla. En el segundo caso, las intervenciones son llevadas a cabo para prevenir falla y disminuir costos operativos. Ellas son planificadas y se logran ahorros al coordinar ejecuciones simultaneas para varios componentes (se incluye el mantenimiento predictivo). En el tercer caso, las actividades no son necesariamente planificadas con anterioridad. Sin embargo, se pueden lograr ahorros dado que el mantenimiento (correctivo o preventivo) de un componente ofrece la oportunidad de realizar mantenci´ on sobre otros componentes. El agrupamiento de intervenciones correctivas es directamente aplicable a sistemas donde existe alg´ un grado de redundancia. En tales sistemas es posible dejar componentes con falla en tal condici´on por alg´ un periodo de tiempo hasta que se hace conveniente realizar las reparaciones. Estrategias de este tipo son justificadas por la existencia de econom´ıas de escala a trav´es de la reparaci´on simultanea de un grupo de componentes similares. Por otro lado, el tener a los componentes con falla en esa condici´on implica posibles incrementos en los costos de falla. Una gran ventaja del mantenimiento preventivo es que es planificable. Ello es importante cuando la preparaci´ on (log´ıstica) de las intervenciones es necesaria. Por ejemplo, se puede ordenar la compra de repuestos, coordinar la disponibilidad de una cuadrilla para el periodo en que se programa la intervenci´on. Una ventaja del mantenimiento oportunista es que puede ser usada para ahorrar costos de falla asociado a intervenciones preventivas. Sin embargo, una desventaja de esta estrategia es que no es com´ un conocer el momento de las intervenciones y por tanto no se puede planificar ni preparar adecuadamente las mismas. El mantenimiento oportunista se refiere a la situaci´on en donde el mantenimiento preventivo es llevada a cabo en oportunidades que aparecen por la aparici´on de una falla. Debido a las econom´ıas de escala en las funciones de costo de mantenci´on, el evento de una falla de un componente es al mismo tiempo una oportunidad para realizar intervenciones preventivas sobre otros componentes. Es necesario observar que en muchas situaciones la combinaci´on oportunista de actividades de mantenci´on no es realista. El mantenimiento correctivo es aleatorio en el tiempo mientras que el preventivo es planificado. Luego, al combinar ambas, se pierde el car´acter planificado de la mantenci´on preventiva o debe dejarse al componente con falla en tal condici´on por alg´ un periodo de tiempo. Sin embargo, existen situaciones tal desventaja es aceptable: si la reparaci´on de un componente requiere desmantelar todo el 249

250 CAP´ITULO 17. AGRUPAMIENTO ESTACIONARIO DE INTERVENCIONES PREVENTIVAS

sistema, puede ser rentable la intervenci´ on preventiva de otros componentes. Existen dos opciones de combinaci´on: Realizar intervenciones preventivas tras la aparici´on de la falla, cuya reparaci´on no puede ser pospuesta (altos costos de falla) El o los componentes con falla pueden no ser reparados por alg´ un tiempo, en espera de la proxima mantenci´on preventiva planificada (usualmente un overhaul). Entre los modelos de mantenci´on con dependencia econ´omica se pueden distinguir dos aspectos de planificaci´on: estacionario y din´ amico. La hip´otesis de estacionaridad facilita el an´alisis matem´atico pero su mayor desventaja es que no puede tomar en cuenta informaci´on del corto plazo. Por su lado, el agrupamiento din´ amico puede tomar tal informaci´on en cuenta. Por ejemplo, el uso variable de componentes, aparici´on de eventos aleatorios que pueden crear una oportunidad para realizar mantenci´on a costos m´as bajos. En este capitulo presentamos una estrategia general para coordinar las frecuencias entre intervenciones preventivas para sistemas con multiples componentes, en condiciones estacionarias. El autor interesado en profundizar los temas relacionados es referido a la tesis de Wildeman[18], por ejemplo.

17.2.

Formulaci´ on del problema

Consid´erese un sistema con multiples componentes i, i = 1, ..., n. Al realizar intervenciones preventivas sobre una o m´as de estos componentes implica un costo S independiente de cuantos componentes sean mantenidos (usualmente el costo de falla). Debido a este costo, existe una dependencia econ´omica entre los componentes individuales. Si el componente i es mantenido, se incurre en un costo extra constante si (parte constante del costo de intervenci´ on). Sea Mi (x) la variable usada para representar los costos (de intervenci´on) esperados por el deterioro del componente i (debido a fallas y reparaciones sufridas, etc), tras x unidades de tiempo desde su ultima mantenci´ on preventiva. Asumiremos que Mi (x) es continua y que tras la intervenci´on el componente puede ser considerado tan bueno como nuevo. Consecuentemente, el costo promedio por unidad de tiempo Φi (x) del componente i sobre un horizonte infinito, cuando el componente es mantenido preventivamente cada x unidades de tiempo es si + Mi (x) Φi (x) = x con x>0 Dado que Mi (x) es continua, Φi (x) tambi´en lo ser´a. A fin de reducir el costo global, se puede explotar la dependencia econ´omica entre los componentes, agrupando la mantenci´ on de los componentes individuales. Ello puede realizarse de varias maneras. Observaci´ on 70 Se recalca que el costo com´ un S debe existir para cualquier actividad a considerar en el problema. Si no es el caso no existe oportunidad de obtener economias de escala.

17.3. ESTRATEGIAS DE AGRUPAMIENTO

251

17.3.

Estrategias de agrupamiento

17.3.1.

Agrupamiento indirecto

Una posibilidad es agrupar las intervenciones preventivas en m´ ultiplos de alg´ un intervalo b´asico T. Eso es, hay posibilidad de realizarlas cada T unidades de tiempo. Para cada componente el mantenimiento preventivo puede ser llevado a cabo en enteros m´ ultiplos de T. Ello implica que cada componente i es mantenido cada ki T unidades de tiempo, con ki ∈ N El objetivo es minimizar el costo global, que es una suma del costo asociado a cada componente i m´as los costos por el grupo. Asumiendo que el costo grupal S se carga cada T unidades de tiempo, tenemos: n

J=

S X + Φi (ki T ) T i=1

con T >0 Puede ocurrir que ninguno de los ki en la soluci´ on ´optima sea 1. Ello implica que existir´an ocasiones en las cuales no se har´ an pedidos de ning´ un item y por tanto es necesario corregir J. Por ejemplo, supongase que hay dos items y que k1 = 2 y k2 = 3. Si ello ocurre, en 2 ocasiones de cada 6 no ser´a usadas para comprar items y por tanto no habr´ a costo asociado y se aplica el factor de correcci´on ∆(k) con k = (k1 , .., kn ) Para el ejemplo, k = (2, 3) luego ∆(k) = 4/6 En caso de que no hayan ocasiones de relleno no aprovechadas, m´ın(k) = 1 se tiene ∆(k) = 1 En un caso general, se puede demostrar[18] que ∆(k) =

n X i=1

−1

X

(−1)i+1

(lcm (kα1 , ..., kαi ))

{α⊂{1,...,n}:|α|=i}

donde lcm (kα1 , ..., kαi ) denota el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de los enteros kα1 , ..., kαi . Luego, se incluye el factor de correci´on en J: n

J = ∆(k)

S X + Φi (ki T ) T i=1

(17.1)

Observaci´ on 71 El problema es de variables mixtas y no lineal. Ello puede facilitar la no convergencia o la convergencia a m´ınimos locales. Observaci´ on 72 La inclusi´ on del termino de correcci´ on ∆(k) puede dificultar la minimizaci´ on de J.

252 CAP´ITULO 17. AGRUPAMIENTO ESTACIONARIO DE INTERVENCIONES PREVENTIVAS

17.3.2.

Agrupamiento directo

En este caso, los n componentes son particionados en sub-grupos fijos en el tiempo. Luego un componente es siempre mantenido en el mismo grupo. Considerese el siguiente ejemplo. Hay 4 componentes, cuyas funciones de costo individuales son de la forma:  1 si x = 1 Φ1 (x) = Φ2 (x) = ∞ −  √ 1 si x = 2 Φ3 (x) = Φ4 (x) = ∞ − En este caso es obvio que la u ´nica soluci´ on optima es ejecutar el mantenimiento de los componentes 1 y 2 simultaneamente cada unidad de tiempo, y agrupar la mantenci´on de los componentes 3 y 4 cada √ 2 unidades de tiempo. Cualquier otro agrupamiento implica costos infinitos. Dado que el cociente entre los intervalos de ambos grupos no es entero, el caso anterior no puede representarse con la estrategia de agrupamiento indirecto: no existe un intervalo b´asico com´ un T y enteros ki (i = 1, .., 4) tal que los grupos {1,2} y {3,4} tengan costos finitos. La estrategia de agrupamiento directo si puede lograrlo. Primero, se particionan los n componentes en m grupos. Un grupo es subconjunto no v´acio de {1, ..., n}. Dada la partici´on P = {G1 , .., Gm } el costo global asociado es   m n X X S  + J= Φi (Tj ) (17.2) Tj j=1 i∈Gj

con Tj > 0, j = 1, ..., m Observaci´ on 73 En cada grupo Gj todas las tareas tienen el mismo intervalo: Tj . Disponiendo de la partici´ on P la minimizaci´on de (17.2) es relativamente sencilla. Lo dif´ıcil es encontrar P ´optimo. El numero posible de particiones crece extremadamente r´apido con n y son referidos como los numeros de Bell que satisfacen:  n  X n Bn+1 = Bi i i=0

con B0 = 1

17.3.3.

Agrupamiento indirecto con intervalos b´ asicos multiples

En este caso se combinan las dos estrategias anteriores donde los n componentes son particionados en sub-grupos, y dentro de estos sub-grupos se aplica agrupamiento indirecto. Ello equivale a tener multiples (ki ) intervalos b´ asicos Tj ; uno para cada sub-grupo j.   n m   X X S J= ∆(k) + Φi (ki Tj ) (17.3)   T j=1

i∈Gj

con ki ∈ N Tj > 0, j = 1, ..., m Desafortunadamente, este problema es aun mas dif´ıcil que los anteriores. Observaci´ on 74 Si el costo grupal S tiende a cero, se hace ´ optimo mantener los componentes individuamente. En ese caso hay n intervalos b´ asicos Tj , P = {1, ..., n} y todos los ki son iguales a uno. Se trata de un caso especial de agrupamiento directo. En este capitulo trataremos la soluci´ on de la estrategia de agrupamiento indirecto.

17.4. MODELOS DEL DETERIORO MI (X)

253

Φi si

tiempo Xi Figura 17.1: Incremento de costos de intervenci´on por deterioro

17.4.

Modelos del deterioro Mi (x)

Goyal y Gunasekaran (1992)[5] proponen Mi (x) =

 R Yi (x−Xi ) 0

(ai + bi t)dt 0

si x > Xi −

(17.4)

y ai , bi , Xi , Yi son los par´ ametros (no negativos) asociados al componente i. La figura 17.1 muestra un diagrama de la funci´ on de costos individuales de cada componente. Goyal y Kusy (1985)[3] proponen un deterioro de la forma Z x Mi (x) = (fi + vi te )dt 0

donde fi y vi son constantes no negativas y e ≥ 0. Baker y Christer (1994)[4] consideran la falla como un proceso con 2 fases; cada componente i pasa por un estado intermedio observable (estado defectuoso) y la falla solo ocurre tras un cierto intervalo posterior (que llamaremos delay). El componente i es inspeccionado cada x unidades de tiempo para verificar si est´ a defectuoso y, si es el caso, es reemplazado inmediatamente. Si un componente falla antes de la inspecci´ on, tambi´en es inmediatamente reemplazado. En caso de pasar la inspecci´on, el componente es considerado tan bueno como nuevo. Ello es valido si la aparici´on del defecto es del tipo exponencial, con densidad de probabilidad gi y probabilidad acumulada Z x Gi (x) = gi (t)dt 0

Si el delay tiene una probabilidad acumulada Fi (x) entonces el tiempo para que aparezca la falla tiene una probabilidad acumulada Z t Ki (t) = gi (u)Fi (t − u)du 0

De lo anterior, Mi (x) = cfi Ni (x)+  Z cri {Gi (x) − Ki (x)} + 0

donde

x

Ni0 (y) {Gi (x − y) − Ki (x − y)} dy



254 CAP´ITULO 17. AGRUPAMIENTO ESTACIONARIO DE INTERVENCIONES PREVENTIVAS

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

B

C

S

800

n_i s_i a_i b_i X_i Y_i

1 10 198 80 3 0,8 0,9

D

E

F

Tipo

k_i*T k_i*T>X_i? M_i Φ_i S/T Σ Φ_i J k_i T

2 24 192 50 2 0,6 0,95

3 30 193 90 1 0,4 0,85

4 16 205 85 1,5 0,6 0,95

5 12 204 95 2,5 0,5 0,94

11,63 11,63 23,26 11,63 11,63 VERDADERO VERDADERO VERDADERO VERDADERO VERDADERO 9824,73 15817,63 60569,48 15871,31 13953,48 1015,16 1756,53 2853,34 1646,94 1410,47 68,80 8682,45 8751,25 1 1 2 1 1 11,63

Figura 17.2: Modelo Excel Ni (x) es el numero esperado de fallas en [0, x]; Ni0 (x) es su derivada con respecto al tiempo; cfi es el costo de reemplazo correctivo; cri es el costo incurrido cuando el componente es reemplazado tras ser detectado defectuoso tras una inspecci´on. En general, el costo de inspecci´ on (si ) de un componente ya incluye el costo del reemplazo preventivo cri , y tenemos Mi (x) = cfi Ni (x) Ejemplo 105 Considere el ejemplo de referencia [5] (modelo de ecuaci´ on 17.4). Se tienen 5 diferentes tipos de componentes, eso es, los componentes de cada tipo son id´enticos. El numero ni de componentes del tipo i, i = 1, ..., 5 son 10, 24, 30, 16 y 12 respectivamente, y por lo tanto hay 92 componentes. La figura 17.2 muestra los par´ ametros (en azul) y resultados (en verde las funciones, en rojo los par´ ametros) para el ejemplo.Notese que dado que los componentes de cada tipo son id´enticos y tratados de la misma forma, el problema es equivalente a la situaci´ on donde solo hay solo 5 componentes distintos; en ese caso los par´ ametros si , ai y bi deben ser multiplicado por el numero ni de componentes tipo i (Todos los componentes tipo i son mantenidos cada ki T unidades de tiempo). Notese que para calcular Mi (ki T ) se considera la funci´ on Booleana TRUE para verificar que ki T sea mayor que el par´ ametro Xi (fila 12). Las figuras 17.2 y 17.3 muestran la hoja Excel utilizada para el modelo y las restricciones utilizadas respectivamente. La soluci´ on fue encontrada en menos de 2 segundos en un Pentium III con 256 Mb RAM Windows/Office XP. Los valores iniciales para las variables fueron unitarios.

17.5.

Agrupamiento directo

Para considerar el agrupamiento directo (ecuaci´on 17.2):   n m X X S + J= Φi (Tj ) Tj j=1 i∈Gj

(17.5)

17.5. AGRUPAMIENTO DIRECTO

255

Figura 17.3: Objetivo y restricciones con Tj > 0, j = 1, ..., m Definimos dos variables binarias auxiliares,  1 Ii,j = 0

si la tarea i ∈ Gj en otro caso

y  Kj =

1 0

si |Gj | > 0 en otro caso

El problema se convierte entonces en encontrar los valores Ii,j y Tj que minimizan   m n X X S  Kj + J= Φi (Tj ) T j j=1

(17.6)

i∈Gj

Observaci´ on 75 La inclusi´ on de Kj en la funci´ on objetivo anula la posibilidad de tener grupos con 0 elementos que influyan en el costo total por unidad de tiempo. El m´ aximo numero posible de grupos es n. Luego, j = 1, ..., n. Las restricciones aplicadas son: Tj > 0 Ii,j ∈ {0, 1} Cada tarea i solo puede pertenecer a un grupo, X

Ii,j = 1

j

La figura 17.4 muestra la implementaci´on en Excel del problema ya tratado con agrupamiento indirecto (figura 17.2). Los valores para iniciar las iteraciones son: Ii,j = δi,j Tj = 1

256 CAP´ITULO 17. AGRUPAMIENTO ESTACIONARIO DE INTERVENCIONES PREVENTIVAS

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

S

B

C

D

E

F

G

H

ΣΦ_i*I(i,j) 5828,29 2837,23 0,00 0,00 0,00 8665,53 J T_j 11,79 19,45 33,43 28,07 26,32 5

S/T_j*K_j 67,86 41,14 0,00 0,00 0,00 109,00 8774,52 K_j VERDADERO VERDADERO FALSO FALSO FALSO

800

Tipo i i=1 i=2 i=3 i=4 i=5 n_i 10 24 30 16 12 s_i 198 192 193 205 204 a_i 80 50 90 85 95 b_i 3 2 1 1,5 2,5 X_i 0,8 0,6 0,4 0,6 0,5 Y_i 0,9 0,95 0,85 0,95 0,94 grupo\componi=1 i=2 i=3 i=4 i=5 j=1 11,79 11,79 0,00 11,79 11,79 j=2 0,00 0,00 19,45 0,00 0,00 j=3 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 j=4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 j=5 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Ti 11,79 11,79 19,45 11,79 11,79 T_i>X_i? VERDADERO VERDADERO VERDADERO VERDADERO VERDADERO M_i 9996,81 16091,03 49387,21 16123,98 14182,03 Φ_i 1015,93 1755,79 2837,23 1645,94 1410,64 i=2

grupo\componi=1 j=1 j=2 j=3 j=4 j=5

1015,93 0,00 0,00 0,00 0,00

grupo\componi=1 j=1 j=2 j=3 j=4 j=5 ΣΙ

1 0 0 0 0 1

i=3 1755,79 0,00 0,00 0,00 0,00

i=2

i=4 0,00 2837,23 0,00 0,00 0,00

i=3 1 0 0 0 0 1

i=5 1645,94 0,00 0,00 0,00 0,00

i=4 0 1 0 0 0 1

1410,64 0,00 0,00 0,00 0,00

i=5 1 0 0 0 0 1

Figura 17.4: Modelo Excel para agrupamiento directo

Figura 17.5: Restricciones

1 0 0 0 0 1

17.6. COMENTARIOS FINALES

257

con i = 1, ..., 5, j = 1, ..., 5. Los valores a los que lleg´ o el solver tras aproximadamente 10 segundos en un Pentium III, 256 Mb RAM, con Windows/Office XP. Podemos apreciar que tal como en agrupamiento indirecto, se ha llegado a 2 grupos ´ optimos (iguales a los obtenidos con agrupamiento indirecto): G1 = {1, 2, 4, 5} G2 = {3} Cuyas intervalos de repetici´ on son: T1 = 11,79 T2 = 19,45 Lo que se compara con los valores obtenidos con agrupamiento indirecto: 11,63 y 11,63 × 2 = 23,26 respectivamente. Se aprecia que la soluci´on es peor que la obtenida con agrupamiento indirecto pues en ese caso se obtuvo J = 8751,25 mientras que con agrupamiento directo, J = 8774,52 lo que est´ a bastante cerca:  ε % = 100

 8774,52 −1 8751,25

= 0,26 % Este resultado est´ a re˜ nido con la hip´otesis de que la soluci´on deber´ıa ser mejor que la obtenida con agrupamiento indirecto por tener menos restricciones y mas grados de libertad. Sin embargo, se debe tener en cuenta la naturaleza no lineal del problema y la existencia de m´ınimos locales en la funci´on objetivo. Observaci´ on 76 El modelo de agrupamiento directo presentado no muestra la econom´ıa de escala cuando un Tj es m´ ultiplo exacto de otro Tk . Ello muestra claramente la discontinuidad de la funci´ on objetivo.

17.6.

Comentarios finales

Hemos presentado una estrategia general para coordinar las frecuencias entre intervenciones preventivas para sistemas con multiples componentes, en condiciones estacionarias. Se ha considerado en la funci´ on objetivo el incremento de costos debido al deterioro de los componentes con la edad. Hemos visto que el problema de optimizaci´on puede ser complejo de resolver por la naturaleza mixta de las variables (continuas, enteras) y el car´acter no lineal de la funci´on objetivo. Hemos presentado un ejemplo num´erico donde se ha mostrado la implementaci´on en entornos reales. Aparece la observaci´ on de la dificultad en estimar los par´ametros a utilizar en el modelo; por ejemplo, los par´ametros de deterioro en los costos de intervenci´on. Por supuesto, debido a la naturaleza estacionaria del an´alisis, hay factores transitorios que no son considerados y que pueden ofrecer oportunidades de ahorro. Por ejemplo, uso variable de equipos, estacionalidad en la producci´ on, etc.

258 CAP´ITULO 17. AGRUPAMIENTO ESTACIONARIO DE INTERVENCIONES PREVENTIVAS

Bibliograf´ıa [1] Wildeman, R.E. The art of Grouping Maintenance. Master’s thesis, Erasmus University, Rotterdam, 1996. [2] Goyal, S.K. and Gunasekaran, A., Determining Economic Maintenance Frequency of a Transport Fleet, International Journal of Systems Science, 4, 655-659,1992. [3] Goyal, S.K. and Kusy, M.I., Determining Economic Maintenance Frequency for a Family of Machines, Journal of the Operational Research Society, 36,1125-1128, 1985. [4] Baker, R.D., and Christer, A.H., Review of Delay-Time OR Modelling of Engineering Aspects of Maintenance, European Journal of Operational Research, 73, 407-422, 1984.

259

260

BIBLIOGRAF´IA

Cap´ıtulo 18

Reemplazo de equipos 18.1.

Introducci´ on

Aqu´ı se trata de evaluar el periodo optimo de reemplazo de equipos. Ello se justifica por el incremento en los costos de mantenci´ on y operaci´ on. El criterio a utilizar es la minimizaci´on del costo medio durante la vida del equipo. Factores tales como la depreciaci´on y la inflaci´on ser´an tomados en cuenta. El problema de optimizaci´ on inicial considera la minimizaci´on del costo global por unidad de tiempo considerando la compra, la reventa y los costos de operaci´ on y mantenci´on del equipo considerado. Observaci´ on 77 El problema puede ser tratado a partir de datos historicos o a trav´es de modelos predictivos de costos y valores de venta.

18.2.

Reemplazo sin considerar tasa de descuento

Sea A el precio de compra del equipo, Ci , el costo de intervenci´ on en el periodo Ti , considerando costos de operaci´on y costo global de mantenci´ on, Ri , precio de reventa al final del periodo i, cg , costo global por unidad de tiempo (calendario u operativo), sin considerar tasa de descuento. Tenemos entonces: Pn A + i=1 Ci − R(T ) cg (T ) = T Para encontrar el periodo ´ optimo para la reventa se tabula cg . Ejemplo 106 El precio de compra de un cierto equipo es de A = 15000 USD. Los costos anuales de mantenci´ on y los valores de reventa son indicados en tabla 28.2. Los resultados se muestran en la tabla 18.2.

18.3.

Reemplazo considerando tasa de descuento

Si se toma una tasa de desucento por unidad de tiempo r, Pn (1 + r)n A + i=1 (1 + r)i−1 Ci − R(T ) cg (T ) = T en unidades monetarias del instante tn . A fin de comparar se debe convertir a unidades del instante 0 : cg,0 (n) =

cg (n) (1 + r)n

261

CAP´ITULO 18. REEMPLAZO DE EQUIPOS

262

A˜ no 1 2 3 4 5 6 7 8

Costos 31970 31136 31178 29660 32912 35912 35330 36956

Reventa 10500 9660 8887 9178 7522 6920 6366 5857

Cuadro 18.1: Historial del equipo

a˜ no 1 2 3 4 5 6 7 8

Costos 31970 31136 31178 29660 32912 35912 35330 36956

Reventa 10500 9660 8887 9178 7522 6920 6366 5857

P

Ci 31970 63106 94282 123944 156856 192186 229142 269008

cg 36470 34223 33465 32691 32866 33377 33967 34768

Cuadro 18.2: Anlisis de costos

x 10

4

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0 1

2

3

4

5

6

7

8

Año

Figura 18.1: Costo medio vs tiempo

a˜ no 1 2 3 4 5 6

Ci 31970 31136 31178 29660 32912 35912

Ri 10500 9660 8887 9178 7522 6920

Pn

i=1 (1

31970 65024 100103 135770 176828 222767

+ r)i−1 Ci

cg 36470 34223 33465 32691 32866 33377

cg,0 35254 32136 30528 29025 28300 26613

Cuadro 18.3: Reemplazo considerando inflaci´on

´ 18.4. MODELOS PREDICTIVOS (SIN INFLACION)

263

0.7 0.6

φ(t)

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo Figura 18.2: Funci´on depreciaci´on exponencial

Costo acumulado

1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo Figura 18.3: Costo acumulado

18.4.

