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• reynaldo ludena

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE CHOTA Escuela Profesional: Ingeniería Civil

Mg. Lic. Fís Elmer Walmer Vásquez Bustamante

DINÁMICA

=========================================================================================== PRÁCTICA CALIFICADA

G1

APELLIDOS Y NOMBRES: ……………………………………………………………………………………………….… Fecha: 14 de julio de 2017

1. Dos bolas de masa m1 = 18 kg y m2 = 4 kg, se encuentran unidas por una cuerda imponderable, de modo que la porción de cuerda de longitud “l” que sostiene a m1 siempre forma con la vertical un ángulo 𝜃. ¿Cuál es la velocidad angular de rotación del péndulo cónico formado?

SOLUCIÓN

T

𝑻𝒄𝒐𝒔𝜽

T 𝜽

𝒎𝟐 𝒈

𝒎𝟏 𝒈

De la figura: 𝑇 = 𝑚2 𝑔

(1)

𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚1 𝑔

Reemplazamos (1) en (2): 𝑚2 𝑔. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚1 𝑔 𝑚1 𝑔 𝑚1 𝑐𝑜𝑠𝜃 = ⇒ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚2 𝑔 𝑚2

(3)

(2)

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DINÁMICA

=========================================================================================== 𝑨

𝑨

𝜽

𝜽 𝑻

𝑶

𝑳

𝑯

Del triángulo AOB, se tiene:

rectángulo

𝑟 = 𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑭𝒄 𝑩

𝑶

𝒓

𝑩

𝜽 𝒎𝒈

De la figura observamos que la fuerza resultante que actúa sobre la partícula es centrípeta, entonces: 𝐹𝑐 = 𝑇𝑎𝑛𝜃 𝑚𝑔

⇒

𝐹𝑐 = 𝑚𝑔. 𝑇𝑎𝑛𝜃 𝑚𝜔2 𝑟 = 𝑚𝑔. 𝑇𝑎𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑚𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜔2 = 𝑚𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑔 𝜔= √ (4) 𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑚𝜔2 . 𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑔.

Reemplazamos (3) en (4) y los datos, se tiene: 𝑔 𝑔. 𝑚2 (9,81 𝑚⁄𝑠 2 )(4 𝑘𝑔) 𝝎= √ 𝑚 = √ = √ = 𝟎, 𝟔𝟔 𝒓𝒂𝒅⁄𝒔 𝐿. 𝑚1 (5 𝑚)(18 𝑘𝑔) 𝐿 𝑚1 2

2. Del sistema de poleas que se indica, ¿con qué rapidez se mueve el bloque, si la esfera baja con una rapidez constante de 0,2 m/s?

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DINÁMICA

===========================================================================================

r

3r

2r

SOLUCIÓN

𝒗𝟐

𝟑𝒓 𝒓

𝒗𝟑

𝜔1 = 𝜔2

𝑣2 = 𝑣3 = 𝑣𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒

𝑣1 𝑣2 = 𝑅1 𝑅2

𝑣1 . 𝑅2 = 𝑣𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒 𝑅1

(𝟏)

𝑣2 = (𝟐)

𝟐𝒓

𝒗𝒃𝒍𝒐𝒒𝒖𝒆 (𝟑)

𝑣1 . 𝑅2 𝑅1

(0,2)(3𝑟) = 𝑣𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒 (𝑟) 𝒗𝒃𝒍𝒐𝒒𝒖𝒆 = 𝟎, 𝟔 𝒎/𝒔

𝒗𝟏 = 𝒗𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 = 𝟎, 𝟐 𝒎/𝒔

3. Halle la mínima velocidad angular de la plataforma circular para que el cilindro macizo C logre subir por el ladrillo L que se encuentra fijo a la plataforma. (R = radio del cilindro = 10 cm)

2cm

36 cm

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=========================================================================================== SOLUCIÓN

