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• Miguel Limas

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Una Ecuación Diferencial (ED) es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales de una función incógnita.

Ecuaciones Diferenciales

El Orden de una ED es número mayor de veces que la función incógnita aparece derivada en la ED. Por otro lado, el Grado de una ED es el exponente algebraico mayor al cual aparece elevada la mayor derivada en la ED. Un problema de valor inicial o de Cauchy consta de una ecuación diferencial de orden n y de n condiciones iniciales impuestas a la función desconocida y a sus n-1 primeras derivadas en un valor de la variable independiente.

Ecuaciones Diferenciales

Sustituciones: Supongamos que tenemos la E. D. y′= f(x, y), que tiene un aspecto diferente a cualquiera de las que ya se han estudiado. En ocasiones puede ocurrir que, sustituyendo una parte de la ecuación por una nueva variable, la E. D. aparentemente difícil de la que partíamos se transforme en una que puede resolverse con facilidad. Esto es, en esencia, encontrar un cambio de variables inteligente.

Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Ecuaciones exactas: Llamamos exacta a una ecuación diferencial, P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0, es decir, y′ = dy/dx = - P(x,y)/Q(x,y), que cumple Py = Qx.

Limas Barrientos Miguel Angel 10260452

Modelado con Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

ED como Modelos Matemáticos: Con frecuencia se desea describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la vida real en términos matemáticos; dicho sistema puede ser físico, sociológico o hasta económico. La descripción matemática de un sistema o fenómeno se llama modelo matemático y se forma con ciertos objetivos en mente; por ejemplo, podríamos tratar de comprender los mecanismos de cierto ecosistema estudiando el crecimiento de las poblaciones de animales, o podríamos tratar de fechar fósiles analizando la desintegración de una sustancia radiactiva, sea en el fácil o en el estrato donde se encontraba.

Modelos lineales: Ley de Enfriamiento de Newton: La rapidez con la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y el medio ambiente que lo rodea. dT/dt= k (T − Ta) Desintegración Radioactiva: La rapidez con la cual se desintegran átomos radioactivos es proporcional a la cantidad de átomos radioactivos presentes. dM/dt = kM

Ecuaciones lineales: Dada la ecuación y′+ a(x)y = b(x), hay 3 formas de resolverlas, mediante factor integrante, usando el método de variables separables o solución general de la lineal homogénea asociada.

Modelado con Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden: Una sola ecuación diferencial puede describir una población en un ambiente; pero si hay, por ejemplo, dos especies que interactúan y compiten en el mismo ambiente (por ejemplo, conejos y zorros), el modelo demográfico de sus poblaciones x(t) y y(t) podría ser un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, como: dx/dt= g1 (t,x,y) , dy/dt= g2 (t,x,y)