Modelos predictivos (sin inflaci´ on)

Sea φ(t) la funci´ on de depreciaci´ on de mercado. El valor del equipo es: A [1 − φ(t)] Sea ψ(t) el costo total acumulado (operaci´on y mantenci´ on) del equipo; entonces el costo total incurrido Cg (t) es: Cg (t) = ψ(t) + A [1 − φ(t)] y el costo global por unidad de tiempo es cg (T ) =

Cg (T ) T

El ´optimo punto para reemplazo es donde se minimiza cg (T ), ´osea donde dcg =0 dt Veamos caso por caso:

CAP´ITULO 18. REEMPLAZO DE EQUIPOS

264

18.4.1.

Depreciaci´ on lineal y costo lineal

En este caso φ(t) = 1 −

t t0

ψ(t) = at Entonces

h

 1− 1−

cg (t) =

t t0

i

A + at

t

=

A + a = cte t0

Por lo que

dcg dt

18.4.2.

Depreciaci´ on exponencial y costo lineal

= 0 para todo t; lo que implica que es indiferente el instante de reventa.

Se tiene: φ(t) = 1 − e−λt ψ(t) = at luego

1 − 1 − e−λt A + at cg (t) = t   (1 + λt) e−λt − 1 dcg = A dt t2 dcg dt

no se anula para ning´ un valor de t y cg (t) es una funci´on decreciente; es conveniente postergar el reemplazo lo m´ as posible.

18.4.3.

Depreciaci´ on exponencial, costo exponencial

En este caso, φ(t) = 1 − e−λt
ψ(t) = a eµt − 1 luego, 
 1 − 1 − e−λt A + (eµt − 1) a cg (t) = t Derivando e igualando a 0 se consigue la condici´on de minimizaci´on: 1 − eµt (1 − µt) A = 1 − e−λt (1 + λt) a Para resolver se puede usar una gr´ afica ya preparada o calcular num´ericamente. Ejemplo 107 Se desea decidir si instalar una nueva correa o continuar repar´ andola. Se dispone de la siguiente informaci´ on: 1.

Una correa nueva cuesta 90000 USD,

2.

la funci´ on de depreciaci´ on es exponencial con par´ ametro λ = 0,3

3.

la funci´ on de costos es exponencial con par´ ametro µ = 0,6, a = 5000

´ 18.4. MODELOS PREDICTIVOS (SIN INFLACION)

265

Figura 18.4: Gr´afico de Kauffmann Usando el gr´ afico de Kauffmann para A a 90 = 5 = 18

α=

y λ 0,3 = = 0,5 µ 0,6 , µt = 1,46 luego t=

1,46 = 2,44 a˜ nos 0,6

Ejemplo 108 1 El valor inicial de un equipo es de 10000 USD. Su valor cae en aproximadamente 20 % cada a˜ no, respecto del valor del a˜ no anterior(por ejemplo, al primer a˜ no: 10000 × (1 − 0,2) = 8000; al segundo a˜ no: 8000×(1−0,2) = 6400, etc.). Por otro lado, sus costos de mantenci´ on y operaci´ on tienen un   crecimiento exponencial con ley 1000 e0,22t − 1 USD (t en a˜ nos). Estime el plazo ´ optimo de reemplazo. Soluci´ on 21 Siendo que la depreciaci´ on es exponencial basta con estimar el par´ ametro. En un a˜ no el valor decae a 80 %, ´ osea e−λ·1 = 0,8 luego λ = − ln(0,8) = 0,22 1 control

2 me57a , semestre II-2001

CAP´ITULO 18. REEMPLAZO DE EQUIPOS

266

Seg´ un los costos de crecimiento exponencial, µ = 0,22 y a = 1000, A = 10000. Lo cual nos permite usar el gr´ afico de Kauffmann con λ/µ = 1, A/a = 10. Entonces µt ≈ 1,75 1,75 t≈ = 7,95 a˜ nos 0,22 Ejercicio 9 Haga un an´ alisis de la depreciaci´ on de mercado de 2 modelos de veh´ıculos (de lujo y econ´ omico) con al menos 5 a˜ nos en el mercado. Ajuste la mejor curva. Compare par´ ametros para ambos casos. Comente resultados.

18.5.

Modelo considerando tasa de descuento

2

Se han modelado los costos/unidad tiempo de mantenimiento y operaci´on de un equipo desde que est´a como nuevo (t = 0) seg´ un la ley: ceµt La inversi´on inicial en un equipo nuevo tiene costo global A. El valor de rescate de mercado para un equipo de edad t es Ae−λt La tasa de descuento continua por unidad de tiempo es θ, o sea un flujo unitario ocurrido en t tiene un valor en dinero de t = 0 de e−θt Proponga un modelo para optimizar el costo global sobre un intervalo infinito y usando como variable el intervalo T entre reemplazos. Consejo: actualize los flujos agrupandolos por ciclo de reemplazo. Para cada ciclo de reemplazo, se tienen los siguientes flujos: la inversi´ on A, la recuperaci´ on del valor de rescate Ae−λT los costos acumulados Z

T

ceµt dt =

0


c µt e −1 µ

Observaci´ on 78 () nos da la relaci´ on con el modelo anterior para los costos acumulados:
c µt aeµt ∼ e −1 = µ para t relativamente grandes, luego a∼ =

c µ

luego el costo global de un ciclo es A(1 − e−λT ) +


c µt e −1 µ

en unidades monetarias de cuando ocurrieron los flujos. Como una simplifaci´on diremos que para el n-esimo ciclo de reemplazo han pasado nT unidades de tiempo, luego el valor actualizado de ese ciclo es  
−θnT c µt −λT A(1 − e )+ e −1 e µ 2 control

2, semestre 2003-II

´ DINAMICA ´ 18.6. PROGRAMACION

267

El objetivo es minimizar el costo global sobre ∞ ciclos de vida, luego el problema es  ∞  X
−θnT c µt −λT Cg (T ) = m´ın A(1 − e )+ e −1 e T µ n=1 con T >0 la resoluci´ on en Maple entrega: Cg (T ) =



A eλT − 1 + µc eλT eµT − 1 eλT (eθT − 1)

para el ejemplo teniamos c µ A λ µ

∼ = a=5 = 90 = 0,3 = 0,6

y si usamos una tasa de descuento continua θ = 0,05 tenemos que el periodo optimo de reemplazo es T ∗ = 4,3 a˜ nos.

18.6.

Programaci´ on din´ amica

La programaci´ on din´ amica determina la soluci´on ´optima de un problema de n variables, descomponiendolo en n etapas, donde cada etapa incluye un sub-problema de una sola variable. Sus campos de aplicaci´ on son extensos. En este capitulo lo aplicaremos al reemplazo de equipos. La programaci´ on din´ amica es una m´etodolog´ıa recursiva, en el sentido de que la soluci´on ´optima de un sub-problema se utiliza como entrada para el siguiente sub-problema. Para el momento en que se resuelva el ultimo sub-problema, se encontrar´a la soluci´on ´optima para el problema completo.

18.6.1.

Reemplazo de equipos

Sup´ ongase que al principio de cada unidad de tiempo (un a˜ no por ejemplo), se debe decidir si es rentable dejar un equipo en operaci´ on por un periodo mas, o reemplazarlo por uno nuevo. Descripci´ on del modelo Sean r(t) los ingresos durante una unidad de tiempo, c(t) el costo de intervenci´ on (mantenimiento y operaci´on) de la m´aquina de edad t durante la unidad de tiempo considerada, R(t) el valor de recuperaci´ on de un equipo que ha operado t unidades de tiempo, A es el costo de adquirir una nueva m´aquina. Considerando notaci´ on del an´ alisis de redes, 1. la etapa i est´ a representada por el instante ti , i = 1, 2.., n. 2. Las alternativas en la etapa i requieren que la m´aquina se conserve (K) o se reemplace al principio del a˜ no i (R). 3. El estado en la etapa i es la edad del equipo al principio del a˜ no i

CAP´ITULO 18. REEMPLAZO DE EQUIPOS

268

4. Se define fi (t) como el ingreso neto m´ aximo para el periodo (ti ,tn ) siendo que el equipo tiene t a˜ nos al principio del a˜ no i.   r(t) − c(t) + fi+1 (t + 1) si se conserva fi (t) = m´ ax r(0) + (R(t) − A) − c(0) + fi+1 (1) si se reemplaza 5. fn+1 (t) ≡ 0 6. el objetivo es maximizar el ingreso neto del equipo sobre las n unidades de tiempo a seguir. Observaci´ on 79 En este modelo la vida remanente del equipo ha sido predeterminada; para establecer n´ optimo puede iterarse sobre este valor. Observaci´ on 80 En programaci´ on din´ amica las decisiones solo pueden ser tomadas en forma discreta en el tiempo. Observaci´ on 81 En caso de que el rendimiento del equipo sea constante podr´ıa considerarse la minimizaci´on del costo global sobre los a˜ nos remanentes. Notese como en este caso no es el costo global de mantenimiento lo que debe minimizarse. La evoluci´ on de la eficiencia de producci´ on del equipo y/o la evoluci´ on de la demanda del mercado tambi´en cuentan. Para explicar el m´etodo usaremos un ejemplo

18.6.2.

Ejemplo

Una compa˜ nia necesita determinar la pol´ıtica de reemplazo ´optima para una m´aquina que actualmente tiene 3 a˜ nos, para los pr´ oximos 4 a˜ nos, es decir, hasta principios del a˜ no 5. La pol´ıtica de la compa˜ nia requiere que una m´ aquina de 6 a˜ nos sea reemplazada. El costo de una m´aquina nueva es de 100 KUSD. La tabla 18.4 entrega los dem´ as datos. Edad a˜ nos 0 1 2 3 4 5 6

Ingresos r (KUSD) 20 19 18,5 17,2 15,5 14 12,2

Costos c (KUSD) 0,2 0,6 1,2 1,5 1,7 1,8 2,2

Valor de rescate R (KUSD) − 80 60 50 30 10 5

Cuadro 18.4: Datos del problema

Ejemplo 109 Utilizando los datos del problema de secci´ on anterior, use el modelo de la secci´ on anterior (Kauffman) para comparar resultados.

t 1 2 3 6

Se conserva r(t) − c(t) + R(t + 1) 19 − 0,6 + 60 = 78,4 18,5 − 1,2 + 50 = 67,3 17,2 − 1,5 + 30 = 45,7 se debe reemplazar

Se reemplaza s(t) − A + r(0) − c(0) + R(1) 20 + 80 + 80 − 0,2 − 100 = 79,8 20 + 60 + 80 − 0,2 − 100 = 59,8 20 + 50 + 80 − 0,2 − 100 = 49,8 20 + 5 + 80 − 0,2 − 100 = 4,8

Cuadro 18.5: Etapa 4: a principios del a˜ no 4

f4 (t) 79,8 67,3 49,8 4,8

Decisi´on R K K R

´ DINAMICA ´ 18.6. PROGRAMACION

269

6

4

4

4 R

K

S

1

2

R

3

R

K

2

K

K

1

Fin

R

1

R

K

1

2

R

R

2

S

S

R

K

3

S

3

2

3

R

Edad del equipo

5

1

4

R

1

5

Año de decisión

Figura 18.5: Red del problema

t 1 2 5

Se conserva r(t) − c(t) + f4 (t + 1) 19 − 0,6 + 67,3 = 85,7 18,5 − 1,2 + 49,8 = 67,1 14 − 1,8 + 4,8 = 17,0

Se reemplaza r(0) + s(t) − c(0) − A + f4 (1) 20 + 80 − 0,2 − 100 + 79,8 = 79,6 20 + 60 − 0,2 − 100 + 79,8 = 59,6 20 + 10 − 0,2 − 100 + 79,8 = 19,6

f3 (t) 85,7 67,1 19,6

Decisi´on K K R

f2 (t) 85,5 35,5

Decisi´on K oR K

f1 (t) 55,3

Decisi´on R

Cuadro 18.6: Etapa 3: a principios del a˜ no 3

t 1 4

Se conserva r(t) − c(t) + f3 (t + 1) 19 − ,6 + 67,1 = 85,5 15,5 − 1,7 + 19,6 = 33,4

Se reemplaza r(0) + R(t) − c(0) − A + f3 (1) 20 + 80 − ,2 − 100 + 85,7 = 85,5 20 + 30 − 2 − 100 + 85,7 = 35,5

Cuadro 18.7: Etapa 2: a principios del a˜ no 2

t 3

Se conserva r(t) − c(t) + f2 (t + 1) 17,2 − 1,5 + 35,5 = 51,2

Se reemplaza r(0) + R(t) − c(0) − A + f2 (t) 20 + 50 − ,2 − 100 + 85,5 = 55,3

Cuadro 18.8: Etapa 1: a principios del a˜ no 1

CAP´ITULO 18. REEMPLAZO DE EQUIPOS

4

3

3

1

R

2

Fin

K

K

1

2

R

2

R

2

S

K

K

3

S

R

Edad del equipo

270

1

3

1

4

5

Año de decisión

Figura 18.6: Resultados 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

A B C D E F G H I Instante Edad al inicio Valor de Error Error ψ ajustado cuadrático ψ R ajustado cuadrático R t T C_i rescate R ψ 0 100 0 0,00 0,00 100 0 1 0 0,2 0,2 0,55 0,12 2 1 0,6 80 0,8 1,27 0,22 63,6 268,3 3 2 1,2 60 2 2,18 0,03 50,7 85,7 4 3 1,5 50 3,5 3,37 0,02 40,5 90,7 5 4 1,7 30 5,2 4,89 0,09 32,3 5,2 6 5 1,8 10 7 6,86 0,02 25,7 248,0 7 6 2,2 5 9,2 9,39 0,03 20,5 241,4 0,54 939,4 a 1,92 t 11,70 µ 0,25 φ 0,93 λ 0,23 cg 1,776 A 100,00

Cuadro 18.9: Estimaci´on de par´ametros de Kauffman Como primera etapa se deben identificar los par´ ametros del modelo de Kauffman: cg (t) =

ψ(t) + A [1 − φ(t)] t

(18.1)

con
ψ(t) = a eµt − 1 φ(t) = 1 − e−λt Comenzando por los costos acumulados, la tabla xx muestra los valores dados y los ajustados para a = 1,92, µ = 0,25. Notese que el problema de estimaci´ on de a y de µ es no lineal en a: log (ψ − a) = log a + µt La pareja (ψ, µ) adecuada entrega una recta. Para resolver se utilizo el solver de Excel que minimizo el error cuadr´ atico (celda G13 en la tabla). El gr´ afico 18.7 muestra el ajuste, que se considera aceptablemente bueno. A continuaci´ on se grafic´ o el valor residual vs el tiempo y se ajust´ o con λ = 0,23 (ver gr´ afico 18.8). Como los valores quedan fuera del gr´ afico de Kauffman se minimiz´ o directamente la funci´ on objetivo (18.1) con el solver. El resultado es: t∗ = 11,7 a˜ nos ∗ cg (t ) = 1, 78 KUSD/a˜ no

Costos acumulados

´ DINAMICA ´ 18.6. PROGRAMACION

271

10 8 6 4 Experimental Ajustado

2 0 0

2

4

6

Instante (t)

8

Valor de rescate

Figura 18.7: Estimaci´on de a y µ

120 100 80 60 40 20 0

Experimental Ajustado

0

2

4 6 Tiempo (t)

Figura 18.8: Estimaci´on de λ

8

CAP´ITULO 18. REEMPLAZO DE EQUIPOS

272

lo que viola la restricci´ on de la empresa de sustituir equipos de m´ as de 6 a˜ nos (decisi´ on no optima en costos). De todas maneras se podr´ıa a˜ nadir un termino para los ingresos en el modelo de Kauffman.

18.7.

Comentarios finales

En este capitulo hemos presentado varios m´etodos para decidir intervalos e instantes ´optimos para el reemplazo de equipos. Los modelos son determ´ınisticos y bastante generales para la estimaci´on de los costos. Se nota la inclusi´ on de costos e ingresos de producci´on, los cuales son considerados dependientes de la edad del equipo. Alguno de los modelos ha considerado el valor de los flujos en el tiempo a trav´es de la tasa de descuento. Debido a su nivel de agregaci´on puede ser conveniente considerar modelos m´as complejos, como los que veremos en los pr´ oximos cap´ıtulos.

Bibliograf´ıa [1] P. Lyonnet. Maintenance Planning, Methods and Mathematics. Chapman & Hall, 1991. [2] H. Taha, Investigaci´ on de Operaciones, una introducci´ on, 6ta ed., Prentice Hall, 1998. [3] , Lai, K.K., Leung, F.K.N., Tao, B., Wang, S.Y., Practices of preventive maintenance and replacement for engines: A case study, European Journal of Operational Research, 124(2, 294-306, 2000.

273

274

BIBLIOGRAF´IA

Cap´ıtulo 19

Overhaul/reemplazo con programaci´ on din´ amica 19.1.

Introducci´ on

Un overhaul puede ser considerado como un conjunto de medidas ejecutadas antes de la falla. N´otese que la definici´ on de falla no solo incluye el no cumplimiento de la funci´on del equipos, sino que adem´as la de no producir bajo las especificaciones requeridas. Las decisiones respecto de los overhauls son: 1. Intervalo entre overhauls. N´otese que el intervalo puede ser infinito (´osea no se realizarlo, solo realizar mantenci´ on correctiva) 2. El grado de profundidad del overhaul, o sea, cuan cerca debe quedar el equipo de la condici´on ”como nuevo” tras un overhaul. Llevando el concepto al extremo, el overhaul puede significar el reemplazo del equipo. En la practica, un overhaul o una intervenci´on correctiva logran poner el equipo en funcionamiento, pero no logran evitar que la condici´on del mismo se degrade en el tiempo, hasta que es necesario su reemplazo.

19.2.

Overhaul ´ optimo

Al ocurrir la falla, se pueden tomar dos acciones: reparar el equipo o reemplazarlo. El an´alisis a continuaci´ on utiliza el m´etodo de programaci´ on din´ amica: se asume que las decisiones pueden ser tomadas solo en instantes discretos en el tiempo (por ejemplo, cada fin de semana). Se desea determinar una estrategia que indique que acci´ on tomar en cada punto de decisi´on para minimizar el costo global de mantenci´ on sobre los siguientes n periodos de tiempo.

19.2.1.

Descripci´ on del modelo

Sean: 1. i, el estado del equipo (bueno o con falla) al comienzo del periodo, 2. j, el estado del equipo (bueno o con falla) al final del periodo, 3. a, la acci´ on que es tomada al comienzo del periodo (en este caso: overhaul, mantenci´on correctiva, o reemplazo) 4. paij , es la probabilidad de que el equipo pase del estado i al estado j en un periodo si la acci´on a es tomada. 275

276

´ DINAMICA ´ CAP´ITULO 19. OVERHAUL/REEMPLAZO CON PROGRAMACION

a 5. Cij , es el costo por periodo de pasar del estado i al estado j si la acci´on a es tomada. (En este caso es el costo de intervenci´ on del overhaul, C0 , costo de intervenci´on de reparaci´on, Cr , costo de falla por mantenimiento correctivo Ct si el equipo falla durante el periodo).

6. El objetivo es determinar una estrategia combinada de overhaul, reparaci´on, reemplazo que minimice el costo total asociado con estas acciones, para los siguientes n periodos de tiempo. 7. El costo global m´ınimo esperado, con n periodos a venir y comenzando en el estado i, es fn (i). Para realizar el an´ alisis se comienza en el ultimo periodo y se obtienen recursivamente el valor de fn para cada periodo. a El costo de la primera decisi´ on, al comienzo del n-esimo periodo, es Cij si la acci´on a es tomada y el equipo queda en el estado j. El estado j ocurre con una probabilidad paij . Hay una serie de resultados que pueden ocurrir al realizar la acci´ on a, por lo tanto el costo esperado de realizar la acci´on a es N X

a Cij · paij

i=1

donde N es el numero de posibles estados al final de un periodo. Al final del periodo el equipo est´ a en el estado j, con n − 1 periodos mas por operar. El costo total m´ınimo esperado para el tiempo restante es fn−1 (i). Nuevamente, el equipo est´a en el estado j con probabilidad paij y por tanto el costo esperado es N X

fn−1 (i) · paij

i=1

As´ı, comenzando en el estado i, con n periodos por operar, el tomar la acci´on a que resulta en el estado j, el costo total sobre los n periodos es el costo esperado de la primera decisi´on mas el costo esperado futuro: N N X X a Cij · paij + fn−1 (j) · paij (19.1) j=1

j=1

Dado que se desea minimizar el costo global esperado, se desea tomar la mejor acci´on a estando en el estado i con n periodos por operar. La mejor acci´on es la que minimiza (19.1). El m´ınimo del costo global esperado fn (i) y la mejor acci´ on a pueden ser obtenidas de la siguiente relaci´on de recurrencia:   N N X X a Cij · paij + fn−1 (j) · paij  con n ≥ 1 (19.2) fn (i) = m´ın  a

j=1

j=1

La ecuaci´on (19.2) puede ser resuelta recursivamente con la condici´on inicial f0 (i) = 0 luego   N X a f1 (i) = m´ın  Cij · paij  ...,etc. a

19.2.2.

(19.3)

j=1

Ejemplo num´ erico

La figura (19.1) representa con c´ırculos los posibles estados del equipo (g, bueno, f , con falla) en los instantes n y n − 1. Los cuadrados representan la ocurrencia o no del evento falla. Vemos que: Hay dos posibles condiciones del equipo al comenzar un periodo: bueno o con falla,  g bueno i= f con falla

´ 19.2. OVERHAUL OPTIMO

277

Overhaul O

G

pogg

G

pogf

F

pRgg

G

pRgf

F

prfg

G

prff

F

pRfg

G

pRff

F

Reemplazo R

Reparación r

F Reemplazo R

n

n-1

Figura 19.1: Posibles estados del equipo

278

´ DINAMICA ´ CAP´ITULO 19. OVERHAUL/REEMPLAZO CON PROGRAMACION

Hay 3 posibles acciones a tomar:   O r a=  R

overhaul reparaci´on reemplazo

Sobre probabilidades, 1. Si el equipo esta en la condici´ on g puede pasar a overhaul O o ser reemplazado. Si pasa a overhaul hay una probabilidad p0gg que aun funcione al final del periodo, y una probabilidad p0gf de que falle. 0 2. Si se decide reemplazar hay una probabilidad pR gg y una probabilidad pgf de que el equipo funcione o no al terminar el periodo.