𝑹

6 𝜃 = 𝑇𝑎𝑛−1 ( ) 8 𝑭𝒄

𝜽

𝑪

𝑪

𝜃 = 37°

𝟖 𝒄𝒎

𝜽

𝜽

𝟐 𝒄𝒎

𝒎𝒈

𝟔 𝒄𝒎

Para que el cilindro suba por el ladrillo, la fuerza de contacto entre el cilindro y el ladrillo debe ser nula. 𝑇𝑎𝑛𝜃 =

𝐹𝑐 𝑚𝜔2 𝑟 ′ = 𝑚𝑔 𝑚𝑔

⇒

𝑔. 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝜔= √ 𝑟′

(9,81 𝑚⁄𝑠 2 )𝑡𝑎𝑛37° 𝝎= √ = 𝟒, 𝟓𝟑𝟏 𝒓𝒂𝒅⁄𝒔𝟐 0,36 𝑚

4. Durante un corto tiempo, el engranaje A del motor de arranque de un automóvil gira con una aceleración angular de 𝛼𝐴 = (50𝜔

1⁄ 2)

𝑟𝑎𝑑⁄𝑠 2 , donde 𝜔 está en rad/s.

Determine la velocidad angular del engrane B después de que el engranaje A ha realizado 50 revoluciones, a partir del punto de reposo. Los radios de los engranajes A y B son 10 mm y 25 mm, respectivamente. SOLUCIÓN 𝛼𝐴 = 𝑡

𝜔𝐴

𝑑𝜔𝐴 𝑑𝑡

𝜔𝐴 =

𝜔𝐴

𝜃𝐴

𝑑𝜔𝐴 𝑑𝜔𝐴 ∫ 𝑑𝑡 = ∫ = ∫ 1/2 𝛼𝐴 50𝜔𝐴 0 0 0 𝑡|𝑡0 =

1 1/2 𝜔 . 2. 𝜔𝐴 |0 𝐴 50

𝑡=

1 1/2 𝜔 25 𝐴

𝑑𝜃𝐴 𝑑𝑡 𝑡

∫ 𝑑𝜃𝐴 = ∫ 𝜔𝐴 𝑑𝑡 0 𝜃𝐴

0 𝑡

∫ 𝑑𝜃𝐴 = ∫(625𝑡 2 ) 𝑑𝑡 0

0

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=========================================================================================== 1 𝝎𝑨 = 𝟔𝟐𝟓𝒕𝟐 𝒓𝒂𝒅/𝒔 𝜃 𝜃𝐴 |0𝐴 = 625. 𝑡 3 |𝑡0 3 𝜽𝑨 = 𝟐𝟎𝟖, 𝟑𝟑𝟑𝒕𝟑 𝒓𝒂𝒅 Por dato del problema:

Calculamos luego la velocidad angular del engranaje A en t = 1,147 s

2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝜃𝐴 = 50𝑟𝑒𝑣 ( ) = 100𝜋 𝑟𝑎𝑑 1 𝑟𝑒𝑣

𝜔𝐴 = 625(1,147)2

Calculamos en tiempo que demora el engranaje A en dar las 50 rev:

𝜔𝐴 = 822,256 𝑟𝑎𝑑/𝑠

208,333𝑡 3 = 100𝜋 3 100𝜋 𝑡= √ = 1,147 𝑠 208,333

Por transmisión de movimientos: 𝑣𝐴 = 𝑣𝐵 𝝎𝑩 = 𝜔𝐴 (

⇒

𝜔𝐴 𝑅𝐴 = 𝜔𝐵 𝑅𝐵

𝑅𝐴 0,01 ) = 822,256 ( ) = 𝟑𝟐𝟖, 𝟗𝟎𝟐 𝒓𝒂𝒅/𝒔 𝑅𝐵 0,025

5. Si en un principio el operador impulsa los pedales a 20 rev/min y luego inicia una aceleración angular de 30 rev/min2, determine la velocidad angular del volante F cuando t = 3 s. Observe que el brazo del pedal está conectado al plato de la cadena A, la cual al girar impulsa la polea acanalada B mediante un engrane de acoplamiento D. La banda se enrolla alrededor de la polea acanalada y luego impulsa la polea E y el volante fijo. SOLUCIÓN 𝜔 = 𝜔𝑂 + 𝛼𝑐 𝑡 3 𝜔𝐴 = 20 + 30 ( ) = 21,5 𝑟𝑒𝑣/𝑚𝑖𝑛 60 Transmisión de movimientos

