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• Alvaro Aguilar

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Laboratório de Cálculo por Elementos Finitos

Índice

Enunciado del Problema....................................................................2 Solución (Cálculos previos)................................................................3 Análisis...............................................................................................4 Modelado del Cuerpo Real………......................................................7 Matriz de rigides…………………………………………………………8 Diagrama de Flujo..............................................................................11 Uso de Matlab....................................................................................13 Ejecución del Programa.....................................................................14 Conclusiones................................................................................... 18

Armaduras Planas

1

UNI – FIM

Laboratório de Cálculo por Elementos Finitos

UNI – FIM

CUARTA PRACTICA CALIFICADA (ARMADURA ESPACIAL) ENUNCIADO DEL PROBLEMA: Dada la siguiente armadura tridimensional, sometido a las fuerzas que se muestran en la figura. Piden: • •

Calcular las reacciones en los apoyos de la pluma de la grúa Calcular los esfuerzos en todas las barras de la pluma

DATOS DEL PROBLEMA: Material: E=3.1*105 N/mm2 Carga: P=30 000 N Angulo de inclinación: β=60°

Secciones de todas las barras: tubo de 100mm φ

100

10

GRÁFICO:

Armaduras Planas

2

Laboratório de Cálculo por Elementos Finitos 1. CÁLCULOS PREVIOS:

Las dimensiones se muestran a continuación, en la siguiente grafica:

Armaduras Planas

3

UNI – FIM

Laboratório de Cálculo por Elementos Finitos

Armaduras Planas

4

UNI – FIM

Laboratório de Cálculo por Elementos Finitos

UNI – FIM

2. ANÁLISIS:

28

29

(8 )

27

23

22

(7 )

26

Figura 1

(9 ) 25

30

24

(1 0 )

Armaduras Planas

5 Figura 2

Laboratório de Cálculo por Elementos Finitos

UNI – FIM

(8 ) 23

z mm

22

16

26

(7 )

(9 ) 19

25

24

y mm

(1 0 ) 2 1 2 0

15 18

17

(5 )

11

13

9

14 10

(6 )

(2 ) 12

3 (3 )

X mm

(5 ) 11

9 8

(2 )

(6 )

10

6

3

(3 )

1 2

Figura 3 12

5

7 (4 )

4

(1 )

Armaduras Planas

6

Laboratório de Cálculo por Elementos Finitos

UNI – FIM

3. MODELADO DEL CUERPO REAL: Tabla de conectividad: e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Armaduras Planas

NODOS 1 2 1 3 2 3 1 4 1 6 1 5 4 6 4 5 5 6 2 6 2 5 3 6 6 7 3 10 2 9 5 8 3 7 2 10 2 8 5 7 2 7 9 8 8 7 10 7 9 10 9 7 9 11 8 11 7 11 10 11

1 1 4 1 1 1 10 10 13 4 4 7 16 7 4 13 7 4 4 13 4 25 22 28 25 25 25 22 19 28

GDL 2 3 4 5 2 3 7 8 5 6 7 8 2 3 10 11 2 3 16 17 2 3 13 14 11 12 16 17 11 12 13 14 14 15 16 17 5 6 16 17 5 6 13 14 8 9 16 17 17 18 19 20 8 9 28 29 5 6 25 26 14 15 22 23 8 9 19 20 5 6 28 29 5 6 22 23 14 15 19 20 5 6 19 20 26 27 22 23 23 24 19 20 29 30 19 20 26 27 28 29 26 27 19 20 26 27 31 32 23 24 31 32 20 21 31 32 29 30 31 32

7

6 9 9 12 18 15 18 15 18 18 15 18 21 30 27 24 21 30 24 21 21 24 21 21 30 21 33 33 33 33

A e (mm 2 ) 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π 900 * π

E e (N/mm 2 ) 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5 3.1 x 10 5

Laboratório de Cálculo por Elementos Finitos

UNI – FIM

4. DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMA: (similar al de armaduras planas) INICI O Leer datos de entrada. Para i=1 hasta Nº de nodos Ingresar coordenadas de los nodos.