3. Si el equipo est´ a en condici´ on f puede ser reparado o reemplazado. 4. La tabla 19.6 entrega los valores de las probabilidades. Condici´ on al empezar el periodo g f

Decisi´on O R r R

Condici´on al fin del periodo g f O pO = 0,75 p gg gf = 0,25 R pgg = 0,95 pR gf = 0,05 r pf g = 0,60 prf f = 0,40 pR pR f g = 0,95 f f = 0,05

Cuadro 19.1: Probabilidades asociadas Los costos asociados se indican en tabla 19.7. Vemos que si el equipo funciona al comienzo del periodo y pasa a overhaul el costo total incurrido en el periodo es de 200 USD (´osea, el costo de intervenci´on asociado). Si falla durante el periodo el costo es de 1200 (la suma del costo de intervenci´on mas el de falla). El objetivo es determinar la acci´ on a tomar para que el costo global esperado para los cuatro periodos de tiempo futuros sea minimizado. La figura (19.2) muestra las probabilidad y costos asociados con las decisiones alternativas. De acuerdo a ecuaci´ on (19.3),  P  C O pO gj f1 (g) = m´ın Pj=1,N gj R R a j=1,N Cgj pgj Para overhaul, X

O O O O O O Cgj pgj = Cgg pgg + Cgf pgf

j=1,N

= 200 · 0,75 + 1200 · 0,25 = 450 Condici´ on al empezar el periodo g f

Decisi´on O R r R

Condici´on al fin del periodo g f O O = 1200 Cgg = 200 Cgf R R Cgg = 500 Cgf = 1500 Cfrg = 100 Cfrf = 1100 CfRg = 500 CfRf = 1500

Cuadro 19.2: Costos asociados

´ 19.2. OVERHAUL OPTIMO

279

overhaul

G

0.75 (200)

G

0.25 (1200)

F

0.95 (500)

G

0.05 (1500)

F

0.6 (100)

G

0.4 (1100)

F

0.95 (500)

G

0.05 (1500)

F

reemplazo

reparación

F reemplazo

n

n-1

Figura 19.2: Estudio de caso

Para reemplazo, X

R R R R R R Cgj pgj = Cgg pgg + Cgf pgf

j=1,N

= 500 · 0,95 + 1500 · 0,05 = 550 Entonces,  f1 (g) = m´ın a

450 550



overhaul reemplazar

= 450 y la mejor decisi´ on es el overhaul. Cuando i = f ,  P  Cfrj prf j reparar j=1,N f1 (f ) = m´ın P R R reemplazar C p a j=1,N f j f j   100 · 0,6 + 1100 · 0,4 = m´ın 500 · 0,95 + 1500 · 0,05 a   500 = m´ın 550 a = 500 y la mejor decisi´ on es la reparaci´ on. Con dos periodos de tiempo aun por operar la ecuaci´on (19.2) toma la forma:  f2 (i) = m´ın  a

N X j=1

a Cij · paij +

N X j=1

 f1 (j) · paij 

´ DINAMICA ´ CAP´ITULO 19. OVERHAUL/REEMPLAZO CON PROGRAMACION

280

Periodos por operar n Estado del equipo al inicio del periodo i Acci´ on a tomar al inicio del periodo a Costo esperado futuro fn (i)

4

3

2

1

g

f

g

f

g

f

g

f

O

r

O

r

O

r

O

r

1842

1900

1377

1435

912

970

450

500

Cuadro 19.3: Resultados para n = 4 Cuando i = g, O O O O O Cgg pgg + Cgf pgf + f1 (g)pO gg + f1 (f )pgf R R R R R Cgg pgg + Cgf pgf + f1 (g)pgg + f1 (f )pR a gf   450 + 450 · 0,75 + 500 · 0,25 = m´ın 550 + 450 · 0,95 + 500 · 0,05 a   912,5 = m´ın 1002,5 a



f2 (g) = m´ın



overhaul reemplazar

= 912,5 y la mejor decisi´ on es el overhaul. Cuando i = f , con dos periodos por operar:   970,0 reparar f2 (f ) = m´ın 1002,5 reemplazar a = 970 y la mejor decisi´ on es reparar. Procediendo similarmente para n = 3, 4 se construye la tabla (19.3). Si el equipo empieza el periodo funcionando Observaci´ on 82 El criterio usado por este m´etodo es el costo total. Se podr´ıa haber usado otro criterio como maximizar la disponibilidad. Si tal es el caso, deber´ıa considerarse el tiempo que toma hacer overhaul, reparar o reemplazar. En el ejemplo mostrado tal tiempo fue despreciado. Esta simplificaci´ on es razonable mientras tales tiempos sean peque˜ nos respecto de los periodos de operaci´ on, o si tales tareas pueden ser realizadas en periodos tales como los fines de semana, cuando el equipo no opera. Observaci´ on 83 En la practica, el periodo de tiempo sobre el cual se desea optimizar es muy largo. Es interesante analizar el caso cuando el numero de periodos n tiende al infinito. Ello ser´ a analizado en la pr´ oxima secci´ on. Observaci´ on 84 El m´etodo presentado en esta secci´ on asumi´ o que la condici´ on del equipo puede ser satisfactorio (g) o con falla (f ). En muchos problemas de mantenimiento puede ser necesario ser m´ as especifico. Por ejemplo, aparte de querer saber si el equipo opera o no, querr´ıamos saber cuanto tiempo ha operado el equipo desde la ultima intervenci´ on de mantenci´ on. Tambi´en se podr´ıan considerar otras acciones aparte de overhaul, reparar, reemplazar. Por ejemplo, no hacer nada o especificar varios niveles de overhaul. La inclusi´ on de tales alternativas puede ser manejada de la manera ya presentada. El mayor problema es la estimaci´ on de la matriz de probabilidades de transici´ on.

19.3.

Costos limites para overhauls

Cuando el equipo se saca de producci´ on y es enviado al taller para reparaci´on, la decisi´on debe ser tomada en funci´ on del costo estimado del overhaul, que debe ser comparado con el costo del reemplazo. El

19.3. COSTOS LIMITES PARA OVERHAULS

281

fi (c) A partir de aquí, se reemplaza

Fi(Li)

mi(Li)

Li

Costo del overhaul

Figura 19.3: Costo medio en funci´on de la edad problema es determinar costos limites para equipos de diferentes edades, frente a diferentes estimaciones de costo (usualmente, a mayor edad, mayor costo de overhaul). Tales limites son determinados de modo que minimicen el costos total esperado de la operaci´on durante un periodo fijo de tiempo. As´ı, si el equipo es enviado a overhaul la decisi´ on entre hacer overhaul o no es determinada comparando el costo real con el costo limite calculado, ´ osea, la m´ axima cantidad de dinero que debe ser gastada en el overhaul de un equipo con un cierta edad.

19.3.1.

Descripci´ on del modelo

1. n es el numero de periodos que se espera que el equipo opere 2. i es la edad del equipo al comienzo del periodo 3. j es la edad del equipo al final del periodo. Esta ser´a de i + 1 si el equipo pasa a overhaul, de lo contrario, j = 1 dado que habr´ıa sido reemplazado al principio del periodo 4. fi (c) es la funci´ on densidad de probabilidad para el costo estimado de overhaul c del equipo de edad i. Luego, la probabilidad acumulada es Z

Li

Fi (L) =

fi (c)dc 0

5. Li es el costo limite de overhaul para el equipo de edad i 6. mi (Li ) es el costo medio de overhaul del equipo de edad i con costo limite Li . Por tanto: R Li mi (Li ) = R0Li 0

cf (c)dc f (c)dc

(ver figura 19.3). 7. A es el costo de un nuevo equipo 8. fn (i) es el costo total m´ınimo esperado de reemplazar y hacer overhaul al equipo sobre n periodos, con un equipo de edad i. 9. El objetivo es determinar los costos limites Li de modo de obtener el costo total esperado m´ınimo fn (i).

282

´ DINAMICA ´ CAP´ITULO 19. OVERHAUL/REEMPLAZO CON PROGRAMACION

Costo estimado mayor que Li

j

=1

i Costo estimado menor o igual a Li n

Tiempo

j =i+1

n+1

Figura 19.4: Esquema La figura 25.4 ilustra el problema. El costo del overhaul c es estimado. Hay una probabilidad pi,i+1 de que el costo del overhaul sea menor o igual al costo limite Li , y una probabilidad pi,1 de que el costo exceda Li . Dado que el limite de costo de overhaul es excedido el equipo ser´a reemplazado, y entonces tiene edad 1 al final del periodo. Estamos asumiendo que el tiempo para realizar un overhaul o reemplazo puede ser despreciado frente al tiempo entre overhauls/reemplazo: M M T OR  M T BOR donde M T T OR es el tiempo medio para realizar un overhaul o un reemplazo, M T BOR es el tiempo medio entre overhauls o reemplazo. Definiendo Cn (i, j) como el costo esperado del primer periodo con n periodos por operar y comenzando con el equipo de edad i se obtiene que es el costo esperado del overhaul×probabilidad de que el costo del overhaul sea menor que el costo limite mas el costo de reemplazo × la probabilidad de que el costo limite sea excedido: Cn (i, j) = mi (Li )Fi (L) + A (1 − Fi (L)) y definiendo fn−1 (j) como el costo total m´ınimo sobre los siguientes n − 1 periodos por operar como la suma de: costo futuro m´ınimo si el equipo tiene edad i + 1 × probabilidad de que el costo de overhaul no fue excedido al tiempo n costo futuro esperado m´ınimo si el equipo tiene edad 1 × probabilidad de que el costo limite de overhaul sea excedido en tiempo n fn−1 (i + 1)F1 (L) + fn−1 (1) (1 − F1 (L)) Por tanto el costo total esperado sobre los restantes n periodos comenzando con equipo con edad i es fn (i) = m´ın [Cn (i, j) + fn−1 (i)] Li

(19.4)

= m´ın [mi (Li )Fi (L) + A [1 − Fi (L)] + fn−1 (i + 1)Fi (L) + fn−1 (1) [1 − Fi (L)]] Li

n≥1 con la condici´ on de inicio f0 (i) = 0 para todo i

(19.5)

Observaci´ on 85 Se considera que los valores de recuperaci´ on S son iguales en funci´ on de la edad, por lo que es irrelevante considerarlo. NdP.

19.3. COSTOS LIMITES PARA OVERHAULS

283

f(t)=1/6 f(t)

6

t

Figura 19.5: Distribuci´on rectangular

19.3.2.

Ejemplo

la distribuci´ on de costos estimada para el overhaul de un equipo de edad 1 esta distribuida uniformemente en el rango (0,6) (figura 19.5).

Cuando el equipo tiene edad 2 los costos siguen teniendo el mismo tipo de distribuci´on pero en el rango (1,7). Se asumir´ a que para mayor edad, el equipo mantiene esta distribuci´on. El costo de un nuevo equipo es 7. El problema es determinar el costo limite para overhaul sobre 2 periodos de tiempo. De la ecuaci´ on (19.4) se obtiene, con 1 periodo por operar: m´ın [m1 (L1 )F1 (L) + A [1 − F1 (L)]]

(19.6)

Li

dada la condici´on (19.5). Asumiendo que los posibles valores de control son 1,2,3,4,5 o 6 y fijando i = 1 la ecuaci´on (19.6) toma la forma:   m1 (1)F1 (1) + A [1 − F1 (1)]  m1 (2)F1 (2) + A [1 − F1 (2)]      f1 (1) = m´ın  m1 (3)F1 (3) + A [1 − F1 (3)]  (19.7) Li   ..   . m1 (6)F1 (6) + A [1 − F1 (6)] y R1 m1 (1) = R01 Z

1 dc 0 6 1

F1 (1) = 0

similarmente para los otros valores 2 a 6,  1

c 61 dc

× 16 + 7 × 56 1 × 13 + 7 × 23 3 1 1 2 × 2 +7× 2 2 1 2× 3 +7× 3 5 5 1 2 × 6 +7× 6 3×1+7×0

=

1 2

1 1 dc = 6 6





2

   f1 (1) = m´ın    

       = m´ın       

5,92 5,00 4,25 3,66 3,25 3,00

     = 3,00   

Procediendo con la manera antes descrita para i = 2, con 1 periodo por operar, f1 (2) = 4,0 y esto ocurre cuando el costo limite de overhaul es de 7,0.

284

´ DINAMICA ´ CAP´ITULO 19. OVERHAUL/REEMPLAZO CON PROGRAMACION

Edad del equipo al comenzar el periodo i Costo limite de Overhaul Li Costo total minimo esperado f1 (i)

1 6 3.0

2 7 4.0

Cuadro 19.4: Resultados Observaci´ on 86 N´ otese que solo hemos usado valores LI discretos, lo mas correcto ser´ıa evaluar en un rango continuo. La informaci´ on es resumida en la tabla 19.4. Cuando quedan 2 periodos por operar, la ecuaci´on (19.4) toma la forma f2 (i) = m´ın [m1 (L)F1 (L) + A [1 − F1 (L)] + f1 (i + 1)F1 (L) + f1 (1)[1 − F1 (L)]] Li

(19.8)

Si i = 1, y los posibles valores limites de overhaul son 1,2,3,4,5 y 6 entonces de la ecuaci´on (19.8) se obtiene   m1 (1)F1 (1) + A [1 − F1 (1)] + f1 (2)F1 (1) + f1 (1)[1 − F1 (1)]  m1 (2)F1 (2) + A [1 − F1 (2)] + f1 (2)F1 (2) + f1 (1)[1 − F1 (2)]      f2 (1) = m´ın  m1 (3)F1 (3) + A [1 − F1 (3)] + f1 (2)F1 (3) + f1 (1)[1 − F1 (3)]    ..   .     = m´ın    

m1 (6)F1 (6) + A [1 − F1 (6)] + f1 (2)F1 (6) + f1 (1)[1 − F1 (6)]   1  1 5 71 96 12 + 4 × 6 + 3 × 6  81  5 + 4 × 13 + 3 × 23    33   7  4 + 4 × 12 + 3 × 12  4   ın  11 2 1  = m´  71  = 7 + 4 × + 3 × 3  3 3 3   5 1  13  71  2 4 +4× 6 +3× 6 7 3+4×1+3×0

El m´ınimo de f2 (1) es 7 y ocurre cuando el costo limite es 6. Procediendo como se describi´ o anteriormente cuando la edad del equipo es i = 2, con n = 2 periodos y ello ocurre cuando el limite de overhaul es 6. por operar, f2 (2) = 7 11 12 Edad del equipo al comenzar el periodo i Costo limite de Overhaul Li Costo total m´ınimo esperado f1 (i)

1 6 7

2 5 7 11 12

Cuadro 19.5: Resultados De la tabla (19.5) se ve que si el equipo tiene edad 2, con 2 periodos por operar, y si el costo estimado del overhaul es menor que 6, entonces debe pasar a overhaul; caso contrario debe ser reemplazado. Observaci´ on 87 En el modelo descrito se asume que los overhauls ocurren a intervalos regulares; tambi´en que los costos incurridos y estimados de overhaul son iguales. Observaci´ on 88 Aunque en el ejemplo se consideraron solo 2 periodos (n = 2), el procedimiento se puede extender f´ acilmente para n mayores. Si n es muy grande es apropiado usar el m´etodo descrito en §F. Ejemplo 110 1 Construya una tabla de decisiones que minimice el costo global esperado de un equipo sobre un horizonte de 2 periodos de tiempo (por operar). Los estados posibles del equipo son bueno (g) o con falla (f ). Las acciones posibles de tomar al iniciar cada periodo son: overhaul (O), reparar (r), reemplazar (R), no hacer nada (z). Las tablas 19.6 y 19.7 entregan probabilidades y costos asociados.

19.3. COSTOS LIMITES PARA OVERHAULS

Condici´ on al empezar el periodo g

f

Decisi´on O R z r R z

285

Condici´on al fin del periodo g f R pO = 0,75 p gg gf = 0,25 R pgg = 0,95 pR gf = 0,05 pzgg = 0,30 pzgf = 0,70 prf g = 0,60 prf f = 0,40 pR pR f g = 0,95 f f = 0,05 z pf g = 0,0 pR f f = 1,00

Cuadro 19.6: Probabilidades asociadas Condici´ on al empezar el periodo g

f

Decisi´on O R z r R z

Condici´on al fin del periodo g f O R Cgg = 200 Cgf = 1200 R R Cgg = 500 Cgf = 1500 z z Cgg =0 Cgf = 1000 Cfrg = 100 Cfrf = 1100 CfRg = 500 CfRf = 1500 Cfzg = 0 Cfzf = 1000

Cuadro 19.7: Costos asociados De acuerdo a ecuaci´ on (19.3),  P  C O pO gj Pj=1,N gj R R  pgj f1 (g) = m´ın  Pj=1,N Cgj a z z C j=1,N gj pgj 

 450 overhaul  reemplazar 550 f1 (g) = m´ın  a 0 · 0,30 + 1000 · 0,70 nada   450 overhaul = m´ın  550  reemplazar a 700 nada = 450 y la mejor decisi´ on es hacer overhaul. Cuando i = f ,  P  C r pr reparar Pj=1,N fRj fRj f1 (f ) = m´ın  Pj=1,N Cf j pf j  reemplazar a z z nada j=1,N Cf j pf j   500  550 = m´ın  a 0 · 0 + 1000 · 1   500 = m´ın  550  a 1000 = 500 y la mejor decisi´ on es reparar. 1 de

control 3, semestre 2001-II.

´ DINAMICA ´ CAP´ITULO 19. OVERHAUL/REEMPLAZO CON PROGRAMACION

286

Periodos por operar n Estado del equipo al inicio del periodo i Acci´ on a tomar al inicio del periodo a Costo esperado futuro fn (i)

2

1

g

f

g

f

O

r

O

r

912

970

450

500

Cuadro 19.8: Resultados para n = 4 Con dos periodos de tiempo por operar la ecuaci´on (19.2) toma la forma:   N N X X a f2 (i) = m´ın  Cij · paij + f1 (i) · paij  a

j=1

j=1

Cuando i = g, O O O O O  Cgg pgg + Cgf pgf + f1 (g)pO overhaul gg + f1 (f )pgf R R R R R  pgg + Cgf pgf + f1 (g)pR + f (f )p reemplazar f2 (g) = m´ın  Cgg 1 gg gf a z z z z nada Cgg pgg + Cgf pgf + f1 (g)pzgg + f1 (f )pzgf   450 + 450 · 0,75 + 500 · 0,25 = m´ın  550 + 450 · 0,95 + 500 · 0,05  a 700 + 450 · 0,30 + 500 · 0,70   912,5 = m´ın  1002,5  a 1185



= 912,5 y la mejor decisi´ on es hacer overhaul. Cuando i = f , con dos periodos por operar:  f2 (f ) = m´ın  a

 = m´ın  a

 = m´ın  a

 970,0 reparar  reemplazar 1002,5 Cfzg pzf g + Cfzf pzf f + f1 (g)pzf g + f1 (f )pzf f nada  970,0  1002,5 1000 + 450 · 0 + 500 · 1  970,0 1002,5  1500

y la mejor decisi´ on es reparar. El programa de decisiones se muestra en tabla 19.8. Ejemplo 111 2 La inversi´ on inicial para un cierto equipo cr´ıtico es de 100 KUSD. Se estima que el costo de un overhaul para un equipo es un valor aleatorio (depende del estado del equipo) de tipo Gaussiano con par´ ametros: µ = 10 + 2t σ=2 2 control

2, semestre 2002-I.

19.4. COMENTARIOS FINALES

287

las unidades son KUSD y t corresponde al tiempo de operaci´ on en a˜ nos. Actualmente el equipo lleva 5 a˜ nos operando. Se desea conocer el costo m´ aximo aceptable para un overhaul cuando el equipo tiene 5 a˜ nos (ahora) y cuando tenga 6 a˜ nos. Un overhaul solo puede ser realizado en baja temporada, una vez al a˜ no. El proveedor solo ofrece respaldo de repuestos por 2 a˜ nos m´ as por lo que el equipo ser´ a obligatoriamente reemplazado cuando tenga 7 a˜ nos. (La nueva tecnolog´ıa tiene el mismo valor inicial y costos de operaci´ on y mantenci´ on).

19.4.

Comentarios finales

Hemos presentado un modelo de Markov en tiempo discreto que permite minimizar el costo global esperado considerando un set restringido de acciones a tomar en cada instante discreto del an´alisis. Notamos que las probabilidades de transici´on y los costos de ejecutar las intervenciones son independientes de la edad del equipo, lo que podr´ıa ser considerado para a˜ nadir los efectos de la etapa de envejecimiento del equipo en el an´ alisis. Ello fue considerado en el modelo para el costo limite de overhaul, donde gracias al criterio usado se pudo calcular las probabilidades de transici´on y los costos esperados; haciendo mas realista el an´ alisis. En anexo F se describe un modelo que utiliza un intervalo de tiempo infinito.

288

´ DINAMICA ´ CAP´ITULO 19. OVERHAUL/REEMPLAZO CON PROGRAMACION

Bibliograf´ıa [1] A.K.S. Jardine.Maintenance, Replacement and Reliability. Ch.6, Pitman Publishing, 1973. [2] H. Taha, Investigaci´ on de Operaciones, una introducci´ on, 6ta ed., Prentice Hall, 1998.

289

290

BIBLIOGRAF´IA

Cap´ıtulo 20

Overhaul/reemplazo con programaci´ on no lineal 20.1.

Introducci´ on

En este capitulo estudiamos la estrategia de decisi´on cuando un equipo puede ser reparado (queda tan bueno como antes de la falla), pasar a overhaul (queda en alg´ un punto entre como nuevo y tan bueno como antes de la falla)o ser reemplazado (nuevo). Se presenta un modelo matem´atico para describir las mejoras en la tasa de falla cuando se realiza overhaul; ello permite plantear modelos de costo que permiten determinar el periodo ´ optimo entre overhauls y el numero ´optimo de los mismos durante un ciclo adquisici´ on-uso-reemplazo. Con los resultados anteriores es posible determinar la duraci´on ´optima entre reemplazo y reemplazo. Consideraremos que una reparaci´ on no afecta la tasa de fallas del equipo; que un overhaul logra que el equipo sea mejor que antes pero no tan bueno como nuevo; y que un reemplazo tambi´en puede ser considerado como un overhaul extremo en el cual el equipo queda como nuevo.

20.2.

Overhaul ´ optimo tasas de fallas con crecimiento exponencial

20.2.1.

Descripci´ on del modelo

el sistema est´ a sujeto a tres tipos de acciones: reparaci´on m´ınima, overhaul, reemplazo; con diferentes costos; el sistema es reparado cuando falla; el sistema es renovado luego de un cierto tiempo; el sistema recibe m overhauls a lo largo de su vida; el periodo entre overhauls Ts es constante; un overhaul mejora el sistema en t´erminos de la tasa de fallas, una reparaci´on solo retorna al equipo a la condici´ on justo antes de la falla; el tiempo gastado en reparaciones y overhauls es despreciable; El costo una reparaci´ on es cm ; El costo de un overhaul es co ; El costo de un reemplazo es cr ; ˆ La tasa de fallas con overhauls peri´odicos es λ(t); La tasa de fallas si no se efect´ uan overhauls es λ(t); 291

s de intervenciones

´ NO LINEAL CAP´ITULO 20. OVERHAUL/REEMPLAZO CON PROGRAMACION

292

T

de iones as

λ(t)

0.6

0.4

0.2

0

e antiguo”

k-1 0

50

k 100

150

200

Tiempo

250

300

350

400

Figura 20.1: Proceso de envejecimiento es una funci´on del periodo anterior

0.6

ueno como

λ(t)

0.4 0.2 0 0

50

100

150

200

250

Tiempo

300

350

400

Figura 20.2: Proceso de envejecimiento con p general Se desea determinar el numero de overhauls m y su periodo s que minimice el costo global esperado por unidad de tiempo, cg . El modelo para la mejora en la tasa de fallas que se propone asume que la tasa de fallas tras un overhaul se ubica entre la tasa de fallas de un equipo tan malo como antes de la falla y la tasa de fallas de un equipo tan bueno como antes de hacer el overhaul anterior con alg´ un factor de mejora p. La tasa de fallas es un indicador crucial para establecer la condici´on del equipo. Sea λk−1 (t) la tasa de fallas justo antes del overhaul, y λk (t) la tasa de fallas inmediatamente despu´es de un overhaul. Sea p ∈ [0, 1] el factor de mejora. La tasa de fallas del sistema es mejorado en un factor p si para todo instante t tras el overhaul, λk (t) = pλk−1 (t − Ts ) + (1 − p)λk−1 (t)

(20.1)

(ver figura 20.1). En una situaci´ on general se d´ a un envejecimiento como el mostrado en figura 20.2. Si el factor de mejora p es 0, entonces λk (t) = λk−1 (t) o sea, la tasa de fallas es igual a la de antes de hacer overhaul, y el overhaul es equivalente a realizar mantenci´on m´ınima (pero seguramente con mayor costo global, ver figura 20.3). Si el factor de mejora p es 1, λk (t) = λk−1 (t − Ts ) el overhaul restaura el sistema a la condici´on del periodo anterior, y por tanto es equivalente a un reemplazo (figura 20.4).

Overhaul “tan bueno como antes” p=0 ´ 20.2. OVERHAUL OPTIMO TASAS DE FALLAS CON CRECIMIENTO EXPONENCIAL

λ(t)

293

0.6

0.4

T

0.2

Tasa de fallass con overhaul perfecto Tiempo p=1 Figura 20.3: Proceso de envejecimiento con p = 0

0

λ(t)

0

50

100

150

200

250

300

200

250

300

350

400

0.6

0.4

Ts

0.2

0

0

50

100

150

Tiempo

350

400

Figura 20.4: Proceso de envejecimiento con p = 1

Obs: en este modelo no hay vejez Observaci´ on 89 Dado que asumimos que en todos los periodos la calidad del overhaul p permanece constante, el periodo s tambi´en lo es. Observaci´ on 90 El concepto de factor de mejora p es aplicable a otro tipo de intervenciones peri´ odicas de mantenci´ on. Observaci´ on 91 Este modelo no permite modelar la infancia del equipo; en donde el equipo tiende a bajar su tasa de fallas hasta llegar a la madurez. Seria interesante corregir el modelo para modelar toda la vida (curva de la ba˜ nera). N dP . Observaci´ on 92 Hay modos de falla que aunque presenten β > 1 no implican envejecimiento en el largo plazo (p = 1, la situaci´ on observada en figura 20.4), por ejemplo, cualquier componente de desgaste o de sacrificio: rodamientos, recubrimientos, etc. El costo total esperado entre un reemplazo y el siguiente es ˆ cr + co (n − 1) + cm H(nT s) ˆ donde H(t) es el numero esperado de fallas en el intervalo de tiempo [0, t) Z t ˆ ˆ H(t) = λ(x)dx

(20.2)

o

Observaci´ on 93 No se ha considerado el valor de recuperaci´ on del equipo de edad nTs . NdP. Observaci´ on 94 Un modelo alternativo para la tasa de fallas podria estar basado en una tasa de fallas de referencia λ0 (t) donde t = 0 represente el estado como nuevo y donde aun no se ha realizado ningun overhaul. Si seguimos considerando intervalos entre overhauls constantes Ts , la tasa de fallas del k−esimo ciclo podria ser descrita como λk (t) = φ(kTs , p)λ0 (t − kTs )

´ NO LINEAL CAP´ITULO 20. OVERHAUL/REEMPLAZO CON PROGRAMACION

294

donde p es un set de parametros que determinan como crecera φ en el tiempo. φ es una funcion escalonada con valor constante en cada intervalo k. φ es dependiente del nivel de mantenimiento m.Para el primer periodo (k = 0) φ debe valer 1, y luego crecer´ a de alguna forma determinada por p, por ejemplo φ(t) = eαl t  φ(t) = 1 +

t ηl

βl −1

Si queremos calcular el numero de fallas duraun un ciclo de vida del equipo: Z nTs ˆ ˆ H(nTs ) = λ(x)dx o

=

n Z X k=0

o

Z

Ts

Ts

φ(kTs , p)λ0 (x)dx !