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=========================================================================================== 𝑣𝐴 = 𝑣𝐷

𝜔𝐷 = 𝜔𝐵

𝜔𝐴 𝑟𝐴 = 𝜔𝐷 𝑟𝐷 𝜔𝐷 = 𝜔𝐴

𝜔𝐷 =

𝑟𝐴 0,125 = 21,5 𝑟𝐷 0,020

𝑣𝐵 𝑟𝐵

𝑣𝐵 = 𝜔𝐷 𝑟𝐵 = (134,375)(0,175)

𝜔𝐷 = 134,375 𝑟𝑒𝑣/𝑚𝑖𝑛

𝑣𝐵 = 23,516 𝑚/𝑚𝑖𝑛

𝑣𝐵 = 𝑣𝐸

𝜔𝐸 = 𝜔𝐹

𝑣𝐵 = 𝜔𝐸 𝑟𝐸

𝝎𝑭 = 𝟕𝟖𝟑, 𝟖𝟔𝟕 𝒓𝒆𝒗/𝒎𝒊𝒏

𝜔𝐸 =

𝑣𝐵 23,516 = 𝑟𝐸 0,03

𝜔𝐸 = 783,867 𝑟𝑒𝑣/𝑚𝑖𝑛

O 𝜔𝐹 = 783,867

𝑟𝑒𝑣 1 𝑚𝑖𝑛 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑥 𝑥 𝑚𝑖𝑛 60𝑠 1 𝑟𝑒𝑣

𝝎𝑭 = 𝟐𝟔, 𝟏𝟐𝟗𝝅 𝒓𝒂𝒅/𝒔

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=========================================================================================== PRÁCTICA CALIFICADA G2 APELLIDOS Y NOMBRES: ……………………………………………………………………………………………….… Fecha: 14 de julio de 2017 1. Un péndulo cónico doble gira alrededor de un eje vertical de manera que los dos hilos se encuentran siempre en un mismo plano, y forman con la vertical ángulos constantes 𝛼 = 30° 𝑦 𝛽 = 37°. Las longitudes de los hilos son las mismas e iguales a l = 33 cm. Calcule la velocidad angular de rotación del péndulo.

SOLUCIÓN

𝑇𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑚𝑔

(1)

𝐹𝑐 = 𝑚𝜔2 𝑟

𝑙

𝑇𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑚𝜔2 (𝑙𝑠𝑒𝑛𝛽 + 𝑙𝑠𝑒𝑛𝛼) (2) 𝑇𝑐𝑜𝑠𝛽

𝑻

𝑙

𝑙𝑠𝑒𝑛𝛼

Dividiendo (2) entre (1) 𝑇𝑠𝑒𝑛𝛽 𝑚𝜔2 (𝑙𝑠𝑒𝑛𝛽 + 𝑙𝑠𝑒𝑛𝛼) = 𝑇𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑚𝑔

𝜷

𝑙𝑠𝑒𝑛𝛽

𝜔2 (𝑙𝑠𝑒𝑛𝛽 + 𝑙𝑠𝑒𝑛𝛼) = 𝑔. 𝑡𝑎𝑛𝛽 𝑔. 𝑡𝑎𝑛𝛽 𝜔= √ (𝑠𝑒𝑛𝛽 + 𝑠𝑒𝑛𝛼)𝑙

𝑚𝑔

Reemplazando datos, se tiene: (9,81). 𝑡𝑎𝑛37° 𝜔= √ (𝑠𝑒𝑛37° + 𝑠𝑒𝑛30°)0,33 𝝎 = 𝟒, 𝟓𝟎𝟗 𝒓𝒂𝒅⁄𝒔