Calcular área, Nº de filas de cond_contorno(CC1)

Para i1 hasta 3x Nº de nodos Cont0

Para j=1 hasta Nº de filas de cond_contorno(CC1)

Armaduras Planas

8

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UNI – FIM

Si iCC(i, 1)

SI

Cont=1, C2CC1(i,2) C1CC1(i,1)

SI

Si cont1

CC(i,1)=C1; CC(i,2)=C2

CC(i,1)=0; CC(i,2)=0

Para i=1 hasta Nº elementos

Calcula Le, l, m, las posiciones de la matriz de rigidez global y su valor.

Armaduras Planas

N O

9

Laboratório de Cálculo por Elementos Finitos

Para i=1; 3xNº nodos Si i==CC(i,1 )

Calcula las reacciones r=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1); R=[R;r i];

Para i=1 hasta Nº de elementos Calcula esfuerzos

Imprime Desplazamientos, reaciones y esfuerzos

Armaduras Planas

10

UNI – FIM

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UNI – FIM

5. USO DEL MATLAB: DIGITACION DEL PROGRAMA %finitos03.m clc clear %datos A=input('Ingrese el vector area de cada elemento finito en mm2 ') E=input('Ingrese el vector modulo de young de cada elemento finito en N/mm2 ') x=input('Ingrese el vector abscisa de cada nodo en mm ') y=input('Ingrese el vector ordenada de cada nodo en mm ') F=[-5000;0;0;-2000;0;0;0;0;0;-3000];%la posiciones del 5 al 8 son incognitas pero los he puesto como ceros para que los pueda leer el matlab %calculo de los elementos faltantes de la tabla de conectividad NODOS=[1,2;2,3;3,4;3,5;4,5;5,2;5,1]; GDL=[1,2,3,4;3,4,5,6;5,6,7,8;5,6,9,10;7,8,9,10;9,10,3,4;9,10,1,2]; for i=1:7 L(i)=sqrt((x(NODOS(i,2))-x(NODOS(i,1)))^2+(y(NODOS(i,2))-y(NODOS(i,1)))^2); l(i)=(x(NODOS(i,2))-x(NODOS(i,1)))/L(i); m(i)=(y(NODOS(i,2))-y(NODOS(i,1)))/L(i); end %calculo de la matriz de rigidez k=zeros(10); aux=zeros(10); for i=1:7 aux(GDL(i,1:4),GDL(i,1:4))=E(i)*A(i)/L(i)*[l(i)^2,l(i)*m(i),-l(i)^2,-l(i)*m(i);l(i)*m(i),m(i)^2,-l(i)*m(i),-m(i)^2;-l(i)^2,l(i)*m(i),l(i)^2,l(i)*m(i);-l(i)*m(i),-m(i)^2,l(i)*m(i),m(i)^2]; k=k+aux; aux=zeros(10); end %calculo de Q Q=inv(k([1:4,9,10],[1:4,9,10]))*F([1:4,9,10]); Q=[Q(1:4);0;0;0;0;Q(5:6)]; %calculo del vector F F=k*Q; %calculo de esfuerzos for i=1:7 esf(i)=E(i)/L(i)*[-l(i),-m(i),l(i),m(i)]*Q(GDL(i,1:4)); end %esfuerzos display('Los esfuerzos de cada elemento finito en N/mm2 son: ') esf %reacciones display('Las reacciones en los apoyos en N son') F(5:8) %gràfico de la armadura sin fuerzas externas

Armaduras Planas

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UNI – FIM

xx=[x,x(1),x(2),x(5),x(3)]; yy=[y,y(1),y(2),y(5),y(3)];

xxx=[x+Q(1:2:9)',x(1)+Q(1),x(2)+Q(3),x(5)+Q(9),x(3)+Q(5)]; yyy=[y+Q(2:2:10)',y(1)+Q(2),y(2)+Q(4),y(5)+Q(10),y(3)+Q(6)]; plot(xx,yy,xxx,yyy,'r')