=

λ0 (x)dx o

n X

φ(kTs , p)

k=0

Cabe la pregunta si no daran resultados muy similares el enfoque global mostrado en el capitulo de garantias. Se puede demostrar1 ˆ H(nT s) =

 n  X n pn−i q i−1 H(iTs ) i

(20.3)

i=0

donde H(nTs ) es el numero esperado de fallas en la vida del equipo [0, nTs ) si no se realiza overhaul: Z t λ(x)dx H(t) = 0

Observaci´ on 95 Se asume que el equipo sigue solo una ley λ(t) durante toda su vida. NdP. Observaci´ on 96 El calculo de 20.3 a partir de la ecuaci´ on 20.2 puede ser engorroso. A continuaci´ on se presentan resultados para distribuciones de falla especificas. Si la tasa de fallas sigue la ley λ(t) = eα0 +α1 t , α1 > 0 ˆ y H(nT s ) toma la forma: ˆ H(nT s) =

eα0



p + qeα1 Ts qα1


n

(20.4) −1

 (20.5)

y el costo global esperado por unidad de tiempo cg (n, Ts ) cuando el sistema pasa n − 1 overhauls durante su vida, con intervalo Ts es n

cg (n, Ts ) =

cr + co (n − 1) + cm eα0 nTs

[(p+qeα1 Ts ) qα1

−1]

(20.6)

con las restricciones: n≥1 Ts > 0

(20.7)

Observaci´ on 97 Notese la indeterminaci´ on cuando q = 0. Al parecer, si co no sube al mejorar p, este debe ser maximizado para minimiza cg (n, Ts ). 1 ver

ref. [2].

´ 20.2. OVERHAUL OPTIMO TASAS DE FALLAS CON CRECIMIENTO EXPONENCIAL

20.2.2.

295

Caso especial: p = 1

Si el equipo no est´ a sujeto a envejecimiento en el largo plazo (solo lo hay en el corto plazo, ver figura 20.4) y se tiene una tasa de fallas de referencia del tipo (20.4), se tiene que el numero de fallas durante un intervalo Ts es Z Ts ˆ s) = H(T λ(t)dt 0

Z

Ts

= 0 α0

=

e

eα0 +α1 t dt
eα1 Ts − 1 α1

todos los periodos son iguales con respecto a su tasa de fallas luego en promedio habran
eα0 eα1 Ts − 1 α1 Ts fallas por periodo Ts y por tanto α0

e ˆ H(nT s) = n


eα1 Ts − 1 α1

y la funci´ on de costo queda cg (n, Ts ) =

20.2.3.

cr + co (n − 1) + cm n

eα0 (eα1 Ts −1) α1

(20.8)

nTs

Ejemplo num´ erico

Los costos de mantener un sistema son: cr = 200 KUSD/intervenci´on co = 8 KUSD/intervenci´on cm = 2 KUSD/intervenci´on la tasa de fallas sigue la siguiente ley λ(t) = e−15+0,01t , t en d´ıas Entonces cg (n, Ts ) =

200000 + 8000 (n − 1) + 2000e−15 nTs



p + qe0,01Ts


n

 − 1 / (0,01q)

Para un factor de mejora p = 0,7 se obtienen los siguientes valores n∗ = 11 Ts∗ = 195,6 dias cg (n∗ , Ts∗ ) = 138,7 USD/d´ıa Los resultados pueden ser interpretados as´ı: el intervalo ´optimo para overhaul es de 195.6 d´ıas; el sistema debe ser reemplazado cada 11 · 195,6 = 2156 d´ıas; el costo global diario es 138,7 USD/d´ıa. En tabla 20.1 se muestran resultados del an´ alisis de sensibilidad sobre p. La hoja EXCEL utilizada se puede bajar de http://www.cec.uchile.cl/ rpascual/me57a/zhang98.xls. La figura (20.5) muestra en un gr´ afico bilineal el comportamiento de la tasa de falla para p = 0,7. A fin de observar detalles, se muestra el mismo gr´afico en escala semilogar´ıtmica (20.6). Notese que la tasa de fallas pronosticada por el modelo cambia 8 ordenes de magnitud durante la vida del equipo. Ello apunta a que valores de p tan bajos son irrealistas. Ademas se observan las discontinuidades en la tasa de falla

´ NO LINEAL CAP´ITULO 20. OVERHAUL/REEMPLAZO CON PROGRAMACION

296

80 Zhang'98 (p=0.7) Ajuste Weibull Ajuste exponencial

70

60

λ

50

40

30

20

10

0

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

Tiempo (dias)

Figura 20.5: Tasa de fallas para p = 0,7 y ajuste de Weibull de 2 par´ametros p 0.5 0.6 0.7 0.8

n∗ 6 8 11 15

Ts∗ 260.3 223.3 195.6 186.2

cg (n∗ , Ts∗ ) 165.1 153.9 138.7 118.5

Cuadro 20.1: An´alisis de sensibilidad tras cada overhaul.Adicionalmente se muestra el ajuste de Weibull obtenido a partir de la minimizaci´on del error cuadr´ atico sobre la tasa de fallas. Los par´ametros ajustados son β = 21,54 y η = 1422 dias. El comportamiento lineal de la tasa de fallas en el grafico semilogartimico sugiere el ajuste exponencial. Los par´ametros obtenidos son α0 = −15,99 y α1 = 0,092. El modelo de Weibull se ajusta mal al periodo inicial. El modelo exponencial anda mejor en general pero se despega un poco en el lado derecho. En una primera ocasi´ on el problema fue resuelto con el solver AIMMS. Los detalles se muestran en §G.

20.2.4.

Mejoras al modelo

2

Es natural pensar que el costo de un overhaul es una funci´on creciente con la calidad p y con la edad (a trav´es de la tasa de fallas, por ejemplo); aqu´ı consideraremos que tal costo crece en forma exponencial ˆ k , luego para el k-esimo periodo: con p y que es proporcional a λ ˆ k (kTs ) co (k) = eα2 p+α3 λ y se tiene que ˆ k (kTs ) = λ

h

eα0

p + qeα1 Ts


k

i −1

qα1

y (20.6) es corregida para considerar los cambios en el costo de overhaul, α2 p+α3

cr + e cg (n, Ts ) = 2 NdP,

octubre 2002.

n−1 P eα 0 k=1

h

k

(p+qeα1 Ts ) qα1

nTs

−1

i

n

+ cm eα0

[(p+qeα1 Ts )

−1]

qα1

(20.9)

´ 20.2. OVERHAUL OPTIMO TASAS DE FALLAS CON CRECIMIENTO EXPONENCIAL

2

10

Zhang'98 (p=0.7) Ajuste Weibull Ajuste exponencial

1

10

0

10

-1

10

-2

λ

10

-3

10

-4

10

-5

10

-6

10

-7

10

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

Tiempo (dias)

Figura 20.6: Tasa de fallas para p = 0,7 y ajuste de Weibull de 2 par´ametros

Zhang98 Cr Co Cm p q α0 α1 n Ts sds

200000 8000 2000 0.7 0.3 -15 0.01 10.995 195.69 138.67

1 0 on para α = 1, η0 = 2. La figura (21.2) muestra la relaci´ Para un nivel dado de mantenimiento se tiene: β

F (t, m) = 1 − e−( ηm ) t

CAP´ITULO 21. PERIODOS DE GARANT´IA

314

m 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

cm 0 50 100 150 240 350

Cuadro 21.1: Costos preventivos por unidad de tiempo en funci´on de m adem´as, λ(t, m) =

β β ηm

tβ−1

y el numero esperado de fallas en un intervalo [t0 , t1 ] es 

t1 ηm

β

 −

t0 ηm

β

Usando las ecuaciones (21.1)-(??), el costo esperado para el comprador son: !  Cr  β β CB,a = T − T w l η0β !  Cr  β β CB,b = T − T w + cm Tl l η0β " ! ! #   1 1 1 β CB,c = Cr βTwβ−1 − β (Tl − Tw ) + Tl − Twβ + cm (Tl − Tw ) η0β ηm η0β Y para el fabricante (ecuaciones 21.4 y 21.5),  CM,a = CM,c = Cr  CM,b = Cr

21.5.

Tw ηm

Tw η0

β

β

Ejemplo

Tomaremos el ejemplo de la referencia [2].Los par´ametros son: Tw = 2 ut Tl = 5 ut β=3 η0 = 2 ut α=1 Cr = 20 $ El costo de las intervenciones preventivas por unidad de tiempo se considera una funci´on de m seg´ un tabla (21.1). A fin de simplificar los c´ alculos se ajusto una parabola por m´ınimos cuadrados (ver figura 21.3). el polinomio queda: cm = 6,43 + 26,64m + 8,21m2

´ PREVENTIVA 21.6. CONSIDERANDO 2 NIVELES DE MANTENCION

315

4

10

data polinomio exponencial

3

cm

10

2

10

1

10

0

10

0

.1

.2

.3

.4

.5

m

Figura 21.3: Ajuste con parabola y con exponencial tambi´en se ensay´ o una exponencial de la forma cm = eρm − 1 sin embargo el error cuadr´ atico es bastante mayor que con el ajuste de parabola. En la referencia se restringe m a valores enteros en el rango [0, 0,5]. La tabla Excel se puede bajar desde aqu´ı.

21.6.

Considerando 2 niveles de mantenci´ on preventiva

Extenderemos el modelo propuesto en § para considerar mantenimiento preventivo con nivel m1 durante la garant´ıa y de nivel m2 a partir de ese instante. Estudiaremos los costos incurridos tanto por parte del comprador como por el proveedor1 . El caso estudiado sera denominado caso d. Para el caso d tenemos:  λm1 (t) para t ∈ (0, Tw ) λ(t, m) = [λm1 (Tw ) − λm2 (Tw )] + λm2 (t) para t ∈ (Tw , Tl ) Los costos por mantenimiento preventivo durante la vida del equipo son, para este caso: Cp,d (m1 , m2 ) = cm1 Tw + cm2 (Tl − Tw ) El costo global durante la vida del equipo para el comprador es la suma del costo preventivo m´as el costo de mantenimiento correctivo en el periodo post-garant´ıa. Para el caso d: Z Tl CB,d (m1 , m2 ) = cm1 Tw + cm2 (Tl − Tw ) + Cr ([λm1 (Tw ) − λm2 (Tw )] + λm2 (t)) dt (21.6) Tw

Por otro lado, el costo esperado para el fabricante por unidad, es la suma de los costos de reparaciones durante el periodo de garant´ıa. Para los casos d, Z Tw CM,d = Cr λm1 (t)dt (21.7) 0 1 Control

3, 2003-I.

CAP´ITULO 21. PERIODOS DE GARANT´IA

316

21.6.1.

Modelo de Weibull

Si aplicamos el modelo de Weibull propuesto en §21.4, tenemos Z

Tl

CB,d (m1 , m2 ) = cm1 Tw + cm2 (Tl − Tw ) + Cr

([λm1 (Tw ) − λm2 (Tw )] + λm2 (t)) dt (21.8) T w      1 1 1 β β−1 β − β (Tl − Tw ) + Tl − Tw = cm1 Tw + cm2 (Tl − Tw ) + Cr βTw β β ηm ηm2 ηm 1 2 Tw

Z CM,d = Cr

λm1 (t)dt

(21.9)

0

 = Cr

21.7.

Tw ηm1

β

Modelo con costo por unidad de tiempo

2 En el modelo anterior se consider´ o la vida del equipo como un par´ametro conocido. Sin embargo, es natural pensar que la vida del equipo est´e determinada tambi´en por su historial de fallas, de costos y valores residuales. Sup´ ongase que el valor de recuperaci´on de un equipo depende solo de su edad t,

R(t) = Ae−θt θ≥0 donde A es la inversi´ on inicial. Se desea estimar el intervalo ´optimo entre reemplazos que permita minimizar el costo global medio por unidad tiempo (para el comprador), siendo que el proveedor ofrece un periodo de garant´ıa Tw . Para el caso considerado, aparte de los costos de intervenci´on y falla durante la vida del equipo, debemos tomar en cuenta los valores de inversi´on y recuperaci´on, que ocurren en cada ciclo de vida. Para simplificar el modelo consideraremos un solo nivel de mantenimiento sobre la vida del equipo, m (su extensi´ on a multiples niveles es sencilla). El costo global para cada ciclo de vida,para el comprador, considera (extendemos el costo propuesto en ecuaci´on 21.2): Z

Tl

λm (t)dt + A − R(t)

Cg (Tl ) = cm Tl + Cr

(21.10)

Tw

como Tl es ahora una variable, el problema de minimizar (21.10) es trivial con Tl = 0 para solventar la situaci´ on utilizamos la funci´on objetivo alternativa: Z

Tl

cm Tl + Cr cg , b(Tl ) =

λm (t)dt + A 1 − e−θt

Tw

Tl


(21.11)

con la restricci´ on Tl ≥ Tw

(21.12)

Notamos que el problema es no lineal. Si aplicamos el modelo de Weibull propuesto en §21.4 obtenemos:   
β Cr β T − T + cm Tl + A 1 − e−θt β w l η0 cg , b(m) = Tl 2 examen

2003-I.

´ 21.8. PROVEEDOR PAGA SOLO COSTOS DE INTERVENCION

317

Observaci´ on 104 El modelo anterior considera Tw como un par´ ametro. Seria interesante proponer un modelo donde se extienda plazo de garant´ıa ∆Tw por el pago de un monto extra ∆A (contrato de servicio). ∆A es una funci´ on de ∆Tw , propuesta por el proveedor. Observaci´ on 105 Hemos descartado a priori que la vida del equipo sea menor que el plazo de garant´ıa. Ello se justifica pues usualmente Tw  Tl si no es el caso, basta con a˜ nadir la funci´ on indicadora ITl >Tw al objetivo (25.5): Z

Tl

λm (t)dt + A 1 − e−θt

cm Tl + ITl >Tw · Cr




Tw

cg , b(Tl ) =

Tl

y relajar la restricci´ on (21.12).

21.8.

Proveedor paga solo costos de intervenci´ on

3

Una condici´ on que puede no ser valida en muchos casos es que el proveedor pague los costos de falla asociados a las panas durante el periodo de garantia. Adem´as, es com´ un que dentro del contrato se especifique que se deben realizar mantenimientos preventivos periodicos durante el intervalo en garantia para que el contrato sea valido. Consideremos que se realizan n intervenciones obligatorias en [0, Tw ], con un costo Crp c/u. en tal caso, desde el punto de vista del comprador tenermos los siguientes costos acumulados durante la vida del equipo: Para el caso a0 : Z Tw CB,a0 = Cf,r λrp (t)dt + nCrp + (21.13) 0

Z

Tk

([λrp (Tw ) − λm (Tw )] + λrp (t)) dt

Cr

(21.14)

Tw

Para el caso b0 , Tw

Z

Z

CB,b0 (m) = Cf,r

Tl

λm (t)dt + +nCrp + cm Tl + Cr 0

λm (t)dt

(21.15)

Tw

Para el caso c0 , Z

Tw

λrp (t)dt + cm (Tl − Tw ) + nCrp +

CB,c0 (m) = Cf,r

(21.16)

0

Z

Tk

([λ0 (Tw ) − λm (Tw )] + λm (t)) dt

Cr

(21.17)

Tw

y aparece la opci´ on de no tomar la garantia (que puede ser rentable para el comprador).

21.9.

Comentarios finales

Los autores del modelo original proponen las siguiente extensiones al modelo presentado: Un efecto natural del mantenimiento preventivo es extender la vida Tl del equipo. Ello puede ser modelado con una relaci´ on con el nivel de mantenci´on m. Se han considerado reparaciones m´ınimas, el mantenimiento correctivo podr´ıa dejar al equipo como nuevo. 3 control

3, semestre 2003-II

CAP´ITULO 21. PERIODOS DE GARANT´IA

318

Se podr´ıan estudiar estrategias de incentivo. Se ha considerado un nivel de mantenimiento constante a lo largo de la vida del equipo que no considera su edad. Se ha modelado el mantenimiento como un proceso continuo. Aparece la oportunidad de realizar overhauls en instantes discretos en el tiempo. Otras posibles mejoras pueden ser (NdP ): Utilizar otros modelos de distribuci´ on de fallas mas generales que Weibull que permitan representar bien las 3 etapas en las vida de un equipo. Por ejemplo, un modelo de Dhillon. Considerar el valor del dinero en el tiempo. Considerar la extensi´ on del intervalo de garant´ıa como variable de decisi´on, en funci´on de la tasa de fallas observada durante el intervalo inicial. En general las garant´ıas no incluyen el costo de falla asociado al mantenimiento correctivo, luego los modelos de costos presentados (21.1-21.3 por ejemplo) subestiman el costo global para el comprador. Hemos dado una extensi´ on sencilla al modelo al considerar que durante el intervalo con garant´ıa se realice un nivel de mantenci´ on y luego se aplique otro (§21.6). Adem´as hemos extendido el modelo al considerar la vida Tl como una variable de decisi´on y as´ı atacar el problema del reemplazo (§21.7).

Bibliograf´ıa [1] Blischke, W. and Murthy, D. Warranty Cost Analysis, Marcel Dekker, New York, 1994. [2] Murthy, D and Blischke, W., Strategic Warranty Management: A Life-Cicle Approach, IEEE Transactions on Engineering Management, 47(1)40-54, 2000. [3] Djamaludin, I. and Murthy, D. Warranty and Preventive Maintenance, International Journal of Reliability, Quality and Safety Engineering, Vol. 8, No. 2, 89-107, 2001. [4] D.N.P. Murthy, I. Djamaludin, New product warranty:A literature review, International Journal of Production Economics, 79,231–260, 79, 231–260, 2002.

319

320

BIBLIOGRAF´IA

Cap´ıtulo 22

Gesti´ on de repuestos A continuaci´ on veremos varios criterios para fijar de manera optima tama˜ nos de pedido, periodo entre pedidos, niveles de seguridad y de alarma. Primero consideraremos una optimizaci´on desde el punto de vista de bodega; luego del costo global de mantenci´on. Los costos asociados a repuestos son: El costo de adquisici´ on, vale decir, el costo de cursar las ordenes de compra, el costo de compra, el costo de propiedad, que incluye los costos de almacenamiento, seguros, intereses no devengados. el costo de falla, por no disponibilidad y su efecto en la producci´on.

22.1.

Minimizaci´ on del costo global sin considerar costos de falla

Los costos dependen de los siguientes par´ametros: k, la demanda estimada por unidad de tiempo (numero de items); q, numero de items ordenados en cada orden de compra; np , numero de pedidos por unidad de tiempo; pu , precio unitario; i, tasa de inter´es, aplicada al promedio de stock por unidad de tiempo; Cad , costo de adquisici´ on (por orden). Costo de adquisici´ on Este depender´ a del numero de requisiciones hechas a un mismo proveedor; y de la cantidad de items solicitada en cada pedido. Los costos de adquisici´on se pueden subdividir en: compras; manejo de repuestos; recepci´ on, control de calidad; almacenamiento; contabilidad. 321

´ DE REPUESTOS CAP´ITULO 22. GESTION

322

Obviamente, k = qnp y el costo total de adquisici´ on es: Cad,T = Cad np = Cad

k q

Costo de almacenamiento Este costo indica los retornos financieros de una posible reducci´on de capital en bodega. Est´a compuesto por: intereses sobre el capital; costos de almacenamiento: espacio f´ısico, seguros, considerados por unidad de tiempo y por valor unitario. El costo de almacenamiento es expresado a traves de la tasa i. Si asumimos que el consumo es regular y que se repone stock en tanto se acaba, entonces el promedio de unidades en bodega es 12 q, y el valor promedio es de 1 qpu 2 el costo de almacenamiento es

1 qpu i 2

(ver figura 22.1). Observaci´ on 106 Una forma m´ as exacta de evaluar el valor del costo de almacenamiento considera el uso de una tasa continua, tal que un flujo unitario ocurrido en t valga e−θt en el instante t = 0. El valor actualizado del costo de almacenamiento para el periodo de compra-consumo T ser´ıa:  Z T  t qp 1 − e−θt dt T 0 como T = q/k, queda

 p  −θq e k + qθ − k θ

la equivalencia entre i y θ es 1 + i = eθ Observaci´ on 107 N´ otese que las ofertas por fidelidad y volumen no se incluyen en este an´ alisis. De lo anterior, el costo global por unidad de tiempo es (sin considerar costos de falla): cg = kpu +

k 1 Cad + qpu i $/ut q 2

(22.1)

o por periodo, cg,T = T cg q = cg k = Cad + pu q +

1 pu i 2 q 2 k

Observaci´ on 108 Notese que usualmente el valor de repuestos kpu es considerado en el costo de intervenci´ on de cada orden de trabajo. Ac´ a se est´ a analizando desde el punto de vista de bodega, exclusivamente.

´ DEL COSTO GLOBAL SIN CONSIDERAR COSTOS DE FALLA 22.1. MINIMIZACION

323

Q

Nivel medio de stock

Ss T1

T3 tiempo

T2

Figura 22.1: Nivel de stock: tasa de consumo constante, pedidos a intervalos regulares A fin de encontrar una cantidad ´optima qw que minimice cg , aplicamos −k

dcg dq

= 0:

Cad 1 + pu i = 0 2 q 2

Con lo cual se llega a la formula de Wilson: s qw =

2kCa d pu i

y el periodo entre pedidos: Tw =

(22.2)

qw k

(22.3)

Ejercicio 12 Supongase que la demanda estimada de un item es de 55 unidades/a˜ no. El costo de adquisici´ on es de 100 $/pedido. El precio es de 20 $/unidad. La tasa de inter´es financiera es de 15 % anual. Calcule el tama˜ no de pedido ´ optimo y su frecuencia. Rta: qw = 60 unidades/pedido, Tw = 13 meses. Ejercicio 13 Para el ejercicio anterior, construya una curva de tama˜ no de pedido ´ optimo y periodo entre pedidos versus el consumo estimado anual.

22.1.1.

Mejoras al modelo

1

Tomemos en cuenta el valor del dinero en el tiempo. Para ello consideremos que un flujo ocurrido en el instante t tiene un valor en t = 0 de e−θt Como una simplificaci´ on diremos que los flujos ocurridos en el n-esimo ciclo de compra-consumo ocurren al inicio del periodo. Tenemos entonces que el costo total actualizado para un periodo infinito es Cg,∞ (q) = =

∞ X n=0 ∞ X

cg,T e−θT n q

cg,T e−(θ k )n

n=0

donde cg es la suma de flujos por unidad por periodo (ecuaci´on 22.1). Aprovechando la identidad, ∞ X n=0 1 control

3, semestre 2003-II.

e−αn =

e−α e−α − 1

´ DE REPUESTOS CAP´ITULO 22. GESTION

324

4

5

x 10

4.5

Costo global (en $de t=0)

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

50

100

150

Tamaño de lote

Figura 22.2: Costo global acumulado y actualizado a t = 0 (´optimo en q = 583). Tenemos entonces,  Cg,∞ (q) =

1 pu i 2 Cad + pu q + q 2 k



θ

ekq θ

ekq − 1 La figura (22.2) muestra un estudio de Cg,∞ para el ejemplo (12). Hemos considerado que el costo de almacenamiento tiene la misma tasa de descuento, se tiene que eθ = 1 + i de la que se despeja el valor de θ, θ = 0,1398 El optimo se encuentra para q ∗ = 42 unidades luego 42 55 = 0,76 a˜ nos ≈ 9 meses

T∗ =

22.2.