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=========================================================================================== 2. Del sistema de poleas se sabe que la polea 1 presenta una rapidez angular de 3 rad/s. En 5 s, ¿cuánto recorre la esfera? (r = 24 cm)

6r r 4r

2r

r 1

SOLUCIÓN

(𝟓)

(𝟑)

(𝟒) (𝟐)

𝒗𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂

(𝟏)

𝝎𝟏 = 𝟑 𝒓𝒂𝒅/𝒔

El recorrido de la esfera es: 𝑑𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 𝑣𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 (5)

(∗)

Del gráfico: v(5) = v(esfera) 𝑣1 = 𝑣2 𝜔1 𝑅1 = 𝜔2 𝑅2

𝜔2 = 𝜔3

𝑣3 = 𝑣4

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=========================================================================================== 𝜔1 . 𝑅1 𝜔1 . 𝑅1 𝑣3 𝜔1 . 𝑅1 . 𝑅3 𝜔2 = = = 𝜔4 . 𝑅4 𝑅2 𝑅2 𝑅3 𝑅2 𝑣3 =

𝜔1 . 𝑅1 . 𝑅3 𝑅2

𝜔4 =

𝜔1 . 𝑅1 . 𝑅3 𝑅2 . 𝑅4

𝜔4 = 𝜔5 𝑣𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝜔1 . 𝑅1 . 𝑅3 = 𝑅2 . 𝑅4 𝑅5 𝑣𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =

𝜔1 . 𝑅1 . 𝑅3 . 𝑅5 (3)(𝑟)(2𝑟)(𝑟) 𝑟 24 = = = = 6 𝑐𝑚/𝑠 𝑅2 . 𝑅4 (6𝑟)(4𝑟) 4 4

Reemplazando en (*) 𝒅𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 = (6 𝑐𝑚⁄𝑠)(5 𝑠) = 𝟑𝟎 𝒄𝒎 3. Halle la mínima velocidad angular de la plataforma circular para que el cilindro macizo C logre subir por el ladrillo L que se encuentra fijo a la plataforma. (R = radio del cilindro = 10 cm)

2 cm

36 cm

SOLUCIÓN

𝑹

6 𝜃 = 𝑇𝑎𝑛−1 ( ) 8 𝑭𝒄

𝜽

𝑪

𝑪

𝜃 = 37°

𝟖 𝒄𝒎

𝜽

𝜽

𝒎𝒈

𝟐 𝒄𝒎 𝟔 𝒄𝒎

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DINÁMICA

=========================================================================================== Para que el cilindro suba por el ladrillo, la fuerza de contacto entre el cilindro y el ladrillo debe ser nula. 𝑇𝑎𝑛𝜃 =

𝐹𝑐 𝑚𝜔2 𝑟 ′ = 𝑚𝑔 𝑚𝑔

⇒

𝑔. 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝜔= √ 𝑟′

(9,81 𝑚⁄𝑠 2 )𝑡𝑎𝑛37° 𝝎= √ = 𝟒, 𝟓𝟑𝟏 𝒓𝒂𝒅⁄𝒔𝟐 0,36 𝑚

4. Durante un corto tiempo, el engranaje A del motor de arranque de un automóvil gira con una aceleración angular de 𝛼𝐴 = (450𝑡 2 + 60) 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠 2 , donde t está en segundos. Determine la velocidad y desplazamientos angulares del engranaje B cuando t = 2 s, a partir del punto de reposo. Los radios de los engranajes A y B son 10 mm y 25 mm, respectivamente. SOLUCIÓN 𝛼𝐴 = 𝜔𝐴