6. EJECUCION DEL PROGRAMA: Ingrese el vector área de cada elemento finito [1963.495,1963.495,1963.495,1963.495,1963.495,1963.495,1963.495]

en

mm2

A= 1.0e+003 * Columns 1 through 6 1.9635

1.9635

1.9635

1.9635

1.9635

1.9635

Column 7 1.9635 Ingrese el vector modulo de Young de cada elemento finito en N/mm2 [3.1e5,3.1e5,3.1e5,3.1e5,3.1e5,3.1e5,3.1e5] E= Columns 1 through 5 310000

310000

310000

310000

310000

Columns 6 through 7 310000

310000

Ingrese el vector abscisa de cada nodo en mm [0,1500,1500*2,1500*2,1500] x= 0

Armaduras Planas

1500

3000

3000

12

1500

Laboratório de Cálculo por Elementos Finitos

UNI – FIM

Ingrese el vector ordenada de cada nodo en mm [1500,1500,1500,0,0] y= 1500

1500

1500

0

0

Los esfuerzos de cada elemento finito en N/mm2 son: esf = 2.5465

2.5465

0

3.6013 -2.5465 -1.0186

0

Las reacciones en los apoyos en N son ans = 1.0e+004 * 1.0000 // EJE X DEL NODO (3) 0.5000 // EJE Y DEL NODO (3) -0.5000 // EJE X DEL NODO (4) 0 // EJE Y DEL NODO (4) 1600 1400 1200 1000

y

800 600 400 200 0 -200 -500

0

500

1000

1500

2000

x

Figura 1

Armaduras Planas

13

2500

3000

Laboratório de Cálculo por Elementos Finitos

UNI – FIM

Aplicando 1000 veces las fuerzas para notar las deformaciones: 1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0

-200 -500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Figura 2 Para visualizar las nuevas posiciones de los nodos ampliamos la figura en la parte de los nodos. Línea azul: posición inicial Línea roja: posición final

Figura 3 Armaduras Planas

14

Laboratório de Cálculo por Elementos Finitos

Figura 4

Figura 5

Armaduras Planas

15

UNI – FIM

Laboratório de Cálculo por Elementos Finitos

UNI – FIM

7. CONCLUSIONES • • • • • •

• • •

El elemento finito 7 (vea la figura 2) su esfuerzo es cero pero es muy importante para la estabilidad de la estructura ya que dentro de su cuerpo se cancelan los desplazamientos de los nodos 1 y 5. El esfuerzo en la barra 7 es cero debido a que no hay una fuerza vertical en el nodo 1. La orientación del elemento finito 7 antes era de -45° Luego de aplicar las fuerzas externas su orientación cambio y su longitud se mantuvo constante. El elemento finito 3 (vea la figura 2) su esfuerzo es cero pero también es importante para asegurar que la estructura este en un plano horizontal. Los elementos finitos 5 y 6 (vea la figura 2) están en compresión. El elemento finito 4 (vea la figura 2) es el que soporta el mayor esfuerzo 3.6013 N/mm2 esto es debido a que uno de sus extremos están empotrados en la pared y prácticamente toda la fuerza recae sobre él. Con este elemento habría que hacer el diseño. Este problema es imposible para la estática (hiperestático) ya que tiene 4 incógnitas y solo tres ecuaciones de equilibrio. Es posible su solución mediante los métodos finitos. Las reacciones encontradas 10000N (eje x del nodo (3)) 5000N (eje y del nodo (3) -5000N (eje x del nodo (4)) y 0N (eje y del nodo (4)) cumplen con las tres condiciones de equilibrio por lo tanto están bien. Todos los problemas de armaduras planas tienen como mínimo 2 apoyos rígidos pero también pueden tener más de dos apoyos. En este tipo de problemas podemos distinguir dos tipos de incógnitas las de desplazamientos y las de fuerzas, si el número de apoyos rígidos aumentan entonces las incógnitas de fuerzas aumenta y disminuyen las incógnitas de desplazamientos y por lo tanto se mantiene constante el número de incógnitas totales que para nuestro problema es 10.

Armaduras Planas

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