Minimizaci´ on del costo global (sin costo de falla), con demora

Est´e m´etodo fija un nivel de alarma sobre la cantidad presente de items. Al activarse al alarma se hace un pedido que es satisfecho con una cierta demora Td . El nivel de alarma se fija en funci´on de como la demanda varia en el tiempo. Ello implica un estudio estad´ıstico. Aqu´ı se estudiar´a el caso de una distribuci´on normal y el de una de Poisson. Se define tambi´en un nivel cr´ıtico de stock xs debajo del cual no se debe estar. Se asumir´ a que las variaciones de Td son insignificantes con respecto a las de la demanda. El consumo medio durante la demora es cd (figura 22.3). De lo anterior, el nivel de alarma xw se debe fijar en: xw = xs + cd

´ DEL COSTO GLOBAL (SIN COSTO DE FALLA), CON DEMORA 22.2. MINIMIZACION

325

MTBF

Q

Nivel de alarma

d

tiempo

Figura 22.3: Pedidos con nivel de alarma Distribuci´ on Gaussiana ¯ σ la media y la desviaci´ Sea C, on standard del consumo por unidad de tiempo, entonces se fija la alarma seg´ un: √ ¯ + βσ d xw = Cd donde β se escoge de modo que la probabilidad de caer debajo de xs sea lo suficientemente baja. √ Observaci´ on 109 N´ otese que se utiliza Td para tener en cuenta que la desviaci´ on standard est´ a dada para una unidad de tiempo y no Td unidades de tiempo. Distribuci´ on de Poisson ¯ el consumo promedio durante la demora Td . La probabilidad de que el consumo no Sea λ = Cd exceda n items durante ese periodo es: P (consumo ≤ n) =

n X e−λ λi i=0

i!

Observaci´ on 110 Si al momento de hacer el pedido aun quedan xz items sobre el nivel de advertencia xw , la orden es corregida a x0 = qw − xz El m´etodo tiene las siguientes ventajas y desventajas: Da alta seguridad de no quedarse sin stocks; el nivel de alarma debe ser constantemente corregido para tomar en cuentas cambios en el consumo de los items, as´ı como en las demoras; En general, tiene el efecto de aumentar el numero de ordenes a un proveedor. Observaci´ on 111 Se ha considerado que la demora es constante; sin fluctuaciones. Observaci´ on 112 El m´etodo es usado en 80 % de los casos [9]. Ejemplo 114 El consumo de un cierto item es:

´ DE REPUESTOS CAP´ITULO 22. GESTION

326

Figura 22.4: Distribuci´on gaussiana Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic 20 30 25 15 30 10 35 40 25 40 15 Cada item cuesta 50 US$. El costo asociado a cada orden es de 700 USD; los costos de propiedad suman 30 % sobre el valor de las existencias. La demora en recibir el producto tras hacer el pedido es de 1 mes. Optimice el stock de modo de tener una probabilidad de quedar sin existencias de un 5 %. Usando la formula (22.2): qw =

p

2 · 285 · 700/50 · 0,30 = 163

El consumo medio es de 285/11 = 26 y la desviaci´on standard es 10,2. Asumiendo una distribuci´on Gaussiana, y para una probabilidad de 95 % de que el nivel de stock no exceder esta variaci´on de la media, ello corresponde a 1.645 veces la desviaci´on standard; asumiendo una distribuci´on Gaussiana: xw = 26 × 1 + 1,645 × 10,2 ×

√

1 = 43

Ejemplo 115 El problema es como manejar el stock con un 5 % de riesgo, dado el siguiente patr´ on: Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 Con n´ umeros tan peque˜ nos, se asume una distribuci´on de Poisson; la media es λ = 0,50 y entonces de la tabla de esta distribuci´ on, el riesgo de 5 % corresponde a un tama˜ no de stock m´ınimo de 1 < β < 2; por lo que ser seleccionan 2 items.

´ DEL COSTO GLOBAL CONSIDERANDO EL COSTO DE FALLA 22.3. MINIMIZACION

327

Q

0 aT

r T

tiempo

Figura 22.5: Situaci´on stock 0

22.2.1.

Intervalo fijo

Este m´etodo considera la planificaci´on de las fechas en las cuales se hacen ordenes de compra, pero las cantidades fluct´ uan de acuerdo a las necesidades. Para fijar las fechas se utiliza la formula de Wilson (22.2). El calculo de Tw no considera sin embargo la demora en la entrega Td . Para considerar esto se debe tomar en cuenta el consumo durante la demora ¯ donde C¯ corresponde a la tasa de consumo promedio (unidades/unidad de tiempo). Una segunda Cd, correcci´ on considera los items que no fueron pedidos al momento de hacer el pedido (xz ) con lo cual: ¯ d + Te ) − xz Cantidad ordenada=C(T La ventaja de esta estrategia es que simplifica el proceso de compras. La desventaja es que hay riesgo de quedar sin stock si la demanda crece repentinamente. El m´etodo es usado en un 10 % de los casos, para items de reposici´ on frecuente.

22.3.

Minimizaci´ on del costo global considerando el costo de falla

Sea cf el costo de falla incurrido por la falta de un item en bodega, por unidad de tiempo. Este costo est´a compuesto de: Perdidas de producci´ on, Costos asociados a las acciones tomadas para compensar la ausencia del item. Sean T y q el intervalo entre pedidos y la cantidad de items calculados a trav´es de la formula de Wilson (22.2). Supongamos que el stock se termino en un tiempo αT con 0 < α < 1, por lo que el item ha estado no disponible por Tr = (1 − α)T . Asumase que los items solicitados durante el intervalo Tr son consumidos tan pronto llegan, en el instante T . Dado que hemos asumido una tasa de consumo constante e igual a q/T , ello significa que durante Tr se hubiesen consumido Tq Tr ; con lo que el stock sube a αq cuando el nuevo pedido llega. Ello implica que el promedio del nivel de stock en el intervalo T es de 21 α2 q (ver figura 22.5). El numero de demandas no satisfechas es 0 en αT y (1 − α)q en (1 − α)T , dando un promedio de stock para el periodo T de 21 (1 − α)2 q. Si el costo resultante de no disponer del item es cf ($/unidad/unidad de tiempo), se tiene un costo de falla por unidad de tiempo 1 (1 − α)2 qcf 2

´ DE REPUESTOS CAP´ITULO 22. GESTION

328

por lo que la ecuaci´ on del costo global por unidad de tiempo (22.1) es corregida: cg (α, q) = kpu +

k 1 1 Cad + α2 qpu i + (1 − α)2 qcf q 2 2

(22.4)

derivando con respecto a α, αpu i − (1 − α)cf = 0 lo que resulta en: α∗ =

cf cf + pu i

(22.5)

Dado este valor de α, el costo es una funci´on del tama˜ no de lote q; para encontrar el ´optimo, diferenciamos con respecto a q: 1 1 Cad 2 −k 2 + α∗2 pu i + (1 − α∗ ) qcf = 0 q 2 2 entonces 2kCad q2 = 2 ∗2 α pu i + 12 (1 − α∗ ) cf Si sustituimos (22.5) y se simplifica la expresi´on , se obtiene: s 1 2kCad ∗ q = α ∗ pu i Ejemplo 116 Sea cf /pu = 1 ut−1 e i = 15 %, 1 = 0,807 1 + ,15 1 − α∗ = 0,193 α∗ =

En este caso se justifica que no hayan repuestos por 20 % del tiempo. La rentabilidad depende de la relaci´ on entre el costo de quedar sin repuestos cf y el precio unitario de los mismos, pu . Ejemplo 117 2 Sea cf el costo de falla incurrido por la falta de un item en bodega, por unidad de tiempo.Sean T y q el intervalo entre pedidos y la cantidad de items. Sea αT el periodo en el cual se dispone de repuestos (0 < α < 1). Los items solicitados durante el intervalo (1 − α)T simplemente no son consumidos (la producci´ on se detuvo); luego la bodega llega al nivel q cuando llega un pedido. Proponga un modelo que minimice el costo global por unidad de tiempo y que permita establecer α,q,T ´ optimos. Un analisis grafico muestra que el nivel medio de repuestos es en este caso, 1 αq 2 luego, el valor medio del costo de almacenamiento por periodo es 1 αqpu i 2 El numero de demandas no satisfechas es 0 en αT y c¯(1 − α)T en (1 − α)T , luego el promedio de trabajos no satisfechos por unidad de tiempo es 1 q(1 − α)2 2 y el costo de falla por unidad de tiempo es 1 (1 − α)2 qcf 2 2 examen

2002-II.

´ 22.4. NIVEL OPTIMO DE ALARMA

329

y el costo global por unidad de tiempo es cg (α) = kpu +

k 1 1 Cad + αqpu i + (1 − α)2 qcf q 2 2

(22.6)

comparando (22.6) con (22.4) notamos que solo el termino asociado al costo de almacenamiento ha variado. Minimizando (22.6) con respecto a α obtenemos la condicion, α∗ = 1 −

pu i 2cf

a continucion mimimizamos cg (α∗ ) con respecto a q, s ∗

q =

α∗ p

2kCad 1 ∗ 2 u i + 2 (1 − α ) cf

luego T∗ =

q∗ k

Ejercicio 14 Repetir el ejemplo (116) usando este modelo.

22.4.

Nivel ´ optimo de alarma

Asumiremos que los costos de falla y de almacenamiento han sido estimados y que la ley de distribuci´on de fallas ha sido identificada. Se desea encontrar el nivel de alarma ´optimo a mantener. El nivel de alarma se define como aquel que gatilla el pedido.

22.4.1.

Distribuci´ on de fallas de Poisson

Si la distribuci´ on es de Poisson, la esperanza matem´atica del numero de fallas que podr´an ser reparadas inmediatamente en la demora d (poner la orden, recibir los repuestos) es: xx X

(xs − x)e−λ

x=0

λx x!

(22.7)

donde xs es el nivel de alarma, λ es la tasa media de fallas que ocurren entre poner la orden y recibir los repuestos, x e el numero de fallas. Observaci´ on 113 Notese que al instante de poner la orden, el nivel es xs . Observaci´ on 114 La componente e−λ

λx x!

de la ecuaci´ on (22.7) corresponde a la probabilidad de que el numero de fallas sea igual a x. La esperanza del numero de fallas que no ser´an reparadas por falta de stock es ∞ X x=xs +1

(x − xs )e−λ

λx x!

Observaci´ on 115 Se asume que una falla no reparada por falta de repuestos no afecta el que se produzca la siguiente falla.

´ DE REPUESTOS CAP´ITULO 22. GESTION

330

Si ca es el costo de almacenamiento, por item y por unidad de tiempo y cf i incluye el costo de falla y el de intervenci´ on por mantenci´ on correctiva, por unidad de tiempo, el costo global esperado por unidad de tiempo es: xs ∞ X X λx λx cg (xs ) = ca (xs − x)e−λ + cf i (x − xs )e−λ (22.8) x! x! x=0 x=x +1 s

El problema es encontrar xs que minimice (22.8). Ello se realiza con herramientas num´ericas. Ejemplo 118 Para un cierto item se tiene: demora orden/recibo=1 mes, tasa de falla media=10/a˜ no, costo por item=1000 USD, costo de almacenamiento=30 % anual, costo de falla=100 USD/d´ıa costos de intervenci´ on por mantenci´ on correctiva=1000 USD/mes (1 mes=22 d´ıas) Tomando como unidad de tiempo el mes, se tiene: λ = 10/12 = 0,83f allas/mes 0,3 = 25 USD/mes ca = 1000 × 12 cf i = 100 × 22 + 1000 = 3200 USD/mes Con λ = 0,83 las probabilidades de Poisson del numero de fallas en un mes son: x 0 1 2 3 4 5 6

p(x) ,43 ,36 ,15 ,04 ,008 ,0015 ,0002

Observaci´ on 116 N´ otese que en el ejercicio anterior la tasa del costo de almacenamiento se calcul´ o como la tasa anual dividido por el numero de demoras en un a˜ no, imensual =

0,3 = 0,0225 12

Mas correcto es usar la formula (1 + imensual )12 = 1 + 0,3 por tanto p imensual = 12 1,3 − 1 = 0,0221 en todo caso, el error es m´ınimo.

´ 22.4. NIVEL OPTIMO DE ALARMA

331

Ejemplo 119 Podemos calcular cg para un rango de valores xs . Para xs = 0 se tiene: cg (0) = 0 + 3200(,36 + 2 × ,15 + 3 × ,04 + 5 × ,0015 + 6 × ,0002) = 2645U SD Evaluando xs 0 1 2 3 4 5

cg 2645 858 230 92 84 104

el costo ´ optimo se alcanza para 4 items. Ejercicio 15 Ejemplo 120

3

El consumo de un cierto item es: Feb 25

Mar 32

Abr 33

May 15

Jun 18

Jul 25

Ago 31

Sep 28

Oct 27

Nov 30

el costo de almacenamiento es de 25 % el costo de una orden es de 800 Fr el costo promedio unitario es 318 Fr la demora entre la orden de compra y la gu´ıa de despacho es de 2 meses la pol´ıtica de mantenci´ on acepta hasta un 10 % el riesgo de quedar sin stock. Encuentre 1.

el tama˜ no ´ optimo de pedido y su frecuencia

2.

el nivel ´ optimo del stock de seguridad

Ejemplo 121 Un astillador utiliza rodamientos especiales que tienen una demora de entrega de 1 semana. El valor unitario es de 700 USD. Al hacer una reparaci´ on se requiere de 4 rodamientos. El costo de almacenamiento se ha estimado en 25 %. En promedio se producen 2 fallas de rodamientos por a˜ no. Una falla de este tipo detiene la producci´ on por 2 turnos, si se dispone de los repuestos. Se trabaja 2 turnos/d´ıa, 6 d´ıas/semana, 8 horas/turno. Se opera 52 semanas/a˜ no. El costo de falla se estima en 400 USD/hora. El contratista de mantenci´ on ha entregado un presupuesto por reparaci´ on (sin considerar los rodamientos mismos) de 2000 USD. Calcule el nivel de stock seguridad que minimice el costo global de mantenci´ on. Para el costo global esperado por unidad de tiempo (d) consideraremos: cg = cg,a · n ¯ a + cg,b · n ¯b donde d es la demora entre el pedido y la recepci´on (que ser´a utilizado como unidad de tiempo), cg,a es el costo global de mantenci´on por juego de repuestos y por unidad de tiempo (d), cg,b es el costo global de mantenci´on por no disponer de repuestos por unidad de tiempo. n ¯ a es el numero esperado de fallas cubiertas en d. 3 de

ref. [9]

´ DE REPUESTOS CAP´ITULO 22. GESTION

332

Lun

Mar

Mie

Jue

Vie

Sab

Dom 6/21

12/21

3/21

Figura 22.6: An´ alisis de efectos sobre producci´on Asumiendo una distribuci´ on de fallas de tipo Poisson, el numero esperado de fallas que ser´an reparadas con stock disponible en el periodo entre poner la orden y recibir los repuestos es: n ¯a =

xs X

(xs − x)e−λ

x=0

λx x!

(22.9)

donde xs es el nivel de seguridad (en juegos de 4 rodamientos), λ es la media de fallas que ocurren entre poner la orden y recibir los repuestos, x es el numero esperado de fallas. Como unidad de tiempo usaremos la semana, entonces λ = 2 fallas/a˜ no 1 = fallas/semana 26 El numero esperado de fallas que no estar´ an cubiertas por bodega durante d es: n ¯b =

∞ X x=xs +1

(x − xs )e−λ

λx x!

El costo global de disponer de un juego considera el costo de almacenamiento por juego y por unidad de tiempo, el costo de intervenci´ on del numero de reparaciones esperado por unidad de tiempo (mano de obra, repuestos) y el costo de falla esperado por reparaci´on y por unidad de tiempo. Asumiremos que una reparaci´ on solo puede comenzar al principio o fin de un turno. El costo de falla esperado en tal caso es: cf,a = c f ,en 2 turnos de producci´on · p(hacerlo en 2 turnos de producci´on)+ cf, en 1 turnos de producci´on · p(hacerlo en 1 turnos de producci´on)+ cf, en 1 turnos de producci´on · p(hacerlo en 0 turnos de producci´on)+ En figura 22.6 se analizan las 3 posibilidades. Las flechas indican los posibles puntos de comienzo de la reparaci´on, para los 3 casos. por tanto     1 6 1 12 cf,a = 400 · (2 · 8) · + 400 · (1 · 8) · + 26 21 26 21   1 3 400 · (0 · 8) · 26 21 = 70 + 70 + 0 = 140 para el costo de intervenci´ on se considera la mano de obra y repuestos para una reparaci´on por la tasa de fallas/ unidad de tiempo λ: 1 ci,a = [2000 + (700 · 4)] · 26

22.5. COMPRAS AGRUPADAS

333

para el costo de almacenamiento esperado por juego y por unidad de tiempo, la tasa anual se prorratea de manera simple en las 52 semanas del a˜ no: ca,a = 0,25 · (700 · 4) ·

1 52

y el costo global por juego de repuestos y por unidad de tiempo es cg,a = ca,a + ci,a + cf,a = 13 + 185 + 140 = 338 USD/semana El costo global de no disponer de un juego es el costo de falla esperado desde el momento de la falla hasta que llega el pedido de emergencia m´as el M T T R = 8 · 2 horas. Luego, el costo de intervenci´on de las reparaciones esperadas en d: cg,b = cf,b + ci,b Un an´ alisis similar al utilizado para cf,a muestra que de los 21 puntos de partida posibles de la semana (ver figura 22.6), en 6 de ellos se afecta 11 turnos de producci´on y en el resto se afectan los 12 turnos semanales, luego cf,b = [cf, 11 turnos · p(11 turnos)+cf, 12 turnos · p(12 turnos)] · λ evaluando,   15 1 6 cf,b = (400 · 11 · 8) + (400 · 12 · 8) 21 21 26 = 1442 USD/semana En este ejemplo ci,b = ci,a luego, cg,b = 1442 + 185 = 1627 USD/semana Con lo que la expresi´ on para el costo global esperado por unidad de tiempo (d) queda cg (xs ) = 338

xs X

(xs − x)e−λ

x=0

∞ X λx 1 λx + 1627 (x − xs )e−λ , λ = x! x! 26 x=x +1

(22.10)

s

La evaluaci´ on para varios valores xs muestra que para xs = 0 el costo global esperado es minimizado (63 USD/semana). A continuaci´ on se muestra el listing en Matlab: >>m=1/26 %tasa de fallas en la demora} >>n=50 %nro de terminos en la 2nda serie} >>for i=0:10 >>CGM(i+1)=338*sum((i-[0:i]).*poisspdf([0:i],m))+1627*sum(([i+1:i+n]-i).* poisspdf([i+1:i+n],m)) >>end >>bar(0:10,CGM)

22.5.

Compras agrupadas

Consid´erese un sistema de inventario consistente de multiples items. Es posible obtener ahorros cuando las ordenes de compra agrupan varios items. Cada vez que se pone una orden, se incurre en un costo por orden, independiente del numero de items. Adicionalmente, se incurre en un costo adicional cada vez que un item se ordena un item dado.

´ DE REPUESTOS CAP´ITULO 22. GESTION

334

3500

3000

2500

CGM

2000

1500

1000

500

0 0

1

2

3

4

5 S

6

7

8

9

10

s

Figura 22.7: Evaluaci´on de (22.10)

22.5.1.

Formulaci´ on del problema

Dadas las siguientes condiciones: La tasa de demanda de cada item es conocida y constante; Los niveles de stock nunca llegan a cero para cualquier item; no hay demoras en las entregas; El horizonte de an´ alisis es infinito. Par´ametros: • S: costo por orden; • n: el numero de items; • i: ´ındice del item (i = 1..n); • si : costo por orden asociado al item i; • Di : demanda del item i por unidad de tiempo; • hi : costo de almacenamiento del item i por unidad de tiempo; Variables • T : intervalo b´ asico de tiempo • ki : numero de ciclos b´ asicos entre dos pedidos de item i. Objetivo • J: costo global por unidad de tiempo (pedidos+almacenamiento). Definamos los costo promedios para cada item i, considerando que es ordenado cada ki T unidades de tiempo. Los costos consisten del costo por orden asociado al item y el costo de almacenamiento asociado al mismo, luego si 1 Φi (ki T ) = + hi Di ki T ki T 2

22.6. COMENTARIOS FINALES

335

El objetivo es minimizar el costo global, que es una suma del costo asociado solo a un pedido mas los costos asociados a los items incluidos en el mismo. Asumiendo que el costo mayor S se carga cada T unidades de tiempo, tenemos: n S X J= + Φi (ki T ) T i=1 con: ki ∈ N y T >0 Puede ocurrir que ninguno de los ki en la soluci´on optima sea 1. Ello implica que existir´an ocasiones en las cuales no se har´ an pedidos de ning´ un item y por tanto es necesario corregir J. Por ejemplo, supongase que hay dos items y que k1 = 2 y k2 = 3. Si ello ocurre, en 2 ocasiones de cada 6 no ser´a usadas para comprar items y por tanto no habr´ a costo asociado y se aplica el factor de correcci´on ∆(k) con k = (k1 , .., kn ) Para el ejemplo, k = (2, 3) luego ∆(k) = 4/6 En caso de que no hayan ocasiones de relleno no aprovechadas, m´ın(k) = 1 se tiene ∆(k) = 1 En un caso general, se puede demostrar que ∆(k) =

n X i=1

−1

X

(−1)i+1

(lcm (kα1 , ..., kαi ))

{α⊂{1,...,n}:|α|=i}

donde lcm (kα1 , ..., kαi ) denota el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de los enteros kα1 , ..., kαi . Luego, se incluye el factor de correci´on en J: n

S X J = ∆(k) + Φi (ki T ) T i=1 Observaci´ on 117 Notese el problema mixto no lineal que se genera. Ello puede facilitar la no convergencia o la convergencia a m´ınimos locales. Ejemplo 122 Las figuras muestran un ejemplo de implementaci´ on en Excel.

22.6.

Comentarios finales

Existen varios otros m´etodos entre ellos el de intervalos y cantidades fijas que es usado para repuestos no cr´ıticos, tales como material de oficina. Aparecen riesgos de stock si los intervalos entre pedidos son muy largos. Para repuestos super-cr´ıticos, el riesgo de quedar sin stock debe ser m´ınimo (costo de falla muy importante) y es necesario realizar estudios con t´ecnica tales como el ´arbol de fallas.

´ DE REPUESTOS CAP´ITULO 22. GESTION

336

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

S i s_i D_i h_i k_i T Φ_i J

B

C

D

E

500 1 300 1 50 2 1,81 173,37 994,99

2 50 6 50 1

3 100 1 50 1

4 200 1 50 2

299,00

100,50

145,73

Figura 22.8: Compras agrupadas. Ejemplo Excel.

Figura 22.9: Compras agrupadas. Restricciones.

22.6. COMENTARIOS FINALES

337

Ejercicio 16 El consumo de un cierto repuesto sigue un patron anual del tipo k(t) = k0 (1 + θ sin ωt) , 0 ≤ θ ≤ | el valor de un repuesto es pu . El costo de almacenamiento se evalua con la tasa i. cada orden tiene un valor Ca . El costo de falla de un repuesto no disponible en bodega es de W $ por unidad de tiempo. Proponga un modelo para decidir de manera optima, 1.

el numero de items ordenados en cada orden de compra Q;

2.

el numero de pedidos en el a˜ no N ;

3.

la fracci´ on de tiempo en que conviene disponer de repuestos a.

338

´ DE REPUESTOS CAP´ITULO 22. GESTION

Bibliograf´ıa [1] P. Lyonnet. Maintenance Planning, Methods and Mathematics. Chapman & Hall, 1991. [2] Wildeman, R.E. The art of Grouping Maintenance. Master’s thesis, Erasmus University, Holland, 1996.

339

340

BIBLIOGRAF´IA

Cap´ıtulo 23

Redundancia y confiabilidad 23.1.

Introducci´ on

La configuraci´ on de un equipo o sistema influye en su confiabilidad. Ella puede ser estudiada en 2 niveles:

1. El efecto del equipo dentro de una l´ınea de producci´on 2. El efecto de la disposici´ on de componentes dentro del equipo

23.1.1.

Dependencia de la l´ınea

Los equipos son interdependientes dado que dependen de la operaci´on exitosa de otros equipos para poder producir. Por ejemplo, en la configuraci´on de figura 23.1, la pieza pasa por todas las m´aquinas secuencialmente. Si cualquiera de estas m´aquinas no opera hay una fuente potencial de perdida de producci´on. Para reducir esta posible perdida, las m´aquinas cr´ıticas pueden ser dispuestas en paralelo. En figura 23.2 se aprecia un ejemplo donde una de ellas est´a en stand-by.