𝑑𝜔𝐴 𝑑𝑡

𝜔𝐴 =

𝜔𝐴

𝑡

𝜃𝐴

𝑑𝜃𝐴 𝑑𝑡 𝑡

∫ 𝑑𝜔𝐴 = ∫ 𝛼𝐴 𝑑𝑡 = ∫ (450𝑡 2 + 60)𝑑𝑡

∫ 𝑑𝜃𝐴 = ∫ 𝜔𝐴 𝑑𝑡

0

0

0 𝜔 𝜔𝐴 |0 𝐴

0

=

(150𝑡 3

+

60𝑡)|𝑡0

𝜃𝐴

0 𝑡

∫ 𝑑𝜃𝐴 = ∫(150𝑡 3 + 60𝑡) 𝑑𝑡

𝜔𝐴 = (150𝑡 3 + 60𝑡) 𝑟𝑎𝑑/𝑠

0

t = 2s

0 𝜃

𝜃𝐴 |0𝐴 = 37,5𝑡 4 + 30𝑡 2 |𝑡0

3

𝜔𝐴 = (150(2) + 60(2)) 𝜔𝐴 = 1 320 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝜃𝐴 = (37,5𝑡 4 + 30𝑡 2 ) 𝑟𝑎𝑑 t = 2s 𝜃𝐴 = (37,5(2)4 + 30(2)2 ) 𝜃𝐴 = 720 𝑟𝑎𝑑

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=========================================================================================== Por transmisión de movimientos: 𝑣𝐴 = 𝑣𝐵

⇒

𝜔𝐴 𝑅𝐴 = 𝜔𝐵 𝑅𝐵

𝑅𝐴 0,01 𝝎𝑩 = 𝜔𝐴 ( ) = 1 320 ( ) = 𝟓𝟐𝟖 𝒓𝒂𝒅/𝒔 𝑅𝐵 0,025 𝑅𝐴 0,01 𝜽𝑩 = 𝜃𝐴 ( ) = 720 ( ) = 𝟐𝟖𝟖 𝒓𝒂𝒅 𝑅𝐵 0,025 5. Si en un principio el operador impulsa los pedales a 12 rev/min y luego inicia una aceleración angular de 8 rev/min2, determine la velocidad angular del volante F después que el pedal ha girado 2 revoluciones. Observe que el brazo del pedal está conectado al plato de la cadena A, la cual al girar impulsa la polea acanalada B mediante un engrane de acoplamiento D. La banda se enrolla alrededor de la polea acanalada y luego impulsa la polea E y el volante fijo. SOLUCIÓN 𝜔2 = 𝜔𝑜2 + 2𝛼𝑐 (𝜃𝑓 − 𝜃𝑜 ) 𝜔2 = (12)2 + 2(8)(2 − 0) 𝜔 = √144 + 32 = 13,266 𝑟𝑒𝑣/𝑚𝑖𝑛

Transmisión de movimientos 𝑣𝐴 = 𝑣𝐷 𝜔𝐴 𝑟𝐴 = 𝜔𝐷 𝑟𝐷 𝜔𝐷 = 𝜔𝐴

𝑟𝐴 0,125 = 13,266 𝑟𝐷 0,020

𝜔𝐷 = 82,913 𝑟𝑒𝑣/𝑚𝑖𝑛

𝜔𝐷 = 𝜔𝐵 𝜔𝐷 =

𝑣𝐵 𝑟𝐵

𝑣𝐵 = 𝜔𝐷 𝑟𝐵 = (82,913)(0,175) 𝑣𝐵 = 14,510 𝑚/𝑚𝑖𝑛

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=========================================================================================== 𝑣𝐵 = 𝑣𝐸

𝜔𝐸 = 𝜔𝐹

𝑣𝐵 = 𝜔𝐸 𝑟𝐸

𝝎𝑭 = 𝟒𝟖𝟑, 𝟔𝟓𝟗 𝒓𝒆𝒗/𝒎𝒊𝒏

𝜔𝐸 =

𝑣𝐵 14,510 = 𝑟𝐸 0,03

𝜔𝐸 = 483,659 𝑟𝑒𝑣/𝑚𝑖𝑛

O 𝜔𝐹 = 483,659

𝑟𝑒𝑣 1 𝑚𝑖𝑛 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑥 𝑥 𝑚𝑖𝑛 60𝑠 1 𝑟𝑒𝑣

𝝎𝑭 = 𝟏𝟔, 𝟏𝟐𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅/𝒔