23.1.2.

Estructura interna del equipo

Un equipo est´ a compuesto en general por varios sub-sistemas, los cuales pueden ser inter-dependientes tanto en serie como en paralelo. Las diferentes combinaciones posibles pueden resultar en diferentes costos, confiabilidades, requerimientos de espacio, niveles de seguridad, etc. Antes de examinar posibilidades ´ optimas calcularemos la probabilidad de buen funcionamiento del equipo o confiabilidad.

Sistema

p1

p2

p3

pn-1

Figura 23.1: Sistema en serie 341

pn

CAP´ITULO 23. REDUNDANCIA Y CONFIABILIDAD

342

Sistema

p1

p2

p3

pn-1

pn

p3b

Figura 23.2: Sistema con una etapa en paralelo

Sistema

p1 p2 p3 pn-1 pn Figura 23.3: Sistema en paralelo

23.2.

Conceptos probabil´ısticos

23.2.1.

Configuraci´ on en serie

Si pi es la probabilidad de operaci´ on satisfactoria del i-esimo componente 1 entonces la probabilidad de que el sistema opere exitosamente, o sea, la confiabilidad del sistema, Rs es:

Rs =

n Y

pi

i=1

definimos por conveniencia, q i = 1 − pi

23.2. CONCEPTOS PROBABIL´ISTICOS

343

Sistema P1,1

P2,1

Pk,1

P1,2

P2,2

Pk,2

P1,n1

P2,n1

Pk,nk

Etapa 1

Etapa 2

Etapa k

pn

Figura 23.4: Configuraci´on mixta Sistema

p1

p2

p3

pn-1

pn

p1

p2

p3

pn-1

pn

Figura 23.5: Redundancia pasiva, sub-sistemas en serie

23.2.2.

Configuraci´ on en paralelo

Si el sistema opera exitosamente si al menos un componente opera entonces la confiabilidad del sistema es Rs

= = =

1 − probabilidad de que el sistema no opere n Y 1− 1 − pi 1−

i=1 n Y

qi

i=1

Observaci´ on 118 Se asume que un solo componente opera en cualquier instante. Cuando falla el sistema activa otro de los componentes, hasta que todos fallan. Solo en ese caso el equipo no operar´ a exitosamente. Se asume que cuando un componente falla no es reparado hasta que todos han fallado. Esto ser´ a analizado m´ as adelante.

23.2.3.

Configuraci´ on mixta

La confiabilidad del sistema mostrado en figura 23.4 es la probabilidad de que al menos un componente funcionar´ a cuando sea requerido, en cada etapa. Luego: Rs =

k Y

1 − qini

i=1

cuando los componentes de una etapa son id´enticos.

23.2.4.

Redundancia pasiva

Para incrementar la confiabilidad de un sistema en serie puede ser conveniente a˜ nadir un segundo sistema gemelo en paralelo (figura 23.5). Si un sistema falla el segundo comienza a operar. La confiabilidad se calcula as´ı: 1 Notese

que a esta probabilidad viene asociado un horizonte de tiempo arbitrario.

CAP´ITULO 23. REDUNDANCIA Y CONFIABILIDAD

344

Sistema

p1

p2

p3

pn-1

pn

p1

p2

p3

pn-1

pn

Figura 23.6: Redundancia pasiva, etapas en serie La confiabilidad de cada sistema es n Y

Rs =

pi

i=1

luego, la probabilidad de falla del sistema es 1−

n Y

pi

i=1

La confiabilidad de los dos sistemas puestos en paralelo es la probabilidad de que al menos uno opere, lo que iguala 1 − P (ambos fallen) Luego Rs = 1 −

1−

n Y

!2 pi

i=1

Una alternativa para incrementar la confiabilidad de sistemas en serie es poner 2 sistemas en paralelo pero a nivel de componente, como se muestra en figura 23.6. La confiabilidad de tal sistema es (de acuerdo a 23.2.3) Rs =

n Y

1 − qi2




i=1

23.2.5.

Redundancia activa

En las configuraciones descritas anteriormente se asumi´o que cuando los componentes est´an en paralelo, solo uno es usado en todo instante. El otro componente est´a en standby. Si el sistema opera con todos los componentes operando cuando es posible, pero donde la falla de un componente no genera la falla del sistema dado que el mismo puede operar con menos que todos los componentes (ejemplo, turbinas de avi´on), en este caso se habla de redundancia activa y ser´a tratado en una secci´on posterior.

23.3.

Configuraci´ on ´ optima con restricci´ on de presupuesto

Un equipo est´ a compuesto de k etapas en serie y solo opera si cada etapa funciona. Para incrementar la confiabilidad del equipo, los componentes pueden ser replicados, en paralelo, en cada etapa (redundancia pasiva, dado que solo uno de los componentes debe funcionar). Dada la probabilidad de falla de los componentes, el problema es: determinar la configuraci´ on ´ optima que maximice la confiabilidad sujeto a restricciones de presupuesto.

´ OPTIMA ´ ´ DE PRESUPUESTO 23.3. CONFIGURACION CON RESTRICCION

Etapa 1 2 3

pi 0.9 0.7 0.9

345

ci 2000 3000 1000

Cuadro 23.1: Datos del problema

23.3.1.

Descripci´ on del modelo

1. La configuraci´ on del equipo es la mostrada en 23.2.3 de la secci´on anterior. La confiabilidad de tal sistema es: k Y Rs = (1 − qini ) i=1

2. Sea ci el costos del componente de la i-esima etapa 3. Sea ni el numero de componentes en la i-esima etapa 4. El costo total de los componentes de la i-esima etapa es ni ci 5. El presupuesto aprobado para el dise˜ no es B 6. El problema de dise˜ no es maximizar la confiabilidad del equipo sujeto a que el presupuesto no exceda B. Por tanto, el problema es m´ax ni

k Y

(1 − qini )

i=1

sujeto a k X

ni ci ≤ B

i=1

Como se puede ver, la formulaci´ on es en variable discreta dado que los ni toman los valores 1, 2, 3, ...

23.3.2.

Ejemplo num´ erico

El equipo se compone de 3 etapas. Los componentes pueden ser duplicados en las primeras 2 etapas. Los datos se muestran en la tabla (23.1). El presupuesto aprobado es de 10000 USD. Se desea m´ax (1 − q1n1 ) (1 − q2n2 ) (1 − q3n3 ) ni

sujeto a 2000 · n1 + 3000 · n2 + 1000 · n3 n3

≤ 10000 = 1

Dada la ultima restricci´ on, y substituyendo los valores qi m´ax (1 − 0,1n1 ) (1 − 0,3n2 ) · 0,9 ni

sujeto a 2000n1 + 3000n2 ≤ 9000 Siendo que hay pocas variables, la soluci´on es encontrada por evaluaci´on exhaustiva:

CAP´ITULO 23. REDUNDANCIA Y CONFIABILIDAD

346

Sea n1 = 1, entonces 2000 + 3000n2 ≤ 9000 o sea n2 ≤ 2,33 Por tanto, tratando con n2 = 2, entonces Rs

= =

1 − 0,11 0,737




1 − 0,32




1 − 0,11




Sea n1 = 2, entonces 4000 + 3000n2 ≤ 9000 o sea n2 ≤ 1,66 entonces, tratando con n2 = 1 1 − 0,12 = 0,624

Rs (n1 = 2, n2 = 1) =




1 − 0,31




1 − 0,11







1 − 0,11




si n1 = 3 6000 + 3000 · n2 n2

≤ 9000 ≤ 1

entonces para n2 = 1, Rs (n1 = 3, n2 = 1) = =

1 − 0,13 0,629




1 − 0,31

Cualquier otra combinaci´ on (n1 ,n2 ) violar´ a la restricci´on de presupuesto. Entonces, la confiabilidad m´ axima del equipo ocurre con un componente en la primera etapa y 2 componentes en la segunda. La confiabilidad del sistema es de 0,737 y el costo asociado es de 2000 + 2 · 3000 + 1000 = 9000 USD Observaci´ on 119 Al considerar los posibles beneficios derivados de la redundancia de equipos con alta confiabilidad se debe observar que se gana muy poco por el costo extra de la redundancia. En el ejemplo anterior, al poner 3 componentes en la primera etapa, en vez de dos, la confiabilidad solo aumento 0,005 para un costo extra de 1000 USD (el costo se incrementa en 1000/9000 = 11 %) Observaci´ on 120 Es obvio que para problemas m´ as complejos es necesario el uso de un optimizador. El modelo Excel est´ a disponible en http://www.cec.uchile.cl/ rpascual/me57a/reliability1.xls.

23.4.

Configuraci´ on ´ optima con restricciones de presupuesto y seguridad

El problema que examinamos aqu´ı es determinar la configuraci´on ´optima de un equipo compuesto de k etapas con ni componentes en paralelo en la i-esima etapa, y donde cada etapa debe operar para que el equipo funcione, que maximice la confiabilidad del equipo sujeto a: 1. Una restricci´ on de seguridad en t´erminos de la confiabilidad del equipo 2. restricci´on presupuestaria

´ OPTIMA ´ 23.4. CONFIGURACION CON RESTRICCIONES DE PRESUPUESTO Y SEGURIDAD347

23.4.1.

Descripci´ on del modelo

1. La configuraci´ on del equipo que se considera es descrita por la figura 23.2.3. La confiabilidad de tal sistema es descrita por: k Y Rs = (1 − qini ) i=1

2. Se asume que la operaci´ on prematura del equipo puede ocurrir si un componente en la primera etapa opera como resultado de una se˜ nal de trigger espurea (falsa), y luego este componente gatilla la ejecuci´ on de las dem´ as etapas. La probabilidad de que un componente en la primera etapa opere en ausencia de una se˜ nal controlada de entrada es P . La probabilidad de que un componente no reaccione a una se˜ nal controlada es Q = 1 − P . 3. La probabilidad de que el equipo opere sin una se˜ nal controlada de entrada es: P (1era etapa opere) × P (2nda etapa opere) × P (3era etapa opere) × ... 4. La probabilidad de que la primera etapa no se ejecute cuando recibe una se˜ nal esp´ urea es Qn1 5. La probabilidad de que la primera etapa se ejecute debido a que recibi´o una se˜ nal esp´ urea es 1−Qn1 6. La probabilidad de que el equipo opere cuando recibi´o una se˜ nal esp´ urea es (1 − Qn1 )

k Y

(1 − qini )

i=2

7. La restricci´ on de seguridad sobre la configuraci´on es que la probabilidad de una operaci´on prematura del equipo debido a una se˜ nal esp´ urea sea menor o igual a S. Luego (1 − Qn1 )

k Y

(1 − qini ) ≤ S

i=2

8. La restricci´ on presupuestaria sobre la configuraci´on es k X

ni ci ≤ B

i=1

donde ni ci es el costo total de los componentes de la i-esima etapa y B es el presupuesto aprobado para el sistema. El problema es determinar el numero ´optimo de componentes en paralelo en cada etapa del equipo para k Y m´ax (1 − qini ) ni

i=1

sujeto a (1 − Qn1 )

k Y

(1 − qini ) ≤ S

i=2 k X i=1

ni ci ≤ B

CAP´ITULO 23. REDUNDANCIA Y CONFIABILIDAD

348

Configuraci´ on (n1 ,n2 ,n3 ) (1, 2, 1) (2, 1, 1) (3, 1, 1)

Confiabilidad 0,737 0,624 0,629

Seguridad 0,041 0,061 0,090

Cuadro 23.2: Evaluaci´on de alternativas

ME57A Cap. Diseño basado en la confiabilidad Maximización de confiabilidad con restricción de presupuesto y de seguridad n1 n2 n3 Q q1 q2 q3 C1 C2 C3 B S0

1 2 2 0.95 0.1 0.3 0.1 2000 3000 1000 10000 0.075

R C S

0.811 10000 0.045

Figura 23.7: Modelo Excel del ejemplo

23.4.2.

Ejemplo num´ erico

Usando los mismos datos que en el ejemplo anterior, mas S = 0,075 y la probabilidad de que un componente en la primera etapa no responda a una se˜ nal esp´ urea: Q = 0,95

Para encontrar la soluci´ on se opera como sigue: Del ejercicio anterior sabemos que la restricci´on presupuestaria restringe los valores posibles de la tripleta (n1 ,n2 ,n3 ) a (1, 2, 1), (2, 1, 1), (3, 1, 1). Evaluando De las 3 alternativas, la ultima viola la restricci´on de seguridad, y la primera maximiza la confiabilidad. Esta es la alternativa de dise˜ no a seleccionar. Las figuras 23.7 y 23.8 muestran el modelo en Excel (disponible en http://www.cec.uchile.cl/ rpascual/me57a/reliability2.xls). Se ha obviado la restricci´ on en n3 . Observaci´ on 121 En este ejemplo se ha asumido que la operaci´ on prematura del sistema puede ocurrir es un componente en la primera etapa opera por una se˜ nal esp´ urea. Para reducir la probabilidad de operaci´ on prematura es posible dise˜ nar la etapa de modo que al menos r de los n componentes hubiesen operado antes de enviar la se˜ nal de operaci´ on para la pr´ oxima etapa. Tal estrategia se denomina redundancia por votaci´ on.

´ OPTIMA ´ 23.5. CONFIGURACION MINIMIZANDO EL COSTO PARA NIVEL DE CONFIABILIDAD DADO349

Figura 23.8: Objetivo y restricciones

23.5.

Configuraci´ on ´ optima minimizando el costo para nivel de confiabilidad dado

Se desea dise˜ nar un equipo de una etapa que opere durante una unidad de tiempo (1 a˜ no por ejemplo) con un cierto nivel de confiabilidad dado. El dise˜ nador puede alcanzar tal requerimiento a trav´es del uso de redundancia pasiva con componentes de diferente calidad (y costo). El problema es seleccionar el tipo y numero de componentes que minimice el costo y satisfaga un nivel de confiabilidad dado.

23.5.1.

Descripci´ on del modelo

1. pj es la probabilidad de operaci´on exitosa (confiabilidad) para una unidad de tiempo de un componente de tipo j (qj = 1 − pj ), j = 1, ..., m tal que pj ≤ pj+1 La confiabilidad de un equipo compuesto de una etapa, con n componentes de tipo j es n

R = 1 − qj j




2. El costo de dise˜ no y operaci´ on de un componente de tipo j por unidad de tiempo es α + βj donde α y β son constantes. 3. El costos fijo de un componente es C, independiente de su calidad. 4. La confiabilidad del equipo debe ser igual o superior a R. El problema es determinar el tipo ´optimo de componente (j) y el numero ´optimo de estos componentes a utilizar en paralelo para minimizar el costo total del equipo por unidad de tiempo, sujeto a la restricci´on de confiabilidad. Luego:   m´ın nj C + (α + βj) nj nj ,j

sujeto a n

1 − qj j ≥ R

CAP´ITULO 23. REDUNDANCIA Y CONFIABILIDAD

350

j 1 2 3 4 5

pj 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

Cuadro 23.3: Confiabilidad de cada tipo de componente j 1 2 3 4 5

nj 3 2 2 2 1

Re 0,98 0,96 0,98 0,99 0,95

Costo 7500 7000 9000 11000 6500

Cuadro 23.4: Evaluaci´on de la funci´on objetivo

23.5.2.

Ejemplo num´ erico

El costo fijo de todo componente es 1000 USD. El costo variable depende de la confiabilidad del componente y sigue la ley 500 + 1000j USD La confiabilidad de cada tipo de componente se muestra en tabla 23.3. La confiabilidad deseada es de 0,95. El problema es entonces m´ın [1000nj + (500 + 1000j) nj ] nj ,j

sujeto a n

1 − qj j ≥ 0,95 Tras evaluar, la tabla 23.4 resume para cada tipo de componente, el numero ´optimo, la confiabilidad alcanzada y el costo total.

Observaci´ on 122 El problema fue resuelto tambi´en usando el solver de Excel (disponible en http://www.cec.uchile.cl/ rpascual/ V´ease figura 23.9. Notese que se ha a˜ nadido la variable auxiliar xj de tipo 0-1 (columna F ) para expresar la condici´ on de exclusividad (solo un tipo de componente puede ser usado). La suma de los valores xj es forzada a ser uno (celda E13); lo que asegura que un solo tipo de componente es usado. Por supuesto, para el calculo de costos en columna F se considera el valor del xj correspondiente; lo que genera un modelo no lineal en variable entera. Observaci´ on 123 Una extensi´ on natural del problema es considerar equipos de varias etapas. Sandler [13] utiliza adem´ as varios periodos de tiempo y costos de operaci´ on variables en el tiempo.

23.6.

Minimizaci´ on de costo global con restricci´ on de confiabilidad y varias etapas

2

Un equipo est´ a compuesto por un conjunto de K etapas. En cada etapa es posible a˜ nadir tantos componentes en standby como se requiera. A su vez, los componentes tienen una confiabilidad que depende de su costo: pk,j = 1 − e−α/ck,j 2 de

control III, semestre 2002-I.

´ DE COSTO GLOBAL CON RESTRICCION ´ DE CONFIABILIDAD Y VARIAS ETAPAS351 23.6. MINIMIZACION

Figura 23.9: Modelo Excel y cuyos costos depende del tipo componente: ck,j = βk eγj 1. Considere ni,j es el numero de componentes de tipo j en la etapa i pk,j es la probabilidad de que el componente opere correctamente durante un periodo de tiempo dado; ck,j es el costo variable unitario de un componente; k es el ´ındice para la k-esima etapa; j es el ´ındice para el tipo de componente (hay J tipos); α, βk , γ son constantes conocidas; Rs es la confiabilidad del equipo. El costo fijo por componente es F (no depende de la etapa ni del tipo de componente). Por razones de detectabilidad, los componentes de cada etapa no son reparados hasta que todos han fallado. Se requiere que el equipo alcance una confiabilidad R. Para facilitar la gesti´on, se solicita usar un solo tipo de repuesto en cada etapa. Se requiere un modelo de optimizaci´on que permita minimizar el costo total.

23.6.1.

Modelo propuesto

En el caso m´ as general una etapa puede tener varios tipos de componentes (j). En tal caso la confiabilidad de la etapa Rk es n Rk = 1 − ΠJj=1 qk,jk,j donde qk,j = 1 − pk,j Dado que las etapas est´ an dispuestas en serie, la confiabilidad del sistema es   nk,j K J Rs = ΠK R = Π 1 − Π q k=1 k k=1 j=1 k,j la que al menos debe alcanzar el valor R dado: Rs ≥ R

(23.1)

CAP´ITULO 23. REDUNDANCIA Y CONFIABILIDAD

352

El costo global considera la parte fija y la parte variable: C=

J K X X

(F + ck,j ) nk,j

(23.2)

k=1 j=1

a fin de restringir el uso de un solo tipo de componentes a una etapa a˜ nadimos una variable auxiliar binaria Ik,j y un par´ ametro binario Pk,j :  1 si el componente j es usado en la etapa k Ik,j = 0 en otro caso  1 si el componente j puede ser usado en la etapa k Pk,j = 0 en otro caso luego (23.2) es sustituida por: C=

K X J X

(F + ck,j ) nk,j Ik,j Pk,j

(23.3)

k=1 j=1

y ahora podemos a˜ nadir la restricci´ on de exclusividad para cada etapa, J X

Ik,j = 1 ∀k

(23.4)

j=1

nos queda el modelo no lineal con variables mixtas (NLMIP) que minimiza (23.3) con las restricciones (23.1) y (23.4). Observaci´ on 124 La formulaci´ on podr´ıa ser re-escrita para ser de programaci´ on mixta. N dP .

23.7.

Redundancia ´ optima a costo global m´ınimo

Se requiere dise˜ nar y operar equipo compuesto de una etapa, que puede tener varios componentes en paralelo. El prop´ osito de la redundancia pasiva es reducir la fracci´on de tiempo en que el equipo est´a no operativo debido a que todos los componentes han fallado (el equipo requiere solo de uno para operar. Al incrementar el grado de redundancia, los costos de insumos y de mantenci´on se incrementan. Se requiere un balance entre el costo de los componentes y el costo de falla que se reduce al aumentar el grado de redundancia.

23.7.1.

Descripci´ on del modelo

1. La disponibilidad de un componente opere es p. Su complemento es q = 1 − p3 . 2. La disponibilidad del equipo es 1 − q n donde n es el numero de componentes en la etapa. 3. El costo de capital por componente y por unidad de tiempo es cc . 4. El costo de operaci´ on por componente y por unidad de tiempo es co . 5. El costo de falla del equipo por unidad de tiempo es cf . 6. El objetivo es determinar el numero ´optimo de componentes n que minimice el costo global por unidad de tiempo cg (n) (incluye capital, operaci´on, falla): cg (n) = costo de capital+costo de operaci´on+costo de falla = ncc + co × disponibilidad de la etapa + cd × fracci´on de tiempo en que el equipo no opera por lo tanto cg (n) = ncc + nco (1 − q n ) + cf q n 3 Hemos

cambiado p desde confiabilidad a disponibilidad.

´ 23.8. REDUNDANCIA ACTIVA CON COMPONENTES SUJETOS A REPARACION

23.7.2.

353

Ejemplo num´ erico

Sea p = 0,95, cc = 250, co = 2000, cf = 100000, entonces cg (n) = 250n + 2000n (1 − 0,05n ) + 100000 × 0,05n y evaluando n 1 2 3 4

cg (n) 7150 4850 6783 8800

Cuadro 23.5: Evaluaci´on del costo global

Observaci´ on 125 La extensi´ on del modelo para considerar varias etapas es muy sencilla.

23.8.

Redundancia activa con componentes sujetos a reparaci´ on

Un sistema est´ a compuesto de n m´aquina en paralelo, cuyo producto es entregado a la pr´oxima etapa de la l´ınea de producci´ on. Si una de estas m´aquina falla, la carga de producci´on es redistribuida entre las n − 1 m´aquina remanentes, lo que logra que el nivel de producci´on no se reduzca. La m´aquina que fall´o es reparada y eventualmente retorna a producci´on. Se asumir´a que basta con que una m´ aquina opere para que el nivel de producci´ on no se vea afectado. El problema es determinar el numero ´optimo de m´aquina a disponer en paralelo para minimizar el costo global por unidad de tiempo y el downtime de la etapa.

23.8.1.

Descripci´ on del modelo

1. las fallas de una m´ aquina siguen una distribuci´on exponencial con M T BF = 1/λ. 2. El tiempo requerido para reparar una m´aquina fallada sigue una distribuci´on exponencial con M T T R = 1/µ. 3. Dado que hay n m´ aquinas en paralelo en la etapa y la etapa no produce solo cuando la n-esima m´ aquina falla ( y las anteriores no operan y no han sido reparadas aun), la disponibilidad de la etapa es donde ρn λ An = 1 − n, ρ = µ (1 + ρ) Para encontrar la formula se utiliza la teor´ıa de colas. Dado que la proporci´on de tiempo en que la etapa no produce es equivalente a la probabilidad de que , para cualquier instante, las n m´aquinas est´en no-operativas. Se asume que los recursos de mantenci´on permiten que las m´aquina sean reparadas en cuanto fallan. Ver referencia [12]. 4. El costo de falla por unidad de tiempo es cf . 5. El costos total de operaci´ on por unidad de tiempo para una m´aquina es co . 6. El objetivo es determinar el numero ´optimo de m´aquina n a disponer en paralelo en la etapa para minimizar el costo global por unidad de tiempo cg (n) (considera operaci´on+falla). cg (n)

= n × costo por maquina+ proporci´on de tiempo que la etapa no produce × costo de falla

CAP´ITULO 23. REDUNDANCIA Y CONFIABILIDAD

354

1 − An 0,5 0,25 0,13 0,06 0,03

n 1 2 3 4 5

cg (n) 350,0 325,0 375,5 436,2 518,1

Cuadro 23.6: Evaluaci´on del costo global Por tanto cg (n) = nco + (1 − An )cf Observaci´ on 126 La formula para An es valida en regimen estacionario. Si las condiciones transientes dominan la operaci´ on es necesario simular. N dP .

23.8.2.

Ejemplo num´ erico

Sea λ = 20 fallas/ut, 1/µ = 0,05, co = 100 USD/ut, cf = 500 USD/ut. Entonces:  n 1 cg (n) = 100n + 500 2 La evaluaci´on permite construir la tabla 23.6. Observaci´ on 127 Se ha asumido que la distribuci´ on de fallas de una m´ aquina es constante y no es influenciada, por ejemplo, por absorber las cargas de otras m´ aquina con falla. Si este no fuese el caso, seria necesario derivar una nueva expresi´ on para An . Observaci´ on 128 Tambi´en se asumi´ o que la etapa no funciona, solo si todas las m´ aquina fallan. Otro caso a analizar es cuando la etapa no opera si r de las n m´ aquina no funcionan. Tambi´en ser´ıa necesario derivar una nueva expresi´ on para d(n). Ejemplo 123 Se dispone de un sistema con una configuraci´ on de dise˜ no inicial como se muestra en figura 23.10. Est´ a compuesta por m´ aquinas cuya probabilidad de falla en una unidad de tiempo es q y el costo es c. 1.

Exprese la confiabilidad del sistema

2.

Se desea estudiar redundancia en las etapas 1, 2 y 4. Exprese un modelo matem´ atico para maximizar la confiabilidad con un presupuesto restringido B.

Para expresar la confiabilidad del sistema de figura, primero se analizar´a por sistemas simples. Definimos p = 1 − q. El sub-sistema CD (en serie) tiene probabilidad de operaci´on satisfactoria: pCD

= RCD = p2

El sub-sistema EF (en paralelo) tiene probabilidad de operaci´on satisfactoria: pEF

= REF = 1 − q2

El sub-sistema CDEF puede ahora ser tratado como un sistema en paralelo son dos componentes: pCDEF

= 1 − qCD · qEF

 = 1 − 1 − p2 1 − 1 − q 2
= 1 − 1 − p2 q 2

23.9. COSTO DE FALLA Y REDUNDANCIA

355

C A

B

D E

G

F 1

2

3 etapas

4

Figura 23.10: Esquema de la l´ınea Finalmente, quedan las 4 etapas como un sistema en serie de 4 equipos: Rs,0

= p3 pCDEF 
 = p 3 1 − 1 − p2 q 2

Para el estudio de la redundancia, se tiene el problema m´ax Rs = ni

k Y

1 − qini

i=1

donde q1 q3

n3 k

= q2 = q4 = q = 1 − pCDEF 
 = 1 − 1 − 1 − p2 q 2
= 1 − p2 q 2 = 1 = 4

con k X

ni ci ≤ B

i=1

donde c1 c3

23.9.

= c2 = c4 = c = 4c

Costo de falla y redundancia

ametros de los diversos modos de falla de un equipo dado. Se dispone La tabla 28.2 muestra los par´ de 2 equipos gemelos, en paralelo. 80 % del tiempo, un solo equipo es capaz de solventar la demanda de producci´ on (situaci´ on A); 20 % del tiempo se requiere de los 2 (situaci´on B). El M T BF de un equipo en standby es 5 veces el de un equipo operando. La distribuci´on de fallas es de tipo exponencial para todos los modos de falla. La detenci´ on de la producci´on provoca perjuicios por Px = 200x USD/hora, donde x es el numero de m´ aquina requeridas (x = 1, 2). La planta opera 24/24, 7/7. Calcule el costo global

CAP´ITULO 23. REDUNDANCIA Y CONFIABILIDAD

356

i 1 2 3 4 5 6 7 8

Ci (USD/falla) 5000 2000 200 500 50 100 1000 1500

Valor promedio repuestos en bodega (USD) 10000 500 500 800 1000 10 500 2000

M T T R (horas) 8 2 1 24 2 5 12 1

M T BFA 5000 2500 2000 1000 150 300 1000 10000

Cuadro 23.7: Datos del equipo esperado de cada modo de falla. Establezca orden ´optimo de elaboraci´on del plan t´ecnico de mantenci´on. Justifique su(s) criterio(s) de decisi´ on. Para el calculo del costo de almacenamiento esperado por unidad de tiempo se usar´a un valor referencial de 25 % anual, 25 % ca = Valor repuestos en bodega nut donde nut es el numero de unidades de tiempo en un a˜ no. pA , probabilidad de que una sola m´ aquina sea requerida por producci´on, pB , ambas m´ aquina son requeridas por producci´on, pi , i = 0, 1, 2 probabilidad de que i m´ aquinas est´en disponibles. M T BFA , tiempo medio entre fallas si el equipo opera, M T BFB , tiempo medio entre fallas si el equipo est´a en stand-by. De los datos: pA pB M T BFB

= 0,8 = 0,2 = 5 · M T BFA

Asumiendo que ambos equipos son usados indistintamente en la medida en que est´an ambos disponibles, podemos calcular un M T BF esperado para ambas m´aquina: M T BFesperado

= pA M T BFA + pB M T BFB = 0,8 · M T BFA + 0,2 · 5 · M T BFA = 1,8 · M T BFA

luego i 1 2 3 4 5 6 7 8

M T BFB 5000 2500 2000 1000 150 300 1000 10000

M T BFesperado 9000 4500 3600 1800 270 540 1800 18000

Cuadro 23.8: Datos del equipo Para el calculo del cf esperado por unidad de tiempo consideraremos la fracci´on de tiempo en que hay 1 y 2 equipos no disponibles. Asumiremos que en caso de que se requieran 2 equipos solo la mitad

23.9. COSTO DE FALLA Y REDUNDANCIA

i 1 2 3 4 5 6 7 8

357

CIM Valor repuestos MTTR MTBF-A CIM CAM 25% anual (USD/falla) en bodega (USD) (horas) (horas) USD/hora USD/hora rho rho/(1+rho) p0 p1 5000 10000 8 5000 0.56 0.29 8.9E-04 8.9E-04 7.9E-07 1.8E-03 2000 500 2 2500 0.44 0.01 4.4E-04 4.4E-04 2.0E-07 8.9E-04 200 500 1 2000 0.06 0.01 2.8E-04 2.8E-04 7.7E-08 5.6E-04 500 800 24 1000 0.27 0.02 1.3E-02 1.3E-02 1.7E-04 2.6E-02 50 1000 2 150 0.18 0.03 7.4E-03 7.4E-03 5.4E-05 1.5E-02 100 10 5 300 0.18 0.00 9.3E-03 9.2E-03 8.4E-05 1.8E-02 1000 500 12 1000 0.55 0.01 6.7E-03 6.6E-03 4.4E-05 1.3E-02 1500 2000 1 10000 0.08 0.06 5.6E-05 5.6E-05 3.1E-09 1.1E-04

CFM CGM CGM p2 USD/hora USD/hora relativo 1.0E+00 0.21 1.05 9% 1.0E+00 0.11 0.57 5% 1.0E+00 0.07 0.14 1% 9.7E-01 3.14 3.44 29% 9.9E-01 1.76 1.97 17% 9.8E-01 2.20 2.38 20% 9.9E-01 1.59 2.15 18% 1.0E+00 0.01 0.15 1% 11.85 100%

Figura 23.11: An´alisis del costo global de la producci´on demandada es satisfecha). cf = pA p0 P1 + pB p0 P2 + pB p1

P2 $/ut 2

seg´ un §23.8, p0

=

ρ = λ

=

µ =

ρ2 2

(1 + ρ) λ µ 1 M T BF 1 MTTR

Para p1 consideramos p1

= p(maquina 1 disponible)p(maquina 2 no disponible)+ p(maquina 1 no disponible)p(maquina 2 disponible)   ρ ρ = 2 1− 1+ρ 1+ρ

luego cf

=

0,8 ·

ρ2

ρ2

2 (200 · 2) + (1 + ρ) (1 + ρ)   ρ ρ 200 · 2 0,2 · 2 1− $/ut 1+ρ 1+ρ 2 2 200

+ 0,2

Para el calculo del costo de intervenci´on esperado por unidad de tiempo se considera ci =

Ci $/ut M T BFesperado + M T T R

Los resultados se muestran en figuras 21.3 y 21.6. El an´alisis de Pareto permite concentrarse sobre los modos de falla con mayor Cg , y luego establecer que componente es preponderante: intervenci´on, falla o almacenamiento, para focalizar la busqueda de soluciones. Ejemplo 124 4 Un sistema est´ a compuesto de 3 componentes en serie. Cada componente tiene un solo modo de falla asociado. La probabilidad acumulada de falla para t = 8000 horas son q1 = 10−3 , q2 = 40·10−3 , q3 = 30·10−3 . La falla de los componentes es estad´ısticamente independiente. El costo de a˜ nadir cualquier componente en paralelo es el mismo. Se requiere una confiabilidad de 0,995 para t = 8000 horas. Ejemplo 125 5 Se operan 2 correas con redundancia activa. Su confiabilidad se asume exponencial. Los M T BF , los instantes en que han comenzado a operar (ti ) y los T T R se muestran en tabla 23.9. ¿Cual es la confiabilidad del sistema en t =300 horas?

CAP´ITULO 23. REDUNDANCIA Y CONFIABILIDAD

358

i 1 2 3 4 5 6 7 8

CIM CAM 25% anual CFM CGM USD/hora USD/hora USD/hora USD/hora CIM % CAM % 0.56 0.29 0.213 1.05353 53% 0.44 0.01 0.107 0.56512 79% 0.06 0.01 0.067 0.13645 41% 0.27 0.02 3.144 3.441 8% 0.18 0.03 1.76 1.97274 9% 0.18 0.55 0.08

0.00 0.01 0.06

2.195 1.586 0.013

2.37887 2.15204 0.15374

8% 26% 54%

27% 3% 10% 1% 1%

CFM % CGM % 20% 100% 19% 100% 49% 100% 91% 100% 89% 100%

0% 1% 37%

92% 74% 9%

100% 100% 100%

Figura 23.12: Resumen por modo de falla Correa

M T BF (horas) 72 96

A B

ti (horas) 24 0

TTR (horas) 6 12

Cuadro 23.9: Datos de las correas De acuerdo a los datos de la tabla se puede conocer el estado de las maquinas en funci´on del tiempo, como se muestra en figura 23.13. Para la correa A: 24 + (72 + 6)xA xA

= =

300 3,538

luego ella ya ha completado 3 ciclos y fracci´on, tA

= = =

(xA − 3)(72 + 6) 0,538 · 78 42 horas

Para la correa B, 0 + (96 + 12)xB xB

= =

300 2,778

luego ella ya ha completado 2 ciclos y fracci´on, tB

= (xB − 2)(96 + 12) = 0,778 · 108 = 84 horas

Las tasas de falla son: λA

=

λB

=

1 fallas/hora 72 1 fallas/hora 96

lo que permite evaluar la confiabilidad de cada correa para t = 300: 42

RA (t

=

300) = e− 72 = 0,558

RB (t

=

300) = e− 96 = 0,417

84

Como est´an en paralelo el sistema tiene una confiabilidad para t = 300, Rs (t = 300) = 1 − (1 − 0,558)(1 − 0,417) = 0,742 4 de 5 de

ref. [15], §13.1. control 3, semestre 2002-II.

23.9. COSTO DE FALLA Y REDUNDANCIA

359

O

F

O

F

0

50

100

150

200

250

Tiempo (horas)

Figura 23.13: Estados de las correas

300

360

CAP´ITULO 23. REDUNDANCIA Y CONFIABILIDAD

Bibliograf´ıa [1] A.K.S. Jardine. Maintenance, Replacement and Reliability. Pitman Publishing, Cap. 8, 1973. [2] C.R. Sundararajan.Guide to Reliability Engineering. Van Nostrand Reinhold, 1991. [3] G.H. Sandler.System Reliability Engineering. Prentice-Hall, 1963. [4] J.G. Rau.Optimization and Probability in Systems Engineering. Van Nostrand Reinhold, 1970.

361

362

BIBLIOGRAF´IA

Cap´ıtulo 24

Tama˜ no de Talleres y Cuadrillas 24.1.

Introducci´ on

Dentro de la empresa existen recursos de mantenimiento tales como talleres, bodegas y recursos humanos. Al incrementar el nivel de equipos tales como fresas y sistemas modernos de inspecci´on, incrementa el costo de inversiones en mantenimiento y se requiere de mano de obra especializada adicional. Adem´as, al incrementar los equipos y mano de obra internas se reduce la necesidad de recursos externos tales como maestranzas y contratistas. Un problema de decisiones importante es determinar el tama˜ no ´optimo del personal de mantenimiento. Al aumentar la dotaci´ on, 1. Se incrementa el costo de intervenci´on 2. Se reduce el tiempo de detenci´on del equipo (menor costo de falla) 3. Se reduce el tiempo de detenci´on pues un equipo m´as grande es capaz de resolver las tareas m´as r´apidamente (menor costo de falla) En este capitulo veremos como la teor´ıa de colas y el uso de simulaciones puede ayudar en la toma de decisiones respecto del tamao de talleres y cuadrillas.

24.2.

Teor´ıa de colas

La teor´ıa de colas trata los problemas de congesti´on que ocurren cuando los clientes llegan a un servicio. Ellos esperan en una cola (si ella existe), son servidos por servidores, y luego dejan el servicio. En mantenimiento, los clientes pueden ser los trabajos que llegan a un taller desde las plantas y los servidores en tal caso ser´ıan los tornos, fresas y personal de taller disponibles para realizar las tareas. La teor´ıa de colas permite responder cosas como: ¿Cual es el tiempo promedio que un trabajo espera en la cola? ¿Cual es el numero promedio de trabajos en curso? ¿Cual es la probabilidad de que el tiempo de espera supere un T dado? ¿Cual es la probabilidad de que el servicio est´e sin trabajos en curso? Disponiendo de la informaci´ on mencionada es posible identificar el tama˜ no ´optimo del servicio para minimizar el costo total. En ´el intervienen el costo de intervenci´on del servicio y el costo de falla asociado a las esperas. La situaci´ on se grafica en figura 24.1. 363

˜ DE TALLERES Y CUADRILLAS CAP´ITULO 24. TAMANO

Costo por unidad de tiempo

364

optimo

Costo global

Costo de intervención

Costo de falla Tamaño del servicio Figura 24.1: Costo global ´optimo

Llegadas

Servidor

Salidas

Figura 24.2: Un solo servidor

24.2.1.

Casos estudiados

Las figuras 24.2 y 24.3 muestran los servicios que consideraremos. En el caso de figura 24.2 hay un solo servidor y solo un cliente puede ser atendido en un instante dado. En el caso de figura 24.3 existen varios servidores en paralelo. Las tareas son ejecutadas por el primer servidor que se encuentre libre. Antes de realizar el an´ alisis de un sistema con colas, se debe disponer de: Asumiremos que el patron de llegada de los clientes es aleatorio, con distribuci´on de Poisson: r

λt

P (r, t) = (λt) e− r!

donde P (r, t) es la probabilidad de que hayan r llegadas durante el intervalo de tiempo [0,t] y λ es el promedio de llegadas por unidad de tiempo.

Servidor Servidor Llegadas

Salidas

Servidor Servidor

Figura 24.3: Varios servidores

24.2. TEOR´IA DE COLAS

365

Asumiremos que el patron del servicio (TTR) es aleatorio con distribuci´on exponencial Las reglas de prioridad: consideraremos que el primer cliente en llegar es el primero en ser servido (FIFO, First In, First Out). Observaci´ on 129 En casos reales, las condiciones anteriores son aceptables aunque otros patrones de llegada, servicio y prioridad sean apropiados. En tal caso, los resultados a los que llegaremos pueden no ser aplicables y se deber´ a consultar literatura especializada (o simular).

24.2.2.

Resultados de la teor´ıa de colas

Sistemas con un solo servidor Sean λ la tasa media de llegada de trabajos por unidad de tiempo, µ la tasa media de servicio por unidad de tiempo (si el servidor se mantiene ocupado). Luego, 1/λ es el tiempo medio entre trabajos. Se puede demostrar que en el estado estacionario el tiempo medio de un trabajo T s (el tiempo medio de espera en la cola+el tiempo medio de servicio) es Ts =

1 µ−λ

= Tq +

1 µ

y el tiempo medio que un trabajo espera en la cola T q es ρ Tq = µ−λ donde ρ es la intensidad de trafico (para un servidor): λ µ

ρ=

Observaci´ on 130 Para que la cola no sea infinita, ρ debe ser menor que 1. Sistemas con n servidores La figura 24.4 muestra la demora media (normalizada) T q µ para varios n y ρ, para las hip´otesis antes mencionadas. El tiempo medio en que una maquina est´a ocupada α corresponde al numero de trabajos por unidad de tiempo y por maquina × tiempo medio de un trabajo en una maquina: α=

λ1 nµ

La probabilidad de que el sistema este desocupado es p0 =

1 n−1 X

! ρi i!

+

ρn n!



1 1−ρn

i=0

y la cantidad esperada de maquinas en la cola de espera es " # ρn+1 p0 2 (n − 1)! (n − ρ) y la intensidad de trafico (para n servidores): ρ=

λ nµ



366

˜ DE TALLERES Y CUADRILLAS CAP´ITULO 24. TAMANO

Figura 24.4: Demora media -normalizada- vs numero de servidores

´ 24.3. NUMERO OPTIMO DE MAQUINAS PARA DEMANDA FLUCTUANTE

24.3.

Numero ´ optimo de maquinas para demanda fluctuante

24.3.1.

Planteamiento del problema

367

El problema aqu´ı es encontrar el numero ´optimo de maquinas en un taller que minimiza el costo global, que consta del costo de inversiones y del costo de falla por las demoras en la devoluci´on de los equipos que requieren reparaci´ on. Consideramos: los trabajos llegan al taller en forma aleatoria, siguiendo una distribuci´on de Poisson con tasa media de arribos λ, el tiempo medio (despu´es de la espera en la cola) para realizar el trabajo es 1/µ y tiene distribuci´on exponencial el costo de falla por unidad de tiempo es cf el costos de operaci´ on de una maquina por unidad de tiempo es cl (est´e operando o no) el objetivo es determinar el numero ´optimo de maquinas n que minimiza el costo global por unidad de tiempo cg : cg (n) = ncl + T s λcf (24.1) donde ncl corresponde al costo de operaci´on de todas las maquinas y T s λcf corresponde al costo de falla que es la demora total media de un trabajo (T s ) × la tasa media de arribos de trabajos por unidad de tiempo × costo de falla por unidad de tiempo y por trabajo.

24.3.2.

Ejemplo

Sean λ = 30 trabajos/semana µ = 5,5 (trabajos/semana)/maquina cf = 500 USD/semana cl = 200 USD/semana Evaluando (24.1) para diversos n, se obtienen los resultados mostrados en tabla (24.1). Numero de maquinas n 6 7 8 9 10 11 12

Demora media de un trabajo T s 0.437 0.237 0.198 0.189 0.185 0.183 0.182

Costo global por semana cg 7755 4955 4570 4635 4775 4945 5130

Cuadro 24.1: Costo global vs numero de maquinas Es interesante notar que cuando el costo global es m´ınimo (para n = 8) las maquinas est´an ocupadas solo 68 % del tiempo. Ello va contra la noci´on general de que el m´aximo uso implica el menor costo. Si por ejemplo consideramos n = 6 la fracci´on de tiempo en que una maquina es utilizada sube de 68 % a 91 %, pero el costo total por semana se incrementa de 4570 USD a 7750 USD (+70 %!).

˜ DE TALLERES Y CUADRILLAS CAP´ITULO 24. TAMANO

368

100 90 80

cg/max(cg)

70

%

60 50

Tiempo Maquina desocupada

40 30 20 10

6

7

8

9

10

11

12

n Figura 24.5: Costo global y Uso de las maquinas para varios n Cuando n est´ a entre 1 y 5 entonces la intensidad de trafico ρ es mayor que 1. Ello implica que la cola crecer´a hacia infinito, dado que llegan mas trabajos de los que pueden ser procesados. Luego consideramos casos para n ≥ 6. Para n = 6, ρ = 0,91 T q µ = 1,4 Luego la espera media en la cola es de T q = 1,4 · 0,182 = 0,255 semanas y T s = T q + tiempo medio de servicio = 0,255 + 0,182 = 0,437 semanas De ecuaci´on (24.1), cg (6) = 6 · 200 + 0,437 · 30 · 500 = 1200 + 6555 = 7755 USD Para calcular la fracci´ on de tiempo en que una maquina est´a ocupada: fracci´ on de tiempo ocupada = nro. medio de trabajos por maquina · tiempo medio por trabajo λ 1 α= · n µ

´ 24.4. ESFUERZO OPTIMO DE UNA CUADRILLA

369

luego la fracci´ on de tiempo desocupado de una maquina es 1−

λ nµ

Para n = 6, λ = 30, µ = 5,5, 30 6 · 5,5 = 0,91

α=

El m´etodo descrito en esta secci´ on tambi´en puede ser utilizado para el tama˜ no ´optimo de una cuadrilla de mantenimiento. En tal caso n corresponde al numero de hombres. En el problema descrito se consider´o que todas las maquinas son gemelas. Ello puede ser poco representativo de la realidad si hay maquinas con diferentes capacidades. Algunos trabajos podr´ıan ser realizados solo en cierto tipo de maquinas. Ello ser´a discutido mas adelante. Adem´ as, hemos considerado que los trabajos para las maquinas son internos a la organizaci´on. En muchas situaciones es posible contratar servicios externos para realizar trabajos en los periodos de mayor demanda. Ello tambi´en es tratado posteriormente.

24.4.

Esfuerzo ´ optimo de una cuadrilla

24.4.1.

Planteamiento del problema

Se dispone de una cuadrilla de mantenedores cuya tasa de trabajos puede ser influenciada por su costo, por ejemplo por la compra de equipos especializados o el pago de bonos. El grupo es responsable de la mantenimiento de un grupo de maquinas. Si la maquina falla y la cuadrilla est´a libre, el equipo es atendido inmediatamente, caso contrario debe esperar hasta que la cuadrilla est´e disponible. Cuando la maquina est´ a en la cola la producci´ on es afectada (costo de falla) y el problema es determinar la mejor tasa de trabajo de la cuadrilla para minimizar el costo global por unidad de tiempo.

24.4.2.

Descripci´ on del modelo

1. La tasa de arribos de maquinas con falla λ sigue una distribuci´on de Poisson, 2. La tasa de servicio de la cuadrilla µ sigue una distribuci´on exponencial negativa, 3. El costo de falla de una maquina es cf , 4. El costo por unidad de tiempo de la cuadrilla cm es funci´on de la tasa de servicio µ 5. El objetivo es seleccionar µ para minimizar el costo global esperado cg : cg (µ) = costo de falla debido al tiempo en cola+ costo de falla cuando se repara+ costo de la cuadrilla El costo de falla asociado a la espera en cola es cf,c = cf · tiempo medio de espera por trabajo· tasa de arribo de trabajos ρ = cf λ µ−λ

˜ DE TALLERES Y CUADRILLAS CAP´ITULO 24. TAMANO

370

El costo de falla asociado a maquinas que son reparadas es cf,r = cf · tiempo medio de para una reparaci´on· tasa de arribo de trabajos 1 = cf λ µ luego ρ 1 λ + cf λ + cm µ−λ µ λ = cf + cm µ−λ

cg (µ) = cf

Para minimizar derivamos cg (µ) con respecto a µ e igualamos a 0, lo que entrega la siguiente condici´on: c0m = cf

24.4.3.

λ (µ∗

(24.2)

2

− λ)

Ejemplo

1. Sea la tasa de arribos de maquinas falladas, λ = 20 maquinas/semana 2. El costo de falla de una maquina es cf = 10 KUSD/semana 3. Consid´erese que la dependencia entre el costo del grupo y la tasa de servicio es de la forma cm = kµ con k = 0,5. Luego, c0m = k Usando la condici´ on (24.2), ∗

µ =

r

10 · 20 + 20 = 40 maquinas/semana 0,5

Entonces, la cuadrilla debe ser incentivada (con mejores herramientas y m´as bonos) para alcanzar una tasa de servicio de 40 maquinas/semana. Para el ejemplo, la fracci´ on de tiempo en que la cuadrilla est´a ocupada (en promedio) es λ µ 20 = 40 = 50 %

ρ=

Ejemplo 126 1 Se sabe que la tasa de servicio est´ a en alg´ un rango (µm´ın , µm´ax ). Se propone el modelo: 2  cm cm0

µ (cm ) = µm´ın + (µm´ax − µm´ın ) 1+ 1 examen

2003-I.



cm cm0

2

´ 24.4. ESFUERZO OPTIMO DE UNA CUADRILLA

371

80 A B 70

60

µ

50

40

30

20

10

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Cm

3.5

4 4

x 10

Figura 24.6: Tasa de servicio vs costo asociado despejando cm , cm

p − (µm´ax − µ) (µm´ın − µ) cm0 =± µm´ax − µ

el argumento de la ra´ız cuadrada solo se hace positivo en µm´ın ≤ µ ≤ µm´ax

(24.3)

por lo que cualquier otra soluci´ on para µ entrega valores complejos para el costo cm . Derivando, ! p − (µm´ax − µ) (µm´ın − µ) 1 [(µm´ax − µ) + (µm´ın − µ)] 0 p cm = ± + cm0 2 2 − − (µm´ax − µ) (µm´ın − µ) (µm´ax − µ) (µm´ax − µ) Consideremos los datos con el ejemplo anterior (el gr´ afico 24.6 muestra las curvas para ambos casos) ,y µm´ax = 60 maquinas/semana µm´ın = 20 maquinas/semana cm0 = 20 KUSD/semana y despejando de ecuaci´ on (24.2), y evaluando las 4 soluciones posibles obtenemos , 35,61 10,43 24,56 − 23,87i 24,56 + 23,87i

˜ DE TALLERES Y CUADRILLAS CAP´ITULO 24. TAMANO

372

de las cuales descartamos las 2 ultimas por ser complejas y la segunda por no cumplir con la restricci´ on (25.3), luego: µ∗ = 35,6 equipos/semana Observaci´ on 131 Notese que en el modelo propuesto µ(cm = 0) = µm´ın . En este caso hemos considerado cm como la parte variable de los costos de intervenci´ on. La parte fija no afecta la optimizaci´ on.

24.5.

Combinaci´ on optima de maquinas diferentes

24.5.1.

Planteamiento del problema

El problema aqu´ı planteado es una extensi´on del ya visto en § 24.3. Espec´ıficamente, aqu´ı asumiremos que existe una clase de maquinas que pueden ser clasificadas en A y B por ejemplo. Los trabajos pueden ser organizados en tres tipos requiere de maquina A, requiere de maquina B, o pueden ser realizados por ambos tipos de maquinas indistintamente. El tiempo de servicio de los trabajos difiere en ambos tipos de maquina, lo mismo que sus costos. Para un patron de demanda dado, el problema es determinar la combinaci´on optima de maquinas de ambos tipos que minimice el costo global por unidad de tiempo.

24.5.2.

Descripci´ on del modelo

La figura 24.7 ilustra el problema de colas tratado. Se aprecia que los trabajos pueden requerir el uso de: una maquina A (con bajo costo asociado, por ejemplo); una maquina B (costo asociado mayor, por ejemplo); o puede ser procesado indistintamente en ambos tipos de maquina. Dada la complejidad de la situaci´ on, no es practico realizar un estudio anal´ıtico del problema. Es conveniente el uso de una simulaci´on. Una simulaci´ on consiste de 4 pasos: 1. Determinar la l´ ogica del sistema y representarla a trav´es de un diagrama de flujo. 2. Obtener los par´ ametros del diagrama de flujo. 3. Simular la operaci´ on del sistema para diferentes situaciones usando la informaci´on obtenida en el paso 2 y seg´ un la l´ ogica establecida en el paso 1. La simulaci´on puede ser realizada a mano o con software ad hoc. 4. Evaluar los casos estudiados e identificar la mejor alternativa. Diagrama de flujo En la practica, la mayor´ıa de los trabajos requerir´an de operaciones de bajo costo, osea, basta utilizar maquinas A. Pero tambi´en pueden ser procesadas en maquinas tipo B, si ellas est´an disponibles. Consideraremos un sistema con 2 colas: una para los trabajos para los cuales basta utilizar maquinas A y otra para los trabajos que requieran de maquinas B. Cuando una maquina A est´ a vacante, inmediatamente toma el primer trabajo en la cola A y lo procesa.Cuando una maquina B est´ a vacante, toma el primer trabajo en espera en la cola B. Si no hay trabajos en espera en la cola B, y si es posible, se transfieren trabajos desde la cola A a la cola B. La l´ogica del sistema es descrita en el diagrama 24.8.

´ OPTIMA DE MAQUINAS DIFERENTES 24.5. COMBINACION

373

Trabajos A

Trabajos A o B

Trabajos B

Figura 24.7: Diagrama del problema de colas Informaci´ on necesaria Se dispone de la siguiente informaci´on del sistema: 1. La llegada de trabajos al sistema sigue una distribuci´on Poisson con tasa de arribos λ trabajos/ unidad de tiempo. Luego, la distribuci´on del tiempo entre arribos tiene distribuci´on exponencial con intervalo medio 1/λ. 2. La probabilidad de que un trabajo llegue a la cola A es p. La probabilidad de que un trabajo llegue a la cola B es 1 − p. 3. La probabilidad de que un trabajo de la cola A sea procesado por una maquina A es Px (es una variable). Luego, la probabilidad de que un trabajo en la cola A sea transferido a la cola B es 1−Px . 4. El tiempo de servicio en maquinas A y B tienen distribuciones exponenciales negativas con par´ametros µA y µB respectivamente. 5. El costo de falla por unidad de tiempo de un trabajo es cf . 6. El costo de intervenci´ on por unidad de tiempo de las maquinas A y B es cA y cB respectivamente. El objetivo es determinar los numeros ´optimos de maquinas nA y nB que minimicen el costo global asociado por unidad de tiempo cg . El costo global es la suma de: costo de intervenci´ on por unidad de tiempo de maquinas A: nA cA costo de intervenci´ on por unidad de tiempo de maquinas B; nB cB costo de falla por trabajos en espera y en servicio en maquinas A;

˜ DE TALLERES Y CUADRILLAS CAP´ITULO 24. TAMANO

374

Un trabajo llega al sistema

si

Es un trabajo para maquinas A?

Cola A

Hay una maquina A vacante?

no

Cola B

no

Hay una maquina B vacante?

no

si Poner el trabajo en la cola A

Hay una maquina B vacante?

si

Cuanto demora el trabajo en la maquina A?

Poner el trabajo en la cola B

Cuanto demora el trabajo en la maquina B?

Salida del trabajo del sistema

Figura 24.8: Diagrama de flujo

´ OPTIMA DE MAQUINAS DIFERENTES 24.5. COMBINACION

375

• tiempo medio de espera× tasa de arribo de trabajos×costo de falla T s,A · λ · p · Px · cf costo de falla por trabajos en espera y en servicio en maquinas B T s,B · [λ · (1 − p) + λ · (1 − Px )] · cf Entonces, cg (nA , nB ) = nA cA + nB cB + T s,A · λ · p · p (nA , nB ) · cf + T s,B · [λ · (1 − p) + λ · (1 − Px )] · cf Notese que T s,A y T s,B son dependientes de nA y nB . El mayor problema al resolver el modelo es determinar los tiempos de espera y la probabilidad de transferencia Px .

24.5.3.

Ejemplo

La tasa media de arribos es λ = 10 trabajos/d´ıa; La probabilidad de que un trabajo requiera una maquina A es p = 0,8; La tasa media de servicio para una maquina A es µA = 2 trabajos/d´ıa; La tasa media de servicio para una maquina B es µB = 1 trabajo/d´ıa; El costo de falla de cualquier trabajo es cf = 1 KUSD/d´ıa; Los costos de intervenci´ on son cA =7 KUSD/d´ıa y cB =10 KUSD/d´ıa respectivamente. Para determinar los tiempos de esperase procede de la siguiente manera: 1. Asumimos un cierto numero de maquinas A y B. Por ejemplo: llegan 10 trabajos/d´ıa, al 80 % de los trabajos les basta con utilizar una maquina A. Luego: 8 trabajos/dia requieren maquinas A; 2 trabajos/d´ıa requieren maquinas B; Sabemos que las maquinas A procesan 2 trabajos/d´ıa y las maquinas B, 1 trabajo/d´ıa. Consideremos 4 maquinas A y 3 maquinas B (Si solo tuvi´esemos 2 maquinas B -lo que parece satisfacer la demanda- la intensidad de trafico ρ ser´ıa 1. Ello conllevar´ıa tiempos de espera ∞ como ya hemos visto). 2. En relaci´ on al diagrama de flujo: a) Consid´erese que el trabajo 1 llegan en t = 0; b) Seleccionese aleatoriamente un numero entre 0 y 1. Si es menor que 0.8 el trabajo va a la cola A, de lo contrario va a la cola B. Para nuestro ejemplo consideremos 0.20. c) Seleccionese aleatoriamente un numero entre 0 y 1. Este numero ser´a usado para determinar la duraci´ on del trabajo 1. Para nuestro ejemplo, usemos 0.175. Evaluando 0,175 = 1 − e−2t obtenemos t = 0,096 d´ıas.

tiempo de arribo

1 2 3 4 5 6 7

0.06 0.02 0.05 0.01 0.07 0.07

trabajo entre trabajos

Nro.

Cola

Hay una maquina

0 0.06 0.08 0.13 0.14 0.21 0.28

A A A A B A A

si si si si si si (A1 libre en t=0.10) si (A2 libre en t=0.19)

acumulado asociada adecuada disponible?

tiempo espera en cola

Tiempo de

0 0 0 0 0 0 0

0.1 0.13 0.55 0.01 0.11 1.3 0.15

servicio

A1 A2 A3 A4 B1 A1 A2

utilizada

0 0.06 0.08 0.13 0.14 0.21 0.28

inicio servicio

Tiempo de Maquina Tiempo

0.1 0.19 0.63 0.14 0.25 1.51 0.43

fin servicio

Tiempo

Próximo trabajo en la maquina

6 7

376 ˜ DE TALLERES Y CUADRILLAS CAP´ITULO 24. TAMANO

Figura 24.9: Resultados de la simulaci´on

24.6. COMENTARIOS FINALES

nA 4 5 6 4 5 6

377

nB 3 3 3 4 4 4

T s,A 4,23 3,08 2,60 3,60 2,51 2,49

T s,B 7,86 6,13 5,75 4,92 4,43 4,29

Px 0,91 0,93 0,94 0,82 0,87 0,92

cg 110,26 103,66 105,66 108,46 105,72 111,61

Cuadro 24.2: An´alisis de sensibilidad d ) Como no hay otros trabajos en el sistema, el trabajo 1 es inmediatamente atendido por la maquina A1 . El trabajo abandona el taller en t = 0,096. e) Ahora generamos otro trabajos, y seguimos los pasos a − d. Siguiendo el procedimiento se puede construir una tabla como la mostrada en figura 24.9. La construcci´ on a mano de una tabla como la de figura 24.9 es muy tediosa. Sin embargo, al continuar desarroll´ andola, se generaran suficientes trabajos como para obtener un tiempo de espera estacionario para los trabajos en ambos tipos de maquinas y la probabilidad de que un trabajo sea transferido desde la cola A a la cola B. Para reducir el esfuerzo y acelerar los c´alculos es posible utilizar software de simulaci´on ad hoc. La tabla 24.2 muestra los resultados obtenidos para varios valores de nA y nB .

24.5.4.

Comentarios

La simulaci´ on es una estrategia muy u ´til para manejar problemas de cola complejos. En el modelo descrito se asumi´ o que los tiempos medios de servicio de un trabajo transferido desde la cola A y de aquel de la cola B ten´ıan la misma distribuci´on (µB ). Ello puede ser realista, dado que los trabajos de la cola A pueden requerir mayor tiempo de configuraci´on si se realizan en una maquina B. Sin embargo, si esta condici´ on no es aceptable, el modelo debe ser corregido. El modelo tambi´en considera que el costo de intervenci´ on de una maquina es igual todo el tiempo (no importa que est´e disponible o no una fracci´ on del tiempo). Remover tal condici´on no es dif´ıcil pero el modelo resultante es mas complejo. Aunque el ejemplo considerado trata la combinaci´on optima de maquinas de dos tipos en un taller, el enfoque es f´acilmente extendible a otros problemas de mantenimiento. Por ejemplo, un problema frecuente es la necesidad de establecer el nivel de especializaci´on necesaria en los miembros de una cuadrilla y el numero de hombres que debe tener tal experticia. Cierto tipo de trabajos pueden ser realizados por todos los mantenedores, mientras que otros trabajos requieren especialistas. Los diferentes niveles de especializaci´ on que pueden ser definidos ser´an mayores que 2 (como fue el caso de este ejemplo) pero aun as´ı, la combinaci´ on optima de especialistas puede ser determinada de manera similar a la descrita.

24.6.

Comentarios finales

Hemos visto como el uso de la teor´ıa de colas puede ser usado convenientemente para definir tama˜ nos o´ptimos de cuadrillas y talleres. R´ apidamente nos damos cuenta como los resultados pueden estar fuertemente limitados por la complejidad de la situaciones reales. En tales caso el uso de programas de simulaci´on aparece como una estrategia a utilizar.

378

˜ DE TALLERES Y CUADRILLAS CAP´ITULO 24. TAMANO

Bibliograf´ıa [1] A.K.S. Jardine. Maintenance, Replacement and Reliability. Pitman Publishing, Cap. 7, 1973. [2] J. Bisschop and R. Entriken. AIMMS, The Modeling System. Paragon Decision Technology, The Netherlands, 1993.

379

380

BIBLIOGRAF´IA

Cap´ıtulo 25

Externalizaci´ on 25.1.

Introducci´ on

Muchas compa˜ nias realizan una parte de su mantenimiento con personal interno y otra con recursos subcontratados. Algunas intervenciones que se realizan regularmente son ejecutadas por personal del planta como parte de una estrategia de mantenimiento preventivo. Otras intervenciones requieren equipo o competencias que el personal de planta no posee, y que deben ser manejadas via contratos. Una tercera categor´ıa de trabajos puede ser realizada indiferentemente por personal interno o subcontratado, o por una mezcla entre ambos, dependiendo de las capacidades del personal residente. La situaci´on anterior ocurre usualmente en: talleres de mantenimiento de flotas de veh´ıculos, donde se puede contratar m´as personal y adquirir mas equipos, o subcontratar servicios a talleres locales especializados; en ambientes de manufactura, donde existen subcontratistas y t´ecnicos especializados; en ambientes militares; donde las intervenciones son realizadas por personal profesional especializado, o por proveedores ubicados en las cercan´ıas. Existen una serie de ventajas para la compa˜ nia en realizar su mantenimiento con personal propio: el tiempo de respuesta es menor en general; los an´ alisis son en general de mayor profundidad, lo que permite encontrar la fuente ra´ız del problema, y evitar su recurrencia (proactividad); Se generan efectos de aprendizaje, al mejorar los procedimientos para realizar las intervenciones (incremento del know-how ). Por otro lado, aparecen una serie de desventajas: Inversi´ on posiblemente importante en equipos especializados y capacitaci´on; Uso del tiempo disponible de las cuadrillas (posible sobrecarga); En muchos casos, la selecci´ on entre las dos alternativas extremas est´a dictado por las consideraciones antes mencionadas. En otros casos, sin embargo, la elecci´on no es obvia. El problema es entonces determinar que fracci´ on de los trabajos deben ser hechos en casa y cuantos deben ser subcontratados. El objetivo es la minimizaci´ on del costo global asociado. Las restricciones son la capacidad limitada de la cuadrilla interna y el aseguramiento de que todos los trabajos solicitados sean realizados. En el modelo que presentaremos, asumiremos que existen efectos de aprendizaje en el caso de que los trabajos sean realizados internamente. 381

´ CAP´ITULO 25. EXTERNALIZACION

382

25.2.

Demanda de trabajos constante, fuerza de trabajo constante y efectos de aprendizaje

25.2.1.

Modelo inicial

Consideraremos las siguientes condiciones; Las intervenciones pueden ser clasificadas en categor´ıas (con j = 1...J); Existen varias niveles de capacitaci´ on o especialidad dentro del personal interno ( i = 1...I); El numero de intervenciones tipo j a ser realizadas por unidad de tiempo es λj (conocido y constante); Cada categor´ıa de actividad j puede ser realizada con recursos contratados o subcontratados (tambi´en se puede combinar); Los trabajos que sean realizados internamente tendr´an un costo proporcional al tiempo requerido para su realizaci´ on (costo por unidad de tiempo cih para la especialidad o nivel de capacitaci´on i; el costo de subcontratar es proporcional (con costo unitario cjr para las intervenciones tipo j ) al numero de trabajos realizados con recursos externos; Los costos antes definidos incluyen los costos de intervenci´on y los costos de falla. Para cada categor´ıa de trabajos existe un numero previsto de trabajos por unidad de tiempo; El personal interno tiene una tasa de servicio definida µij (trabajos por unidad de tiempo) por especialidad i y por tipo de intervenci´on tipo j; El numero de unidades de tiempo disponibles para cada especialidad i es Tih (unidades de tiempo/unidades de tiempo). Se desea establecer las tasas de servicio µj , j = 1..J (y que definen el vecto µ) realizadas con personal interno, que minimice el costo global por unidad de tiempo, cg . Segun las condiciones antes descritas el costo global por unidad de tiempo es: cg (µ) =

I X J J X X 1 i ch µj + cjr (λj − µj ) µ ij i=1 j=1 j=1

sujeto al numero de horas disponibles Tih para cada especialidad i, I X J X µj ≤ Tih , i = 1, ..., I µ ij i=1 j=1

y 0 ≤ µj ≤ λj , j = 1, ..., J

(25.1)

Observaci´ on 132 En este modelo consideraremos que los trabajadores tienen especialidades fijas. Otra posibilidad seria que pudiesen realizar alternativamente diversos tipos de especialidades. NdP.

25.2. DEMANDA DE TRABAJOS CONSTANTE, FUERZA DE TRABAJO CONSTANTE Y EFECTOS DE APREND

25.2.2.

Mejoras al modelo

A fin de evaluar la soluci´ on optima en funcion del valor del dinero en el tiempo, consideremos una tasa de descuento continua por unidad de tiempo θ, tal que un flujo unitario ocurrido en t tiene un valor en dinero de t = 0 de e−θt Ello nos permite escribir el valor en t = 0 del costo global acumulado sobre un periodo infinito. Para ello consideramos que los flujos ocurridos en cada unidad de tiempo son incurridos en el instante final de la unidad de tiempo; asi, los flujos del instante t tienen un valor dinero de t = 0,   J I X J X X µj i  ch + (λj − µj ) cjr  e−θt µ ij i=1 j=1 j=1 luego el costo global acumulado sobre un intervalo infinito y actualizado a t = 0 es   ∞ I X J J X X X µ j i  Cg,0 = ch + (λj − µj ) cjr  e−θt µ ij t=1 i=1 j=1 j=1 Por supuesto se requiere θ≥0 Considerar costos fijos por unidad de tiempo o inversiones iniciales es trivial:   ∞ I X J J X X X µj i  Cg,0 = A + ch + (λj − µj ) cjr + δj cjf ix  e−θt µ ij t=1 j=1 i=1 j=1 donde A es una inversion inicial en equipos y capacitacion, por ejemplo. cjf ix son costos fijos por unidad de tiempo que solo se aplican si hay subcontratacion (cuando la variable indicadora δj vale 1).

25.2.3.

Modelo no lineal

En un ambiente real, existen aumentos de eficiencia cuando una misma tarea es repetida multiples veces por la(s) persona(s). Por otro lado, es muy probable que se incurra en un costo fijo por inversi´on en equipos (que se carga una vez en cada unidad de tiempo considerada), si ciertas tareas se hacen con recursos internos. Una manera usual de modelar el efecto de aprendizaje es usar, nω T (n) = Tα 1+ω con ω=

log φ log 2

T (n) corresponde al numero de unidades de tiempo requeridas para intervenir la n-esima unidad (ver figura 25.1). Se observa que cuando φ=1 el tiempo de servicio es independiente de n: T = Tα Los par´ametros Tα y φ son estimados a partir de datos conocidos: φ corresponde a la fracci´on de tiempo que tomar´ a intervenir la unidad 2n comparado con lo que se toma para la unidad n. Con esta formulaci´on, el tiempo total para intervenir n unidades es: 1 µ1+ω µα 1 + ω

´ CAP´ITULO 25. EXTERNALIZACION

384

3.3 3.2

h (horas/intervencion)

3.1 3 2.9 2.8 2.7 2.6 2.5 2.4 2.3

0

10

20

30

40

50

60

70

80

n (intervenciones/semana)

Figura 25.1: Tasa de servicio para i = 1, j = 1 del ejemplo El costo fijo/unidad de tiempo es modelado para cada categoria j por cjf ix δj con



0 1

δj =

si µj = 0 −

adem´as, la tasa de servicio debe ser natural, µ∈

(25.2)

Observaci´ on 133 Parece artificial considerar el efecto de aprendizaje en una an´ alisis de costos por unidad de tiempo (ello implica que se vuelve a un estado inicial de know-how tras cada unidad de tiempo).NdP. Observaci´ on 134 La mano de obra interna debe ser pagada de todas maneras, ello implica un costo fijo que no afecta la optimizaci´ on. Sin embargo, en caso de que un cierto especialista o cuadrilla de especialistas interna no sea utilizada (µj = 0) entonces deber´ an ser reasignados o despedidos. En este caso, cg (µ) =

J I X X i=1 j=1

J X µj cih + (λj − µj ) cjr + δj cjf ix µij (µj ) j=1

con la restricci´ on, J X j=1

Tenemos que,

µj ≤ Tih , i = 1, ..., I µij (µj )

(25.3)

µj µij (µj )

es el tiempo total de las categor´ıa j con la especialidad i (por unidad de tiempo) y por tanto es igual a 1 µαij

1+ω

µj ij 1 + ωij

25.2. DEMANDA DE TRABAJOS CONSTANTE, FUERZA DE TRABAJO CONSTANTE Y EFECTOS DE APREND

Luego, la funci´ on objetivo queda de la forma no lineal con variables mixtas: cg (n) =

1+ωij I X J J X X 1 µj cih + (λj − µj ) cjr + δj cjf ix µ 1 + ω α ij ij i=1 j=1 j=1

(25.4)

con las restricciones (25.1), (25.2), (25.3). Dada la naturaleza no lineal del objetivo (25.4) y de la restricci´on (25.3), puede ser conveniente introducir una variable continua βj tal que µj = βj λj con 0 ≤ βj ≤ 1 con lo que el objetivo (25.4) queda cg (β) =

I X J J 1+ωij X X 1 (βj µj ) cih + λj (1 − βj ) cjr + δj cjf ix µ 1 + ω α ij ij i=1 j=1 j=1

(25.5)

y (25.3) como, J 1+ωij X 1 (βj λj ) ≤ Tih , i = 1, ..., I µ 1 + ωij j=1 αij

(25.6)

ahora (25.1) no es necesaria.

25.2.4.

Ejemplo num´ erico

Consideraremos el ejemplo dado en la referencia fuente [1], con algunas modificaciones pues la capacidades de las cuadrillas ai propuestas hacen trivial el problema (adem´as hay un error en los resultados). i 1 2 3

cih ($/hr) 16 12 15

Tih (horas/semana) 400 600 900

Cuadro 25.1: Costos y disponibilidades internas

cjr ($/intervenci´on) λj (intervenciones/semana) cjf ix ($)

tipo de intervenci´on j 1 2 3 4 90 60 80 75 75 60 80 50 400 500 1000 0

Cuadro 25.2: Datos por categor´ıa

especialidad i 1 2 3

tipo 1 3,0 2,0 1,5

de intervenci´on j 2 3 4 5 4,0 4,5 3,7 2,4 1,0 5,0 4,0 3,1 3,0 4,0 3,7 2,5

Cuadro 25.3: α

5 95 30 200

´ CAP´ITULO 25. EXTERNALIZACION

386

tipo de intervenci´on j 1 2 3 4 0,95 0,80 0,90 0,85 0,90 0,95 0,80 0,80 0,80 0,90 0,95 0,90

especialidad i 1 2 3

5 0,80 0,90 0,95

Cuadro 25.4: φ A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

i

B c_h 1 16 2 12 3 15

C D a_i 400 600 900

E

F

1 2 3 4 5 90 60 80 75 95 75 60 80 50 30 0 0 0 0 0

alpha(i,j) i/j

H

I

J K L M 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 75 60 80 50 30 VERDADERO VERDADERO VERDADERO VERDADERO VERDADERO

beta_j n_j delta_j

j c_r t_j c_fix

G

Objetivo i/j 1 2 3 j

1 1 3 2 2 3 1,5

phi(i,j) 1 2 3

1 1 1 1

2 3 4 5 4 4,5 3,7 2,4 1 5 4 3,1 3 4 3,7 2,5 2 1 1 1

3 1 1 1

4 1 1 1

5 1 1 1

t:_j*c_r

1 3600,0 1800,0 1687,5

2 3840,0 720,0 2700,0

3 5760,0 4800,0 4800,0

4 2960,0 2400,0 2775,0

5Σ 1152,0 1116,0 1125,0

1 -6.750 6750

2 -3.600 3600

3 -6.400 6400

4 -3.750 3750

5Σ -2.850 2850 Cg

Restricción i/j 1 2 3

1 225,0 150,0 112,5

2 240,0 60,0 180,0

3 360,0 400,0 320,0

4 185,0 200,0 185,0

5Σ 72,0 93,0 75,0

N

O

P

17312 10836 13088 41236 -23350 23350 41236

1082,0